人教版八年级下册二次根式综合应用(讲义设计)

二次根式综合应用（讲义）

➢ 课前预习

1. 回顾二次根式的相关概念，并完成下列各题．

（1

）2=_____

． （2）二次根式的乘除法则：

①_______________________；②______________________． （3）二次根式的加减法则：

①______________________；②_______________________． 2. 根据幂的运算性质11p

p

p a a a -⎛⎫

== ⎪⎝⎭

（a ≠0，p 为正整数）进行计算： （1

）2

-⎛ ⎝

；

（2

）3-．

3. 有理数混合运算处理方法：

①观察_______划_______； ②有序操作依_______； ③每步推进一点点．

例：

2112(2)(3)2102543.⎛⎫

-÷

⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭

① ②③

思路分析

观察结构，划为①②③三个部分，对①②部分，每步推进一点点． 过程示范

1840.25(3)1

432 31

32

31

34

3

⎛⎫

=⨯⨯--⨯-+ ⎪⎝⎭

⎛⎫

=---+ ⎪⎝⎭=-++=-

原式 请你类比有理数混合运算处理方法，处理下面实数混合运算：

➢ 知识点睛

1. 理解二次根式的双重非负性

（1

0且0x ≥．

（2

20y z +=，则x =_____，y =_____，z =_____． 2. 实数混合运算处理方法：

①_____________________； ②_____________________； ③_____________________．

做运算时往往需要估计工作量．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．

（1）22()()a b a b a b +-=-； （2）222()2a b a ab b ±=±+．

3. 比较大小的几种方法：估值法，作差法，乘方法，分母有理化．

4. 二次根式与数形结合

被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理．．．．．．．．．．．．．

解决问题．

➢精讲精练

1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1；（2

（3．

2.若x，y，z10

y-+=，则2

--的值为___________．

x y z

()

3.若a，b为实数，且满足2

a a

=-

4129

为___________．

4.实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，

=．

__________

5.当1≤x≤3

6.已知b<0

，则二次根式）

A

．-B

．-C

．D

．

7.若xy≠0

=-）

A．x > 0，y > 0 B．x > 0，y < 0 C．x < 0，y > 0 D．x < 0，y < 0

8.

_________ =．

9.计算：

（1

）33

8(0.125)

⨯-；

（2

）

30

20152016

1)1)

-

+-；

（3）-； （4）21)(3(2+．

10. 用适当的方法比较大小．

（1） （2

（3 （43；

（5）6

71-与

2

51-； （6）

1

32-与

1

21-．

11.

52

1的大小关系是（ ）

A 52

1

B ．52

1<

C <5

2

1<

D 5

2

1

12. === 类比上述式子，再写出几个同类型的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．

13. 观察下列各式及验证过程：

===．

===

===

===

（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想结果并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n ≥1且n 为自然数）表示的等式，并进行验证．

图2C B

A

图1

14. 问题背景：

在△ABC 中，AB ，BC ，AC

的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上___________． 思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC

，

（a >0），请利用图2的 正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ， 并求出它的面积．

探索创新：

（3）若△ABC

m >0，n >0，且m ≠n ），试利用图3的网格画出相应的△ABC ，并求出这个三角形的面积．

图3

n

m