高二数学双曲线知识点及经典例题分析-参考模板

高二数学双曲线知识点及经典例题分析

1. 双曲线第一定义：

平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义：

平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。 3. 双曲线的标准方程：

（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 222

2100-=>>()，

（2）焦点在y 轴上的：y a x b

a b 222

2100-=>>()，

（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2

4. 双曲线的几何性质：

（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222

2x x a y b

a b -=>>()

<>≤-≥1范围：，或x a x a

<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。

<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0）

线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e c

a

e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±

5渐近线：y b a

x = <>=±62

准线方程：x a c

5．若双曲线的渐近线方程为：x a

b y ±

= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(22

22≠=-λλb

y a x

【典型例题】 例1. 选择题。

121

122

.若方程

表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=

A m

B m m ..-<<-<->-2121或

C m m

D m R ..≠-≠-∈21

且

2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）

A. 必要但不充分条件

B. 充分但不必要条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=

A. 焦点在x 轴上的椭圆

B. 焦点在y 轴上的椭圆

C. 焦点在y 轴上的双曲线

D. 焦点在x 轴上的双曲线

416913

221212.双曲线

上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (963)

33

93

例2. ()

已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭

⎪

例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且

sin sin sin B C A -=3

5，求顶点A 的轨迹方程。

例4. （1）求与椭圆x y 2294152+=有公共焦点，并且离心率为的双曲线的标准方程。 （2）求与双曲线x y M 2294

1921-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪有共同渐近线，且经过点，的双曲线的标准方程。

例5. 已知双曲线方程x y 22

42

1-

= （1）过点M （1，1）的直线交双曲线于A 、B 两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；

（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝ ⎫

⎭

⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，

若不存在说明理由。

例六：1. 若x k y k 22

211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是（ ）

A. ()1，+∞

B. （0，2）

C. ()2，+∞

D. （1，2）

2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（ ）

A. 2或

23

3

B. 2

C.

23

3

D. 3

3. 圆C 1：()x y ++=312

2和圆C 2：()x y -+=392

2，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆

心M 的轨迹方程。

综合试题

1. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分

别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、

、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

2. 已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点． （I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；

（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

3.已知双曲线C 的方程为22

221(0,0)y x a b a b

-=>>，离心率52e =，顶点到渐近线的距离为255。

（1）求双曲线C 的方程；

（2）如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，

若1

,[,2]3

AP PB λλ=∈，求AOB ∆面积的取值范围

双曲线专题练习题

1．下列双曲线中，渐近线方程为x y 2±=的是（ ）