大学物理 振动和波

振动的标量和用旋转 矢量和的投影描述
二、不同频率平行简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两个不 同频率、相同振幅、相同初相 位的平行简谐振动
1 A0 cos(1t ) 2 A0 cos( 2 t )
合振动
2 1 2 1 2 A0 cos t cos t 2 2
例，如图，两轮的轴互相平行，相距为2d，其转速相同，转向相 反，将质量为m的匀质木板放在两轮上，木板与两轮间的摩擦系 数为μ ，当木板偏离对称位置后，它将如何运动？ o c
.
2d
o c
x
.
二、简谐振动的特征量
1、振幅 A ——反映振动幅度的大小 定义：振动量ψ 在振动过程中所能达到的最大值 说明： ✤ A恒为正值 ✤ A的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件决定 2、周期和频率——反映振动的快慢 ① 周期 T 定义：完成一次全振动所需要的时间，单位秒（s）
Y
五、旋转矢量法
1、旋转矢量图示法 注意： 旋转是匀速的，旋转矢量的 矢端在X轴上的投影点作简谐振动 参考圆 o
ω
M
A t
ψ
M0
X
P
2、旋转矢量的应用
✤ 作振动图
✤ 求初相位 ✤ 求速度和加速度 ✤ 振动的合成
§9－2简谐振动的合成
振动叠加原理——系统的合振动等于各分振动的“和”。
一、同频率的平行简谐振动的合成
说明：
横波的传播表现为波峰、波谷的传播
纵波的传播表现为疏、密状态的传播 2、按波的波前来分——平面波、球面波、柱面波
波射线（波线）——沿传播方向所作的带箭头的线
波振面（波面）——同一时刻，波动传播到的空间各点构成的曲面 波前 ——最前面的波振面 在各向同性介质中波线恒与波面垂直
平面波：波前为平面 球面波：波前为球面 柱面波：波前为柱面
第九章振动和波动基础
机械振动， 电磁振动 „„
广义振动——任一物理量在某一数值附近作周期往复变化
§9－1简谐振动
一、简谐振动
1、弹簧振子的往复运动
第九章振动和波动基础
机械振动， 电磁振动 „„
广义振动——任一物理量在某一数值附近作周期往复变化
§9－1简谐振动
一、简谐振动
1、弹簧振子的往复运动
f kx
2 A cos(t ) A cos( t ) A cos(2 t ) T
3、相位(ω t+Ф )——反映振动的状态
① 相位： (ω t+Ф )是决定简谐系统状态的物理量
t－ t0 0 T/4
t+Ф
0 /2
ψ A 0
v 0 A
T/2
T

2
A
cos( y x ) sin2 ( y x )
椭圆方程，形状由分振动的振幅和相位差决定
讨论：
(1) y x 0 ( 2) y x
( 3 ) y x
y
Ay
Ax Ay y x Ax
x Ax cos( x t x ) y Ay cos( y t y )
1、两个分振动的频率相 差很小 2、两个分振动的频率相 差很大，但有简单的整数 比关系
四、不同频率的垂直简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两 个互相垂直的不同频率简 谐振动
x Ax cos(1t x ) y Ay cos( 2t y )
a
二、受迫振动——在强迫周期外力作用下系统发生的振动
说明： 稳定状态时振动频率为强迫力的频率 振幅依赖于系统固有频率、阻尼大小及强迫力
三、共振——强迫力频率
与系统固有频率相同时，受 迫振动的振幅达到最大值的 现象
应用： 利用：乐器； 收音机；核磁共振 防止方法：改 变固有频率，改变 外力周期性，增大 阻尼，减振
§9－4 简谐波 （机械波）
波动 ——振动状态的传播过程 机械波——机械振动在介质中的传播（声波、水波、地震波） 电磁波——电磁场在空间的传播（无线电波、光波） 波动的特点：
•有一定的传播速度 •能量的传播 •反射、折射、干涉和衍射 •相似的波动方程
一、机械波的产生和传播
1、产生机械波的条件 波源：产生机械振动 弹性介质：传播机械振动 2、波动的本质 形式和能量 3、波动的特点 波动中各质点并不随波前进，传播的是振动 沿传播方向各个质点的相位依次落后
A cos(t )
位移 A cos(t )
速度 d v A sin(t ) dt
d2 2 加速度 a A cos(t ) 2 dt
A
2A
x、 、a x
a T t
A -A - A - 2A
o
三、A 和Ф 的确定
t 0 : 0 A cos ,
v0 A
2 0
t
2
v0 A sin
t 0
1
v0 tan ( ) w 0
注意：Ф 一般取值在-π~π（或0 ~ 2π）
例，已知某质点作简谐运动，振动 曲线如图所示，试根据图中数据写 出振动表达式。
a
●
二、波的类型
1、按介质质点的振动方向与波动传播方向来分——横波与纵波
a、横波
y
●
b
u
x
质点的振动方向与波的 传播方向垂直。 波峰——波形凸起部分 波谷——波形凹下部分
o
a
●
b、纵波 质点的振动方向与波的传播方向平行。 表现为疏密状态沿波传播方向移动。
b、纵波 质点的振动方向与波的传播方向平行。 表现为疏密状态沿波传播方向移动。
4、波动与振动不同 振动——一个质点振动 波动——一系列质点在作振动 5、如何判断各质点振动方向
t后的波形图
传播方向
二、波的类型
1、按介质质点的振动方向与波动传播方向分——横波与纵波 质点的振动方向与波的传 播方向垂直。 波峰——波形凸起部分 波谷——波形凹下部分 x o
a、横波
y
●
b
u
d2x 2 x 2 dt ( k ) m
2、LC振荡电路
dI q L dt C
d 2q 2 q 2 dt ( 1 ) LC
C
K
L
3、简谐振动的微分方程（动力学方程）
d2 2 2 dt
物理量对时间的二阶导数与物理量自身成正比，但符号相反 4、简谐振动的运动学方程
A 其中
2、应用旋转矢量法
圆频率 :
合振幅 : A
1
2 A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
初相位 : tan
A1 sin1 A2 sin2 A1 cos 1 A2 cos 2
A
A2sin2
A2
A cost
1、两个分振动的频率相 差很小 2、两个分振动的频率相 差很大，但有简单的整数 比关系
§9－3 阻尼振动 受迫振动 共振
（了解）
一、阻尼振动——振幅随时间变化而减小的振动
原因：能量损耗
x
临界阻尼
b
过阻尼
o c
t
应用： 阻尼 减小阻尼：活塞 增大阻尼：弦乐器，减振器 利用临界阻尼：阻尼天平，灵敏电流计
a
v
x
x 4、波动方程 y A cos[ ( t ) ] v
结论：平面简谐波表达式的关键是波线上任一点的相位比已 知点超前还是落后，这对于横波和纵波都是成立的。
四、描述波动的物理量
1、波长λ ——同一波线上两个相邻的、相位差为2π 的振动质 点之间的距离

2v
说明：

反映波动的空间周期性
A1
x
2 1 拍 2
拍的应用
三、同频率的垂直简谐振动的合成
问题：物理量同时参与两个互相垂直的同频率简谐振动
Ax cos( t x )i Ay cos( t y ) j
消去时间t

A
2 x 2 x

y2
2 Ay

2 x y Ax Ay
A
讨论:合振动振幅的变化规律
2 1 A 2 A0 cos t 2
A2
2 o 1
A1
ψ
讨论:合振动振幅的变化规律
A
A2
2 o 1
2 1 A 2 A0 cos t 2
两平行振动合 成时,由于频率 差别造成其合 振动的振幅时 而加强时而减 弱的现象叫拍 拍频
四、简谐振动的能量
1、弹簧振子的能量
1 Ek kA2 sin2 (t ) 2 1 E P kA2cos 2 (t ) 2
o
1 E E K E P kA2 2
x
2、LC振荡电路
Q2 We cos 2 (t ) 2C
Q2 Wm sin2 (t ) 2C Q2 W We W波
行波——振动状态和振动能量由波源向外传播的波
驻波——同一直线上振幅、频率相同，反向传播的两列波叠加而成
4、按波动的明显物理性质来分——光波、声波、水波„„
5、按质点的振动行为来分——脉冲波、周期波、简谐波„„
三、平面简谐波的波动方程（波函数）
1、波动方程——用已知波源的振动规律，表达出介质中各 点的振动规律 2、平面简谐波 理想化模型 3、建立波动方程的方法： 写出某质点的振动方程 求出任一质点相对于该质点的相位差 写出波动方程
x

2
x2
A
2 x

y2
A