圆锥曲线知识简介

圆锥曲线

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当e>1时为双曲线。

两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于

圆锥曲线的全部性质和结果。

定义

几何观点

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。

通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

代数观点

在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。

焦点-准线观点

（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。

给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。

根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：

1) e=0，轨迹退化为点（即定点P）；

2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线；

3) 0

4) e>1，轨迹为双曲线。

编辑本段概念

（以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点－准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。）

考虑焦点－准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲

线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。

圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。

类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。

对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。

圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。

Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。

Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用）Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。编辑本段定理

由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇凌定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。

即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面PI'（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面PI'及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面PI与PI'之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为准线。

图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。

证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面PI′与PI 的交角为a，圆锥的母线（如PQ）与平面PI的交角为b。设P到平面PI 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=a。又PE=PF，因为两者同为圆球之切线。如此则PR sina=PH=PE sinb=PF sinb

PF/PR=sina/sinb为常数

性质

1、椭圆

文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距

离和等于定长2a的点的集合。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

标准方程：

1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：

（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1

其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.

2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：

（x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1

其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2。

参数方程：x=acosθ y=bsinθ（θ为参数,0≤θ≤2π)

2、双曲线

文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。

标准方程：

1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：

（x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

2.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：

（y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.

参数方程：x=asecθ y=btanθ（θ为参数 )