第27讲(椭圆中两直线斜率之和为定值的问题)(解析版)

第27讲（椭圆中两直线斜率之和为定值的问题）

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圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 【例题导读】

例1、已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22:1

43x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆

则

22

OA OB

+的值是（ ）

A ．4

B ．7

C ．3

D ．不能确定

【答案】B

【解析】由题直线斜率k 不存在时，设直线x=t>0，则

=,解

则2

2

7OA OB +=

k 存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，y kx m,=+ 与椭圆22

:143

x y C +=联立得

()

()()

()

2

2

2222121222

438348430,4843,,3434m km k x kmx m k m x x x x k k

--+++-==+-+==++n ,

AB =，点O 到直线l 的距离

12AOB

S n ∴===得22342k m +=，即22

234

m k -=

① 又2222

11221,1,4343

x y x y +=+=

()()()2222

22

2

22

121212221186182462664434k m m k OA OB x x x x x x k -++⎡⎤+=++=+-+=+⎣⎦+=22224

86182464m

k m m k -+++ 将①代入得22

7OA OB +=

故选B

例2、已知A ，B 分别是双曲线C ：2

2

y x 12

-=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线

PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1+k 2取得最小值时，△PAB 的重心坐标为（ ） A ．()1,1 B ．41,

3⎛⎫

⎪⎝⎭

C ．4,13⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．44,33⎛⎫

⎪⎝⎭

【答案】B

【解析】设A （1-，0），B （1，0），P （x ，y ） 由题意，11y k x =

+，21

y

k x =-，

∴2

1221

y k k x ==-2，21k +2k =4，当且仅当2k 1＝2k 时取等号，

此时1k ＝1，P A 的方程为y ＝x +1，

22k =，PB 的方程为y ＝2()1x -

联立方程：()

1

21y x y x =+⎧⎨-⎩＝，解得P ()3,4

∴重心坐标为11300441,333-++++⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

， 故选B

例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l

过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；

(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k ′，求证：k·k′为定值．

【解析】(1)由长轴长2a ＝4，两准线间距离2a 2

c

＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分)

则

b 2＝a 2－

c 2＝2，即椭圆方程为

x 24＋y 2

2

＝1.(4分) (2) 当直线l 的斜率不存在时，此时EF ＝6，△AEF 的面积S ＝12AD ·EF ＝3

26，不合题意；(5分)

故直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k(x －1)，代入椭圆方程得， (1＋2k 2)x －4k 2x ＋2k 2－4＝0.

因为D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．

设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4k 2

1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.(6分)

故EF ＝

（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝

1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋k 2

223k 2＋2

1＋2k 2

.(7分)

又点A 到直线l 的距离d ＝

3|k|

1＋k 2

，(8分) 则△AEF 的面积S ＝12d ·EF ＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10，则k ＝±1.(9分)

综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(10分) (3) 证法1 设点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则直线AE ：y ＝

y 1

x 1＋2

(x ＋2)，令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同

理可得N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2

＋2，所以点Q 的坐标为

⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52y 1x 1＋2＋52y 2x 2

＋2.(12分)