函数的连续性和间断性

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函数的连续性与间断性

lim x21lim (x1)2. x 1x1 x 1
如果补充分定义：令x=1时y=2，则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
y
2 1
o1 x
例6 函数
x,x1 y f(x)12,x1
1
y
这 li里 fm (x ) lix m 1 ,
x 1
x 1
但f(1)1,所以 2
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证函明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内间 .连
证任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si n xcoxs(x)
2
2
因为 coxs(x)1, 从而 y2sinx.
2
2
对任,意当的 0时 , 有 si n,
3. 间断点的分类
设 x0是函 f(x数 )的间断点
(1).如果左极限 f(x０ )及右极限 f(x０ )都存在 , 那么 x0称为f (x)的第一类间断点;
(2)如 . x0 果不f(是 x)的第一,那类x0 么称间为断点
f (x)的第二类间断点.
在第一类间断右点极中限左相、等者称为
x
例4
函数 ysin 1在x0处没有 . 定义
x
1
Sin
x
1
当 x 0 时 ,函数 1 与值 1 之在间0.5
-0.4 -0.2
变动无,所限以多 x点 0 次称
-0.5
x
0.2
0.4
-1
为函s数 in1的振荡间.断点 x
例5 函y数 x21在x点 1没定 ,所义以函数

函数的连续与间断

f(x)=f(x0 )］，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.
设函数y=f(x)在区间［a,b］内有定义，如果有limx→b－
f(x)=f(b)，那么我们就称函数y=f(x)
b左连续；如果
limx→a+f(x)=f(a)，那么我们就称函数y=f(x)在左端点a右连续.
一、函数的连续性
定义19
y=f(x)
x0连续.
在定义16中，若令x=x0+Δx, 即Δx=x－x0，则当Δx→0时，也就
是当x→x0时.又因为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而
limΔx→0Δy=0
limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).
因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述如下.
A=x2，当自变量x有一个改变量Δx时，相应函数的增量为ΔA.
ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x•Δx+(Δx)2.
一、函数的连续性
2. 函数的连续性概念
定义16
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当Δx趋向于零时，
函数相对应的增量Δy也趋向于零，即limΔx→0Δy=0成立，则称函数
一、函数的连续性
定义17
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有limx→x0f(x)=f(x0) 成立，则称函数y=f(x)在点x0处连续，且称x0为函数y=f(x)的连续点.
(1)函数y=f(x)在点x0有定义.
(2)limx→x0f(x)
.
(3)极限值等于该点的函数值f(x0) .
图 2-12

函数的连续性与间断点

。
.
O
x
10
例3 函数
x − 1, y = f ( x) = 0, x + 1,
x → −0 x → +0 x → −0
x < 0, x = 0, x > 0.
y
lim f ( x ) = lim ( x − 1) = −1
。
１
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = +1
18
1 − x 2n ⋅ x 的连续性，若有间断点例7 讨论函数 f ( x ) = lim 的连续性， 2n n→∞ 1 + x
判断其类型。判断其类型。解 Q lim x 2 n
n→∞
0, = 1, ∞,
1, x <1 2n 1− x x = 1, lim = 0, 2n n →∞ 1 + x − 1, x >1
x → +0
O。
－１
•
x
x 不存在。所以 lim f ( x )不存在。 = 0 称为 x→0
跳跃间断点。该函数的跳跃间断点该函数的跳跃间断点。
11
例4 正切函数 y = tan x 在 x =
π
处没有定义，处没有定义，
2 π 的间断点。所以 x = 是函数 y = tan x 的间断点。 2
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin
∆x Q cos x + ≤1 2 ∆x ∴ ∆y = sin( x + ∆x ) − sin x ≤ 2 sin . 2 又因为当α ≠ 0 时， sinα < α

函数的连续性和间断点

函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。

如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。

如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。

如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。

如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。

二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。

（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。

如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。

如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。

如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。

如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。

至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。

历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。

函数的连续性与间断点分析

函数的连续性与间断点分析函数的连续性是数学中的重要概念，它描述了函数在某个区间上的平滑性和无间断性。

本文将探讨函数的连续性以及间断点的分类与分析。

一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域上的无间断性。

具体而言，对于定义域内的任意两个数a和b，如果函数f在区间[a, b]上的值无论多么接近于f(a)，都能使函数在该区间上连续，那么函数f就被称为在该区间上连续。

函数的连续性可以用极限的概念进行描述。

如果对于函数f的每一个定义域内的点x0，都有lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，那么函数f在点x₀处连续。

换句话说，函数在某一点的函数值等于该点的极限值，这就是函数在该点的连续性。

函数的连续性在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以通过函数的连续性分析质体的运动轨迹；在经济学中，连续函数被用于分析经济增长模型等。

函数的连续性是数学建模中常见的假设之一。

二、间断点的分类与分析间断点是指函数在某些点处不满足连续性的现象。

根据函数在间断点的性质，可以将间断点分为三类，即可去除间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

1. 可去除间断点可去除间断点是指函数在某点x₀处的极限存在，但函数在x₀处的函数值与该极限值不相等。

通常情况下，通过修正函数在间断点的定义，可以消除可去除间断点。

例如，考虑函数f(x) = (x - 1)/(x - 1)，在x=1处有可去除间断点，但若将f(1)的定义修改为1，则可将间断点去除。

2. 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某点x₀处的左右极限存在且有限，但两侧极限值不相等。

这种间断点的存在导致函数在该点处存在一个突变或跳跃。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有跳跃间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。

3. 无穷间断点无穷间断点是指函数在某点x₀处的一侧或两侧的极限为无穷大。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，在x=0处有无穷间断点，因为lim(x→0⁺) f(x) = +∞，而lim(x→0⁻) f(x) = -∞。

函数连续性定义和间断点

x0
x
1 y sin
x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
可去间断点间断点第一类间断点跳跃间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
(见下图)
左右极限都存在左右极限至少有一个不存在
第y 一
2、当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f(0 ) a ,
lim f(x)lic m o xs1,
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 f ( 0 0 ) 使 f ( 0 0 ) f ( 0 ) ,a1 ,
2.跳跃间断点
如果f在 x点0 存在左、右极限，但
lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
则称 x为0 函数的f 跳跃间断点
例4：讨论函数
f (x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
故当且a仅 1时当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
四、小结
连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性.
定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
思考题
设 f ( x) sgn x ， g( x) 1 x2 ，试研究复合函数 f [g( x)]与g[ f ( x)]的连续性.

函数的连续性与间断点

1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1.设函数yf (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0x ), 因此函数y 的对应增量为y f (x 0x ) f (x 0).函数连续的定义设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量xx x 0 趋于零时, 对应的函数的增量yf (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即lim 0=∆→∆y x 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数yf (x )在点x 0 处连续.注 ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x x 0+x , 则当x 0时, x x 0, 因此lim 0=∆→∆y x 0)]()([lim 00=-→x f x f x x )()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式|x x 0|<的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )f (x 0)|<,那么就称函数y f (x )在点x 0处连续.左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称yf (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称yf (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系: 函数yf (x )在点x 0处连续Û函数y f (x )在点x 0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(¥, ¥)内是连续的.这是因为, f (x )在(¥, ¥)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→2. 函数xx f =)(在区间[0,¥)内是连续的.3. 函数y sin x 在区间(¥,¥)内是连续的.证明设x 为区间(¥, ¥)内任意一点. 则有y sin(xx )sin x )2cos(2sin 2x x x ∆+∆=,因为当x 0时,y 是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim 0=∆→∆y x .这就证明了函数ysin x 在区间(¥,¥)内任意一点x 都是连续的．4. 函数y cos x 在区间(¥, ¥)内是连续的. 二、函数的间断点间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一: (1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )¹f (x 0);则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. 例1. 正切函数ytan x 在2π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数xy 1sin =在点x 0没有定义, 所以点x0是函数x1sin的间断点.当x ®0时, 函数值在1与1之间变动无限多次, 所以点x 0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x 1没有定义, 所以点x1是函数的间断点.因为11lim 21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x 1时y 2, 则所给函数在x 1成为连续. 所以x 1称为该函数的可去间断点. 例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211)(x x x x f y .因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x1是函数f (x )的间断点.如果改变函数f (x )在x1处的定义:令f (1)1, 则函数f (x )在x 1 成为连续, 所以x 1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=010 00 1)(x x x x x x f .因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x ,1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x)(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠,所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x 0处产生跳跃现象, 我们称x0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。

函数的连续性与间断点

22
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
第一类间断点:可去型,跳跃型. 间断点第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
23
第一类间断点第二类间断点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
24
无穷型
定理
函数在 fx () x 处连续函数在 fx () x 0 0 处既左连续又右连续 .
6
x 2 ,x 0 , 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0 处的 x 2 ,x 0 , 2 ) 解 lim 2 f( 0 ),
( 1 ) f( x ) 在点 x 处有定义 ; 0
( 2 ) lim f(x ) 存在 ;
x x 0
( 3 ) lim f ( x ) f ( x ). 0
x x 0
如果上述三个条件中只要有一个不满足 , 则称函数 f(x ) 在点 x 处不连续 ( 或间断 ),并称点 x 为 0 0 f(x ) 的不连续点 ( 或间断点 ).
1 ), lim f ( x ) 2 f(
x 0 为函数的可去间断点 .
注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.
14
f( 1 ) 2 , 如例6中, 令
, 0x1 , 2 x 则f(x ) 1x , x1 , 在 x1 处连续 .
如果函数在开区间 ( a ,b ) 内连续 , 并且在左端 xa 处右连续 , 在右端点 xb 处左连续 , 则称函数 f(x ) 在闭区间 [ a ,b ] 上连续 .

1-6-函数的连续性与间断点

由连续函数定义可知，基本初等函数在其各自定义域
内连续，有理分式函数在其定义域内连续.
例 3 讨论函数
f
(
x)
x2 1,
10 x 1,
arccos x π, 1 x 1
在其定义域内的连续性.
解显然在(10, 1) (1,1]内，函数 f (x) 连续.
f (1 ) lim x2 1 0， x1
定义 1 设函数y f (x) 在U (x0 ) 内有定义，如果当自变
量的增量 x x x0 趋于零时，对应的函数增量
y
f (x0
x)
f
(
x0
)
也趋于零，
即
lim
x0

0 ，则称函数
y f (x)在点x0 连续.
在定义 1 中，设 x x0 x ，且x 0 ，即x x0 ，又因为
增量为
y (x0 x)3 x03 3x03x 3x0x2 x3
又
lim
x0
y
lim (3
x0
x0
2
x
3x0x2
x3 )
0
所以 y x3在点x0 连续，这是对定义 1 给出的证明.
如果函数 f (x) 在点 x0 的左极限 f (x0 ) 存在且等于
该点函数值 f (x0 )，即 f (x0 ) f (x0 )，则称 f (x)在点 x0左连续.
图1-30
lim f (x) lim f (x2 1) 1, lim f (x) lim f (x 1) 1,
x0
x0
x0
x0
即 f (0 ) f (0 ) .所以lim f (x) 不存在,因此 x 0 为 f (x) 的

函数的连续性与间断点的分类

函数的连续性与间断点的分类函数是数学中一个十分重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在数学分析中，我们常常关注函数的连续性和间断点，它们对于理解函数的性质和行为具有重要的作用。

本文将介绍函数的连续性和间断点的分类，以及它们在数学和实际问题中的应用。

正文：一、函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的每个点上都存在极限，并且该极限等于该点处的函数值。

简单来说，函数在其定义域内没有断裂或跳跃的情况，具有连续性。

1.1 间断点的定义函数的间断点是指函数在某个点上不满足连续性的点。

根据间断点的不同性质，可以将其分类为三种类型：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

1.2 可去间断点可去间断点是指函数在某一点上不连续，但通过修正或填补可以使其变成一个连续点。

具体来说，如果函数在某一点的左右极限存在且相等，但与该点的函数值不同，则该点为可去间断点。

1.3 跳跃间断点跳跃间断点是指函数在某一点的左右极限存在，但不相等。

换句话说，函数在该点处存在一个有限的跳跃。

跳跃间断点可以通过一个间断点的加法或减法变得连续。

1.4 无穷间断点无穷间断点是指函数在某一点的左右极限至少有一个不存在或为无穷大。

无穷间断点可以分为两类：无穷增长和无穷衰减。

无穷增长的间断点是指函数在某一点的右极限为无穷大，而左极限不存在或为有限。

无穷衰减的间断点则相反，函数在某一点的左极限为无穷小，而右极限不存在或为有限。

二、间断点的应用间断点的概念在数学和实际问题中都具有广泛的应用。

下面将介绍几个常见的应用场景。

2.1 极限的计算在求解函数的极限时，间断点的分析和处理是十分重要的。

根据间断点的类型，我们可以使用不同的方法来计算函数的极限值。

对于可去间断点，通过修正或填补可以消除其影响，从而得到准确的极限值。

而对于跳跃间断点和无穷间断点，我们可以使用极限的性质和定理来计算。

2.2 曲线的绘制在绘制函数的曲线图时，间断点的位置对于曲线的形状和走势有着很大的影响。

高等数学（8）函数的连续性与间断点

⾼等数学（8）函数的连续性与间断点⼀、函数的连续性增量变量u:初值u1 -> 终值u2增量Δu: Δu = u2-u1正的增量Δu:u1变到u2时是增⼤的负的增量Δu:u1变到u2时是减⼩的函数的增量即:当因变量增量随⾃变量增量趋于0，称为连续。

单侧连续·左连续:如果limx->x0- f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0-) = f(x0)·右连续:如果limx->x0+f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0+) = f(x0)·定理函数f(x)在x0处连续=函数f(x)在x0处既左连续⼜右连续连续函数定义:在区间上每⼀点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续注1 如果区间包括端点,那么函数在右端点处左连续，在左端点处右连续注2 连续函数的图形是⼀条连续⽽不间断的曲线例题例证明函数y = sinx 在区间(-∞,+∞)内连续⼆、函数的间断点第⼀类间断点(左右极限都存在)跳跃间断点·如果f(x)在x0处左右极限都存在·但f(x0-0)≠f(x0+0)则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点讨论f(x) = { -x,x<=0 1+x,x>0} 在x=0处的连续性可去间断点·如果f(x)在x0处极限存在·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在点x0处⽆定义则称点x0为函数f(x)的可去间断点注意·注1:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点·注2:跳跃间断点与可去间断点统称为第⼀类间断点第⼆类间断点·如果f(x)在x0处左右极限⾄少有⼀个不存在·则称x0为函数f(x)的第⼆类间断点例题1讨论f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0处的连续性四、章⼩结·函数在⼀点连续必须满⾜的三个条件；1.在这⼀点有定义2.在这⼀点极限是存在的3.极限存在的情况下还要等于在这⼀点的函数值·区间上的连续函数;函数在区间上的任意⼀点都连续,我们就说函数在区间上是连续的·间断点的分类与判别;间断点{第⼀类间断点:可去型，跳跃型 (左右极限都存在第⼆类间断点:⽆穷型, 振荡型 (⾄少有⼀个极限不存在}。

函数的连续性与间断点

且是无穷次振荡型间断点.
O

1 y sin x
x
总结两类间断点: 第一类间断点: 跳跃型, 可去型第二类间断点: 无穷型, 无穷次振荡型极限与连续之间的关系: f (x)在x0点连续
f (x)在x0点存在极限
求函数f ( x )
1 1 e
x 1 x
的间断点, 并指出其类型.
解当x 0, x 1时, 函数无定义, 是函数的间断点. 1 , x 0, 由于 lim f ( x ) lim x x 0 x 0 1 x 1 e 所以 x 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型.
lim y 0
则称函数f (x)在x0处连续, 并称x0为函数 f (x)的连续点.
设 x x0 x , y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 即为 x x0 , y 0 即为 f ( x ) f ( x0 ).
lim 定义2 若 x x f ( x ) f ( x0 ), 则称函数 f (x)
f ( x0 0 ) , 称x0为跳跃间断点.
第二类间断点： f ( x0 0 ) 及 f ( x0 0 ) 中至少一个不存在. 若其中有一个为 , 称x0为无穷间断点.
若其中有一个为振荡, 称x0为振荡间断点.
例点x 0是如下函数的第几类间断点：
(1)
sin x f ( x) ; x
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.
x2 , 例讨论函数 f ( x ) x 1,
x 1, x 1,
在 x 1处的连续性.

函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点函数是研究数学的重要工具之一，而函数的连续性与间断点则是研究函数性质的基础。

在数学领域中，连续性是一种非常重要的性质，因为它决定了函数在一定区间内的取值方式。

在这篇文章中，我们将探讨函数的连续性与间断点的概念、特征以及应用。

函数的连续性连续性是函数最基本的性质之一，它表明函数在其定义域内的取值是连续的。

简单来说，就是当函数的自变量趋近于某个值时，函数的值也趋近于某个值，而且这个趋近过程是连续的。

如果函数不满足连续性，那么就会出现间断点。

函数连续性的定义：设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，如果当$x$在$x_0$附近移动时$f(x)$的值趋近于$f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续，否则称函数$f(x)$在点$x_0$处不连续。

连续性是指函数的值可以不间断地取遍定义域内的任意值。

在图像上，连续的函数是没有断点的函数，它的所有连续的点构成一个连续的曲线。

连续性是函数值变化的一种平滑的方式，也是数学中最基本、最重要的性质之一。

函数的间断点函数的间断点与连续性是相对的。

当一个函数在某一点处不连续时，我们就称它在那一点有间断点。

间断点通常分为三种：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

1. 可去间断点：当函数在某一点处的左、右极限存在且相等，但与函数在该点处的函数值不相等时，在该点就称为函数的可去间断点。

可去间断点是因为函数在那个点处可以被定义为一个更平滑的函数。

2. 跳跃间断点：当函数在某一点处的左、右极限都存在，但这两个极限不相等时，在该点就称为函数的跳跃间断点。

跳跃间断点通常是因为函数在那个点处实现了一个突变。

3. 无穷间断点：当函数在某一点处的左、右极限至少有一个不存在时，在该点就称为函数的无穷间断点。

函数的连续性与间断点的应用函数的连续性与间断点在计算机科学、物理学、经济学和生物学等领域中都有重要的应用。

例如，在控制系统中，通过控制系统与外界相关变量之间的函数间的连续性，我们可以预测和控制物理系统的运动。

函数的连续性与间断点

f (0+ ) = 1
x = 0 为其跳跃间断点 .
1x
y
1
O
x
−1
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三、初等函数的连续性
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,
商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如,
在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在
内连续 .
证: ∀x ∈ (−∞ , + ∞ )
∆y = sin(x + ∆x) − sin x
∆y
=
2
sin
∆x
2
cos(
x
+
∆x
2
)
= ∆x ∆x → 0 0
即
这说明
在
内连续 .
注: 基本初等函数在其定义域内每点都连续.
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二、函数的间断点
设在点的某去心邻域内有定义 , 则下列情形之一, 函数 f (x) 在点不连续 :
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C [ a , b ].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
∀只x要0 ∈Q(−(x∞0
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 ∞ ,称 x0 为无穷间断点 .

函数的连续性与间断点

x x0
x x0
二、函数的间断点（一）概念（二）分类（三）举例
二、函数的间断点
（一）概念（二）分类（三）举例
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第八讲函数的连续性与间断点
连续性:
连续函数: 要求:
函数的一种变化性态
高等数学的主要研究对象理解连续的概念理解间断的概念与分类会讨论函数的连续性
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
x0 , x0 内有界.
定理函数 y f ( x )在 x0处连续,且 f ( x0 ) 0, 则 0 使y=f (x)在 x0 , x0 内恒有 f ( x ) 0.
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
[a , b]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
二、函数的间断点
（一）概念（二）分类（三）举例
二、函数的间断点
（一）概念（二）分类（三）举例
定义设函数 y f ( x ) 在点x0 的某去心邻域内有定义,
x x0 x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
（一）函数在一点处连续的概念

函数的连续性与间断点

函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。

本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。

一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。

具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。

函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。

对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。

函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。

1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。

换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。

2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。

即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。

3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。

也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。

二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。

对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。

而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。

对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。