2020-2021学年北京市各区中考数学二模《代数》综合考点题汇总含答案
2020-2021学年北京市东城区中考数学第二次模拟试题及答案解析
北京市东城区最新第二学期统一练习（二）初三数学学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟.2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为A．63.510⨯B．73.510⨯C．53510⨯D．80.3510⨯2．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数22-的点P应落在线段A．A O上B．OB上C．B C上D．C D上3．一个不透明的盒子中装有6个除颜色外完全相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是A．13B．25C．12D．234. 下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是A B C D5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是A B C D6 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于A．18°B．36°C．54°D．64°7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人数 1 1 2 1A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.88．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是A．4 B．3 C．2D．19. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省A．1元B． 2元C．3元D．4元10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：2242ax ax a -+=．12．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是． 13. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是．14.九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．15．定义运算“*”，规定x *y =a （x +y ）+xy ，其中a 为常数，且1*2=5，则2*3= ．16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：0112sin 6012(3π)()4-︒-+.18．已知023a b =≠，求代数式22422a b a b a ab-++的值． 19．如图，已知∠ABC =90°，分别以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接AE ，CD . 求证：AE =CD ．20．列方程或方程组解应用题：为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要108元，买3件A 商品和4件B 商品需要94元.问：打折后，若买5件A 商品和4件B 商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？21.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DCBADCBADCBA22．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 于点E ．（1）求证：∠BAM =∠AEF ；（2）若AB =4，AD =6，4cos 5BAM ∠=，求DE 的长.23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D . （1）求反比例函数的解析式；（2）经过点C 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数的图象交于P 点，当k ＞0时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 24.阅读下列材料：2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.2014年全年， PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天.2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天. 根据以上材料解答下列问题：（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为天；（2）选择统计表或统计图，将2013—2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.25. 如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ； （2）若AC =1010sin CAF ∠=，求BE 的长．26. 阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin 2α=CD OC=21sin AC ⋅α=21cos sin αα⋅=ααcos sin 2⋅．图1 图2阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =13，则 sin α=，sin2α=； 图3(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α，cos α的式子表示）．27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）. （1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.28. 【问题】在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点E 在直线BC 上（B ,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；图1【数学思考】那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；图2【拓展应用】当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），直接写出ABC S △：AEF S △的值．请备用图29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是；②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值.初三数学参考答案及评分标准 2016.6题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A BD AAC CCBB二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 1112131415 16答案22(1)a x -1k >-且0k ≠ABD C∠=∠答案不唯一92%11(9,2)；(2016,672)三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：0112sin 6012(3π)()4-︒-+. 解：原式32314+…………4分=33- …………5分18. 解：22422a b a b a ab-++=224(2)(2)a b a a b a a b -++=2a ba -…………3分 023a b=≠Q ， ∴设2,3.a k b k ==…………4分∴ 原式=-2.…………5分19. 证明：Q △ABD 和△BCE 为等边三角形，∴∠ABD =∠CBE =60°，BA=BD ，BC=BE.…………2分∴∠ABD+∠ABC =∠CBE+∠ABC ，即∠CBD =∠ABE.…………3分∴△CBD ≌△EBA.（SAS ） …………4分∴AE=CD. …………5分20.解：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元.…………1分依据题意，得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩.…………3分 解得：1016x y =⎧⎨=⎩.…………4分所以5×10+4×16-86=28（元）答：比打折前节省了28元. …………5分 21.满足条件的所有图形如图所示：…………5分注意：画出一个给2分，二个给4分，三个给5分. 22.解：（1）∵矩形ABCD ，∴∠B =∠BAC =90°. ∵EF ⊥AM ，∴∠AFE =∠B =∠BAD =90°.∴∠BAM +∠EAF =∠AEF+∠EAF =90°. ∴∠BAM =∠AEF.…………2分（2）在Rt △ABM 中，∠B =90°，AB =4，cos ∠BAM =45， ∴AM =5.∵F 为AM 中点， ∴AF =52. ∵∠BAM =∠AEF ， ∴cos ∠BAM = cos ∠AEF =45. ∴sin ∠AEF =35. 在Rt △AEF 中，∠AFE =90°，AF =52，sin ∠AEF =35， ∴AE =256. ∴DE=AC-AE =6-256=116. …………5分 23.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，，∴BC =2.∴D （1,2）. ∵反比例函数my x=的图象经过点D ， ∴21m =. ∴2m =.∴2y x=. …………3分（2）233p x <<. …………5分 24.解：（1）172；133.…………2分 PM2.5的年均浓度（单位：微克/立方米）PM2.5的优良天数2013年 89.5 204 2014年 85.9 204 2015年80.622325.（1）证明：连结BD .∵AB 是O e 的直径， ∴90ADB ∠=︒.∴90DAB DBA ∠+∠=︒. ∵AB AC =，∴2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =. ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠FAB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴FAC ABD ∠=∠.∴2.ABC CAF ∠=∠…………2分⑵解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵10sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠∠=∠=∠=∠， ∴10sin sin ABD CAF ∠=∠=∵90210ABD AC ∠=︒=，∴10AD =10sin AD AB ABD==∠=BC . ∵9010AEC AC ∠=︒=， ∴sin 2CE AC CAE =⋅∠=.∴1028BE BC CE =-=-=.…………5分26.解：（1）sin α=13，sin2α=429. …………2分 （2）∵AC =cos α，BC =sin α，∴CD =AC BC AB ⨯=sin cos αα⋅. ∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--. …………5分 27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）， ∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩， ∴21.b c =-⎧⎨=-⎩， ∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）.∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+.令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分（3）414m <≤或4m =-. …………7分28.解：【探究发现】：相等.…………1分【数学思考】证明：在AC 上截取CG=CE ，连接GE. ∵∠ACB =90°,∴∠CGE =∠CEG =45°.∵AE ⊥EF ，AB ⊥BF ，∴∠AEF =∠ABF =∠ACB =90°, ∴∠FEB +∠AEF =∠AEB =∠EAC +∠ACB. ∴∠FEB =∠EAC.∵CA=CB ，∴AG=BE ，∠CBA =∠CAB =45°. ∴∠AGE =∠EBF =135°.∴△AGE ≌△EBF.∴AE=EF.…………5分【拓展应用】ABC S △：AEF S △=1：（222n n ++）…………7分 29.解：（1）图象略；是.…………2分（2）①2.…………4分②M （3,3）.…………6分 5 …………8分。
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最新北京市东城区中考二模数学试卷一、单选题（共10小题）1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为（）A．B．C．D．考点：科学记数法和近似数、有效数字答案：A试题解析：科学记数法是把一个数表示成 a×的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.所以3500000=3.5 .2．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数的点P应落在线段（）A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上考点：实数大小比较答案：B试题解析： , 则表示数的点P应落在线段OB上3．一个不透明的盒子中装有6个除颜色外完全相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．考点：概率及计算答案：D试题解析：摸到黄球的概率= .4．下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称与轴对称图形中心对称与中心对称图形答案：A试题解析：B,是轴对称图形不是中心对称图形，C,D是中心对称图形不是轴对称图形。
而A 即是中心对称图形又是轴对称图形。
5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．考点：几何体的三视图答案：A试题解析：这个几何体的俯视图是,6．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于（）A．18°B．36°C．54°D．64°考点：等腰三角形答案：C试题解析：在等腰△ABC中，AB=AC，所以 ,因为 BD⊥AC，所以 ,所以 ,则。
7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）A．中位数是4，平均数是3.75B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8D．众数是2，平均数是3.8考点：平均数、众数、中位数答案：C试题解析：众数就是在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2020北京中考数学二模分类汇编26题代数综合
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 西城二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 海淀二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
【2020 朝阳二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = ax2 + a2x + c 与 y 轴交于点（0，2）． （1）求 c 的值； （2）当 a=2 时，求抛物线顶点的坐标； （3）已知点 A（ 2，0），B（1，0），若抛物线 y = ax2 + a2x + c 与线段 AB 有两个公共点， 结合函数图象，求 a 的取值范围．
1234x
y 4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3 –4
1234x
【2020 平谷二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=mx2-2mx-1（m>0）与 x 轴的交点为 A，B，与 y 轴交点 C.
（1）求抛物线的对称轴和点 C 坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成 的区域为图形 W（不含边界）．
【2020 燕山二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
26．在平面直角坐标系 中，抛物线
与 x 轴交于点 A，B(A 在 B 的左侧)．
(1) 求点 A，B 的坐标及抛物线的对称轴；
(2) 已知点 P(2，2)，Q(2＋2a，5a)，若抛物线与线段 PQ 有公共点，请结合函数图象，求 a 的取值范围．
【2020 石景山二模】
2020年北京中考 二模26代数综合
13.代数综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(教师版)
202006初三数学二模试题整理：代数综合（教师版）一、直线（或线段）与抛物线的交点问题： （一）定直线+动抛物线 1.（2020密云二模26）（1）定线段（2）动抛物线：①不变：对称轴、顶点；②变：开口大小方向在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx 沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点． （1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线C 1的表达式及顶点D 的坐标； （3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线 C 2：y=ax 2-2（0a ）与线段AE 恰有一个公共 点，结合函数的图象，求a 的取值范围．26．（1）解：∵直线y=kx +3经过点B （3，0） ∴3k+3=0 k=-1 ……1分∴y=-x +3与y 轴的交点，即为点C （0，3） ……2分 （2）解：∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点B （3，0）和点C （0，3） ∴ y=x 2+bx+3∴ 9+3b +3=0 b=-4∴抛物线C 1的函数表达式为y = x 2-4x+3 ……3分∴y =（x -2）2-1∴顶点D 的坐标为（2，-1） ……4分（3）解：∵点E 是点D 关于原点的对称点∴点E 的坐标为（-2，1） 当y=ax 2-2经过点E （-2，1）时，a =当y=ax 2-2经过点A （1，0）时，a =2∴a 的取值范围是 ≤a <2 ……………6分4343（1）定线段（2）动抛物线：①不变：过定点②变：开口、对称轴在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠． （1）当m =3时，求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A （1，2）．试说明抛物线总经过点A ；（3）已知点B （0，2），将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m 的取值范围．26．解：（1）把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得223653(1)2y x x x =-+=-+，∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．…………………………………2分 （2）当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=． ∵点A （1，2），∴抛物线总经过点A ．………………………………………………3分（3）∵点B （0，2），由平移得C （3，2）．① 当抛物线的顶点是点A （1，2）时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由（1）知，此时， m =3．……………………………………4分 ② 当抛物线过点B （0，2）时，将点B （0，2）代入抛物线表达式，得2m -1=2．∴m =32>0．此时抛物线开口向上（如图1）． ∴当0<m <32时，抛物线与线段BC 只有一个公共点．………5分③当抛物线过点C （3，2）时，将点C （3，2）代入抛物线表达式，得 9m -9(m -1)+2m -1=2． ∴m =-3<0．此时抛物线开口向下（如图2）． ∴当-3<m <0时，抛物线与线段BC只有一个公共点． ………………… 6分 综上，m 的取值范围是m =3或0<m <32或-3<m <0．图2图1（1）定线段（2）动抛物线：①不变：与y 轴交点②变：开口、对称轴，顶点坐标在隐藏函数图象上动在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2）．（1）求c 的值；（2）当a =2时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点A （-2,0），B (1,0),若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点（0,2），∴c =2.（2）当a =2时，抛物线为2422++=x x y ，∴顶点坐标为（-1,0）. （3）当0a ＞时，①当a =2时，如图1，抛物线与线段AB 只有一个公共点.②当21+=a 时，如图2，抛物线与线段AB 有两个公共点.结合函数图象可得212a <+≤. 当0a ＜时，抛物线与线段AB 只有一个或没有公共点.综上所述，a 的取值范围是212a <+≤.图1图2（二）含同参的动线段+动抛物线 4.（2020房山二模26）（1）动线段：一个端点定，另一个端点在y 轴动 （2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点A 、B ，且4AB =.抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D . （1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；（3）已知点()4,4P -，若抛物线与线段PD 只有一个交点，求a 的取值范围. 26．（1）对称轴-1=22-=aax ……………………………………1分（2）∵4AB =A （-3，0），B （1，0） ……………………………………2分 把（1，0）代入表达式：0=c +2a +a 得：a 3-=c ……………3分 ∴C （0，-3a ）∴ D （0，-3a+1）, 31D y a =-+ …………………………4分 （3）当0a >时将点()4,4P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--, 45a =∴当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点…5分当0a <时抛物线的顶点为()1,4a -- 当44a -=时1a =- …………………6分综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点.5.（2020燕山二模26）（1）动线段：一个端点定（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点 ②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点A ，B (A 在B 的左侧)． (1) 求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点P (2，2)，Q (2＋2a ，5a )，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．26．解：(1) ∵24y ax ax =-＝(4)ax x -，∴抛物线与x 轴交于点A (0，0)，B (4，0)． 抛物线24y ax ax =-的对称轴为直线：422ax a-=-=．………3分 (2) 24y ax ax =-＝2(4)a x x -＝2(2)4a x a --， 抛物线的顶点坐标为(2，－4a )． 令5y a =，得245ax ax a -=，(5)(1)0a x x -+=，解得1x =-，或5x =，∴当5y a =时，抛物线上两点M (－1，5a )，N (5，5a )．①当0a >时，抛物线开口向上，顶点位于x 轴下方，且Q (2＋2a ，5a )位于点P 的右侧，如图1，当点Q 与点N 重合或位于点N 右侧时，抛物线与线段PQ 有公共点， 此时2＋2a ≥5，14xyNMQ P图3 14xyNMQP 图214xy NMQP O解得32a≥．②当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2＋2a，5a)位于点P的左侧，(ⅰ)如图2，当顶点与点P重合或位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时－4a≤2，解得12a≥-．(ⅱ)如图3，当顶点位于点P上方，点Q与点M重合或位于点M左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2＋2a≤－1，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a<-≤，或32a≤-．…………………6分6.（2020丰台二模26）（1）动线段：一两个端点都动（2）动抛物线：①不变：对称轴，与x 轴交点②变：开口在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243=-+y ax ax a 与y 轴交于点A . （1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线与x 轴的交点坐标；（3）已知点P (a ，0)，Q (0，2-a )，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数 图象，求a 的取值范围．26.解：（1）令x =0，则y =3a.∴点A 的坐标为（0，3a ）. ………………………………………………1分（2）令y =0，则ax 2-4ax +3a =0. …………………………………………2分 ∵a ≠0， ∴解得121,3x x ==.∴抛物线与x 轴的交点坐标分别为（1，0）, （3，0）. …………4分 （3）①当a <0时，可知3a ≥a -2. 解得a ≥-1. ∴ a 的取值范围是-1≤a <0 .② 当a ＞0时，由①知a ≥-1时，点Q 始终在点A 的下方，所以抛物线与线段PQ 恰有一个公共点时，只要1≤a <3即可.综上所述，a 的取值范围是-1≤a <0或1≤a <3. .......….........….....………7分二、定抛物线（部分图象）与动抛物线的交点问题： 7.（2020海淀二模26）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， 与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F . （1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点， 结合函数图象，求a 的取值范围. 26. 解：（1）∵y =mx 2+2mx +3的图象与与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为(0, 3).∵y =mx 2+2mx +3的图象与x 轴交于点(3,0)A -， ∴将(3,0)A -代入y =mx 2+2mx +3可得9630m m -+=.∴ m = -1.∴该函数的表达式为y =-x 2-2x +3.（2）∵将二次函数y =mx 2+2mx +3的图象在点A ，B 之间的部分（含A , B 两点）记为F ，∴F 的端点为A , B ，并经过抛物线y =mx 2+2mx +3的 顶点C （其中C 点坐标为(-1,4)）. ∴可画F 如图1所示.∵二次函数y =x 2+2x +a 的图象的对称轴为x =-1，且与F 只有一个公共点,∴可分别把A , B , C 的坐标代入解析式y =x 2+2x +a 中. ∴可得三个a 值分别为-3，3，5. 可画示意图如图2所示.∴结合函数图象可知：二次函数y =x 2+2x +a 的图象与F 只有一个公共点时， a 的取值范围是-3≤a <3或a =5.图 2三、整点问题8.（2020平谷二模26） 含同参的动线段+动抛物线。
2020-2021学年北京市各区中考数学二模《代数》综合考点题汇总含答案
最新北京市各区初三数学二模代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；（3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=．∵抛物线1C 的顶点在x 轴上，∴它的顶点为（2，0）．……………………………………………………1分∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ，∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ，∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分 ∵m n -=(5)t -+2(54)t t --+-269t t =-+ 2(3)0t =-≥，∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点，∴点E 应在线段BD 上．∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方， ∴只需0n ≥， 即2540t t -+-≥． ∵当2540t t -+-=时， 解得1t =或4t =．∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤．海淀27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式. 西城 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分房山27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．房山27.解：(1)∵1=∆CAP S ，C()1,12-，∴1121=⨯AP ,∴AP =2，∵P 为AB 中点，P （-1，0）， ∴A （-3,0），B （1,0）； -----------1分∴过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为：322-+=x x y ----------------------2分(2)抛物线322-+=x x y 沿x 轴翻折所得的新抛物线关系式为322+--=x x y ，∵1==∆∆APC APQ S S ,∴点Q 到x 轴的距离为1，且Q 点在图象G 上（27题图1）∴点Q 的纵坐标为1 ∴1322=+--x x 或1322=-+x x .----------------------------------3分解得：311+-=x ，312--=x ，513+-=x ,514--=x -----4分∴所求Q 点的坐标为：)1,31(1+-Q ，)1,31(2--Q ，)1,51(3+-Q ，)1,51(4--Q ----5分27题图227题图1 (3)如图（27题图2）∵N （0，-1）,∴点N 关于x 轴对称点N ′（0，1）， ∵点D (0,-3)，∴点D 关于对称轴的对称点D ′（-2，-3），∴直线N ′D ′的关系式为y =2x +1, -----------------------------------6分∴E （-0,21）当x =-1时，y =-1，∴F （-1,-1） ----------------------------------7分直线与抛物线交点：朝阳27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．朝阳27．解：（1）∵抛物线()2296y x m x =-++-的对称轴是2x =，∴922(2)m +-=⨯-．∴1m =-． ……………………………………………………………1分∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分 ∴22(2)2y x =--+．∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为()2232y x =--+……………………4分∵()()222223x x --=--，∴52x =． ∴A （52，32）．………………………5分（3）702b <≤．……………………………7分丰台27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（3，0）． （1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．丰台27.（1）将()3,0A 代入，得1m =．-------1分∴抛物线的表达式为223y x x =--．∴B 点的坐标()1,0-．-------2分 （2）y 的取值范围是45y -≤<．-------5分（3）当x =21时，y =415-. 代入1y kx =+得219-=k .当x =-1时，y =0,代入1y kx =+得k =1.结合图象可得，k 的取值范围是1=k 或192k <-. -------7分怀柔27.已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点. (1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k ≠0)经过A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围; (3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.怀柔27.解：(1)把A （-1,0）、B （0，-3）两点带入y 1 得： y 1=x 2-2x-3………………………………1分顶点坐标（1，-4） ………………………………………2分 (2)把C （4，m ）代入y 1, m=5，所以C （4，5）， ……………………………………3分把A 、C 两点代入y 2 得：y 2 =x+1.………………………………………………4分如图所示：x 的取值范围：x<-1或x>4 . …………………………………………………5分 (3)设直线AC 平移后的表达式为y=x+k得： x 2-2x-3=x+k ………………………………………6分 令Δ=0，k=-421 所以平移后直线的表达式：y=x-421. ………………………7分xyO–5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567顺义27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=． （1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围. 顺义27． 解：（1）[]22224(21)42441(21)b ac m m m m m ∆=-=-+-⨯=-+=- -----1分∵不论m 为任何实数时 ，总有2(21)0m ∆=-≥，∴该方程总有两个实数根 . --------------------------------------------------2分（2）24(21)(21)2b b ac m m x -±-+±-==∴12x m =， 21x =………………………………………………….… 4分 不妨设点(1,0)B ，依题意则点(3,0)A - ∴ 32m =-∴ 抛物线的表达式为223y x x =+-…………….…………………5分（3）134b >……………………………………………...………………….…7分 抛物线与抛物线交点东城27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.东城27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分 （3）414m <≤或4m =-. …………7分抛物线与双曲线交点 平谷27．反比例函数()0ky k x=≠过A （3,4），点B 与点A 关于直线y =2对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）．（1）求反比例函数的表达式； （2）求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx m =-++在2-ky x=无公共点，求m 的取值范围．平谷27．（1）∵反比例函数ky x=过A （3,4）， ∴12k =． ∴12y x=．…………………………………………………………………………1 （2）∵点B 与点A 关于直线y =2对称，∴B （3,0）． (2)∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）∴9303b c c ⎧-++=⎨=⎩．∴23b c ⎧=⎨=⎩．……………………………………………………………………………3 ∴223y x x =-++． (4)（3）12y x=， 令2x =-时,6y =-，即()26,--令2x =时,6y =，即()26, (5)当2y x bx m =-++过()26,--时，2m =． 当2y xbx m =-++过()26,时，6m=． (6)∴26m ＜≤ (7)两个直接写出结果的问题：昌平27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A .（1）求直线y=kx +b 的表达式；（2）将直线y=kx +b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx +b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E直接写出m 的取值范围.昌平27．解：（1）∵直线y=kx +b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y=kx +b 的表达式为： 1.y x =-+…………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =.…………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a >0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤<……………5分②40.m -≤≤………………………………………………………………………………7分石景山27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值． 石景山27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-= ∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．……2分（2）令，则()021222=-+-+m m x m x()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x ∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y ∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分 （3）0=b 或3-=b ．……………………………………………………..7分如何找对称点：通州27. 已知：二次函数c b x -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c b x -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。
2020-2021学年北京市房山区中考数学第二次模拟试题及答案解析
最新北京市房山中考二模数学试卷一、单选题（共10小题）1．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，可以搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，将61700000用科学记数法表示为（）A．617×105B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×108考点：科学记数法和近似数、有效数字答案：C试题解析：用科学计数法表示较大的正数时，一般形式为a×10n．其中1≤a<10,n为正整数.确定n的值时，要把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，所以a=6.17，n=7.2．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，倒数最大的是（）A．b B．d C．a D．c考点：实数大小比较答案：D试题解析：由于a<b<0<c<d，则3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称与中心对称图形答案：B试题解析：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。
而A是轴对称图形，C与D是中心对称图形。
4．小明掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,那么向上一面的点数大于4的概率为（）A．B．C．D．考点：概率及计算答案：C试题解析：骰子共有6个点数，其中点数大于4的有5，6两种情况，则5．如果一个正多边形的每个外角为72°，那么这个正多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8考点：多边形的内角与外角答案：C试题解析：由正多边形的每个外角为72°，该正多边形的每个内角为180°-72°=108°.故这个多边形的内角和为n×108°，又因为正n边形的内角和为（n-2)×180°,设该多边形的边数为n，则（n-2)×180°=n×108°,解得：n=5.6．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，如果∠C＝40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．90°C．80°D．50°考点：圆周角定理及推论答案：D试题解析：根据题意得7．国家气象局监测2015年某日24小时PM2.5的值，其中6个时刻的数值如下表,则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．331；332.5B．329；332.5C．331；332D．333；332考点：平均数、众数、中位数答案：A试题解析：把六个数从小到大排序：324，325，329，333，342，342，则中位数为（329+333）÷2=331，平均数为（324+325+329+333+342+342）÷6=332.58．直线与双曲线（k≠0）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．考点：反比例函数与一次函数综合答案：C试题解析：根据题意得：当k>0时，双曲线位于一，三象限，而直线位于一，三，四象限；当k<0时，双曲线位于二，四象限，而直线位于一，二，四象限。
2020-2021学年北京市中考数学第二次模拟试题及答案解析
CBDAE 最新北京市初三二模考试数 学 试 卷考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校名称、班级和姓名； 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答； 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．门头沟位于北京西南部，属太行山余脉，地势险要“东望都邑，西走塞上而通大漠”，自古为兵家必争之地，全区总面积1455平方公里，其中山区占98.5%．将数字1455用科学记数法表示为 A ．1.455×103B ．14.55×102C ．1.455×104D ．0.1455×1042．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下面结论正确的是abcA ．c ＞aB ．10c＞ C ．a b ＜D ．0a c -＜3．窗花是我国传统民间艺术，下列窗花中，是轴对称图形的为A B C D4．在下列运算中，正确的是 A ．235a a a ⋅=B ．()325a a =C ．623a a a ÷=D ．55102a a a +=5．如图，AD BC ∥，点E 在BD 的延长线上，如果155ADE ∠=︒， 那么∠DBC 的度数为 A ．155° B ．50° C ．45°D ．25°6．右图是一个正方体的平面展开图，那么这个正方体“美”字让生更美好A DE OBC E C BDAP的对面所标的字是 A ．让 B ．更 C ．活D ．生7．某小区要建一个地基为多边形的凉亭，如果这个多边形的外角和等于它的内角和，那么这个多边形是 A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三边形8．甲、乙、丙、丁四位同学参加了10次数学测验，他们测验的平均成绩（x ）与方差（2S ）如下表所示，那么这四位同学中，成绩较好，且较稳定的是甲 乙 丙 丁 x85 90 90 85 S 21.01.01.21.8A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是DC 延长线上一点， 如果⊙O 的半径为6，60BCE ∠=︒，那么¼BCD的长为 A ．6π B ．12π C ．2πD ．4π10．如图，在正方形ABCD 中，2AB =，E 是AB 的中点，动点 P 从点B 开始，沿着边BC ，CD 匀速运动到D ，设点P运动的时间为x ，EP y =，那么能表示y 与x 函数 关系的图象大致是x yO x yO x yO xyO二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．函数12y x =-的自变量x 的取值范围是． 12．分解因式：429ax ay -=．13．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代著名数学家程大位．在其中有这样的记载“一百馒头一百僧，大僧三个 更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文：有100名和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设有大和尚x 人，小和尚y 人，可列方程组为．14．请写出一个图象经过点（1，2），且第一象限内的函数值随着自变量的值增大而减小的函数表达式：． 15．小明同学在“计算：23211x x x-+-+”时，他是这样做的：小明的解法从步开始出现错误，错误的原因是． 16．小明同学在做作业时，遇到这样一道几何题：如图，△DEB 和△ABC 都是等边三角形，连接DC 和AE ，求证：AE =DC ．DACE B 123小明冥思苦想许久不得解，只好去问老师，老师给了他如下提示：EACB请问老师的提示中①是，②是．三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27、28题，每小题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：()2120166tan 3012π-⎛⎫--︒++ ⎪⎝⎭．18．已知2240a a +-=，求代数式()()22263a a a a ----的值．19．解不等式组()315112 4.2x x x x -+⎧⎪⎨--⎪⎩＜，≥并直接写出它的所有非负整数解．20．如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，30C ∠=︒，AE 为BC 边上的中线．求证：△ABE 是等边三角形．21．一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该队工程师的一段对话：FCDEBAOyxAOB ECDPA我们的施工人数由原计划的6人，增加了2人．你们是怎样提前3小时完成了180平方米的绿化任务？如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积．22．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（2）如果60A ∠=︒，24AB AD ==，求BD 的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数3y x=的图象与 一次函数y kx =的图象的一个交点为A （m ，－3）． （1）求点A 的坐标和一次函数y kx =的表达式； （2）如果点P 在直线OA 上，且满足2PA OA =，直接写出点P 的坐标．24．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A 、C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE PO ⊥交PO 的延长线于点E ． （1）求证：EPD EDO ∠=∠； （2）如果6PC =，3tan 4PDA ∠=，求OE 的长．25．门头沟地处北京西南部，山青水秀，风景如画，静谧清幽．近年来，某村依托丰富的自然资源和人文资源，大力开发建设以农业观光园为主的多类型休闲旅游项目，农民收入逐步提高．以下是根据该图3图2村公布的“主要经济发展指标”相关数据绘制的统计图表的一部分．根据以上信息解答下列问题：（1）该村2013年农业观光园经营年收入的年增长率约是；（结果精确到1%） （2）补全条形统计图，并在图中标明相应的数据；（结果精确到0.1） （3）请预估该村2016年的农业观光园经营年收入约为万元，你预估的理由是．26．阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC a ==，3AC b ==，2AB c ==，那么2sin sin a bA B==． 通过上网查阅资料，他又知“sin901︒=”，因此他得到“在含 30°角的直角三角形中，存在着sin sin sin a b cA B C==的关系．” 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BC a =，AC b =，AB c =．请判断此时“sin sin sin a b cA B C==”的关系是否成立？ （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =． 过点C 作CD AB ⊥于D ．xyO∵ 在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，90ADC BDC ∠=∠=︒， ∴ sin A =，sin B =． ∴ sin a A =，sin bB =． ∴sin sin a bA B=． 同理，过点A 作AH BC ⊥于H ，可证sin sin b cB C =． ∴sin sin sin a b cA B C==． 请将上面的过程补充完整．（3）如图4，在△ABC 中，如果60B ∠=︒，45C ∠=︒，2AB =，那么AC =．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点A （0，－3），B （4，5）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线的顶点为C ，求点C 的坐标；（3）设点C 向左平移2个单位长度后的点为D ，此抛物线在A ，B 两点之间的部分为图象W （包含A ，B 两点），经过点D 的直线为l ：y mx n =+．如果直线l 与图象W 有且只有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．28．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，点A 关于BE 的对称点为G （G 在矩形ABCD内部），连接BG 并延长交CD 于F ． （1）如图1，当AB AD =时，① 根据题意将图1补全；② 直接写出DF 和GF 之间的数量关系．（2）如图2，当AB AD ≠时，如果点F 恰好为DC 的中点，求ADAB的值． （3）如图3，当AB AD ≠时，如果DC nDF =，写出求ADAB的值的思路（不必写出计算结果）．图4CBAE D C AB E CD A BEDC A B图1 图2 图329．对于关于x 的一次函数y kx b =+（0k ≠），我们称函数[]()().m kx b x m y kx b x m ⎧+⎪=⎨--⎪⎩≤，＞为它的m分函数（其中m 为常数）．例如，32y x =+的4分函数为：当x ≤4时，[]432y x =+；当x ＞4时，[]432y x =--． （1）如果1y x =-+的2分函数为[]2y ，① 当4x =时，[]2y =；② 当[]23y =时，x =． （2）如果1y x =+的－1分函数为[]1y -，求双曲线2y x=与[]1y -的图象的交点坐标； （3）从下面两问中任选一问作答：（温馨提示：两问均2分，不重复计分！）① 设2y x =-+的m 分函数为[]m y ，如果抛物线2y x =与[]m y 的图象有且只有一个公共点，直接写出m 的取值范围．② 如果点A （0，t ）到2y x =-+的0分函数[]0y 的图象的距离小于1，直接写出t 的取值范围．③。
2020-2021学年北京市西城区中考二模数学试题及答案解析
北京市 初三二模试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)1．羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次/分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示应为 A. 90.1210⨯ B. 71.210⨯ C. 81.210⨯ D. 71210⨯ 2．如图，BD ∥AC ，AD 与BC 交于点E ，如果∠BCA=50°，∠D=30°， 那么∠DEC 等于A. 75°B. 80°C. 100°D. 120° 3．64的立方根是A. 8±B. 4±C. 8D. 4 4．函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是A.2x ≠B. x ≥2C. x ＞2D. x ≥2-5．如图，△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，且DE ∥BC ， 如果23AD AB =，AC=6，那么AE 的长为 A. 3 B. 4 C. 9 D. 126．某居民小区开展节约用电活动，该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示． 节电量（千瓦时） 20 30 40 50 户数（户）20303020A. 35B. 26C. 25D. 20 7. 若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于 A. 2 B. 1 C. 3 D. 238．如图，△ABC 的边AC 与⊙O 相交于C ，D 两点，且经过圆心O ， 边AB 与⊙O 相切，切点为B ．如果∠A=34°，那么∠C 等于 A ．28° B ．33° C ．34° D ．56°9．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中，O 是原点， 若点A 的坐标为(1,3)，则点C 的坐标为 A ．(3,1) B ．(1,3)- C ．(3,1)- D ．(3,1)--10．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(,1)m ．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O 上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，那么m 的取值范围是A ．1-≤m ≤1 B. 1-＜m ＜1 C. 0≤m ≤1 D. 0＜m ＜1 二、填空题(本题共18分，每小题3分)11．若2(2)10m n ++-= 则m n -= ．12．若一个凸n 边形的内角和为1080︒，则边数n = ．13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm ，光屏在距小孔30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm ，则光屏上火焰所成像的高度为______cm ．14．请写出一个图象的对称轴是直线1x =，且经过(0,1)点的二次函数的表达式： ______． 15．如图，在平面直角坐标系x Oy 中，直线3y x =与双曲线ny x =（n ≠0）在第一象限的公共点是(1,)P m ．小明说：“从图象上可以看出，满足3nx x>的x 的取值范围是1x >．”你同意他的观点吗？答： ．理由是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点D 为直线2y x =上且在第一象限内的任意一点，1DA ⊥x 轴于点1A ，以1DA 为边在1DA 的右侧作正方形111A B C D ；直线1OC 与边1DA 交于点2A ，以2DA 为边在2DA 的右侧作正方形222A B C D ；直线2OC 与边1DA 交于点3A ，以3DA 为边在3DA 的右侧作正方形333A B C D ，……，按这种方式进行下去，则直线1OC 对应的函数表达式为 ，直线3OC 对应的函数表达式为 .三、解答题(本题共30分，每小题5分)17．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，BD=CE ，连接AE ，CD ．求证：∠E ＝∠D ．18．计算：1012cos 30()1(3)3π-++--o .19．已知2540x x --=，求代数式(2)(2)(21)(2)x x x x +----的值．20．解方程：231233x x x x-=--．21．列方程（组）解应用题：某超市的部分商品账目记录显示内容如下：22．已知关于x 的函数 2(3)3y mx m x =+--．（1）求证：无论m取何实数，此函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m＞0时，如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数，求正整数m的值．四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C 与点A重合，点D的落点记为点D′，折痕为EF，连接CF．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=62，求线段D′F的长．24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局1月的相关数据制作的统计图.根据以上信息解决下列问题：（1）以下说法中，正确的是（请填写所有正确说法的序号）①从2011年至2014年，全市常住人口数在逐年下降；②2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值；③2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人；④从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.（2）补全“2014年末北京市常住人口分布图”，并回答：2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到底，北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内（即不超过2180万）.为实现这一目标，的全市常住人口的年增长率应不超过．（精确到0.1%）25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且OA PG的长．26．（1）小明遇到下面一道题：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，∠ACB=30º，BE ⊥AC 于点E ，且=CDE ACB ∠∠．如果AB=1，求CD 边的长．小明在解题过程中发现，图1中，△CDE 与△ 相似，CD 的长度等于 ，线段CD 与线段 的长度相等；他进一步思考：如果ACB α∠=（α是锐角），其他条件不变，那么CD 的长度可以表示为CD= ；（用含α的式子表示）（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：在Rt △OMN 中，∠MON=90º，OM ＜ON ，OQ ⊥MN 于点Q ，直线l 经过点M ，且l ∥ON ．请在直线l 上找出点P 的位置，使得NPQ ONM ∠=∠．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH ⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．29．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的τ型线，点P 为图形G 的τ型点， △PMN 为图形G 关于点P 的τ型三角形．（1）如图1，已知点(0,A ，(3,0)B ，以原点O 为圆心的⊙O 的半径为1．在A ，B 两点中，⊙O 的τ型点是____，画出并回答⊙O 关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可） （2）如图2，已知点(0,2)E ，点(,0)F m （其中m ＞0）．若线段EF 为原点O 的τ型线，且线段EF 关于原点O 的τ型三角形的面积为9，求m 的值； （3）若(0,2)H -是抛物线2y x n =+的τ型点，直接写出n 的取值范围．数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B A C A C A11 12 13 14 15 163-8 3221y x x=-+（答案不唯一）不同意x的取值范围是10x-<<或1x>（或其他正确结论）23y x=1415y x=17.证明：如图1.∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB＝∠ABC=60°．………………………………………………1分∵ D ，E 两点分别在AB ，BC 的延长线上，∴ ∠ACE ＝∠CBD=120°． …………………2分 在△ACE 和△CBD 中，,,AC CB ACE CBD CE BD =⎧⎪∠∠⎩=⎪⎨，＝ ……………………… 3分∴ △ACE ≌△CBD ．……………………… 4分∴ ∠E ＝∠D ．…………………………………………………………………… 5分18．解： 1012cos 30()13(3)3π-++---o323311=⨯++-- ………………………………………………………………4分 231=+. ………………………………………………………………………… 5分 19．解： (2)(2)(21)(2)x x x x +----=224(252)x x x ---+………………………………………………………………2分 =224252x x x --+-=256x x -+-．………………………………………………………………………3分 ∵ 2540x x --=，∴ 254x x -=．…………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式=2(5)64610x x ---=--=-．……………………………………………5分 20．解：去分母，得 3(3)2x x --=．…………………………………………………… 1分 去括号，得 332x x -+=． ………………………………………………………2分 整理，得 21x =-．……………………………………………………………… 3分图1解得 12x =-． …………………………………………………………………… 4分经检验，12x =-是原方程的解． …………………………………………………5分所以原方程的解是12x =-．21．解：设牙膏每盒x 元，牙刷每支y 元．…………………………………………………1分由题意，得 713121,1415187.x y x y +=+=⎧⎨⎩…………………………………………………… 2分解得 85.x y ==⎧⎨⎩，……………………………………………………………………… 3分(124125)88-⨯=（盒）． ………………………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分 22．解：（1）当m=0 时，该函数为一次函数33y x =--，它的图象与x 轴有公共点.……………………… 1分当m ≠0 时，二次函数2(3)3y mx m x =+--．2(3)4(3)m m ∆=--⨯-26912m m m =-++2269(3)m m m =++=+． ∵ 无论m 取何实数，总有2(3)m +≥0，即∆≥0， ∴ 方程2(3)30mx m x +--=有两个实数根．∴ 此时函数2(3)3y mx m x =+--的图象与x 轴有公共点．……………2分 综上所述，无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有公共点． （2）∵m ＞0，∴ 该函数为二次函数，它的图象与x 轴的公共点的横坐标为(3)(3)2m m x m--±+=．∴ 11x =-，23x m=．……………………………… 3分 ∵ 此抛物线与x 轴公共点的横坐标为整数，∴正整数m=1或3．………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：如图2．∵点C 与点A 重合，折痕为EF ，∴12∠=∠，AE=EC ．∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD ∥BC ． ∴ 32∠=∠．∴ 13∠=∠．∴ AE=AF ．……………………………………1分 ∴ AF=EC ． 又∵ AF ∥EC ，∴ 四边形AFCE 是平行四边形．…………… 2分 又AE=AF ，∴ 四边形AFCE 为菱形．………………………… 3分（2）解：如图3，作AG ⊥BE 于点G ，则∠AGB=∠AGE=90°． ∵ 点D 的落点为点D ′ ，折痕为EF ，图2∴D F DF '=.∵ 四边形ABCD 为平行四边形， ∴ AD=BC ．又∵AF=EC ，∴AD AF BC EC -=-，即DF BE =．∵在Rt △AGB 中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=62，∴ AG=GB=6.∵ 四边形AFCE 为平行四边形， ∴ AE ∥FC. ∴ ∠4=∠5=60°.∵ 在Rt △AGE 中，∠AGE=90°，∠4=60°， ∴ 23tan 60AGGE ==︒∴ 623BE BG GE =+=+ ∴ 623D F '=+.…………………5分 24.解：（1）③④.………………………………… 2分（2）补全统计图见图4. ………………… 3分 1055万人. ………………………… 4分 （3）1.3%.………………………………… 5分图325. 解：（1）补全图形如图5所示.…………………… 1分 答：PG 与⊙O 相切. 证明：如图6，连接OG .∵ PF=PG ， ∴ ∠1=∠2.又∵OG=OA ， ∴ ∠3=∠A. ∵ CD ⊥AB 于点E ， ∴ ∠A+∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE ，∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG ⊥PG.∵ OG 为⊙O 的半径，∴ PG 与⊙O 相切. …………………… 3分（2）解：如图7，连接CG.∵ CD ⊥AB 于点E ，∴ ∠OEC=90°. ∵ DG ∥AB ，∴∠GDC=∠OEC =90°. ∵∠GDC 是⊙O 的圆周角， ∴ CG 为⊙O 的直径. ∵ E 为半径OA 的中点， ∴ 22OA OCOE ==. ∴ ∠OCE=30°即∠GCP =30°.又∵∠CGP=90°，243CG OA ==，∴3tan 434PG CG GCP =⋅∠==. …………………………… 5分 26.解：（1）CAD ，3，BC. ……………………………… 3分1tan α.……………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N 为圆心，ON 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点 1P ，2P 为符合题意的点.………………………… 5分方法2：如图9，过点N 画NO 的垂线1m ，画NQ 的垂直平分线2m ，直线1m 与2m 交于点R ，以点R 为圆心，RN 为半径作圆，交直线l 于点1P ，2P ，则点1P ，2P 为符合题意的点.……………… 5分图6图7五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，∴ 20,4 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1,21.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩…………………………… 1分∴ 1211-=x y ．…………… 2分 ∵ 22224)(42a a x ax x y -+-=+-=，∴ 二次函数图象的顶点坐标为2(,4)a a -．………… 3分（2）①当25=a 时，4522+-=x x y ．………… 4分 如图10，因为10y >且2y ≤0，由图象得2＜x ≤4．…… 6分②136≤a ＜52．……………………………7分图8 图928．解：（1）CH=AB ． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE ． 在正方形ABCD 中，AB=BC=CD=AD ，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF ， ∴ AF=CE ．在△ABF 和△CBE 中，,,,AB CB A BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△CBE ．∴ ∠1=∠2．…………………………………………3分 ∵ EH ⊥BF ，∠BCE=90°，∴ H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上．∴ ∠3=∠2．∴ ∠3=∠1．∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴ ∠4=∠HBC ．∴ CH=CB ．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB ．………………………………………………………………… 6分（3）323+．………………………………………………………………………7分29．解：（1）点A ．………………………………………1分画图见图12．（画出一个即可）………… 2分△AMN （或△AJK ）. …………………… 3分（2）如图13，作OL ⊥EF 于点L.∵ 线段EF 为点O 的τ型线，∴ OL 即为线段EF 关于点O 的τ型三角形的高.∵线段EF 关于点O 的τ43 ∴233OL =. ……………………………… 4分 ∵ 2OE =，OF m =， ∴222223262()33EL OE OL =-=-=. ∴ 6cos 1EL OE ∠==图12 图13∴ cos 2cos 1OL OL OF ===∠∠∴m ……………………6分（3）n ≤54-.………………………8分。
2020-2021学年北京市中考数学第二次模拟试题及答案解析
最新北京市石景山区中考数学二模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．1．4的相反数是（）A．﹣4B．4C．D．2．将800000用科学记数法表示为（）A．0.8×107B．8×105C．0.8×106D．80×1043．有四张背面完全相同且不透明的卡片，每张卡片的正面分别写有数字﹣2，，0，，将它们背面朝上，洗均匀后放置在桌面上，若随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无理数的概率是（）A．B．C．D．14．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“友”相对的面上的汉字是（）A．爱B．国C．善D．诚5．如图，AB∥CD，AC的垂直平分线交CD于点F，交AC于点E，连接AF，若∠BAF=80°，则∠C 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=2，点D在AC上，以CD为直径作⊙O与BA相切于点E，则BE的长为（）A．B．C．2D．37．在某校科技节“知识竞赛”中共进行四次比赛，甲、乙两个参赛同学，四次比赛成绩情况下表所示：次数第一次第二次第三次第四次甲9.7 10 10 8.4乙9.2 10 9.7 9.2设两同学得分的平均数依次为，，得分的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是（）A．=，S甲2＞S乙2B．=，C．＞，D．＜，8．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°D．50°或80°9．如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为（）A．2πB．3πC．4πD．6π10．在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0，2），点D的坐标是（，2），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发沿BA以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点A 后停止，同时点N从B点出发沿折线BC→CD以每秒2个单位的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设M、N两点的运动时间为x，△BMN的面积是y，下列图象中能表示y与x 的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．因式分解2x2﹣8xy+8y2= ．12．分式的值为零的条件是．13．如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：，可使它成为正方形．14．如图所示，已知函数y=x+b和y=ax﹣1的图象交点为M，则不等式x+b＜ax﹣1的解集为．15．综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.1米．若小宇的身高是1.7米，则假山AC的高度为．16．在平面直角坐标系xOy中，我们把横，纵坐标都是整数的点叫做整点．已知在函数y=﹣x+50（0＜x ＜50）上有一点P（m，n）（m，n均为整数），过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，当m=2时，矩形PAOB内部（不包括边界）有47个整点，当m=3时，矩形PAOB内部有92个整点，当m=4时，矩形PAOB内部有个整点，当m= 时，矩形PAOB内部的整点最多．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，且CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，AD=EB．求证：AC=CB．18．计算：﹣4cos60°．19．用配方法解方程：x2+4x﹣1=0．20．若，求代数式的值．21．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点；一次函数y=kx+b（k≠0）图象与反比例函数y=的图象交于A（a，2a﹣1）、B（3a，a）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）求△ABO的面积．22．列方程或方程组解应用题：小明到学校的小卖部为班级运动会购买奖品，若购买4根荧光笔和8个笔记本需要100元，若购买8根荧光笔和4个笔记本需要80元，请问荧光笔和笔记本的单价各是多少元？四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB、BC的中点，E、F是边AC上的三等分点，连接ME、NF 且延长后交于点D，连接BE、BF（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB=3，∠A=45°，∠C=30°，求：四边形BFDE的面积．24．2014年，移动电商发展迅速．以下是某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分．请根据以上信息解答下列问题：（1）2014年10月“移动电商行业用户规模”是亿台；（结果精确到0.1亿台）并补全条形统计图；（2）2014年9﹣12这三个月“移动电商行业用户规模”比上个月增长的平均数为亿台，若按此平均数增长，请你估计2015年1月“移动电商行业用户规模”为亿台．（结果精确到0.1亿台）（3）2014年某电商在双11共售出手机12000台，则C品牌手机售出的台数是．25．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH=5．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求EF的长．26．阅读下面材料：小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，，AD⊥BC 于点D，求AD的长．小玲发现：分别以AB，AC为对称轴，分别作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，得到正方形AEGF，根据勾股定理和正方形的性质就能求出AD的长．（如图2）请回答：BG的长为，AD的长为；参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），B（0，4），点P是△OAB的外角的角平分线AP 和BP的交点，求点P的坐标．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象经过坐标原点，得到抛物线C1．将抛物线C1向下平移后经过点A（0，﹣2）进而得到新的抛物线C2，直线l经过点A和点B（2，0），求直线l和抛物线C2的解析式；（3）在直线l下方的抛物线C2上有一点C，求点C到直线l的距离的最大值．28．如图1，点O为正方形ABCD的中心．（1）将线段OE绕点O逆时针方向旋转90°，点E的对应点为点F，连结EF，AE，BF，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明AE与BF的关系；（3）如图2，点G是OA中点，△EGF是等腰直角三角形，H是EF的中点，∠EGF=90°，AB=2，GE=2，△EGF绕G点逆时针方向旋转α角度，请直接写出旋转过程中BH的最大值．29．对于平面直角坐标系xOy中的点P（m，n），定义一种变换：作点P（m，n）关于y轴对称的点P′，再将P′向左平移k（k＞0）个单位得到点P k′，P k′叫做对点P（m，n）的k阶“ℜ”变换．（1）求P（3，2）的3阶“ℜ”变换后P3′的坐标；（2）若直线y=3x﹣3与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A的2阶“ℜ”变换后得到点C，求过A，B，C三点的抛物线M的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线M的对称轴与x轴交于D，若在抛物线M对称轴上存在一点E，使得以E，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，求点E的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．1．4的相反数是（）A．﹣4B．4C．D．【考点】相反数．【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得4的相反数是：﹣4．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．2．将800000用科学记数法表示为（）A．0.8×107B．8×105C．0.8×106D．80×104【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将800000用科学记数法表示为8×105．故选B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．有四张背面完全相同且不透明的卡片，每张卡片的正面分别写有数字﹣2，，0，，将它们背面朝上，洗均匀后放置在桌面上，若随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无理数的概率是（）A．B．C．D．1【考点】概率公式；无理数．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：根据题意可知，共有4张卡片，﹣2，0为有理数，，为无理数，故随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无理数的概率是=．故选B．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．4．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“友”相对的面上的汉字是（）A．爱B．国C．善D．诚【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“友”字相对的字是“善”．故选：C．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．5．如图，AB∥CD，AC的垂直平分线交CD于点F，交AC于点E，连接AF，若∠BAF=80°，则∠C 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°【考点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAF，再由AB∥CD，∠BAF=80°即可得出结论．【解答】解：∵EF是线段AC的垂直平分线，∴∠C=∠CAF．∵AB∥CD，∠BAF=80°，∴∠C+∠CAF+∠BAF=180°，即2∠C+80°=180°，解得∠C=50°．故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC=2，点D在AC上，以CD为直径作⊙O与BA相切于点E，则BE的长为（）A．B．C．2D．3【考点】切线的性质．【分析】由∠C=90°，∠B=60°，AC=2，得到BC===2，由于CD为⊙O直径，得到BC是⊙O的切线，根据切线长定理即可得到结论．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，AC=2，∴BC===2，∵CD为⊙O直径，∴BC是⊙O的切线，∴BE=BC=2，故选C．【点评】本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，熟记定理是解题的关键．7．在某校科技节“知识竞赛”中共进行四次比赛，甲、乙两个参赛同学，四次比赛成绩情况下表所示：次数第一次第二次第三次第四次甲9.7 10 10 8.4乙9.2 10 9.7 9.2设两同学得分的平均数依次为，，得分的方差依次为，，则下列关系中完全正确的是（）A．=，S甲2＞S乙2B．=，C．＞，D．＜，【考点】方差；算术平均数．【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即可得出答案．【解答】解：∵=（9.7+10+10+8.4）=9.525，=（9.2+10+9.7+9.2）=9.525，∴=，∵=[（9.7﹣9.525）2+（10﹣9.525）2+（10﹣9.525）2+（8.4﹣9.525）2]≈0.44，=[（9.2﹣9.525）2+（10﹣9.525）2+（9.7﹣9.525）2+（9.2﹣9.525）2]≈0.12，∴＞；故选A．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．8．等腰三角形一个角的度数为50°，则顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°D．50°或80°【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．【解答】解：（1）当50°角为顶角，顶角度数为50°；（2）当50°为底角时，顶角=180°﹣2×50°=80°．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．9．如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为（）A．2πB．3πC．4πD．6π【考点】三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算．【分析】阴影部分的面积等于圆心角是120°的扇形的面积，代入数值求出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，大⊙O是△ABC的外切圆，∴AO=OB=OC，∵小⊙O是△ABC的内切圆，∴OM=ON=OP，∴∠AOC=120°，∠AON=∠BON=∠AOP=∠CON=60°，BN=CM=AP=CP，∴S阴影=S扇形AOC==3π．故选B．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，扇形的面积计算，三角形的外切圆和外心，把各个阴影部分拼成一个扇形是解题的关键．10．在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0，2），点D的坐标是（，2），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发沿BA以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点A 后停止，同时点N从B点出发沿折线BC→CD以每秒2个单位的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动．设M、N两点的运动时间为x，△BMN的面积是y，下列图象中能表示y与x 的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】认真审题，根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积，即可得出本题的答案．【解答】解：当0＜x≤2时，如图1：连接BD，AC，交于点O，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，∴∠CPB=90°，∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0，2），点D的坐标是（，2），∴BO=2，CO=2，∴BC=AB==4，∵AC=4，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴CP=BC•sin60°=4×=2，BP=2，BN=2x，BM=x，，，∴，又∵∠NBM=∠CBP，∴△NBM∽△CBP，∴∠NMB=∠CPB=90°，∴y=•x•x=x2，当2＜x≤4时，如图2：作NE⊥AB，垂足为E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴NE=CP=2，BM=x，∴y==，∴y=．故选D．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象问题，根据几何知识求出函数解析式是解题的关键，要注意认真总结．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．因式分解2x2﹣8xy+8y2= 2（x﹣2y）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2x2﹣8xy+8y2=2（x2﹣4xy+4y2）=2（x﹣2y）2．故答案为：2（x﹣2y）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键．12．分式的值为零的条件是﹣1 ．【考点】分式的值为零的条件．【分析】根据分式的值为零的条件列出方程组，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得：x=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分式的值为0，解答此题的关键是熟知分式的值为零应同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．13．如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：AB=AD ，可使它成为正方形．【考点】正方形的判定．【分析】由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：AB=AD．【点评】此题考查了正方形的判定，解答时结合条件和结论确定合适的添加条件是关键，注意本题答案不唯一．14．如图所示，已知函数y=x+b和y=ax﹣1的图象交点为M，则不等式x+b＜ax﹣1的解集为x＜﹣1 ．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】所求不等式成立时，一次函数y=x+b图象对应的点都在一次函数y=ax﹣1图象的下方，根据两个函数的图象可求出所求不等式的解集．【解答】解：∵函数y=x+b和y=ax﹣1的图象相交于点M，M点横坐标为﹣1，∴不等式x+b＜ax﹣1的解集为：x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．15．综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.1米．若小宇的身高是1.7米，则假山AC的高度为17米．【考点】相似三角形的应用．【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，利用相似比可求出假山AC的高度．【解答】解：∵DE⊥EC，AC⊥EC，∴∠DEB=∠ACB=90°，∵∠DBE=∠ABC∴△DEB∽△ACB，∴DE：AC=BE：BC，又∵DE=1.7米，BE=2.1米，BC=21米，∴1.7：AC=2.1：21，∴AC=17米，故答案为：17米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是要找准对应线段，要和物理知识相联系，知道入射光线和反射光线与镜面的夹角相等．16．在平面直角坐标系xOy中，我们把横，纵坐标都是整数的点叫做整点．已知在函数y=﹣x+50（0＜x ＜50）上有一点P（m，n）（m，n均为整数），过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，当m=2时，矩形PAOB内部（不包括边界）有47个整点，当m=3时，矩形PAOB内部有92个整点，当m=4时，矩形PAOB内部有135 个整点，当m= 25 时，矩形PAOB内部的整点最多．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】规律型．【分析】根据函数的关系式求得矩形的长和宽，进而即可求得整点的个数，从中找出规律，得到内部（不包括边界）的整点的个数关于m的函数关系式，从而求得当m=25时，矩形PAOB内部的整点最多．【解答】解：∵y=﹣x+50（0＜x＜50），∴m=2时，n=48，则矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数为：（48﹣1）×1=47，m=3时，n=47，则矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数为：（47﹣1）×2=92，m=4时，n=46，则矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数为：（46﹣1）×3=135，∴点P（m，n）时，矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数为：（n﹣1）×（m﹣1），即（﹣m+50﹣1）（m﹣1）=﹣（m﹣25）2+576，∴当m=25时，矩形PAOB内部的整点最多．故答案为：135、25．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是找出点B的横坐标与矩形PAOB内部（不包括边界）的整点的个数之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．已知：如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，且CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，AD=EB．求证：AC=CB．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先由角平分线的性质得出CD=CE，再由SAS证明△ADC≌△BEC，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，且CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴CD=CE，∠ADC=∠BEC=90°，在△ACD和△BCE中，，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AC=CB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．18．计算：﹣4cos60°．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣2+9﹣4×=7．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．用配方法解方程：x2+4x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．若，求代数式的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据=得出3a=2b，再代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=．∵=，∴3a=2b，∴原式===12．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．21．在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点；一次函数y=kx+b（k≠0）图象与反比例函数y=的图象交于A（a，2a﹣1）、B（3a，a）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）求△ABO的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据反比例函数系数k=xy得出a（2a﹣1）=3a•a，解得a=﹣1，求得A、B的坐标，即可确定出反比例函数解析式；将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）设y=﹣x﹣4与x轴交点为C，对于一次函数解析式，令x=0求出y的值，确定出C坐标，得到OC 的长，然后根据S△ABO=S△AOC﹣S△BOC即可求得．【解答】解：（1）∵A（a，2a﹣1）、B（3a，a）在反比例函数图象G上，∴a（2a﹣1）=3a•a，∵m≠0，∴a=﹣1，∴m=3，∴A（﹣1，﹣3）、B（﹣3，﹣1）∴所求反比例函数解析式为：；将A（﹣1，﹣3）、B（﹣3，﹣1）代入y=kx+b（k≠0），∴所求直线解析式为：y=﹣x﹣4；（2）设y=﹣x﹣4与x轴交点为C令y=0，∴C（﹣4，0）∴S△ABO=S△AOC﹣S△BOC===4．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．列方程或方程组解应用题：小明到学校的小卖部为班级运动会购买奖品，若购买4根荧光笔和8个笔记本需要100元，若购买8根荧光笔和4个笔记本需要80元，请问荧光笔和笔记本的单价各是多少元？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设荧光笔和笔记本的单价分别是x元，y元，根据购买4根荧光笔和8个笔记本需要100元，购买8根荧光笔和4个笔记本需要80元列出两个二元一次方程组，求出x和y的值．【解答】解：设荧光笔和笔记本的单价分别是x元，y元，根据题意，得，解得：，答：荧光笔和笔记本的单价分别是5元，10元．【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，此题难度不大．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB、BC的中点，E、F是边AC上的三等分点，连接ME、NF 且延长后交于点D，连接BE、BF（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB=3，∠A=45°，∠C=30°，求：四边形BFDE的面积．【考点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）由E、F是边AC上的三等分点，CF=EF=AE，可得N是BC中点，即可得FN是△CEB的中位线，根据三角形中位线的性质，可得FN∥BE，同理可证：ED∥BF，即可判定四边形BFDE是平行四边形；（2）首先过点B作BH⊥AC于点H，由AB=3，∠A=45°，可求得BH与AH的长，又由∠C=30°，即可求得CH的长，则可求得△ABC的面积，又由E、F是边AC上的三等分点，即可求得答案．【解答】（1）证明：∵E、F是AC边上的三等分点，∴CF=EF=AE，∵N是BC中点，∴FN是△CEB的中位线，∴FN∥BE，即DF∥BE，同理可证：ED∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形；（2）解：过点B作BH⊥AC于点H，∵∠A=45°，AB=，∴BH=AH=3，∵∠C=30°，∴CH=∴，∵E、F是AC边上的三等分点，∴，∴．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．24．2014年，移动电商发展迅速．以下是某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分．请根据以上信息解答下列问题：（1）2014年10月“移动电商行业用户规模”是8.0 亿台；（结果精确到0.1亿台）并补全条形统计图；（2）2014年9﹣12这三个月“移动电商行业用户规模”比上个月增长的平均数为0.9 亿台，若按此平均数增长，请你估计2015年1月“移动电商行业用户规模”为10.5 亿台．（结果精确到0.1亿台）（3）2014年某电商在双11共售出手机12000台，则C品牌手机售出的台数是1440亿台．【考点】折线统计图；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）根据：10月“移动电商行业用户规模=9月的数量×10月份的增长率计算即可．（2）根据：2014年9﹣12这三个月“移动电商行业用户规模”比上个月增长的平均数=计算即可．（3）根据：C品牌手机售出的台数=总数×C品牌手机占有的百分比计算即可．【解答】解：（1）7.0×（1+14.7%）≈8.0亿台．故答案为8.0．条形统计图如图所示，（2）2014年9﹣12这三个月“移动电商行业用户规模”比上个月增长的平均数为=≈0.9亿台9.6+0.9=10.5亿台，故答案为0.9，10.5．（3）12000×（1﹣0.4﹣0.32﹣0.16）=1440亿台．故答案为1440亿台．【点评】本题考查折线统计图、扇形统计图、条形统计图，理解图中信息是解题的关键，掌握平均数、百分率的概念，属于中考常考题型．25．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH=5．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求EF的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连结AC，先求得AC是直径，从而求得∠D=∠ACB，根据已知得出AB=6，然后根据勾股定理求得AC，根据勾股定理逆定理证得∠CAH=90°即CA⊥AH，即可证得结论；（2）由点D是弧CE的中点，得出∠EAD=∠DAC，进而求得∠EAH=∠HCA，然后求得∠AFH=∠HAF，根据等角对等边得出，最后根据射影定理得出AH2=EH•CH，即可求得EH的值，进而求得EF的值．【解答】（1）证明：连结AC，∵AB⊥BC于点B，∴AC是⊙O的直径，∵∠D=∠ACB，∴tanD=tan∠ACB=3，在Rt△ABC中，BC=2，∴AB=3BC=6，由勾股定理，在△CAH中，由勾股定理逆定理：AC2+AH2=50=CH2，∴∠CAH=90°即CA⊥AH，∴AH是⊙O的切线．（2）解：∵点D是弧CE的中点，∴∠EAD=∠DAC，∵AC是⊙O的直径，∴AE⊥CH，∴∠H+∠EAH=∠H+∠HCA=90°，∴∠EAH=∠HCA，∴∠EAD+∠EAH=∠DAC+∠HCA，即∠AFH=∠HAF，∴，∵CA⊥AH，AE⊥CH，∴AH2=EH•CH可得，∴．【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理逆定理的应用，直角三角函数的应用，圆周角定理，射影定理等，作出辅助线，证得AC是圆的直径是解题的关键．26．阅读下面材料：小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，，AD⊥BC 于点D，求AD的长．小玲发现：分别以AB，AC为对称轴，分别作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，得到正方形AEGF，根据勾股定理和正方形的性质就能求出AD的长．（如图2）请回答：BG的长为 2 ，AD的长为2+；参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），B（0，4），点P是△OAB的外角的角平分线AP 和BP的交点，求点P的坐标．【考点】四边形综合题．【分析】根据等腰三角形的性质得出BD=DC=，求出∠ADC=∠ADB=90°，根据折叠得出AD=AE=AF，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，∠EAB=∠DAB，∠FAC=∠DAC，求出四边形AEGF是正方形，根据正方形的性质得出AE=AF=FG=EG，∠G=90°，设AE=AF=FG=EG=x，则BG=CG=x﹣，在Rt △BGC中，由勾股定理得出（2）2=（x﹣）2+（x﹣）2，求出方程的解即可；过点P分别作PC ⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PE⊥AB于点E，求出四边形OCPD是正方形，推出AC=AE，BD=BE，OC=CP，求出OC+OD=OA+AB+BO=12即可．【解答】解：BG的长为2，AD的长为，理由是：如图2，∵AB=AC，AD⊥BC，BC=2，∴BD=DC=，∵AD⊥BC，。
2020-2021学年北京市朝阳区中考二模数学试题及答案解析
北京市朝阳区九年级综合练习（二）数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．2014北京车展约850 000的客流量再度刷新历史纪录，将850 000用科学记数法表示应为A ．85×106B ．8.5×106C ．85×104D ．8.5×1052．23-的倒数是（ ）A ．32-B ．23-C ．32 D ．233．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为A ．6B ．7C ．8D ．9 4．数据1，3，3，1，7，3 的平均数和方差分别为 A ．2和4B ．2和16C ．3和4D ．3和245．若关于x 的一元二次方程mx 2+3x+m 2-2m=0有一个根为0，则m 的值等于A ．1B ．2C ．0或2D ．06．如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连结AC 、BC ，在AC 上取点E ，使AE=3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF=6 m ，则AB 的长为 A ．30 m B ．24m C ．18m D ．12m7．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1,2,3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为P 1，摸出的球上的数字小于4的概率记为P 2；摸出的球上的数字为5的概率记为P 3．则P 1、P 2、P 3的大小关系是A ．P 1＜P 2＜P 3B ．P 3＜P 2＜P 1C ．P 2＜P 1 ＜P 3D ．P 3＜P 1＜P 28．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ABC=90°，AB=5，BC=13，过点A 作直线l ∥BC ，折叠三角形纸片ABC ，使点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随着移动，并限定M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，若设AP 的长为x ，MN 的长为y ，则下列选项，能表示y 与x 之间的函数关系的大致图象是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式41-+x x 值为0，则x 的值为________． 10．请写出一个多边形，使它满足“绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形与原来的图形重合”这一条件，这个多边形可以是 ．M BA B C D11．如图，菱形ABCD 的周长为16，∠C=120°，E 、F 分别为AB 、AD 的中点．则EF 的长为 ． 12．把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．如果将一张标准纸ABCD 进行如下操作：即将纸片对折并沿折痕剪开，则每一次所得到的两个矩形纸片都是标准纸（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．若宽AB=1，则第2次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________；第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________；第30次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．已知：如图，点E 、F 在AC 上，且AE=CF ，AD ∥BC ，AD=CB ．求证： DF=BE ．14．计算：︒+-+--30tan 220145310．第一次第二次第三次…15．解分式方程：xx x -=+--23123 ．16．已知50x y -=，求222232x y x yx xy y x y-+⋅-++的值．17．列方程或方程组解应用题：母亲节来临之际，小红去花店为自己的母亲选购鲜花，在花店中同一种鲜花每支的价格相同．小红如果选择由三支康乃馨和两支百合组成的一束花，则需要花34元；如果选择由两支康乃馨和三支百合组成的一束花，则需要花36元．一支康乃馨和一支百合花的价格分别是多少？18．已知关于x 的一元二次方程3x 2-6x+1-k=0 有实数根，k 为负整数． （1）求k 的值；（2）若此方程有两个整数根，求此方程的根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，AB=34，∠DAB=90°，∠B=60°，AC ⊥BC ．（1）求AC的长．（2）若AD=2，求CD的长．20．某校对部分初三学生的体育训练成绩进行了随机抽测，并绘制了如下的统计图：女生篮球障碍运球成绩折线统计图男生引体向上成绩条形统计图根据以上统计图解答下列问题：（1）所抽测的女生篮球障碍运球成绩的众数是多少？极差是多少？（2）该校所在城市规定“初中毕业升学体育现场考试”中，男生做引体向上满13次，可以获得满分10分；满12次，可以获9.5分；满11次，可以获得9分；满10次，可以获得8.5分；满9次，可以获得8分．①所抽测的男生引体向上得．分．的平均数是多少？②如果该校今年有120名男生在初中毕业升学体育现场考试中报名做引体向上，请你根据本次抽测的数据估计在报名的这些学生中得分不少于9分的学生有多少人？21．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若2cosC ，AC=6，求BF的长．322．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P是斜坐标系xOy中的任意一点，过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，如果M、N在x轴、y轴上分别对应的实数是a、b，这时点P的坐标为（a，b）．（1）如图2，在斜坐标系xOy中，画出点A(-2，3)；（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（5，0）、C（0，4），且P（x，y）是线段CB上的任意一点，则y 与 x 之间的等量关系式为 ；（3）若（2）中的点P 在线段CB 的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，点P(m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别交抛物线y=-x 2+2x 和y=-x 2+3x 于点M ，N ． （1）当21=m 时， _____MN PM =；（2）如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．(图1)24. 已知∠ABC=90°，D 是直线AB 上的点，AD=BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF=BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明；（2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD=45°，求证BD=CE ．图2图125．如图，在平面直角坐标系中xOy，二次函数y=ax2-2ax+3的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，AB=4，动点P从B点出发，沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线BC，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（t ＞0），△BPQ与△ABC 重叠部分的面积为S．（1）求这个二次函数的关系式；（2）求S与t的函数关系式；（3）将△BPQ绕点P逆时针旋转90°，当旋转后的△BPQ与二次函数的图象有公共点时，求t的取值范围（直接写出结果）．北京市朝阳区九年级综合练习（二）数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．－1 10．答案不唯一，如平行四边形11．2312．1+2，222+，14122+（第1、2每个空各1分，第3个空2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 证明：∵ AE=CF，∴ AE+EF=CF+EF．即AF=CE．…………………… 1分∵ AD ∥BC ，∴ ∠A=∠C ．…………………… 2分 又∵AD=BC ，…………………… 3分 ∴ △ADF ≌△CBE ．…………… 4分 ∴ DF=BE ．……………………… 5分14. 解：原式15132=--+? ………………………………………… 4分 =112. …………………………………………………………………… 5分 15. 解：将方程整理，得331022x x x -++=--． 去分母，得 x －3+3+x －2 = 0． ……………………………………………2分解得 x = 1． ……………………………………………3分经检验 x = 1是原分式方程的解． ………………………………………………4 分∴原分式方程的解为x = 1． …………………………………………………………5 分 16. 解：原式=2()()3()x y x y x yx y x y+-+⋅-+ ……………………………………………2 分 =3x yx y+-． …………………………………………………………3 分 ∵ x －5y=0，∴ x=5y ． …………………………………………………………………4分∴ 原式=5325y yy y+=-．…………………………………………………………5分17. 解：设一支康乃馨的价格是x 元，一支百合的价格是y 元． …………………1分根据题意，得3234,2336.x yx yì+=ïí+=ïî……………………………………………3分解得6,8.xyì=ïí=ïî……………………………………………………4分答：一支康乃馨的价格是6元，一支百合的价格是8元．……………………5分18. 解：（1）根据题意，得Δ≥0．………………………………………………………………………1分即26-）（－4×3（1－k）≥0．解得k≥－2 ．………………………………………………………………2分∵k为负整数，∴k =－1，－2．………………………………………………………………3分（2）当k=－1时，不符合题意，舍去；…………………………………………4分当k=－2时，符合题意，此时方程的根为x1=x2=1．……………………5分四、解答题（本题共20分，题每小题5分）19．解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=34，∠B=60°，∴AC=AB·sin60°=6．…………………………2分（2）作DE⊥AC于点E，∵∠DAB=90°，∠BAC =30°，∴∠DAE=60°，∵AD=2，∴DE=3．…………………………3分 AE=1． ∵AC=6，∴CE=5. ……………………………4分 ∴在Rt △DEC 中，22CE DE CD +=．∴72=CD ．………………………5分20.解：（1）14.5， 3.4；………………………………………………………………2分 （2）①818.52949.5610712467⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++=9.4（分）；………………………4分② 120×46710220++=（人） …………….…………………………………5分 估计在报名的学生中有102人得分不少于9分．21. （1）证明:如图①，连接AD ．∵ E 是»BD的中点， ∴»»DEBE =． ∴ ∠DAE=∠EAB ． ∵ ∠C =2∠EAB ， ∴∠C =∠BAD ． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB=∠ADC=90°． ∴ ∠C+∠CAD=90°．图①∴ ∠BAD+∠CAD=90°． 即 BA ⊥AC ．∴ AC 是⊙O 的切线．………………………2分（2）解：如图②，过点F 做FH ⊥AB 于点H ．∵ AD ⊥BD ，∠DAE=∠EAB ，∴ FH=FD ，且FH ∥AC ． 在Rt △ADC 中， ∵ 2cos 3C =，AC=6， ∴ CD=4．…………………………………………………3分 同理，在Rt △BAC 中，可求得BC=9． ∴ BD=5．设 DF=x ，则FH=x ，BF=5－x ． ∵ FH ∥AC ， ∴ ∠BFH=∠C ． ∴ 2cos 3FH BFH BF ∠==． 即253x x =-．………………………………………………4分 解得x=2．∴ BF=3． …………………………………………………5分C图②22. 解： （1）如图……………………………………………………1分（2）445y x =-+；……………………………………………………………………………………………………3分（3）当点P 在线段CB 的延长线上时，（2）中结论仍然成立.理由如下：过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ， 则四边形ONPM 为平行四边形,且PN=x ，PM=－y∴ OM=x ，BM=5－x ． ∵PM ∥OC ，∴ △PMB ∽△COB ．…………4分∴PM BMOC OB=， 即545y x --=. ∴445y x =-+.……………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 解：（1）1；………………………………………………………………………………1分（2）∵ OP=m，MN=(－m2+3m)－(－m2+2m) =m，∴ OP=MN．…………………………………………………………………………2分①当0＜m ＜2时，∵PM=－m2+2m , PN=－m2+3m ．∴若PM= OP=MN，有－m2+2m=m，解得m=0，m=1（舍）．……………3分若PN= OP=MN，有－m2+3m=m，解得m=0（舍），m=2（舍）．……………4分②当2＜m ＜3时，不存在符合条件的m值．……………………………………5分③当m ＞3时，∵PM=m2－2m , PN=m2－3m ．∴若PM= OP=MN，有m2－2m=m，解得m=0（舍），m=3（舍）．……………6分若PN= OP=MN，有m2－3m=m，解得m=0（舍），m=4．…………………7分综上，当m=1或m=4，这四条线段中恰有三条线段相等．24. 解：（1）△CDF是等腰直角三角形．………………1分证明：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC ．∵AD=BC，AF=BD，Array∴△FAD≌△DBC ．∴FD=DC ．…………………………………………2分∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°．……………………………………3分∴△CDF是等腰直角三角形．（2）过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF．…………………………4分∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC ．∴△FAD≌△DBC ．∴FD=DC ，∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°．∴△CDF是等腰直角三角形．………………………………………………………5分∴∠FCD=∠APD=45°．∴FC∥AE．∵∠ABC =90°，AF⊥AB，∴AF∥CE．∴四边形AFCE是平行四边形．…………………………………………………6分∴AF=CE．∴BD=CE．……………………………………………………………………………7分25. 解：（1）由y=ax 2－2ax+3可得抛物线的对称轴为x=1．…………………1分∵AB=4，∴A （－1，0），B （3，0）． ∴a=－1．∴y=－x 2+2x+3． ………………………………………………………2分（2）由题意可知，BP=t ，∵B （3，0），C （0，3）， ∴OB=OC ．∴∠PBQ=45°． ∵PQ ⊥BC ，∴PQ=QB=2． ① 当0＜t ≤4时，S=PBQ S ∆=14t 2．……………………………………………3分 ② 当4＜t ＜6时，设PQ 与AC 交于点D ，作DE ⊥AB 于点E ，则DE=PE ．∵tan ∠DAE=DE OCAE OA==3． ∴DE=PE =3AE=32PA ．∵PA=t －4，∴DE=34)2t -(．∴23612.4PAD S t t =-+△ ………………4分 ∵PBQ PAD S S S =-△△，∴216122S t t =-+-． …………………………………………………5分 ③ 当t ≥6时，S=ABC S ∆=6 ． ……………………………………………6分综上所述，2?2? 1(0441612(4626(6t t S t t t t ⎧⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪≥⎪⎩＜≤）＜＜） ）（3）229≤t ≤4．…………………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分．。
2022北京中考数学二模分类汇编《代数综合》含答案解析
2022年北京中考数学分类汇编——代数综合1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．2022年北京中考数学分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣求解．（2）由抛物线的对称性及m＝0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．（3）分别将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3），解不等式组．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．（2）∵m＝0，y1＝y3，∴（﹣2，y1），（2，y3）关于抛物线对称轴对称，∴抛物线关于y轴对称，即a＝0，∴y＝x2+1，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），∴y2＝1为函数最小值，∴y1＞y2．（3）将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）代入y＝x2﹣2ax+1得y1＝m2﹣4m﹣2am+4a+5，y2＝m2﹣2am+1，y3＝m2﹣4m+2am﹣4a+5，∵y1＞y2＞y3，∴m2﹣4m﹣2am+4a+5＞m2﹣2am+1＞m2﹣4m+2am﹣4a+5，解得m﹣1＜a＜1，∵m＞1，∴0＜a＜1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，根据抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；（3）根据题意得：y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，由于当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，可得﹣＜at＜+，当a＜0时，+＜t＜﹣，可得＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，可得0＜a＜．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，故c的值为﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得：ax2﹣2ax﹣2＝﹣6，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，∵抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＜0，即a（a﹣4）＜0，∵a≠0，∴当a＜0时，a﹣4＞0，即a＞4，此时，无解；当a＞0时，a﹣4＜0，即a＜4，∴0＜a＜4，综上所述，a的取值范围为0＜a＜4；（3）∵点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，∴y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，∴|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，∵当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，∴﹣＜a（2t﹣1）＜，∴﹣＜at＜+，∵a≠0，∴当a＜0时，+＜t＜﹣，∴，解得：＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，∴，解得：0＜a＜；综上所述，a的取值范围是＜a＜0或0＜a＜．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．3．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（3）若抛物线与x轴相交于A，B两点，且AB≤4，求a的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征，即可求出答案；（2）根据抛物线的对称轴为直线x＝3，求出b＝﹣6a，进而得出抛物线解析式，最后将x＝3代入抛物线解析式求出顶点坐标的纵坐标，即可得出结论；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），进而判断出x A＜0，x B＞6，得出AB＝|x B﹣x A|＞6，判断出此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，判断出在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），再由当x＝1时，得出a﹣6a+1≥0，求出a≤，＝﹣9a+1＜0，即可得出答案．再根据y顶点【解答】解：（1）针对于抛物线y＝ax2+bx+1，令x＝0，则y＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，∴b＝﹣6a，∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，当x＝3时，y＝9a﹣18a+1＝﹣9a+1，∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣9a+1）；（3）①当a＜0时，抛物线开口向下，不妨设点A在点B的左侧，由（1）知，抛物线y＝ax2+bx+1与y轴的交点为（0，1），∵抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝3，∴x A＜0，x B＞6，∴AB＝|x B﹣x A|＞6，∵AB≤4，∴此种情况不符合题意，②当a＞0时，抛物线的开口向上，由（2）知，抛物线的解析式为y＝ax2﹣6ax+1，在x轴上关于抛物线的对称轴x＝3对称且距离为4的两点的坐标为（1，0），（5，0），∵AB≤4，∴当x＝1时，y＝ax2﹣6ax+1＝a﹣6a+1≥0，∴a≤，∵抛物线与x轴有两个交点，＝﹣9a+1＜0，∴y顶点∴a＞，∴＜a≤．【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标的求法，掌握二次函数的性质是解本题的关键．4．（2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．【分析】（1）由抛物线的对称轴公式即可得出答案；（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+（a+2）x+2a，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣﹣1，即直线x＝﹣﹣1；（2）y＝x2+（a+2）x+2a，整理得：y＝（x+2）（x+a），当x＝﹣1时，y1＝（﹣1+2）（﹣1+a）＝a﹣1，当x＝a时，y2＝（a+2）（a+a）＝2a2+4a，当x＝1时，y3＝（1+2）（1+a）＝3a+3，∵y1＜y2，∴a﹣1＜2a2+4a，解得：a＞﹣或a＜﹣1，∵y2＜y3，∴2a2+4a＜3a+3，解得：﹣＜a＜1，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1，∴a的取值范围为：﹣＜a＜﹣1或﹣＜a＜1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及对称轴、不等式等知识，熟练掌握图象上点的坐标特征和二次函数的性质是解题的关键．5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式：x＝﹣，即可得到答案；（2）分三种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；（2）①当a＜x2＜x1时，y1＞y2，则a+1＜1﹣2a，即a＜0；②当x1﹣a＞a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜；③当x1﹣a＜a﹣x2时，y1＞y2，则1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞，综上，a＜0或a＞．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定a的范围是本题的难点．6．（2022•石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（1，1）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝﹣1，再将点（1，1）代入y＝﹣x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）求得函数y＝﹣x+2在x＝﹣1时的函数值为3，根据点（﹣1，3）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，∴k＝﹣1，又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（1，1），∴﹣1+b＝1．∴b＝2，∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+2；（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3，把点（﹣1，3）代入y＝mx﹣1，得m＝﹣4，∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝﹣x+2的值，∴﹣4≤m≤﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．7．（2022•密云区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（1，2）．（1）用含a的代数式表示b；（2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），求二次函数的解析式；（3）当a＜0时该函数图象上的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围．【分析】（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2可得答案；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2，即可解决问题；（3）由（1）得，b＝﹣a，则二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，再分当x＜或x＞，分别可得答案．【解答】解：（1）将点（1，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2得，a+b+2＝2，∴b＝﹣a；（2）由（1）得，y＝ax2﹣ax+2，再将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣ax+2得，a+a+2＝0，∴a＝﹣1，∴b＝1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2；（3）由（1）得，b＝﹣a，∴二次函数y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝﹣，∵a＜0，∴当x＜时，y随x的增大而增大，∵x1＝﹣2，y1＞y2，∴x2＜﹣2，当x＞时，y随x的增大而减小，∵P（﹣2，y1）关于直线x＝的对称点坐标为（3，y1），∴x2＞3，综上：x2＜﹣2或x2＞3．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．8．（2022•顺义区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+mx+n．（1）当m＝﹣3时，①求抛物线的对称轴；②若点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，求x2的取值范围；（2）已知点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n＝2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）①先将m＝﹣3代入抛物线的解析式，并利用对称轴公式可得结论；②抛物线开口向上，根据离对称轴距离越远，函数值越大可列不等式解答；（2）根据平移的性质可得Q的坐标，把n＝2代入抛物线的解析式，分三种情况：抛物线过点P，顶点在PQ上，过点Q结合图象可解答．【解答】解：（1）①当m＝﹣3时，y＝x2﹣3x+n，对称轴是：直线x＝﹣＝；②∵抛物线的对称轴是直线x＝，且开口向上，则点与对称轴的距离越大函数值越大，∵点A（1，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＜y1，∴|x2﹣|＜|﹣1|，∴1＜x2＜2；（2）∵点P（﹣1，1），将点P向右平移3个单位长度，得到点Q，∴Q（2，1），∵n＝2，∴y＝x2+mx+2，当抛物线经过点P（﹣1，1）时，1＝1﹣m+2，∴m＝2，当抛物线的顶点在PQ上时，x＝﹣，y＝﹣+2，则y＝1，即﹣+2＝1，解得：m1＝2，m2＝﹣2，当抛物线经过点Q时，4+2m+2＝1，解得：m＝﹣，此时与抛物线有2个交点，则当m＜﹣时，符合题意，综上所述，结合函数图象，得m≥2或m＜﹣或m＝﹣2．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，对称轴公式，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．9．（2022•大兴区二模）关于x的二次函数y1＝x2+mx的图象过点（﹣2，0）．（1）求二次函数y1＝x2+mx的表达式；（2）已知关于x的二次函数y2＝﹣x2+2x，一次函数y3＝kx+b（k≠0），在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．【分析】（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx，即可得出m的值；（2）根据图象y1与y2仅交于（0，0），故图象y3＝kx+b过（0，0），从而得出b的值；②根据y1与y3只有一个交点得x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，根据Δ＝0，可得答案．【解答】解：（1）将点（﹣2，0）代入y1＝x2+mx得，0＝（﹣2）2﹣2m，解得m＝2，∴二次函数的表达式为y1＝x2+2x；（2）①∵y1＝x2+2x和y2＝﹣x2+2x，令y1＝y2，∴x2+2x＝﹣x2+2x，∴x＝0，∴图象y1与y2仅交于（0，0），∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，∴y1﹣y3≥0，y3﹣y2≥0，∴x＝0时，y1＝y2＝y3＝0，∴y3＝kx+b过（0，0），∴b＝0，②由①知，y3＝kx，联立方程组，∴x2+2x＝kx，整理得，x2+（2﹣k）x＝0，∵两图象只有一个交点，∴Δ＝（2﹣k）2＝0，∴k＝2．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，利用数形结合思想确定直线过原点是解题的关键．10．（2022•昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．（1）若抛物线过点（4，﹣1）．①求抛物线的对称轴；②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．【分析】（1）①把（4，﹣1）代入解析式，确定b＝﹣4a，再把b＝﹣4a代入对称轴公式计算即可；②根据对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，判定抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），代入解析式确定a，b的值即可；（2）根据x＝﹣＝t，得到b＝﹣2at，从而解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）分别代入解析式，根据y3＞y1＞y2，列出不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）①若抛物线过点（4，﹣1），∴﹣1＝16a+4b﹣1，∴b＝﹣4a，∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝2；②∵当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，抛物线的对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，∴抛物线必过点（﹣1，0）和（5，0）．∴把（5，0），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1（a＞0）得：，解得，抛物线的表达式为，如图所示：（2）∵x＝﹣＝t，∴b＝﹣2at，∴解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）的坐标分别代入解析式，得：y3＝a﹣2at﹣1，y1＝16a+8at﹣1，y2＝4a+4at﹣1，∵y3＞y1＞y2，∴，解得：，∴t的取值范围是﹣3＜t＜﹣．【点评】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键．11．（2022•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m ≠0）．（1）求此抛物线的对称轴；（2）当m＝1时，求抛物线的表达式；（3）如果将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形M．①直接写直线y＝x+1与图形M公共点的个数；②当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与图形M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式求解即可；（2）把m＝1代入即可；（3）翻折图象，出画图形，直接①②写出结论即可．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝＝；（2）m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（3）画出y＝x2﹣2x﹣3的图象，把x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到图象M，如图，①y＝x+1与图形M公共点的个数是3个；②k＞2，或．当直线y＝k（x+2）﹣1（k≠0）与y＝x2﹣2x﹣3的图象相切时，k（x+2）﹣1＝x2﹣2x ﹣3，∴k1＝2﹣6，k2＝﹣2﹣6，∴k＞2或或k＜﹣2﹣6．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，画出正确的图形，利用数形结合是解题的关键．12．（2022•房山区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上．（1）直接写出这个二次函数的解析式；（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；（3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解；（2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值；（3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，解得m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；（2）∵y＝x2﹣3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，∴n2﹣3n+1＝4﹣n，解得n1＝﹣1，n2＝3，∵n≤x≤1，∴n的值为﹣1；（3）根据平移的性质可知，a＝1，∵当x＜2时，y随x的增大而减小，∴h≥2．∵平移后的图象经过原点O，∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，∴k≤﹣4．【点评】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2．13．（2022•平谷区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是抛物线y＝x2+bx+1上三个点．（1）直接写出抛物线与y轴的交点坐标；（2）当y1＝y3时，求b的值；（3）当y3＞y1＞1＞y2时，求b的取值范围．【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征计算即可；（2）根据抛物线的对称轴是直线x＝﹣计算；（3）根据抛物线的对称性、二次函数图象上点的坐标特征列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：（1）对于y＝x2+bx+1，当x＝0时，y＝1，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）；（2）当y1＝y3时，抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，解得：b＝﹣2；（3）当y3＞y1时，对称轴在x＝1的左侧，即﹣＜1，解得：b＞﹣2，当1＞y2时，1＞1+b+1，解得：b＜﹣1，∴当y3＞y1＞1＞y2时，﹣2＜b＜﹣1．【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，正确理解抛物线的对称性以及二次函数的性质是解题的关键．。
2020年北京市各城区中考二模数学——几何综合题24题汇总.doc
图2图1ED C AEDDC2020年北京市各城区中考二模数学——几何综合题24题汇总1、（2020年门头沟二模）24. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是 （2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧．．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．2、（2020年丰台二模）24.如图1，在ABC △中，90ACB ∠=°，2BC =，∠A=30°，点E ，F 分别是线段BC ，AC 的中点，连结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是________， AFBE =________．（2）如图2，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），连结AF ，BE ，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当CEF △绕点C 顺时针旋转α时（0180α<<o o），延长FC 交AB 于点D ，如果6AD =-α的度数．3、（2020年平谷二模）24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =90°，E 为BC 上一点，且CE =AB ，BE =CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．4、(2020年顺义二模) 24．在△ABC 中， A B = AC ，∠A =30︒，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60︒得到线段 B D ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上． （1）如图 1，直接写出 ∠ABD 和∠CFE 的度数； （2）在图1中证明： A E =CF ； （3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．图2图1BCBDαECBA图3αFECBAFCBA图24-1图24-2图24-3EQPDCB A5、（2020年石景山二模）24．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α得到△ADE ，DE 的延长线与BC 相交于点F ，连接AF ．（1）如图1，若BAC ∠=α=︒60，BF DF 2=，请直接写出AF 与BF 的数量 关系；（2）如图2，若BAC ∠＜α=︒60，BF DF 3=，猜想线段AF 与BF 的数量关 系，并证明你的猜想；（3）如图3，若BAC ∠＜α，mBF DF =（m 为常数），请直接写出BFAF的值 （用含α、m 的式子表示）． 解：6、（2020年海淀二模）24．在ABC △中，90ABC ∠=o ，D 为平面内一动点，AD a =，AC b =，其中a ， b 为常数，且 a b <. 将ABD △沿射线BC 方向平移，得到FCE △，点A 、B 、D 的对应点分别为点F 、C 、E .连接BE .（1）如图1，若D 在ABC △内部，请在图1中画出FCE △；（2）在（1）的条件下，若AD BE ⊥，求BE 的长（用含, a b 的式子表示）；（3）若=BAC α∠，当线段BE 的长度最大时，则BAD ∠的大小为__________；当线段BE的长度最小时，则BAD ∠的大小为_______________（用含α的式子表示）.图1 备用图7、（2020年西城二模）24．在△ABC ，∠BAC 为锐角，AB >AC ， AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．（1）如图1，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系；（2）BC 的垂直平分线交AD 延长线于点E ，交BC 于点F ．①如图2，若∠ABE =60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若AC AB +=，求∠BAC 的度数．8、（2020年通州二模）23．已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称（点A 的对称点是点C ），点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ．（1）如图l ，求证：∠EAF ＝∠ABD ；（2）如图2，当AB ＝AD 时，M 是线段AG 上一点，连接BM 、ED 、MF ，MF 的延长线交ED 于点N ，∠MBF ＝12∠BAF ，AF ＝23AD ，请你判断线段FM 和FN 之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．9、（2020年东城二模） 24．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重合），Q 是CB 延长线上一点，与AB CAB BD DB图2点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D ．（1）当∠BQD =30°时，求AP 的长；（2）当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP 为x ，BD 为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD 的值．10、（2020年朝阳二模）24. 已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，且∠APD =45°，求证BD =CE ．11、（2020年密云二模）24．已知等腰Rt ABC ∆和等腰Rt AED ∆中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如(图1)，当点E 在AB 上且点C 和点D 重合时，若点M 、N 分别是DB 、EC 的中点，则MN 与EC 的位置关系是 ，MN 与EC 的数量关系是（2）探究：若把（1）小题中的△AED 绕点A 旋转一定角度，如(图2)所示，连接BD 和EC,并连接DB 、EC 的中点M 、N,则MN 与EC 的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由;请以逆时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明位置关系成立，12、（2020年延庆二模）13、(2020年房山二模) 24. 边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1)，现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交DF 于点M ，BC 边交DG 于点N . （1）求边DA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时(如图2)，求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3，设MBN ∆的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.14、（2020年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，AE ，BF 相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 . 【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ；【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的数量关系，并证明你的结论.P EC 图2 C B 图1ADBE CM F AD BE CM F MABCDFE图3图2图115、（2020年怀柔二模）24．已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 边上一点，F 是BC 边延长线上一点，且CF=AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是AC 边的中点，猜想BE 与EF 的数量关系为 .（2）如图2，若E 是线段AC 上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE 、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．16、（2020年大兴二模）25. 已知：E 是线段AC 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点D ，使得∠EDB =∠EAB ，联结AD .（1）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB =60°时，如图1，求证：ED =AD +BD ；（2）若直线EF 与线段AB 相交于点P ，当∠EAB = α（0º﹤α﹤90º）时，如图2，请你直接写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）若直线EF 与线段AB 不相交，当∠EAB =90°时，如图3，请你补全图形，写出线段ED 、AD 、BD 之间的数量关系，并证明你的结论.17、（2020年燕山二模）24.如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．图1 图2AB EFA B E F AB C F F GE DC AB B ACDE GF。
15.代几综合：2020年北京市各区初三数学二模试题分类整理(教师版)
202006初三数学二模试题整理：代几综合（新定义）（教师版） 一、以圆（弧）为背景的新定义压轴题1.（2020海淀二模28）在平面内，对于给定的△ABC ，如果存在一个半圆或优弧与△ABC 的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的弧为△ABC 的内切弧．当内切弧的半径为最大时，称该内切弧为△ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系xOy 中，A (8,0)，B (0,6).（1）如图1，在弧G 1，弧G 2，弧G 3中，是△OAB 的内切弧的是 ； （2）如图2，若弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切， 求弧G 的半径的最大值；（3）如图3，动点M (m ,3)，连接OM ，AM .①直接写出△OAM 的完美内切弧半径的最大值；②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ．点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点D ，E ，点F 为线段PE 的中点，直接 写出线段DF 长度的取值范围．图 3备用图（2020海淀二模28）答案 28. 解：（1）弧G 2，弧G 3.（2）∵ 弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切,∴ 弧G 所在圆的圆心在∠OBA 的角平分线BI 上. 易知若弧G 的半径最大，则弧G 所在圆的圆心I 在 △OAB 的边OA 上. 设弧G 与边AB ，OB 相切分别 切于点O ，H. ∴ IH ⊥AB . ∵ A (8,0)，B (0,6),∴ BO ＝6，AO ＝8 ，AB＝10. ∵ ∠IOB ＝∠ IHB ＝90°，OI ＝IH ，BI ＝BI , ∴ △IOB ≌△IHB .∴ BH ＝BO ＝6.∴ AH ＝AB －BH =4，AI ＝AO －OI ＝8－OI ，OI ＝HI . 在Rt △AIH 中, AI 2＝AH 2＋HI 2, 即222(8)4OI OI -=+. 解得OI ＝3.（3）①△OAM 的完美内切弧半径的最大值为125.②线段DF 长度的取值范围是335DF ≤≤且4825DF ≠.2.（2020房山二模28）过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形 的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”.（1）如图，在等腰Rt ABC △中，90A =︒∠，2AB AC ==.①在下图中画出一条Rt ABC △的形内弧；②在Rt ABC △中，其形内弧的长度最长为____________.（2）在平面直角坐标系中，点()2,0D -，()2,0E ，()0,1F ，点M 为DEF △形内 弧所在圆的圆心. 求点M 纵坐标M y 的取值范围；（3）在平面直角坐标系中，点(2,M ，点G 为x 轴上一点. 点P 为OMG △最长 形内弧所在圆的圆心，求点P 纵坐标P y 的取值范围.（2020房山二模28）答案 28.（1）①类似以上作答，只要弧上所有点都出现在三角形内部，均给分. ……2分②当2OB =时，Rt ABC △的形内弧最长，此时弧长=π=.（学生不必画出图象） ………………………………3分ABC（2）当圆心在x 轴下方时，此时最长形内弧与线段DF ，EF 相切∵1DOF DOM △∽△∴21OF OM OD ⋅=∴14OM = ∴4M y ≤- ………………………………4分当圆心在x 轴上方时，此时最长形内弧与x 轴相切∵2EGM HEG △∽△∴22HG HM HE ⋅=∴EH =∴252EM =∴52M y ≥………………………………5分综上所述，4M y ≤-或52M y ≥（3）当4G x ≤-时，此时最长形内弧与x 轴相切∵1GOP GHO △∽△∴1GP =∴1P y ≥当40G x -<<时，此时最长形内弧与线段OM 相切解得2P y ≥当04G x <<时，此时最长形内弧与线段MG 相切解得3P y ≥………………………………6分当4G x ≥时，此时最长形内弧与线段MG 相切解得43P y ≤-………………………………7分综上所述，P y ≥或P y ≤3.（2020丰台一模28）过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆，特别地，半径最小．．的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （0，2）.（1）已知点A （0，1），B （1，1），C （2，2），分别以A ，B 为圆心，1为半径作⊙A ， ⊙B ，以C 为圆心，2为半径作⊙C ，其中是点P 与x 轴的点线圆的是 ； （2）记点P 和x 轴的点线圆为⊙D ，如果⊙D 与直线y 3+无公共点， 求⊙D 的半径的r 取值范围；（3）直接写出点P 和直线y =kx (k ≠0)的最小点线圆的圆心的横坐标t 的取值范围.（2020丰台二模28）答案28.解：（1）⊙A ，⊙C ； ……2分（2）如图1，⊙D 1过点P ，且与x 轴和直线y 3+都相切. 此时⊙D 1的半径r =1.如图2，⊙D 2过点P ，且与x 轴和直线y 3+都相切.切点分别为M ， N ，连接D 2M ，D 2N ，D 2P ，过点D 2作D 2Q ⊥y 轴于点Q .设D2M =r，∴D2P=D2M =r.易证OQ= D2M= r.∴PQ = r2-.∵∠MEN=60°，∴∠D2EM =30°.∴EM.∴OM = D2Q根据勾股定理可以得到：D2P2= D2Q2+ PQ 2,即2r=2-+()22-r.解得r1=1（舍），r2=7 3 .∴1< r <73. ………………………………………………………5分（3）12-≤x<0或0<x≤12. ………………………………………………………7分二、与“点”有关的新定义4.（2020西城一模28）对于平面直角坐标系xOy 中的定点P 和图形F ，给出如下定义：若在图形F 上存在一点N ，使得点Q ，点P 关于直线ON 对称，则称点Q 是点P 关于图形F 的定向对称点. （1）如图，(10)，A ，(11)，B ，(02)，P ，① 点P 关于点B 的定向对称点的坐标是 ；② 在点(02)C -，，(1D -，，(21)E -，中， 是点P 关于线段AB 的定向对称点.（2）直线3l y x b =+：分别与x 轴，y 轴交于点G ，H ，⊙M 是以点(20)，M 为圆心，(0)>r r 为半径的圆.① 当1=r 时，若⊙M 上存在点K ，使得它关于线段GH 的定向对称点在线段GH 上， 求b 的取值范围；② 对于0>b ，当3=r 时，若线段GH 上存在点J ，使得它关于⊙M 的定向对称点 在⊙M 上，直接写出b 的取值范围.（2020西城二模28）答案解：（1） ①()2,0； ② C ，D ．（2） ① 由题意，0b ≠，若0>b ，当直线l 与以点()2,0-为圆心，1为半径的圆相切时，=b当直线l 经过点()1,0-时，=b ．∴3≤b ≤3． 若0<b ，当直线l 经过点()1,0时，=b当直线l 与以点()0,0为圆心，3为半径的圆相切时，=-b ．∴-b ≤-综上，b 的取值范围是-b≤3-或3≤b ≤3．②33b ≤. ·················································································· 7分5.（2020顺义二模28）已知：如图，⊙O 的半径为r ，在射线OM 上任取一点P （不与点O 重合），如果射线OM 上 的点P'，满足OP ·OP'=r 2，则称点P'为点P 关 于⊙O 的反演点．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为2． （1）已知点A (4，0)，求点A 关于⊙O 的反演 点A'的坐标；（2）若点B关于⊙O 的反演点B'恰好为直线y =与直线x =4的交点，求点B 的坐标；（3）若点C 为直线y =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，求点C 的 横坐标m 的范围；（4）若点D 为直线x =4上一动点，直接写出点D 关于⊙O 的反演点D'的横坐标t 的范围．28．解：（1）依题意得：OA =4，∵OA ·OA ’=22=4， ∴ OA ’=1． …………………………………1分 则A ’(1，0) ． …………………………………………………… 2分 （2）∵B ’恰好为直线y =与直线x =4的交点，y =与x 轴夹角为60°，∴ B ’点坐标为(4，． …………………………………………… 3分∴ OB ’=8．∵OB ·OB ’=22=4， ∴OB =12．∴ B (14)． ……………………………………………………… 4分（3）∵点C为直线y =上一动点，且点C 关于⊙O 的反演点C'在⊙O 的内部，∴点C 在⊙O的外部，直线y =与⊙O 的两个交点坐标的横坐标为1±， ∴ m 的取值范围是 m >1或 m <-1． ………………………………… 6分（4）t 的取值范围是： 0<t ≤1. …………………………………………… 7分6.（2020燕山二模28）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：若图形G 上存在两个 点A ，B ，使得△PAB 是边长为2的等边三角形，则称点P 是图形G 的一个“和谐点”． 已知直线l：0)y n n =+≥（与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，⊙O 的半径为r ．(1) 若n ＝0，在点1P (2，0)，2P (0，，3P (4，1)中，直线l 的和谐点是 ； (2) 若r ＝2，⊙O 上恰好存在2个直线l 的和谐点，求n 的取值范围； (3) 若n ＝MN 上存在⊙O 的和谐点，直接写出r 的取值范围．28．解：(1)直线l 的和谐点是 1P ，2P ； ……2分(2) 如图，设A ，B 在直线l 上，点C 在⊙O 上，△ABC 是边长为2的等边三角形， ∵0n ≥，∴当直线l 位于l 1时，⊙O 上只有1个点C 是直线l 的和谐点， 当直线l 位于l 2时，⊙O 上有3个点C ，C 2，C 3都是直线l 的和谐点， ∴满足条件的直线l 应位于直线l 1和l 2之间．设过点C 且与⊙O 相切的直线为l'，直线l 1，l 2，l'分别与x 轴，y 轴交于点M 1，N 1，M 2，N 2，M'，N'．连接OC ，则OC ⊥l'，OC ＝2．取AB 中点D ，连接CD ，则CDO ，C ，D 三点共线，∴OD ＝2．∵直线l：=+y n 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，∴M (－3n ，0)，N (0，n )，∴tan ∠MNO ＝OM ON＝3，∴∠MNO ＝30°．∴在Rt △OCN'和Rt △ODN 1中，ON'＝2OC ＝4， ON 1＝2OD ＝4＋∴N'N 1＝ON 1－ON'＝由对称性得N'N 2＝，即N 2(0，4－，∴n的取值范围是44-<+ ………………………………5分(3) r的取值范围是72r ≤≤． ………………………………7分7.（2020密云二模28）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（x 1，y 1），点B 的坐标为（x 2，y 2），且x 1x 2，y 1=y 2. 给出如下定义：若平面上存在一点P ，使△APB 是以线段AB 为斜边的直角三角形，则称点P 为点A 、点B 的“直角点”. （1）已知点A 的坐标为（1，0）.① 若点B 的坐标为（5，0），在点P 1（4，3）、P 2（3，-2）和P 3（2）中， 是点A 、点B 的“直角点”的是 ；② 点B 在x 轴的正半轴上，且AB = ，当直线y=-x+b 上存在点A 、点B 的“直 角点”时，求b 的取值范围；（2）⊙O 的半径为r，点D （1，4）为点E （0，2）、点F （m ，n ）的“直角点”，若使得 △DEF 与⊙O 有交点，直接写出半径r 的取值范围.（2020密云二模28）答案28．(1)① P 2 P 3 …………2分 ② ∵A （1，0）, AB = ∴线段AB 的中点C ，0）∴点A 、B 的“直角点”在以点C 的长为半径的⊙C 上≠12222∴当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点D ，与两坐标轴相交于点M 、N 时， ∵∠M=45°，CD =∴CM=2 ………3分 ∴OM=OC+CM= 1+2= 3，∴ON=OM= +3即b= 3 ……4分同理：当直线y=-x+b 与⊙C 相切于点E 时， CH=2∴OH=OC - CH= -1即b= -1 综上所述：……………5分（2） ……………7分2123b -≤≤+229r ≤≤22222228.（2020平谷二模28）如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结P A，PB．当∠APB=60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2C上时，点P是⊙C的“”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点()1,3M，点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D(m,0)是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．28.（1）补全图形 (1)120° (1)（2）①)0,0()32,0(或P (4)图1 图2②2m 2≤≤- …..７三、与“距离”有关的新定义9.（2020东城二模28）对于平面直角坐标系xOy 内任意一点P ，过P 点作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，连接MN ，则称MN 的长度为点P 的垂点距离，记为h ．特别地，点P 与原点重合时，垂点距离为0．（1）点A (2，0)，B (4，4)，C (－2，√2)的垂点距离分别为_______，________，________；（2）点P 在以Q (√3，1)为圆心，半径为3的⊙M 上运动，直接写出点P 的垂点距离h 的取值范围；（3）点T 为直线l ：y =√3x +6位于第二象限内的一点，对于点T 的垂点距离h 的每个值有且仅有一个点T 与之对应，求点T 的横坐标t 的取值范围．（2020东城二模28）答案10.（2020朝阳二模28）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离，记作d(P,M)．（1）若b=2，①求d(B,⊙O)的值；②若点C在直线AB上，求d(C,⊙O)的最小值；（2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转120°得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任意点E，总有2≤d(E,⊙O)＜6，直接写出b的取值范围．答案解：（1）①根据题意可知B（0,2）.∴d(B,⊙O)=3.②如图，过点O作OC⊥AB于点C，此时d(C,⊙O)取得最小值.∵直线323y x=+与x轴交于点A，∴A(23,0).∴OA=23,OB=2.∴∠OAB=30°.∴3OC=.∴d(C,⊙O)的最小值为31+.（2）57232357b b--＜≤或≤＜.。
2020-2021学年北京市平谷区中考二模数学试题及答案解析
北京市平谷区初中毕业会考暨初三统练（二）数学试卷考生须知1．本试卷共五道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．根据北京市统计局3月发布的数据，3月北京市工业销售产值累计4006.4亿元，将4006.4用科学记数法表示应为A．40.4006410⨯B．34.006410⨯C．44.006410⨯D．240.06410⨯2. 下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是A．B．C．D．3．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为倒数的点是A．点A与点B B．点A与点DC．点B与点D D．点B与点C4．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2C DBA-2-121的度数为A. 10°.B. 15°.C. 20°.D. 25°. 5．下列运算中，正确的是A ．22x x -=B ．452x x x ⋅=C ．22x y y x ÷= D ．()3326x x -=-6．某商场一天中售出某种品牌的运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表所示，鞋的尺码（单位：cm ） 23 23.5 24 24.5 25 销售量（单位：双）12251那么这11A. 23.5，24 B.24，24.5C.24，24D.24.5，24.57．如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S （千米）随时间t （分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程是 A ．0.5千米 B ．1千米 C ．1.5千米 D ．2千米8．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是 A ．（SAS ）B ．（SSS ）C ．（AAS ）D ．（A SA ）61824O12t (分S (km) 甲乙9．如图，△ABC 的顶点A,B,C 均在⊙O 上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC 的大小是 A ．30°B ． 45°C ． 60°D ． 70°10．在平行四边形ABCD 中，点P 从起点B 出发，沿BC ，CD 逆时针方向向终点D 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，则线段AP ，AD 与平行四边形的边所围成的图形面积为y ，表示y 与x的函数关系的图象大致如下图，则AB 边上的高是A ．3B ．4C ．5D ．6 二、填空题(本题共18分，每小题3分) 11．分式2aa 有意义的条件是 ． 12．把a ﹣4ab 2分解因式的结果是 ．13．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员下次投篮，投中的概率约是_________（精确到0.1）.x11 5 O y24 DBAP投篮次数（n）50 100 150 200 250 300 500投中次数（m）28 60 78 104 123 152 251投中频率（mn）0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 14．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5米，测得AB=2米，BC=14米，则楼高CD为米.15．如图，这个二次函数图象的表达式可能是．（只写出一个）．16．在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为()1,0，()0,1，()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；.…照此规律重复下去．则点P3的坐标为；点P n在y轴上，则点P n的坐标为．DFAECB三、解答题(本题共30分，每小题5分)17．如图，点A,B,D,E 在同一直线上，AB=ED ，AC ∥EF ，∠C=∠F ． 求证：AC=EF.18．计算：()1012sin 603133π-⎛⎫--︒+-+- ⎪⎝⎭.19．解不等式211132x x+--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．20．已知实数m 满足2230m m -+=，求()21(3)m m m m -+-+的值.21．关于x 的一元二次方程2(1)=0x x m --+有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最小整数，求此方程的根．22．列方程或方程组解应用题：为开阔学生的视野在社会大课堂活动中，某校组织初三年级学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．求该校初三年级有学生多少人？原计划租用多少辆45座客车？四、解答题(本题共20分，每小题5分)23．如图，已知点E,F 分别是□ABCD 的边BC,AD 上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF 面积．24．是中国抗日战争胜利70周年暨世界反法西斯战争胜利70周年．某校为纪念中国抗日战争胜利70周年，对全校学生进行了“抗日战争知多少”知识测验．然后随机抽取了部分学生的成绩，整理并制作如图所示的图表． 请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：分数段 频数 频率 60≤x ＜70 30 0.1 70≤x ＜80 90 m 80≤x ＜90n 0.4 90≤x ＜100600.2B（1）在频数分布表中：m =________，n =________； （2）补全频数分布直方图；（3）如果某校有2000名学生，比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计此次测验成绩的优秀人数大约是__________人．25．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 边上，过点E 作EF ⊥BC ，延长FE 交⊙O 的切线AG 于点G ． （1）求证：GA=GE ．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE 的长．26．如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若AB=6，3AF EF =，求DG 的长．小米的发现，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H （如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG= .如图3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是射线DM 上的一点，连接BE 和AC 相交于点F ，MA D若BC aAD =，CD bCE =，求BFEF的值（用含,a b 的代数式表示）.五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分)27．如图，在平面直角坐标系中，点 A(5,0)，B(3,2)，点C 在线段OA 上，BC=BA ，点Q 是线段BC 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，直线PQ 的解析式为y=kx+b(k ≠0)，且与x 轴交于点D ． （1）求点C 的坐标及b 的值； （2）求k 的取值范围；图1GF CAD图2HGF CADy xDPBAOCQ（3）当k 为取值范围内的最大整数时，过点B 作BE ∥x 轴，交PQ 于点E ，若抛物线y=ax 2﹣5ax(a ≠0)的顶点在四边形ABED 的内部，求a 的取值范围．28．对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A=70°，∠B=80°．则∠C= 度，∠D= 度． （2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形ABCD ”（如图2），其中∠ABC=∠ADC ，AB=AD ，此时她发现CB=CD 成立．请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形ABCD ”中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC 的长．图1CDB图2AC29．定义：如图1，平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线AB 、CD 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O ． （1）“距离坐标”为（1，0）点有 个；（2）如图2，若点M 在过点O 且与直线CD 垂直的直线l 上时，点M 的“距离坐标”为（p ，q ），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p ，q 的关系式； （3）如图3，点M 的“距离坐标”为（1，且∠AOB=30°，求OM 的长．图1ODCBA图2图3北京市平谷区初中毕业会考暨初三统练（二）数学试卷答案及评分标准一、选择题(本题共30分，每小题3分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDADCDABCB11．a ≠2；12．a(1+2b)(1﹣2b)；13．0.5； 14．12；15．答案不唯一，如y=x 2﹣x ；16．（0，﹣2）；（0,0）或（0,﹣2）（每个答案1分） 三、解答题(本题共30分，每小题5分) 17．证明：∵AC ∥EF ，∴∠A=∠E ． (1)在△ABC 和△DEF 中，A E C F AB ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△EDF ． (4)∴AC=EF ． (5)18．解：()1012sin 60133π-⎛⎫--︒+- ⎪⎝⎭=32112--⨯+ (4)=3-=3- (5)19．解：去分母，得：()()622131x x -+≥- (1)去括号，得：64233x x --≥-……………………………………………………………2 移项，合并同类项得：1x -≥-……………………………………………………………3 系数化成1得：x ≤1.…………………………………………………………………………4 解集在数轴上表示出来为： (5)20．解：()21(3)+m m m m -+-=22213m m m m m -++-+..............................................................................2 =2241m m -+ (3)∵2230m m -+=，∴223m m -=-． (4)∴原式=22(2)1615m m -+=-+=-． (5)21．解：（1）△＝1+4(m ＋1) (1)＝5+4m ＞0 ∴54m >-．…………………………………………………………………………2 （2）∵m 为符合条件的最小整数，∴m=﹣1．…………………………………………………………………………………3 ∴原方程变为2=0x x -∴x 1＝0，x 2＝1． (5)22．解：设该校初三年级有学生x 人，原计划租用45座客车y 辆． (1)根据题意，得()4515601y xy x +=⎧⎨-=⎩， (3)解这个方程组，得2405x y =⎧⎨=⎩． (4)答：该校初三年级有学生240人，原计划租45座客车5辆．……………………………………5 四、解答题(本题共20分，每小题5分) 23．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD=BC.在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点E 是BC 边的中点， ∴AE=CE=12BC. 同理，AF=CF=12AD. ∴AF=CE (1)∴四边形AECF 是平行四边形.∴平行四边形AECF 是菱形.……………………………………………………………………2 （2）解：在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=5，AB=.……………………………………………………………………………3 连接EF 交于点O ，∴AC ⊥EF 于点O ，点O 是AC 中点. ∴OE=12AB ∴EF=.………………………………………………4 ∴菱形AECF 的面积是12AC · (5)24．（1）m=0.3， (1)n=120……………………………………………………………………………………2 （2）B (3)（3）2000×（0.4+0.2）=1200（人）． (5)25．（1）证明：连接OA ， ∵AG 切⊙O 点A ， ∴∠GAO=90°．∴∠BAO+∠GAE=90°．………………………………………1 ∵EF ⊥BC ，∴∠ABO+∠BEF=90°． ∵OA=OB ， ∴∠ABO=∠BAO ． ∴∠GAE=∠BEF ． ∵∠BEF=∠GEA ， ∴∠GEA=∠GAE ．∴GA=GE ．……………………………………………………2 （2）解：∵BC 为直径，60 80 90 70 100 分数（分）3060 90 120 频数（人）∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10， (3)∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF BE EF BA BC AC==∴EF=95，BF=125，∴OF=OB﹣BF=5﹣125=135， (4)∴= (5)26．答案：DG=2； (2)如图（画图正确，正确标出点E、F） (3)过E作EG∥AD，延长CA交于点G∴△CAD∽△CGE．∴AD CD GE CE=．∵CD bCE=，∴ADb GE=．∴AD bEG=． (4)∵AD∥BC，∴BC ∥EG ． ∴△GEF ∽△CBF ． ∴BC BFEG EF=． ∵BC aAD =， ∴BC abEG =． ∴BFab EF=………………………………………………………………………………………5 五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分) 27．解：（1）直线y=kx+b(k ≠0)经过P(0,3)，∴b=3．……………………………………………………过点B 作BF ⊥AC 于F ， ∵A(5,0)，B(3,2)，BC=BA ， ∴点F 的坐标是（3,0）．∴点C 的坐标是（1,0）．…………………………………（2）当直线PC 经过点C 时，k=﹣3．当直线PC 经过点B 时，k=13-． (3)∴133k -≤≤- (4)（3）Θ133k -≤≤-且k 为最大整数，∴k=﹣1． (5)则直线PQ 的解析式为y=﹣x+3．∵抛物线y=ax 2﹣5ax(a ≠0)的顶点坐标是52524a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，对称轴为52x =．解方程组352y xx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，得5212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即直线PQ与对称轴为52x=的交点坐标为5122⎛⎫⎪⎝⎭，， (6)∴1252 24a<-<．解得822525a-<<-． (7)28．解：（1）∠D=80°， (1)∠C=130°； (2)（2）①如图2，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB． (3)∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB．∴CB=CD． (4)（3）（Ⅰ）如图，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10．∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6． (5)∵∠EDC=90°，∠E=30°，BACEDA∴∴． (6)（Ⅱ）如图，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ， ∵DM ⊥AB ，∠DAB=60°，AD=4， ∴AM=2，∴BM=AB ﹣AM=5﹣2=3．………………………………………7 ∵四边形BNDM 是矩形，∴DN=BM=3，∵∠BCD=60°， ∴∴∴……………………………………………………8 即或29．答案：（1）2； (1)（2） (2)过M 作MN ⊥AB 于NA∵直线l ⊥CD 于O ，∠BOD=120°， ∴∠MON=30°. ∵ON=p ，OM=q ，∴12p q =…………………………………………………………………………………………3 （3）分别作点M 关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF 、OE 、OF 、EM 、FM ……………………4 ∴△OEC ≌△OMC ，△OFD ≌△OMD ． ∴∠AOM=∠AOE ，∠BOM=∠BOF ， OM=OE=OF ．∴∠EOF=60°．……………………………………………………5 ∴OM=OE=OF=EF ． ∵MD=1，3 ∴MF=2，ME=23 ∵∠AOB=30°，∴∠CMD=150°．…………………………………………………6 过F 做FG ⊥CM ，交CM 延长线于G ， ∴∠FMG=30°．在Rt △FMG 中，FG=1，3 在Rt △EFG 中，FG=1，EG=3 ∴EF=(2331+=7∴OM=27 (7)GFD CA B M。
2020届北京中考各区数学二模试卷及参考答案(海淀区)
2020届北京中考各区数学二模试卷（海淀区）一、单项选择题(本题共16分，每小题2分) 1.下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是2.若代数式12x -有意义，则实数x 的取值范围是 A. 0x =B. 2x =C. 0x ≠D. 2x ≠3.如图，在ABC V 中，3AB cm =，通过测量，并计算ABC V 的面积，所得面积与下列数值最接近的是A. 21.5cm B. 22cmC. 22.5cmD. 23cm4.图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 A. 区域①处 B. 区域②处 C. 区域③处D. 区域④处5.如图，在ABC V 中， //,EF BC ED 平分BEF ∠，且70DEF ∠=︒，则B ∠的度数为A.70°B.60°C.50°D.40°6.如果220a a --=，那么代数式()()()2122a a a -++-的值为A.1B.2C.3D.47.如图，O e 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于90︒，那么圆心O 到弦AB 的距离为A.2B.2C.22D.328.在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P a b ，若0ab >，则称点P 为“同号点”.下列函数的图象中不存在“同号点”的是 A.1y x =-+B.22y x x =-C.2y x=-D.21y x x=+二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9.单项式23x y 的系数是.10.如图，点,,A B C 在O e 上，点D 在O e 内,则ACB ∠ADB ∠.(填>=<“”，“”或“”) 11.下表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果: 投篮次数n 48 82 124 176 230 287 328 投中次数m 33 59 83 118 159 195 223 投中频率mn0.690.720.670.670.69 0.680.68根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为.(12.函数)1(0y kx k =+≠的图象上有两点()()11221,1,P y P y -，，若12y y <，写出一个符合题意的k 的值:.13.如图，在ABC V 中，120AB BC ABC =∠=︒，，过点B 作BD BC ⊥，交AC 于点D ，若1AD =，则CD 的长度为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,2C ，将ABC V 关于直线4x =对称，得到111A B C V ，则点C 的对应点1C 的坐标为;再将111A B C V 向上平移一个单位长度，得到222A B C V ，则点1C 的对应点2C 的坐标为.15.小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行.他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km ，小明每小时骑行12km ，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时.设他们这次骑行线路长为xkm ，依题意，可列方程为.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，有五个点()()()()()2,0,0,2,2,4,4,2,7,0A B C D E ---，将二次函数()2)0(2y a x m m =-+≠的图象记为W .下列的判断中①点A 一定不在W 上; ②点,,B C D 可以同时在W 上; ③点C E ，不可能同时在W 上. 所有正确结论的序号是.三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.计算：101312cos302π-++--o （）（2020-）18.解不等式()214x x -<-，并在数轴上表示出它的解集.19.下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程.已知:直线l 及直线l 外一点P . 求作:直线PQ ，使得//PQ l .作法:如图，①在直线l 外取一点A ，作射线AP 与直线l 交于点B ,②以A 为圆心，AB 为半径画弧与直线l 交于点C ，连接AC ,③以A 为圆心，AP 为半径画弧与线段AC 交于点Q ,则直线PQ 即为所求.根据小王设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:AB AC =Q ,ABC ACB ∴∠=∠,（)(填推理的依据)AP =Q ，APQ AQP ∴∠=∠.180ABC ACB A ∠+∠+∠=︒Q ， 180APQ AQP A ∠+∠+∠=︒，APQ ABC ∴∠=∠. //PQ BC ∴ ()(填推理的依据).即//PQ l .20.已知关于x 的一元二次方程220x x n -+=.(1)如果此方程有两个相等的实数根，求n 的值; (2)如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根.21.如图，在Rt ABC V 中，90,ACB D ∠=︒为AB 边的中点，连接CD ，过点A 作//AG DC ，过点C 作//CG DA AG ，与CG 相交于点G(1)求证:四边形ADCG 是菱形; (2)若3104AB tan CAG =∠=，，求BC 的长.22.坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系.图1反映了2014-2019年我国生活垃圾清运量的情况.图2反映了2019年我国G 市生活垃圾分类的情况.根据以上材料回答下列问题: （1）图2中，n 的值为;（2）2014-2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是;（3）据统计，2019年G 市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元.若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G 市的占比相同，根据G 市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少.23.如图，AB 为O e 的直径，C 为O e 上一点，CE AB ⊥于点E ,O e 的切线BD 交OC 的延长线于点D .(1)求证:DBC OCA ∠=∠;(2)若302BAC AC ∠=︒=，.求CD 的长.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数2(0)y x x=>的图象与直线(0)y kx k =≠交于点(1,)P p .M 是函数2(0)y x x=>图象上一点，过M 作x 轴的平行线交直线(0)y kx k =≠于点N .（1）求k 和p 的值； （2）设点M 的横坐标为m .①求点N 的坐标；（用含m 的代数式表示） ②若OMN V 的面积大于12，结合图象直接写出m 的取值范围.25.如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分,901BAD B ACD AC AB∠∠=∠=︒-=，.为了研究图中线段之间的数量关系，设,AB x AD y==.（1）由题意可得(),ABAC AD=（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为y=；(2)如图2，在平面直角坐标系xOy中，根据(1)中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象;(3)结合函数图象，解决问题:①写出该函数的一条性质: ；②估计AB AD+的最小值为.(结果精确到0.1)26.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()3,0A -,与y 轴交于点B ，将其图象在点,A B 之间的部分(含,A B 两点)记为F .(1)求点B 的坐标及该函数的表达式;(2)若二次函数22y x x a =++的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围.27.如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <,连接AD ，以点A 为中心将射线AD 顺时针旋转60︒，与ABC V 的外角平分线BM 交于点E . (1)依题意补全图1; (2)求证:AD AE =;(3)若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF . ①求证://AE CF ;②若BE CF AB +=成立，直接写出BAD ∠的度数为°28.在平面内，对于给定的ABC V ，如果存在一个半圆或优弧与ABC V 的两边相切，且该弧上的所有点都在ABC V 的内部或边上，则称这样的弧为ABC V 的内切弧.当内切弧的半径最大时，称该内切弧为ABC V 的完美内切弧.(注:弧的半径指该弧所在圆的半径)在平面直角坐标系xOy 中，()()8,0,0,6A B .(1)如图1，在弧1G ，弧2G ，弧3G 中，是OAB V 的内切弧的是;(2)如图2，若弧G 为OAB V 的内切弧，且弧G 与边,AB OB 相切，求弧G 的半径的最大值;(3)如图3，动点(),3M m ，连接,OM AM . ①直接写出OAM V 的完美内切弧的半径的最大值;②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T .点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点,D E ，点F 为线段PE 的中点，直接写出线段DF 长度的取值范围.。
2020-2021学年北京市海淀区中考数学第二次模拟试题及答案解析
北京市海淀区2018 届九年级中考二模数学试卷学校班级 _______ 姓名成绩、选择题(本题共 30 分，每小题 3 分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．2022年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为 196 000 米．196 000 用科学记数法表示应为A． 1.96×105B．19.6×104C．1.96×106D．0.196×1062．中华文化底蕴深厚，地方文化活动丰富多彩 .下面的四幅简笔画是从我国地方文化活动中抽象3．下列计算正确的是A ．a 2 a 3 a 6B ．a 8 a 4 a 2C ．(a ) aD ． 2a 4．如图，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则 A ． 20° B ．25° C ． 30°D ．35°5．如图，数轴上有 M ，N ，P ，Q 四个点，其中点 P 所表示的数为 a ，则数 3a所对应的点可能是 A ．MB ．NC ． PD ．Q出来的，其中是轴对称图B ．C ．DA ．3a 6a6．在一次中学生趣味数学竞赛中，参加比赛的 10 名学生的成绩如下表所示：分数80 85 90 95 人数1432这 10 名学生所得分数的平均数是 A ．86B ．88C ． 90D ．92 7．如图， A ， B ，C ， D 为⊙ O 上的点， OC AB 于点 E ，若 CDB=30 ，OA 2 ，则 AB 的长为A ． 3B ． 2 3C ．2D ．48．某通信公司自 2016年 2月 1 日起实行新的 4G 飞享套餐，部分套餐资费标准如下：套餐 类型 月费 （元 /月） 套餐内包含内容套餐外资费 国内数据流量（ MB ） 国内主叫（分钟） 国内流量 国内主叫套餐 1 18 100 0套餐 2 28 100 50 0.29 0.19 套餐 338 300 50元 /MB元/分钟套餐 4 4850050小明每月大约使用国内数据流量 200MB ，国内主叫 200 分钟，若想使每月付费最少，则 他应预定的套餐是 A ．套餐 1B ．套餐 2C ．套餐 3D ．套餐 49．随着“互联网 +”时代的到来，一种新型的打车方式受到 大众欢迎． 该打车方式采用阶梯收费标准． 打车费用 y （单 位：元）与行驶里程 x （单位：千米）的函数关系如图所 示．如果小明某次打车行驶里程为 20 千米，则他的打车 费用为 A ．32 元 B ．34 元 C ．36 元D OBAE2x 2bx c 的顶点为 P ，与 x 轴交于 A ，B 两点．若 A ， B 两点间的距离PA AB二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）x211．当分式的值为 0 时，x 的值为．D ．40元10．如图 1，抛物线y2x 112．分解因式：3x2 12 = ___________ 13．据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度 . 如图所示，木杆 EF 的长为 2m，它的影长 FD 为 3m，测得 OA 为 201m ，则金字塔的高度 BO 为_____ m ．14．请写出一个图象过（ 2， 3）和（ 3， 2）两点的函数解析式________15．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如下表所示．试验次数10 50 100 200 500 1000 2000事件发生的频率0.245 0.248 0.251 0.253 0.249 0.252 0.251估计这个事件发生的概率是____________（精确到 0.01），试举出一个随机事件的例子，使它发生的概率与上述事件发生的概率大致相同16.阅读下面材料：实际生活中，有时会遇到一些“不能接近的角”，如图中的P ，我们可以采用下面的方法作一条直线平分P ．如图，（1）作直线 l 与P的两边分别交于点 A，B，分别作PAB和PBA的角平分线，两条角平分线相交于点 M；（2）作直线 k 与P的两边分别交于点 C， D，分别作PCD和PDC的角平分线，两条角平分线相交于点 N；（ 3）作直线 MN．所以，直线 MN平分P.请回答：上面作图方法的依据是三、解答题（本题共 72分，第 17～26题，每小题 5分，第 27题7分，第 28题7分，第29题8分） 17．计算：（1）1（ 3 2）01 2 4cos 45 ．38(x 1) 5x 17,19．已知关于x的方程x2 6x k 7 0 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求方程的根．18．解不等式组x 6x 10 并将解集在数轴上表示出来．20．已知：如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 ，点 D 在 BC 上，且 BD=AC，过点 D 作DE⊥AB 于点 E，过点 B 作 CB 的垂线，交 DE 的延长线于点 F．求证： AB=DF．21．为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小静经过2 个月的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的 2 倍还多 300 字，现在读 9100 字的文章与原来读 3500 字的文章所用的时间相同．求小静现在每分钟阅读的字数 .22．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90 ，CD为 AB边上的中线，过点 D作DE BC于 E，过点 C 作 AB 的平行线与 DE 的延长线交于点 F，连接 BF，AE．（ 1）求证：四边形 BDCF为菱形；2（2）若四边形 BDCF的面积为 24，tan∠EAC = ，求3CF的长 .1623．在平面直角坐标系 xOy中,直线l1：y x b与双曲线y 的一个交点为A（ m,1）.12 x（ 1）求 m 和 b 的值；（2）过B（1,3）的直线交l1于点 D，交 y轴于点 E.若BD 2BE ，求点 D的坐标 .24．如图，在△ ABC中，∠ C=90°，点E在 AB上，以 AE 为直径的⊙ O 切 BC于点 D，连接 AD．（1）求证： AD平分∠ BAC；25．据报道，2015年我国每千名儿童所拥有的儿科医生数为0.43（将0～14 岁的人群定义为儿童）远低于世界主要发达国家，儿科医生存在较大缺口．根据 2000-2015 年报道的相关数据，绘制统计图表如下：全国人口、儿童人口、儿科医生及每千名儿童拥有的儿科医生数统计表年份全国人口（亿人）儿童人口（亿人）儿科医生（万人）每千名儿童拥有的儿科医生数2000 12.67 2.9 9.57 0.332005 13.06 2.65 10.07 0.382010 13.4 2.22 10.43 0.472015 13.7 2.26 9.72 0.432015 年全国人口年龄构成统计图2）若⊙ O 的半径为 5，sin∠DAC= 求 BD 的长 .根据以上信息解答下列问题：（ 1）直接写出扇形统计图中 m 的值；（ 2）根据统计表估计 2020 年我国人口数约为亿人；（3）若 2020 年我国儿童占总人口的百分比与 2015 年相同，请你估算到 2020 年我国儿科医生需比 2015 年增加多少万人，才能使每千名儿童拥有的儿科医生数达到 0.6.26.小明在做数学练习时，遇到下面的题目：小明的计算结果与参考答案不同，因此他对参考答案产生了质疑．下面是他的分析、探究过程，请你补充完整．第一步，读题，并标记题目条件如下：在△ABC中，D为 AC边上一点，① AB=AC；② DBA A ；③ BD=BC；④ CD=2；⑤△ BDC 的周长为 14．第二步，依据条件③、④、⑤，可以求得BD BC _______ ；第三步，作出△ BCD ，如图 2 所示；第四步，依据条件①，在图 2 中作出△ ABC ；（尺规作图，保留作图痕迹）第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件掉这个条件，题目中其他部分保持不变，求得 AB 的长为1） P 1（1，n 1），P 2（3，n 2）为 P 点运动所经过的两个位置，判断 n 1，n 2的大小，并说明 理由；2） 当1 m 4时，n 的取值范围是 1 n 4 ，求抛物线的解析式 .28. 已知： AB BC ， ABC 90 .将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 （ 0 到线段 AD .点 C 关于直线 BD 的对称点为 E ，连接 AE ， CE . 1）如图， ①补全图形； ②求 AEC 的度数；___ 不符（填序号），去90 ）得27.已小明：“该题目的已知条 件存在自相矛盾的地方 . 若去掉矛盾的条件后， 便 可求AB,n) 为抛物线 y ax ax bBC2）若 AE 2 ， CE 3 1，请写出求 度数的思路 .（可．以．不．写．出．计．算．结．果． ）29. 对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p ，当其自变量的值为 p 时，其函数值等于 p ，则称 p 为这个函数的不变值 . 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值 之差 q 称为这个函数的不变长度 .特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为2）函数 y 2x 2bx . ①若其不变长度为零，b 的值；1）求②若1 b 3 ，求其不变长度 q 的取值范围；23）记函数y x2 2x（x m）的图象为G1，将G1沿 x=m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度 q满足0 q 3，则 m的取值范围为数学试卷参考答案、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）答案A C C C AB BC B C、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）题号 11 12 13 答案23(x 2)(x 2)134题号14 1516答案6y （本题答案不唯一）x0.25，从一副去掉大小王 的扑克牌中抽出一张牌， 牌的花色是红桃． 三角形的三条角平分线交 于一点；两点确定一条直 线．三、解答题（本题共 72分，第17～26题，每小题 5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）不等式组的解集在数轴上表示如下：5分19．解（ 1）∵原方程有两个不相等的∴ Δ>0 ．17．解：原式 3 1+ 2 1+4 224分5分18．解：原不等式组为 x68(x 1) 5x17， x 10 ，2解不等式①，得 x>-3． 2分 解不等式②，得 x 2 ．3分∴原不等式组的解集为 3<x 2 ．4分即36 4(k 7) 0 ．∴ k 2． .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分2)∵ k 2且 k 为正整数， ∴ k 1 ． .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 ∴ x 26x 8 0 ．∴x 1 2，x 2 4 ． .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分在△ ABC 和△ DFB 中，1 F ， ACB DBF ， AC BD ，∴△ABC ≌△DFB .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分∴ AB DF ．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分 21．解：设小静原来每分钟阅读 x 个字．⋯⋯⋯⋯ 1 分由题意，得3500 9100. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分x 2x 300解得 x 500. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分经检验， x 500 是原方程的解，且符合题意 . ∴ 2x 300 2 500 300 1300 ．答：小静现在每分钟阅读 1300 个字. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22．（1）证明：∵ ACB 90 ， ∴ AC BC ． ∵ DE BC ， ∴ AC ∥ DE ．20．证明：∵ BF BC,DE AB ， ACB 90 ，DBFBEF ACB 90 ． ∴1 2 90 ， 2 F 90 ． ∴1 F ． .⋯⋯⋯⋯ 2 分C D B又∵ CF ∥ AD ，∴四边形 ACFD 为平行四边形 . ⋯⋯⋯⋯ 1 分 ∴ AD CF .∵ CD 为AB 边上的中线， ∴ AD BD .BD CF .∴四边形 BDCF 为平行四边形 ∵ DE BC ，2）解：在Rt △ACE 中， ∴设 CE 2x,AC DF 3x .∵菱形 BDCF 的面积为 24，1∴DF BC 24 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2∴ DF EC 24 ．3x 2x 24．x12， x22 （舍） .CE4，EF1 DF 3.2 CF 5.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分x∴ m 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分1∵点 A( 6,1) 在直线 y x b 上，2∴ b 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴四边形 BDCF 为菱形 . 3分tan EACEC 2 AC 323.解：（ 1）∵点 A （m,1） 在双曲线 y 6上，2）当点B在线段DE 上时，如图 1，图2 过点D作DP⊥ y轴于P，过点B作BQ⊥y轴于Q．可得△EQB∽△EPD ．∵ BD 2BEBQ DP BE DE∵ BQ 1，∴ DP 3．∵点D 在直线l1上，∴点D的坐标为（3，12）．4分当点B在线段DE 的延长线上时，如图 2，同理，由BD 2BE ，可得点D 的坐标为( 1，52)综上所述，1点D的坐标为（3，）或（ 1，52)．5分24.（1）证明：连接OD ．1分∵⊙O 切 BC于点 D，C 90 ，ODB C 90 ．∴ OD ∥AC ．ODA DAC ．∵ OA ODODA OAD．OAD DAC．∴ AD 平分BAC．2分2）解：连接DE ．∵AE为直径，ADE 90 ．OAD DAC ， sin DAC 55，5∵ OA 5 ，∴ AE 10 ．∴ AD 4 5 ．∴ CD 4， AC 8 ．∵ OD ∥ AC ，∴ △ BOD ∽△ BAC BD8 BD 4答： 2020年我国儿科医生需比 2015年增加 4.14 万人，才能使每千名儿童拥有的儿科医生数达到 0.6. 第四步：∴si n OAD OD AC BDBC3分4分 ∴ BD 20 5分25.（1） m 16.5；2分 2)14；(估值在合理范围内即可)3分 3) 140000 16.5% 0.6 9.72 4.14.5分26.第二步： BD BC 6 ；1分如图，△ ABC即为所求．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分第五步：② ，18．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分27. 解：（ 1）n1 n2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为x 2 ．∵P1（1，n1），P2（3，n2 ）在抛物线∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 2）当时，抛物线的顶点为（ 2， 1），且过点（ 4，∴抛物线的解析式为当时，抛物线的顶点为（ 2，4），且过点（ 4，∴抛物线的解析式为综上所述，抛物线的解析式为28.解：（ 1）①补全图形，如图 1 所示．⋯⋯②连接 .∵ ，关于直线对称，BAE AEC C 270 上，4），⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分ABC 90 ，AEC 135 ．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）求解思路如下：a ．连接 AC ，过点 A 作 AF ⊥ CE ，交CE 延长线于点 F ，如图 2 所示；b ．由（ 1 ）可求 AEC 135 ，由 AE 2 可求AF EF 1 ；c ．由 CE 3 1，可求 AC 2， AB BC2， 可证△ ABE 为等边三角形；d ．由C ， E 两点关于直线 BD 对称， AB AD ，可求29．解：（ 1）函数 y x 1 没有不变值；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分 1 函数y 有 1和 1两个不变值，其不变长度为 2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分 x函数 y x 2 有 0 和 1 两个不变值，其不变长度为 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 （2）①∵函数 y 2x 2 bx 的不变长度为零，∴方程 2x 2 bx x 有两个相等的实数根 .2∵1 b 3 ，∴1 x 2 2.2∴函数 y 2x 2 bx 的不变长度 q 的取值范围为 1 q 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 1（3）m 的取值范围为 1 m 3或 m . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分8EBD 15 ， ABD 75 ， 307分∴ b 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分②解方程 2x 2bx x ，得 x 1 0， x 2 b 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分。
北京市中考数学二模试题分类 代数综合(教师版)
整数根、系数是整数问题1.（昌平23．）已知m 为整数，方程221x mx +-=0的两个根都大于-1且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．23．解： 设221y x mx =+-． ………………………………1分 ∵ 2210x mx +-=的两根都在1-和32之间，∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．…………2分当32x =时，0y >，即：931022m +->． ……………3分∴ 1213m -<<．…………………4分∵ m 为整数，∴ 210m =--，，． …………………………5分 ① 当2m =-时，方程222104812x x --=∆=+=，， ∴ 此时方程的根为无理数，不合题意．② 当1m =-时，方程212121012x x x x --==-=，，，符合题意．③ 当0m =时，方程2210x -=，x =综合①②③可知，1m =-．…………………… 6分2.（房山）23．）已知：关于x 的方程mx2－3(m －1)x ＋2m －3=0.⑴当m 取何整数值时，关于x 的方程mx2－3(m －1)x ＋2m －3=0的根都是整数；⑵若抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 向左平移一个单位后，过反比例函数)0(≠=k x ky 上的一点（-1,3），①求抛物线32)1(32-+--=m x m mx y 的解析式；②利用函数图象求不等式0>-kx x k的解集.解：⑴⑵①②23．解：⑴当m=0时，x=1----------------------------1分当m ≠0，可解得x1=1，x2=m mm 3232-=------------------2分 ∴31±±=，m 时，x 均有整数根--------------------------------------3分综上可得310±±=，，m 时，x 均有整数根 ⑵①抛物线向左平移一个单位后得到y= m(x ＋1)2－3(m －1)(x ＋1)＋2m －3-------------4分过点（-1,3）代入解得m=3∴抛物线解析式为y= 3x2－6x ＋②k=－1×3=－3-----------------------6∴x>1或－1<x<0-----------------------73.（平谷23）已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ．若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．23．解：（1）证明：令0y =，则220x mx m -+-=．因为248m m ∆=-+2(2)40m =-+>， 1分 所以此抛物线与x 轴有两个不同的交点． 2分（2）因为关于x 的方程220x mx m -+-=的根为2(2)4m m x ±-+=，由m 为整数，当2(2)4m -+为完全平方数时，此抛物线与x 轴才有可能交于整数点．设22(2)4m n -+=（其中n 为整数）， 3分所以 [(2)][(2)]4n m n m +---=． 因为 (2)n m +-与(2)n m --的奇偶性相同，所以2222n m n m +-=⎧⎨-+=⎩，；或222 2.n m n m +-=-⎧⎨-+=-⎩，解得 2m =．经检验，当2m =时，关于x 的方程220x mx m -+-=有整数根． 所以 2m =...................................5分 （3） 当2m =时，此二次函数解析式为222(1)1y x x x =-=--，则顶点A 的坐标为（11-，）．抛物线与x 轴的交点为(0)O ，0、(20)B ，． 设抛物线的对称轴与x 轴交于1M ，则1(10)M ，．在直角三角形1AM O中，由勾股定理，得AO =，由抛物线的对称性可得，AB AO ==．又2222+=， 即 222OA AB OB +=．所以 △ABO 为等腰直角三角形．且11M A M B =．所以1(1)M ，0为所求的点． 6分若满足条件的点2M 在y 轴上时，设2M 坐标为(0)y ，．过A 作AN y ⊥轴于N ，连结2AM 、2BM ．则22M A M B =．由勾股定理，有22222M A M N AN =+；22222M B M O OB =+．即 2222(1)12y y ++=+． 解得 1y =．所以2(0)M ，1为所求的点． 7分综上所述满足条件的M 点的坐标为（10，）或（01，）．4.（门头沟23） 已知抛物线y ＝ax2＋x ＋2.(1)当a ＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x2＋x ＋2的值为正整数，求x 的值； (3)若a 是负数时，当a ＝a1时，抛物线y ＝ax2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点M(m ，0)；当a ＝a2时，抛物线y ＝ax2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点N(n ，0). 若点M 在点N 的左边，试比较a1与a2的大小. 23. 当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2.∴抛物线的顶点坐标为(21，49)，对称轴为直线x=21.……2分(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为49，∴y 的正整数值只能为1或2.当y=1时，-x2+x+2＝1，解得2511+=x ，2512-=x (3)分当y=2时，-x2+x+2＝2，解得x3=0,x4=1.……………4分∴x 的值为2511+=x ，2512-=x ，0或1.（3） 当a ＜0时，即a1＜0，a2＜0.经过点M 的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为121a x -=,经过点N 的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为221a x -=.…………5分∵点M 在点N 的左边，且抛物线经过点(0,2)∴直线121a x -=在直线221a x -=的左侧……………6分-4-3-2-1-4-3-2-143214321Oxy∴121a -＜221a -. ∴a1＜a2.…………………………………7分 5．（怀柔23）已知抛物线22(21)1y x m x m =+-+- (m 为常数) ． （1）若抛物线22(21)1y x m x m =+-+-与x 轴交于两个不同的整数点，求m 的整数值；（2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；（3）若点M(x1，y1)与点N(x1＋k ，y2)在（2）中抛物线上 (点M 、N 不重合), 且y1=y2. 求代数式21116+6+5-+1x x k k ⋅的值.23．解：（1）由题意可知，△=()222-1-4(-1)m m =5－4m ＞0，.…………………1分又抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，∴5－4m 为平方数，设k2 =5－4m ，则满足要求的m 值为1，－1，－5，－11，－19…… ∴满足题意的m 整数值的代数式为2-++1n n (n 为正整数). …………………………3分 （2）∵抛物线顶点在第三象限， ∴只有m=1符合题意，抛物线的解析式为2=+y x x .…………………4分（3）∵点M ()11,x y 与N ()12,x k y +在抛物线2=+y x x 上， ∴2111=+y x x ，2211=(+)++y x k x k∵,21y y = ∴()221111+=+++.x x x k x k整理，得()12++1=0k x k∵点M 、N 不重合，∴k ≠0.∴2x1 =－k －1.……………………………………6分∴21116+6+5-+1x x kk ⋅=()2+116-3(k+1)+5-4+1k k k ⋅=6.………7分6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x =+的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B.⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.25．解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 (2) d =AB=A B y y -=2124n n -+. ∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.﹍﹍∴ 当14n =时，d 取得最小值18. ﹍﹍当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB=PM. (如图10) ﹍﹍﹍﹍﹍ 5分(3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +，∴ 对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤2124x +都成立. (0a ≠)①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14.∴ 整数c 的值为0.﹍﹍﹍﹍﹍ 6分此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠)即 222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩对一切实数x 均成立. 由②得()21ax b x+-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴ ()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩由⑤得整数b 的值为1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠)即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠)当a=2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立. 当a≠2时，∵21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠)④ ②∴ 2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴ 由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴ 整数a 的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分∴ 整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =. 利用数形结合研究交点、方程的根1.（东城23.） 已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=． （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）．23.解：（1）2(4)12(1)m m ∆=--- 2(2)m =+．……2分由题意得，2(2)m +＞0且10m -≠ ．∴ 符合题意的m 的取值范围是⑥21m m ≠-≠且的 一切实数． ……3分（2）∵ 正整数m 满足822m ->， ∴ m 可取的值为1和2 ．又∵ 二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+， ∴ m =2．……4分∴ 二次函数为2-23y x x =++． ∴ A 点、B 点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）．依题意翻折后的图象如图所示．由图象可知符合题意的直线3y kx =+经过点A 、B ．可求出此时k 的值分别为3或-1．……7分注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案．2.（海淀23）已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．（1）求m 的取值范围；（2）若m>1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线y =公共点P(x0, y0)且 y0≤7时, 求b 的取值范围23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点， ∴210,(2)4(1)0.m m m由①得1m ， 由②得0m，∴ m 的取值范围是0m 且1m． …………2分（2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点， ∴ 令0y =，即2(1)(2)10m x m x -+--=． 解得 11x =-，211x m =-．∵1m >，∴ 10 1.1m >>--∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分∴ OA=1，OB=11m -．∵ OA : OB=1 : 3，∴ 131m =-.∴ 43m．∴抛物线的解析式为①②………………………1分212133y x x =--． ………………………………………4分 （3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1).依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即 2121733x x --=．解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7).当直线13y x b=+经过D 点时，可得5b =. 当直线13y x b=+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(0)33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P(x0, y0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 203330.x x b ---=由2(3)4(33)12210b b ，得74b =-．结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或74b． ……………7分通州22．已知关于x 的方程2(31)220mx m x m --+-= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y x b =+ 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围. 22. .解：（1）分两种情况讨论. 当0m =时，方程为x 20-=2=∴x ，方程有实数根,………………………………………….(1分)②当0m ≠，则一元二次方程的根的判别式()()2222314229618821m m m m m m m m m ∆=----=-+-+=++⎡⎤⎣⎦＝()21m +≥0不论m 为何实数，∆≥0成立，∴方程恒有实数根 ………………………………………….(2分)综合①、②可知m 取任何实数， 方程()231220mx m x m --+-=恒有实数根………………….(3分)（2） 二次函数2(31)22y mx m x m =--+-的图象与经过（0,0）∴022=-m∴1=m ………………………………………….(4分)∴二次函数解析式为：x x y 22-=………………………….(5分)（3）在（2）条件下，直线y x b =+与二次函数图象只有两个交点，结合图象可知212y x x y x b ⎧=-⎨=+⎩当1y y =时，得230x x b --= 由940b ∆=+=得94b =-………………………….(6分)综上所述可知：当49->b 时，y x b =+解得m ≥31-∴当m ≥31-，且 m ≠0时此方程有实根,……..2分（2）解：∵在(1)的条件下,当m 取最小的整数, 2EPAOC D∴原方程化为：x2-4x=0x （x-4）=0 x1=0，x2=4 ………….. …………..4分（3）解：如图所示：①当直线l 经过原点O 时与半圆P 有两个交点，即b=0………5分②当直线l 与半圆P 相切于D 点时有一个交点，如图由题意可得Rt △EDP 、Rt △ECO 是等腰直角三角形，∵DP=2 ∴EP=22………….6分 ∴OC=2-22 即b=2-22∴当0≤b ＜2-22时，直线l 与半圆P 只有两个交点。
2021年北京各区中考二模代数综合题汇编(12个区)
2021年北京各区中考二模代数综合题汇编（12个区）2021年北京市各区（12个区）中考二模数学分类汇编之代数综合2021东城二模26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?bx?3?a?0?经过点A??1,0?和点B?4，5?．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB关于x轴的对称直线的表达式；（3）点P是x轴上的动点，过点P作垂直于x轴的直线l，直线l与该抛物线交于点M，与直线AB交于点N．当PM＜PN时，求点P的横坐标xP的取值范围．2021房山二模26. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图象经过A（0，4），B（2，0），C（－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；（2）在x轴上有一点D（－4，0），将二次函数的图象沿射线DA方向平移，使图象再次经过点B.①求平移后图象顶点E的坐标；②直接写出此二次函数的图象在A，B两点之间（含A，B两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.1Oxy2021昌平二模26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?2ax?3a(a?0)，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．（1）求点A和点B的坐标；（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．①在a?0的条件下，当?2?m?2时，n的取值范围是?4?n?5，求抛物线的表达式；②若D点坐标（4，0），当PD?AD时，求a的取值范围.2021朝阳二模26.已知二次函数y?ax2?2ax?2(a?0)．（1）该二次函数图象的对称轴是直线；（2）若该二次函数的图象开口向上，当?1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为11，求点M和点N的坐标；2（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t ≤ x1 ≤t+1，当x2≥3时，均有y1 ≥ y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．22021丰台二模26．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y?x2?2hx?h的图象的顶点为点D．（1）当h??1时，求点D的坐标；1时，求函数的最小值m． ?11??xx??1（2）当?≤≤（用含h的代数式表示m）2021海淀二模y43214321O12341234x26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(?3,1)，B(?1,1)，C(m,n)，其中n?1，以点A,B,C为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为D1,D2,D3，如图所示.（1）若m??1,n?3，则点D1,D2,D3的坐标分别是（），（），（）；（2）是否存在点C，使得点A,B,D1,D2,D3在同一条抛物线上？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由.3yD1D2CA BOD3x2021平谷二模26．在平面直角坐标系中，点D是抛物线y?ax2?2ax?3a?a?0?的顶点，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）若M为对称轴与x轴交点，且DM=2AM，求抛物线表达式；（3）当30°2021石景山二模26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax2?4x?c?a?0?经过点A?3,?4?和B?0,2?．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x?3翻折，得到图象N．若过点C?9,4?的直线y?kx?b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．42021西城二模26. 抛物线M：y?ax2?4ax?a?1 (a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D.（1）抛物线M的对称轴是直线____________；（2）当AB=2时，求抛物线M的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l：y?kx?b(k≠0)经过抛物线的顶点D，直线y?n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y?n与直线l的交点的横坐标记为x3（x3?0），若当?2≤n≤?1时，总有x1?x3?x3?x2?0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围.2021怀柔二模26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数C1：y?mx2??m?3?x?3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. (1)求点A和点C的坐标； (2)当AB=4时，①求二次函数C1的表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△DAC的周长最小，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；5(3)将(2)中抛物线C1向上平移n个单位，得到抛物线C2，若当0≤x≤时，抛物线C2与x2轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n的取值范围.5y1O1x2021门头沟二模26.在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线其表达式为y?x2?2mx?m2. （1）当该抛物线过原点时，求m的值；（2）坐标系内有一矩形OABC,其中A(4,0)、B(4,2). ①直接写出C点坐标；②如果抛物线y?x2?2mx?m2与该矩形有2个交点，求m的取值范围.2021顺义二模26．在平面直角坐标系中，二次函数y?x2?ax?2a?1的图象经过点 M（2，-3）．（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y?kx?b(k?0)的图象与二次函数y?x2?ax?2a?1的图象经过x轴上同一点，探究实数k，b满足的关系式；（3）将二次函数y?x2?ax?2a?1的图象向右平移2个单位，若点P（x0，m）和Q（2，n）在平移后的图象上，且m>n，结合图象求x0的取值范围．6yOxyOx感谢您的阅读，祝您生活愉快。
中考数学二模代数综合题23题汇总试题
备用图Oxyx2021年各城区中考二模数学——代数综合题23题汇总本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
1、〔2021年门头沟二模〕23. 二次函数223y x x =-++图象的对称轴为直线． 〔1〕恳求出该函数图像的对称轴； 〔2〕在坐标系内作出该函数的图像；〔3〕有一条直线过点p (1,5)223y x x =-++只有一个交点，恳求出所有满足条件的直线的关系式.2、〔2021年丰台二模〕23.如图,二次函数2y x bx c =++经过点〔-1,0〕和点〔0，-3〕. 〔1〕求二次函数的表达式；〔2〕假如一次函数4y x m =+的图象与二次函数的图象有且只有一个公一共点，求m 的值和该公一共点的坐标；（3）将二次函数图象y 轴左侧局部沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余局部组成一个新的图象，该图象记为G ，假如直线4y x n =+与图象G 有3个公一共点，求n 的值.3、〔2021年平谷二模〕23．关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=． 〔1〕求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；〔2〕关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点〔点M 在点N 的左侧〕，点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方局部图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．4、(2021年顺义二模) 23．关于x 的一元二次方程2440mx x m ++-=． 〔1〕求证：方程总有两个实数根；〔2〕假设m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；〔3〕在〔2〕的条件下，设抛物线244y mx x m =++-与x 轴交点为A 、B 〔点B 在点A 的右侧〕，与y 轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =12BC ，求点P 的坐标．5、〔2021年石景山二模〕23. 关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． 〔1〕求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；〔2〕假设函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值； 〔3〕在〔2〕的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公一共点时，求t 的值．解：6、〔2021年海淀二模〕23．关于x 的方程：2(1)0x m x m ---=①和2(9)2(1)3x m x m --++=②，其中0m >. 〔1〕求证：方程①总有两个不相等的实数根；〔2〕设二次函数21(1)y x m x m =---的图象与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的左侧〕，将A 、B 两点按照一样的方式平移后，点A 落在点'(1,3)A 处，点B 落在点'B 处，假设点'B 的横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值；〔3〕设二次函数22(9)2(1)y x m x m =--++，在〔2〕的条件下， 函数1y ，2y 的图象位于直线3x =左侧的局部与直线y kx =〔0k >〕交于两点，当向上平移直线y kx =时，交点位置随之变化，假设交点间的间隔 始终不变，那么k 的值是________________.7、〔2021年西城二模〕23．经过点〔1，1〕的直线l ： 2 (0)y kx k =+≠与反比例函数G 1:1 (0)my m x=≠的图象交于点(1,)A a -，B 〔b ，-1〕，与y 轴交于点D ． 〔1〕求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式； 〔2〕反比例函数G 2::2 (0)ty t x=≠， ①假设点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，假设EA =EB ，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公一共点M ，N 〔点M 在点N 的左侧〕，假设32DM DN +<，直接写出t 的取值范围．8、〔2021年通州二模〕无9、〔2021年东城二模〕23．：关于x 的一元二次方程2(3)-30mx m x +-=．〔1〕求证：无论m 取何值，此方程总有两个实数根； 〔2〕设抛物线2(3)-3y mx m x =+-，证明：此函数图像一定过x 轴，y 轴上的两个定点〔设x 轴上的定点为点A ，y 轴上的定点为点C 〕；〔3〕设此函数的图像与x 轴的另一交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求m 的取值范围．12345-1-2-3-4-5-5-4-3-2-154321yxO10、〔2021年二模〕23．在平面直角坐标系xOy 中，点P (m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别交抛物线y =-x 2+2x 和y =-x 2+3x 于点M ，N ．〔1〕当21=m 时， _____MNPM =；〔2〕假如点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．11、〔2021年密云二模〕23. P 〔﹣3，m 〕和Q 〔1，m 〕是抛物线y=2x 2+bx+1上的两点．〔1〕求b 的值;〔2〕判断关于x 的一元二次方程2x 2+bx+1=0是否有实数根，假设有，求出它的实数根；假设没有，请说明理由;〔3〕将抛物线y=2x 2+bx+1的图象向上平移k 〔k 是正整数〕个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．12、〔2021年延庆二模〕13、(2021年房山二模) 23. 关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数.〔1〕求k 的值；〔2〕当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公一共点时，请你直接写出b 的取值范围.14、〔2021年昌平二模〕23．抛物线2(31)2(1)(0)y ax a x a a =-+++≠.〔1〕求证：无论a 为任何非零实数，该抛物线与x 轴都有交点；〔2〕假设抛物线2(31)2(1)y ax a x a =-+++与x 轴交于A (m ,0)、 B 〔n ,0〕两点，m 、n 、a 均为整数，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点P (n －l ，n ＋l 〕、Q (0,a 〕，求一次函数的表达式.yxN MOP15、〔2021年怀柔二模〕23．如图，抛物线y=与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 的左侧〕，与y 轴交于点C ．〔1〕求点A 、B 的坐标；〔2〕设D 为y 轴上的一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求D 点的坐标；〔3〕：直线y=k k x k(4+->0)交x 轴于点E ，M 为直线上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k 的取值范围．16、〔2021年大兴二模〕23．：关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k . 〔1〕当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；〔2〕假设k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移21个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．17、〔2021年燕山二模〕23. 关于x 的一元二次方程032)1(222=--++-k k x k x 有两个不相等的实数根．〔1〕求k 的取值范围；〔2〕当k取最小的整数时，求抛物线 32)1(222--++-=k k x k x y 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； 〔3〕将(2)中求得的抛物线在x轴下方的 局部沿x轴翻折到x轴上方，图象的 其余局部不变，得到一个新图象． 请你画出这个新图象，并求出新图象 与直线mx y +=有三个不同公一共点时m 的值．本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
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最新北京市各区初三数学二模代数综合题汇总西城27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2144y ax ax =--的顶点在x 轴上，直线l ：25y x =-+与x 轴交于点A ．（1）求抛物线1C ：2144y ax ax =--的表达式及其顶点坐标；（2）点B 是线段OA 上的一个动点，且点B 的坐标为（t ，0）．过点B 作直线BD ⊥x 轴交直线l 于点D ，交抛物线2C ：2344y ax ax t =--+于点E ．设点D 的纵坐标为m ，点E 的纵坐标为n ，求证：m n ≥；（3）在（2）的条件下，若抛物线2C ：2344y ax ax t =--+与线段BD 有公共点，结合函数的图象，求t 的取值范围．西城27．（1）解：∵抛物线1C ：2144y ax ax =--， ∴它的对称轴为直线422ax a-=-=．∵抛物线1C 的顶点在x轴上，∴它的顶点为（2，0）．……………………………………………………1分∴当2x =时，440y a =--=．∴1a =-．∴抛物线1C 的表达式为2144y x x =-+-．………………………………2分（2）证明：∵点B 的坐标为（t ，0），且直线BD ⊥x 轴交直线l ：25y x =-+于点D ，∴点D 的坐标为（t ，5t -+）．……………………………………………3分∵直线BD 交抛物线2C ：2344y x x t =-+-+于点E ，∴点E 的坐标为（t ，254t t -+-）．……………………………………4分∵m n -=(5)t -+2(54)t t --+-269t t =-+ 2(3)0t =-≥，∴m n ≥．……………………………………………………………………5分（3）解：∵抛物线2C ：2344y x x t =-+-+与线段BD 有公共点，∴点E 应在线段BD 上．∵由（2）可知，点D 要么与点E 重合，要么在点E 的上方，∴只需0n ≥， 即2540t t -+-≥． ∵当2540t t -+-=时， 解得1t =或4t =．∴结合函数254y t t =-+-的图象可知，符合题意的t 的取值范围是14t ≤≤．海淀27.已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式. 西城 解：（1）12n n =． ……………… 1 分理由如下：由题意可得抛物线的对称轴为2x =．∵1P (1，1n )，2P （3，2n ）在抛物线24y ax ax b =-+上， ∴12n n =．………………3分 （2）当0a >时，抛物线的顶点为（2，1），且过点（4，4），∴抛物线的解析式为23344y x x =-+．………………5分 当0a <时，抛物线的顶点为（2，4），且过点（4，1），∴抛物线的解析式为23314y x x =-++． 综上所述，抛物线的解析式为23344y x x =-+或23314y x x =-++．…………7 分房山27.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．房山27.解：(1)∵1=∆CAP S ，C()1,12-，∴1121=⨯AP ,∴AP=2，∵P 为AB 中点，P （-1，0）， ∴A （-3,0），B （1,0）； -----------1分∴过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式为：322-+=x x y ----------------------2分(2)抛物线322-+=x x y 沿x 轴翻折所得的新抛物线关系式为322+--=x x y ，∵1==∆∆APC APQ S S ,∴点Q 到x 轴的距离为1，且Q 点在图象G 上（27题图1）∴点Q 的纵坐标为1 ∴1322=+--x x 或1322=-+x x .----------------------------------3分解得：311+-=x ，312--=x ，513+-=x ,514--=x -----4分∴所求Q 点的坐标为：)1,31(1+-Q ，)1,31(2--Q ，)1,51(3+-Q ，)1,51(4--Q ----5分27题图227题图1 (3)如图（27题图2）∵N （0，-1）,∴点N 关于x 轴对称点N ′（0，1）， ∵点D(0,-3)，∴点D 关于对称轴的对称点D ′（-2，-3）， ∴直线N ′D ′的关系式为y=2x+1,-----------------------------------6分∴E （-0,21）当x=-1时，y=-1，∴F （-1,-1） ----------------------------------7分直线与抛物线交点：朝阳27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b>0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．朝阳27．解：（1）∵抛物线()2296y x m x =-++-的对称轴是2x =，∴922(2)m +-=⨯-．∴1m =-． ……………………………………………………………1分∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-．…………………………………2分 ∴22(2)2y x =--+．∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为()2232y x =--+……………………4分∵()()222223x x --=--，∴52x =． ∴A （52，32）．………………………5分（3）702b <≤．……………………………7分丰台27.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（3，0）． （1）求点B 的坐标及m 的值；（2）当23x -<<时，结合函数图象直接写出y 的取值范围；（3）将抛物线在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若)0(1≠+=k kx y 直线与图象M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．丰台27.（1）将()3,0A 代入，得1m =．-------1分∴抛物线的表达式为223y x x =--．∴B 点的坐标()1,0-．-------2分 （2）y 的取值范围是45y -≤<．-------5分（3）当x=21时，y=415-. 代入1y kx =+得219-=k .当x=-1时，y=0,代入1y kx =+得k=1. 结合图象可得，k 的取值范围是1=k 或192k. -------7分怀柔27.已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点. (1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k ≠0)经过 A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围; (3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.怀柔27.解：(1)把A （-1,0）、B （0，-3）两点带入y 1 得：y 1=x 2-2x-3………………………………1分顶点坐标（1，-4） ………………………………………2分 (2)把C （4，m ）代入y 1, m=5，所以C （4，5）， ……………………………………3分把A 、C 两点代入y 2 得：y 2 =x+1.………………………………………………4分如图所示：x 的取值范围：x<-1或x>4 . …………………………………………………5分 (3)设直线AC 平移后的表达式为y=x+k得： x 2-2x-3=x+k ………………………………………6分令Δ=0，k=-421 所以平移后直线的表达式：y=x-421. ………………………7分顺义27．已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m -++=． （1）求证：不论m 为任何实数时，该方程总有两个实数根；xyO–5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567（2）若抛物线2(21)2y x m x m =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 与点B 在y 轴异侧），且4AB =,求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线2(21)2y x m x m =-++向上平移b 个单位长度后,所得到的图象与直线y x =没有交点，请直接写出b 的取值范围. 顺义27． 解：（1）[]22224(21)42441(21)b ac m m m m m ∆=-=-+-⨯=-+=- -----1分∵不论m 为任何实数时 ，总有2(21)0m ∆=-≥，∴该方程总有两个实数根 .--------------------------------------------------2分（2）24(21)(21)22b b ac m m x a -±-+±-==∴12x m =， 21x =………………………………………………….… 4分 不妨设点(1,0)B ，依题意则点(3,0)A -∴ 32m =-∴ 抛物线的表达式为223y x x =+-…………….…………………5分（3）134b >……………………………………………...………………….…7分 抛物线与抛物线交点东城27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.东城27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7），∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩，∴21.b c =-⎧⎨=-⎩，∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）. ∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+. 令x=1，则y=4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分 （3）414m <≤或4m =-. …………7分抛物线与双曲线交点 平谷27．反比例函数()0ky k x=≠过A （3,4），点B 与点A 关于直线y=2对称，抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）．（1）求反比例函数的表达式； （2）求抛物线的表达式；（3）若抛物线2y x bx m =-++在2-ky x=无公共点，求m 的取值范围．平谷27．（1）∵反比例函数ky x=过A （3,4）， ∴12k =． ∴12y x=．…………………………………………………………………………1 （2）∵点B 与点A 关于直线y=2对称，∴B （3,0）． (2)∵抛物线2y x bx c =-++过点B 和C （0,3）∴9303b c c ⎧-++=⎨=⎩．∴23b c ⎧=⎨=⎩．……………………………………………………………………………3 ∴223y x x =-++． (4)（3）12y x=， 令2x =-时,6y =-，即()26,--令2x =时,6y =，即()26, (5)当2y x bx m =-++过()26,--时，2m =．当2y xbx m =-++过()26,时，6m=． (6)∴26m ＜≤ (7)两个直接写出结果的问题：昌平27. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，且与y 轴交于点A.（1）求直线y=kx+b 的表达式；（2）将直线y=kx+b 绕点A 沿逆时针方向旋转45º后与抛物线21:1(0)G y ax a =->交于B ，C 两点.若BC ≥4，求a 的取值范围；（3）设直线y=kx+b 与抛物线22:1G y x m =-+交于D ，E直接写出m 的取值范围.昌平27．解：（1）∵直线y=kx+b 的图象经过（1，0），（-2，3）两点，∴0,2 3.k b k b +=⎧⎨-+=⎩………………………………………………………………1分解得：1,1.k b =-⎧⎨=⎩∴直线y=kx+b 的表达式为： 1.y x =-+…………………………………………2分 （2）①将直线1y x =-+绕点A 沿逆时针方向旋转45º后可得直线1y =.…………3分∴直线1y =与抛物线21:1(0)G y ax a =->的交点B ，C 关于y 轴对称.∴当线段BC 的长等于4时，B ，C 两点的坐标分别为（2，1），（-2，1）. ∴1.2a =…………………………………………………………………………………4分由抛物线二次项系数的性质及已知a>0可知，当BC ≥4时，10.2a ≤<……………5分②40.m -≤≤………………………………………………………………………………7分石景山27．已知关于x 的方程()021222=-+-+m m x m x ．（1）求证：无论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()m m x m x y 21222-+-+=与x 轴交于()0,1x A ，()0,2x B 两点，且210x x <<，抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，若m 是整数，记抛物线在点B ，C 之间的部分为图象G （包含B ，C 两点），点D 是图象G 上的一个动点，点P 是直线b x y +=2上的一个动点，若线段DP 的最小值是55，请直接写出b 的值． 石景山27．解：（1）∵1=a ，()12-=m b ，m m c 22-= ∴()()0424144222>=---=-=∆m m m ac b∴无论m 取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．……2分（2）令，则()021222=-+-+m m x m x()()02=-++m x m x∴m x -=或2+-=m x ∵210x x <<∴m x -=1，22+-=m x …………………………………………4分 ∴2=AB当1+-=m x 时，1-=y ∴1-=c y∴121=⨯=∆c ABC y AB S ．………………………………………5分 （3）0=b 或3-=b ．……………………………………………………..7分如何找对称点：通州27. 已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y=1上方的部分沿直线y=1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M （m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。