第八节 函数的连续性与间断点

如果函数 y = f (x) 有下列三种情形之一：
(1) 在 x = x0 没有定义；
(2) 虽在 x = x0 有定义，但 lim f ( x ) 不存在； x x0
(3) 虽在 x = x0 有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 x x0 lim f (x) f (x0 ) , x x0
注意 增量 u 可正可负还可以为零.
第八节 函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
如果 l i m y l i m [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,
x 0
x 0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续. y
例如
第八节 函数的连续性与间断点
y
(1) x π 为其无穷间断点 .
2
(2)
O - π x
2
y
x 0 为其振荡间断点 .
x
(3)
y
x 1 为可去间断点 .
O1 x
第八节 函数的连续性与间断点
x , x 1,
y
(4)
y1.
显然 lim f ( x ) 1 f (1) , 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 变量的增量 定义 设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值
的差 u2 – u1 称为变量 u 的增量，记作 u = u2 – u1 .
设 y = f (x)，则 x 称为自变量的增量， y 称为函 数的增量.
x1
1
x 1 为其可去间断点 .
2
O1
x
x 1, x 0 ,
y
(5) y
f
(
x)
0
,
x0,
x 1 , x 0 .
1
f (0 ) 1 , f (0 ) 1 ,
O -1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
第八节 函数的连续性与间断点
例3
求函数
yy
xx22
xx22 11 33xx
22
4. 区间连续函数 定义 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间
上的连续函数，或者称函数在该区间上连续.
如果区间包括端点，那么在左端点连续是指右连续， 在右端点连续是指左连续.
第八节 函数的连续性与间断点
例1 证明 y = cos x 在(- , +)上连续续..
证明 x (- , +)， 因为
第八节 函数的连续性与间断点
3. 左右连续函数
左连续： lim f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) .
x x0
右连续： lim f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) .
x x0
连
续：
f
(
x
0
)
f (x0)
f (x0) .
第八节 函数的连续性与间断点
的间断点点，，并指出其类类型..
解
y
x2 1 x第2 八3节x
2函数((的xx 连11))续((xx性12与)) ,间断点
lim lim 当 例x =41*求求和函函x数数= 2(ffx时((xx，)1))(函x11数11e1)e没11xxx定 x 的义间. 断x而点点1，，并指指出其类类型..
所以解 xli=m函1f数是x(x在第1) (一xx=类1,0)可(和x去xx间2=) 0断1为处点yx无f没.1(穷x定)x间义12断.1e1点xx;2 ,
xy
,0
.
这就证明了 y = cos x 所以 0 | y | 2sin
在x(c-os,
+)上2 连续 . x x 2sin
2 x
|
x
|
.
2 2
2
而 lim| x | 0 , 因此由夹逼定理有 lim y 0 .
第八节 函数的连续性与间断点
二、函数的间断点
1、定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
x0
因为当 x1- 时，l1ixmx2 x((xx11))((xOx,12)) f(x),x 0 ;
所以当xx=21是+ 时第，二类x 无穷间 断,点. f ( x) 1; 1 x
y
f (x)
1
x
1 e 1x
第八节 函数的连续性与间断点
作业： P61 习题1-8 3.(1)(2) 4.
第八节 函数的连续性与间断点
所以例例220*证证|明明yy|y==ssininxx在在(-(-,
,++)上)上连连续续..
2sin
x
| x | .
证明 x (- , +)， 因为
2
而
lim lim xy0
| x | sin(x
0
,x因) 此sin由x夹 2逼si定n 理x有cosxx0
则称函数 f (x)在 x0 间断，点 x0 称为函数f (x)的间断点.
第八节 函数的连续性与间断点
2、间断点分类
可去间断点
第一类间断点
间断点 第二类间断点
跳跃间断点
f (x0-) f (x0+)
无穷间断点
f (x0-) , f (x0+)中 有一个是无穷大
振荡间断点
f (x0-) , f (x0+)中有一个是 振荡（不好求）
x x0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续.
第八节 函数的连续性与间断点
连续定义分解：
lim f (x) f (x0 )
x x0
(1) 有定义，即 f (x0) 存在；
(2) 有极限，即 lim f ( x ) 存在； x x0
(3) 相等，即 lim f ( x ) f ( x 0 ) . x x0
y = f (x)
连续函数的图形是一条连续而不
y x
间断的曲线.
O
x0 x0+x x
第八节 函数的连续性与间断点
lim y lim [ f (x0 x) f (x0 )] 0 ,
x 0
x 0
连续的等价定义：
设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，如果
lim f (x) f (x0 ) ,