函数的连续性和间断性

一、函数的连续性
1.函数的增量
U 设函数 f ( x)在U ( x0,)内有定义, x ( x0,),
x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量. y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) ,称为函数 f ( x)相
应于x的增量.
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U (x0, )内有定义,如果
lim y 0
x 0
或
lim[
x 0
f
( x0
x)
f ( x0 )] 0,
那么就称函数 f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的
在第一类间断点中左、右极限相等者称为可 去间断点,不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点
和振荡间断点是第二类 间断点.
练习：
1.函数
f
(
x)
1
2x 1
2x
1 1
1
x0 x0
X=0是—————间断点。
2.确定函数间断点的类型.
f (x)
1
x
1 e1x
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
x
0.2
0.4
-1
为函数sin 1 的振荡间断点. x
例5 函数y x2 1在点x 1没定义,所以函数在点
x1 x 1为不连续.但这里
lim x2 1 lim( x 1) 2. x1 x 1 x1
如果补充分定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
所以点x 是函数tanx 的间断点.因
2
lim tan x ,
x
称x
2
为函数tan x
yHale Waihona Puke Baidu
2
的无穷间断点.
o 2
2
3
2
x
例4
函数 y sin 1 在 x 0处没有定义.
x
1
Sin
x
1
当x 0时,函数值在 1与 1之间
0.5
变动无限多次,所以点x 0称
-0.4 -0.2 -0.5
y
2 1
o1x
例6 函数
x, x 1
y
f
(
x)
1 2
,
x
1
y
1
这里lim f ( x) lim x 1,
x1
x1
但f (1) 1 ,所以 2
1
2o 1 x
lim f ( x) f (1).
x1
因此，点x=1是函数f(x)的间断点.但如果改变函
数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在x=1
连续点.
lim
x0
f
(x0
x)
f
( x0 )
" "定义 :
0, 0, 使当 x x0 时,
恒有 f ( x) f ( x0 ) .
例1
试证函数
f
(
x)
x sin
1 x
,
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 因为 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
4.连续函数与连续区间
在开区间（a,b）内每一点都连续的函数,叫做在 该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连 续.
如果函数在开区间(a,b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续.
由定义知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
断点.因y f ( x)的图形在x 0处产生跳跃现象,称x 0
为函数f ( x)的跳跃间断点.
3. 间断点的分类
设x0是函数f ( x)的间断点
(1).如果左极限f (x０ )及右极限f (x０ )都存在, 那么x0称为 f (x)的第一类间断点;
(2).如果x0不是f ( x)的第一类间断点,那么x0称为 f ( x)的第二类间断点.
但
lim
x x0
f
( x)不存在;
(3) 虽在x
x0有定义,
且
lim
x x0
f ( x)存在,但 lim x x0
f (x)
f ( x0 )
则 函数 f ( x)在点 x0为不连续(或间断), 而点x0称为函数f ( x)的不连续点(或间断点).
2.间断点举例
例3
正切函数y tan x在x 处没有定义, 2
故 y 2sin x x , 所以 当x 0时,y 0. 2
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
二、函数的间断点
1.定义
设函数 f ( x)在点 x0的某去心邻域内有定义,在此前提
下,如果函数f (x)有下列三种情形之一 :
(1) 在x x0没有定义;
(2) 虽在x
x0有定义,
成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断点.
例７
函数
f (x)
x 0,
1,
这里,当x 0时, x 1,
lim f ( x) lim ( x 1) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1.
x0
x0
x 0,
x 0, y x 0.
y x 1
1
o 1
x
故极限lim f ( x)不存在,所以点x 0是函数f ( x)的间 x0
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2sin x cos( x x)
2
2
因为 cos( x x) 1, 从而 y 2sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有 sin ,