圆锥曲线的概念与几何性质

第十六单元圆锥曲线的概念与几何性质考点一椭圆的标准方程和几何性质1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是().A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,∪[4,+∞)【解析】当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan 60°=,即≥,解得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan 60°=,即≥,解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A.【答案】A2.(2014年大纲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为().A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1【解析】因为△AF1B的周长为4,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=.又因为椭圆的离心率e==,所以c=1,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆C的方程为+=1,故选A.【答案】A3.(2013年全国Ⅱ卷)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为().A. B. C. D.【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====.(法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).【答案】D4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为().A.B.C.D.【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a.∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切,∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,∴=,∴e==-=-= -=.故选A.【答案】A考点二双曲线的标准方程和几何性质5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程--=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是().A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2.又4=4m2,所以m2=1,所以-1<n<3.【答案】A6.(2017年全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以=.又因为椭圆与双曲线的焦点为(±3,0),即c=3,且c2=a2+b2,所以a2=4,b2=5,故双曲线C的方程为-=1.【答案】B7.(2017年全国Ⅱ卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为().A.2B.C.D.【解析】根据双曲线的对称性,可取渐近线为y=x,即bx-ay=0.由题意,知圆心(2,0)到渐近线的距离d=-=,即==,所以-=3,解得c2=4a2.所以e2=4,e=2.【答案】A8.(2015年全国Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是().A.-B.-C.-D.-【解析】由题意不妨取F1(-,0),F2(所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=+-3<0.又点M在曲线C上,所以有-=1,即=2+2,代入上式得<,所以-<y0<,故选A.【答案】A9.(2017年全国Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MAN=60°,则C的离心率为.【解析】如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0,∴点A到l的距离d=.又∠MAN=60°,MA=NA=b,∴△MAN为等边三角形,∴d=MA=b,即=b,∴a2=3b2,∴e===.【答案】考点三抛物线的标准方程和几何性质10.(2013年全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为().A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】由已知得抛物线的焦点为F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则=-,=-.由已知得·=0,即-8y0+16=0,解得y0=4,所以M.由|MF|=5得-=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.【答案】C11.(2014年全国Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=().A. B. C.3 D.2【解析】过点Q作QQ'⊥l交l于点Q',因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4.又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ'|=3.故选C.【答案】C12.(2014年全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为().A. B. C. D.【解析】易知抛物线中p=,焦点F,直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=-,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,又原点O到直线AB的距离d=·sin 30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=.【答案】D13.(2017年全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .【解析】如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.∵M为FN的中点,PM∥OF,∴|MP|=|FO|=1.又|BP|=|AO|=2,∴|MB|=|MP|+|BP|=3.由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.【答案】6高频考点:圆锥曲线的定义与标准方程;圆锥曲线的几何性质(包括范围、对称性、顶点、离心率、渐近线、准线等).命题特点:从考查题型看,一般是一道选择题或解答题,从考查分值看,在5分~12分之间;从涉及的知识点上讲,常与平面几何、直线方程、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系.§16.1椭圆一椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的,两焦点间的距离叫作椭圆的.二椭圆的标准方程及其简单几何性质|x|a|y|b|x|b|y|a☞左学右考,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.若动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆.() (2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(3)若P为椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,则|OP|的最小值为b.()(4)若P为椭圆上任意一点,F为其焦点,则|PF|∈[a-c,a+c].()(5)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相等.()年浙江卷)椭圆+=1的离心率是().A. B.C. D.ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是().A.2B.6C.4D.12三点P(x0,y0)和椭圆的关系1.点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.2.点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.3.点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.四离心率e与a、b的关系e2==-=1-⇒=-.五求椭圆标准方程的两种方法1.定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆方程.2.待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是().A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,求点P的坐标.知识清单一、和焦点焦距二、+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)2a 2b (±c,0)(0,±c)(0,1)基础训练1.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√2.【解析】e=-=,故选B.【答案】B3.【解析】由椭圆的定义知,|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a(F是椭圆的另一个焦点),∴△ABC的周长为4a=4.故选C.【答案】C4.【解析】将x2+ky2=2化为+=1,又方程表示焦点在y轴上的椭圆,则>2,解得0<k<1,故选D.【答案】D5.【解析】设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,把y=±1代入+=1,得x=±.又x>0,所以x=,所以点P的坐标为或-.题型一椭圆的定义及应用【例1】(2015年重庆卷改编)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,若|PF1|=2+|PF2|=2-,且PQ⊥PF1,求椭圆的标准方程.【解析】由椭圆的定义,得2a=|PF1|+|PF2|=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|==2,即c=,从而b=1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.【变式训练1】已知椭圆+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义,知m+n=2a=8,|F1F2|=2c=2-=2.在△F1PF2中,cos∠F1PF2=-=--=,解得mn=12,=mn sin 60°=3.【答案】3题型二求椭圆的标准方程【例2】根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过P,Q-两点;(2)过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点;(3)中心在原点,焦点在坐标轴上,椭圆过点(3,0),离心率e=.【解析】(1)设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得所以所求椭圆的标准方程为5x2+4y2=1,即+=1.(2)(法一)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知,2a=--+---,解得a=2.由c2=a2-b2可得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为+=1.(法二)设所求椭圆的标准方程为-+-=1(k<9),将点(,-)的坐标代入可得--+-=1,解得k=5(k=21舍去),所以椭圆的标准方程为+=1.(3)当椭圆焦点在x轴上时,a=3,e==,所以c=,b2=a2-c2=3,故椭圆的标准方程为+=1;当椭圆的焦点在y轴上时,同理可得椭圆的标准方程为+=1.综上所述,椭圆的标准方程为+=1或+=1.【变式训练2】(1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1(2)椭圆+=1(a>b>0)上的一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP,|F1A|=+,则椭圆的方程为.【解析】(1)由题意知e==,所以e2==-=,即a2=b2.以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2,由题意可知b==,所以a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1,故选C.(2)设F1(-c,0),由已知,得PF1的方程为x=-c,代入椭圆方程,得P-.又AB∥OP,所以k OP=k AB,即-=-,所以b=c,a=c,|F1A|=a+c=(+1)c=+,得c=,所以b=,a=,故椭圆的方程为+=1.【答案】(1)C(2)+=1题型三求椭圆离心率的值或取值范围【例3】(1)(2016年江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.(2)(2015年福建卷)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是().A. B.C. D.【解析】(1)由得B-,C.由F(c,0),得=--,=-.又因为∠BFC=90°,所以·=0,化简可得2a2=3c2,即e2==,故e=.(2)设左焦点为F1,连接AF1,BF1,则四边形BF1AF是平行四边形,故|AF1|=|BF1|,所以|AF|+|AF1|=4=2a,所以a=2.设M(0,b),则≥,故b≥1.所以a2-c2≥1,所以0<c2≤3,解得0<c≤,所以椭圆E的离心率的取值范围为.【答案】(1)(2)A【变式训练3】(1)(2017遂宁一诊)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是().A.-1B.2-C.-1D.2-(2)(2017东北百校大联考)如图,椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,A1,A2,B1,B2为椭圆的顶点,F2为右焦点,延长B1F2与A2B2交于点P,若∠B1PB2为钝角,则该椭圆的离心率的取值范围是.【解析】(1)不妨设F1,F2为椭圆的左,右焦点,点A在第一象限内,则由题意,|OA|=|F1F2|,所以△F1AF2是直角三角形,|AF2|=c,所以|AF1|=c,2a=c+c,所以==-1,故选A.(2)设B1(0,-b),B2(0,b),F2(c,0),A2(a,0),则=(a,-b),=(-c,-b).因为∠B1PB2为钝角,所以与的夹角为锐角,所以·=-ac+b2>0,即a2-c2-ac>0.两边同时除以a2并化简得e2+e-1<0,解得--<e<-,又0<e<1,所以0<e<-.【答案】(1)A(2)-方法与椭圆有关的范围问题求解策略解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面:(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.【突破训练】(1)(2017贵阳摸底)已知椭圆C:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],则直线PA1的斜率的取值范围是().A. B. C. D.(2)设F1,F2分别是椭圆+=1的左,右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.【解析】(1)(法一)设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,易知A1(-2,0),A2(2,0),则有k1k2=·-=-=--=-.因为-2≤k2≤-1,所以k1>0且-2≤-≤-1,即1≤≤2,解得≤k1≤.故选B.(法二)设直线PA2的斜率为k2,令k2=-1,则直线PA2的方程为y=-(x-2),代入椭圆方程并整理得7x2-16x+4=0,解得x1=2,x2=,从而可得点P的坐标为,于是直线PA1的斜率k1=-=.同理,令k2=-2,可得k1=.结合选项知,B正确.(2)|PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|,易知点M在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于点P(图略),此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|+|PF1|的最大值为10+|MF2|=10+-=15.【答案】(1)B(2)151.(2017四川遂宁模拟)椭圆+=1的焦距为2,则m的值是().A.6或2B.5C.1或9D.3或5【解析】由题意得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的焦点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3.所以m的值是3或5,故选D.【答案】D2.(2017长春外国语学校期末)椭圆+与椭圆-+-=1(0<k<9)的关系为().A.有相等的长轴、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.x,y有相同的取值范围【解析】∵0<k<9,∴0<9-k<9,16<25-k<25,∴25-k-(9-k)=16,∴两个椭圆有相等的焦距.故选B.【答案】B3.(2017南昌模拟)已知圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,若动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为().A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】设圆M的半径为r,由题意可知,|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>|C1C2|=8,∴圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,∴b2=64-16=48,∴动圆圆心M的轨迹方程为+=1.【答案】D4.(2017宁德联考)已知A,B为椭圆E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则椭圆E的离心率为().A. B. C. D.【解析】由题意可知,M为椭圆短轴上的顶点,且∠AMB=120°,所以∠AMO=60°,=tan 60°=,a=b,所以c2=a2-b2=a2,所以e==.【答案】D5.(2017辽宁五校联考)椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任意一点,且||·||的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=-,则椭圆M的离心率e的取值范围是().A. B.C. D.【解析】∵|PF1|·|PF2|≤==a2,∴2c2≤a2≤3c2,∴2≤≤3,∴≤e2≤,解得≤e≤.【答案】A6.(2017东北三校联考)已知椭圆的对称轴为坐标轴,两个焦点坐标分别是(0,-2),(0,2),且过点-,则椭圆的标准方程为.【解析】由题设知,椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为+=1(a>b>0).由椭圆的定义知,2a=-+--=+=2,所以a=.又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.故所求椭圆的标准方程为+=1.【答案】+=17.(2017宜昌调研)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.【解析】由题意知,椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.解得交点坐标A(0,-2),B,联立-所以S△OAB=·|OF|·|y A-y B|=×1×--=.【答案】8.(2017日照市二模)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上,下焦点分别为F1,F2,上焦点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,椭圆C的离心率e=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B(B不在y轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与x轴交于点H,若·=0,且||=||,求直线l的方程.【解析】(1)设椭圆的焦点F1(0,c),由点F1到直线4x+3y+12=0的距离为3,得=3,所以c=1.又椭圆C的离心率e=,所以=,a=2,所以b2=3,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=kx,设B(x B,y B),A(x A,y A),由得(3k2+4)x2+12kx=0,则有x A=0,x B=-,所以y B=-,所以=---,=(x H,-1),由已知·=0,得-·x H+1--=0,解得x H=-,由||=||,得+=+(y M-2)2,解得y M=1,直线MH的方程为y=---,解得y M=,联立---由y M==1,解得k2=,所以直线l的方程为y=±x+2.9.(2017河北联考)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2,若<k<,则椭圆C的离心率的取值范围是().A. B.C. D.∪【解析】由题意可知|AF2|=a+c,|BF2|=,所以直线AB的斜率为k==-=-∈,即--解得<e<,故选C.【答案】C10.(2017唐山一中月考)过椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点F作斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,若向量+与向量a=(3,-1)共线,则该椭圆的离心率为().A. B. C. D.【解析】设F(-c,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则+=(x1+x2,y1+y2),直线AB的方程为y=x+c,代入椭圆方程并整理得(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.由韦达定理得,x1+x2=-,所以y1+y2=x1+x2+2c=.由+与a=(3,-1)共线,得x1+x2+3(y1+y2)=0,即-+3×=0,解得=,得e=-=.故选B.【答案】B11.(2014年江西卷)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C 的离心率等于.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,从而-+-=0.依题意x1+x2=2,y1+y2=2,且--=-,所以-=-,即a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),得e2==,所以e=.【答案】12.(2017浙江模拟)若椭圆C:+y2=1(a>0)上存在关于直线l:y=2x+1对称的点,则椭圆C的离心率的取值范围为.【解析】设A,B是椭圆C上关于直线l:y=2x+1对称的两点,直线AB的方程为y=-x+m.联立-得(a2+4)x2-4ma2x+4a2(m2-1)=0.点A,B存在⇒Δ>0⇒a2-4m2+4>0. ①由弦AB的中点E(x0,y0)在直线l:y=2x+1上,得a2=->0,解得m<-或m>1. ②将a2=-代入①得-<0,结合②解得-<m<-.故e2=-=1-=-∈,故e∈.【答案】13.(2017四川一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为6,且椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=的公共弦长为.(1)求椭圆C的方程.(2)过点P(0,2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断在x轴上是否存在点D,使得△ADB是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出点D的横坐标的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可得2a=6,所以a=3.由椭圆C与圆M:(x-2)2+y2=的公共弦长为,恰为圆M的直径,可得椭圆C经过点,所以+=1,解得b2=8.所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为E(x0,y0).假设存在点D(m,0),使得△ADB是以AB为底边的等腰三角形,则DE⊥AB.由得(8+9k2)x2+36kx-36=0,故x1+x2=-,所以x0=-,y0=kx0+2=.因为DE⊥AB,所以k DE=-,即---=-,所以m=-=-.当k>0时,9k+≥2=12,所以-≤m<0;当k<0时,9k+≤-12,所以0<m≤.综上所述,在x轴上存在满足题意的点D,且点D的横坐标的取值范围为-∪.14.(2015年天津卷)已知椭圆+=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为.(1)求直线BF的斜率;(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|.①求λ的值;②若|PM|sin∠BQP=,求椭圆的方程.【解析】(1)设F(-c,0).由已知离心率=及a2=b2+c2,可得a=c,b=2c,又因为B(0,b),F(-c,0),故直线BF的斜率k=---==2.(2)设点P(x P,y P),Q(x Q,y Q),M(x M,y M).①由(1)可得椭圆的方程为+=1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线BF的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x2+5cx=0,解得x P=-.因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c.将直线BQ的方程与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得x Q=.又因为λ=及x M =0,可得λ=- - = =. ②因为 = ,所以==,即|PQ|=|PM|. 又因为|PM|sin ∠BQP=, 所以|BP|=|PQ|sin ∠BQP=|PM|sin ∠BQP=. 又因为y P =2x P +2c=-c ,所以|BP|==c ,因此c=,得c=1.所以椭圆的方程为 + =1.§16.2 双曲线一 双曲线的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的 ,两焦点间的距离叫作双曲线的 .二 双曲线的标准方程和几何性质三等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率为.四常用结论1.双曲线的焦点到渐近线的距离是b;双曲线的顶点到渐近线的距离是.2.点与双曲线的关系(1)点P(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的内部⇔->1.(2)点P(x0,y0)在双曲线-=1(a>0,b>0)的外部⇔-<1.☞左学右考,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.()(4)双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)有共同的渐近线.()(5)P是-=1上的点,F1为左焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=17或1.()=1表示双曲线,则k的取值范围是().方程--A.-1<k<1B.k>0C.k≥0D.k>1或k<-1年安徽卷)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是().A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1石家庄一模)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P是双曲线上位于第一象限内一点,且△PF1F2的面积为6,则点P的坐标为.知识清单一、差的绝对值焦点焦距二、坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)y=±x y=±x a2+b2三、y=±x e=基础训练1.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.【解析】由题可知,方程表示双曲线应满足(1+k)(1-k)>0,则k的取值范围是-1<k<1.故选A.【答案】A3.【解析】由双曲线性质知A、B选项双曲线焦点在x轴上,不合题意;C、D选项双曲线焦点均在y轴上,但D选项渐近线为y=±x,只有C选项符合,故选C.【答案】C4.【解析】已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则c=4,a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1,故选A.【答案】A5.【解析】因为双曲线方程为-=1,所以c=3.又因为△PF1F2的面积为6,所以×2c×y P=6,所以y P=2.代入双曲线方程,得-=1,=,即x P=-舍去.【答案】题型一双曲线的定义【例1】(1)设动点P到点A(-5,0)的距离与它到点B(5,0)的距离的差等于6,则点P的轨迹方程是().A.-=1B.-=1C.-=1(x≤-3)D.-=1(x≥3)(2)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=().A. B. C. D.【解析】(1)由题意,点P的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,∴点P的轨迹方程为-=1(x≥3).故选D.(2)由e==2,得c=2a,如图,由双曲线的定义得|F1A|-|F2A|=2a,又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a,|F2A|=2a,∴cos∠AF2F1=-=.【答案】(1)D (2)A【变式训练1】(1)(2017陕西师大附中模拟)设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则△F2PQ的周长为().A.19B.26C.43D.50(2)设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,则此双曲线的方程为.【解析】(1)如图,由双曲线的定义可得①+②得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,∴△F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26.(2)由椭圆方程+=1,得椭圆的两个焦点分别为F1(0,-3),F2(0,3).设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).∵点A在第一象限,且纵坐标为4,∴A(,4),∴2a=||AF1|-|AF2||=|--|=4,∴a=2,b2=32-22=5,故所求双曲线的方程为-=1.【答案】(1)B(2)-=1题型二待定系数法求双曲线方程【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)双曲线的焦点在x轴上,且经过(-,-),两点;(2)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点M(3,-2);(3)与椭圆+=1有公共焦点,且离心率e=.【解析】(1)设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(m>0,n>0),由已知得--解得所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.(2)设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0),因为点M(3,-2)在双曲线上,所以-=λ,即λ=,故所求双曲线的标准方程为-=1.(3)设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),由已知得双曲线的焦点为F1(5,0),F2(-5,0),则c=5,由e==,知a=2,b2=c2-a2=25-(22=5.故双曲线的标准方程为-=1.【变式训练2】(1)(2017临川实验学校一模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1(2)(2017九江市三模)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,从C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为().A.-=1B.-y2=1C.-=1D.x2-=1【解析】(1)渐近线方程化简为x±y=0,设顶点坐标为(a,0),顶点到渐近线的距离为=,解得a=2,由渐近线方程的斜率=,可得b=2,所以双曲线的方程为-=1.故选B.(2)因为双曲线的离心率为,所以该双曲线的一条渐近线方程为y=2x,联立--得A.又因为△AFO的面积为1,所以×c2=1,解得c2=5,则a2=1,b2=4,即双曲线C的方程为x2-=1.故选D.【答案】(1)B(2)D题型三双曲线的离心率与渐近线【例3】(1)(2017惠州二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为().A. B. C.3 D.(2)(2017武邑中学周考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率的取值范围为().A.[2,+∞)B.[,+∞)C.(1,2]D.(1,]【解析】(1)任取一焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为b,则b=c⇒3b=c⇒9b2=2c2⇒9(c2-a2)=2c2⇒7c2=9a2⇒=⇒e=,故选D.(2)由双曲线的定义知,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF2|=a,而双曲线右支上的点到F2的最小距离为c-a,因此|PF2|=a≥c-a,得e≤2,又双曲线离心率e>1,所以1<e≤2.故选C.【答案】(1)D (2)C【变式训练3】(1)(2017重庆一中月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的离心率为().A. B. C. D.(2)(2017吉林省实验中学八模)已知双曲线-=1(a>0,b>0),过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是().A. B.(1,2)C. D.(2,+∞)【解析】(1)∵双曲线的渐近线方程为y=±x,直线x+2y+1=0的斜率为-,∴-×=-1,∴=2.∴双曲线的离心率e===.故选C.(2)|AB|是双曲线通径,|AB|=,由题意a+c<,即a2+ac<b2=c2-a2,c2-ac-2a2>0,即e2-e-2>0,解得e>2(e<-1舍去),故选D.【答案】(1)C (2)D方法双曲线中的焦点三角形问题双曲线-=1(a>0,b>0)中的“焦点三角形”即由双曲线上的一个动点P和两个焦点F1,F2作为顶点的三角形.(1)若∠F1PF2=α,则△F1PF2的面积=.(2)焦点三角形PF1F2的内切圆与x轴相切的切点恰好为双曲线的一个顶点.(3)焦点三角形PF1F2中,利用||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|=2c,借助余弦定理、正弦定理进行转化,可求得离心率及其取值范围.【突破训练】(1)(2017西铁一中五模)设F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),且|PF1|=|PF2|,则双曲线的离心率为().A. B.+1 C. D.+1(2)(2016年浙江卷)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【解析】(1)因为(+)·=0,即(+)·(-)=0,所以-=0,|OP|=|OF2|=|OF1|,所以PF1⊥PF2.在Rt△PF1F2中,因为|PF1|=|PF2|,所以∠PF1F2=30°,由|F1F2|=2c得|PF2|=c,|PF1|=c,所以2a=c-c.=+1,故选D.所以=-(2)如图,由已知可得a=1,b=,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设点P在右支上,|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2.由△PF1F2为锐角三角形,结合实际意义应满足解得-1+<m<3,所以2<2m+2<8.又|PF1|+|PF2|=2m+2,所以|PF1|+|PF2|的取值范围是(2.【答案】(1)D(2)(2,8)1.(2014年全国Ⅰ卷)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=().A.2B.C.D.1【解析】因为c2=a2+3,所以e===2,得a2=1,所以a=1.【答案】D2.(2017唐山市二模)已知双曲线过点(2,3),且渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程是().A.-=1B.-=1C.x2-=1D.-=1【解析】设双曲线的方程为x2-=λ,∵双曲线过点(2,3),∴4-=λ,即λ=1,故双曲线的方程是x2-=1,故选C.【答案】C3.(2014年广东卷)若实数k满足0<k<5,则曲线--=1与曲线--=1的().A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解析】∵0<k<5,∴5-k>0,16-k>0.又∵双曲线--=1的焦距是2-=2-;双曲线--=1的焦距是2-=2-.故选D.【答案】D4.(2017年天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】由题意得a=b,=1,所以c=4.又因为c2=a2+b2=16,所以a2=8,b2=8,则双曲线的方程为-=1.故选B.【答案】B5.(2017湖南八校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线C的实轴垂直,则双曲线C的离心率为().A. B. C. D.2【解析】设F(c,0),一条渐近线的方程为y=x,点F到该渐近线的距离为=b,即圆F的半径为b.令x=c,与双曲线方程联立解得y=±,依题意=b,所以a=b,所以双曲线C的离心率e===.【答案】C6.(2017山东枣庄一模)若原点O和点F(2,0)分别为双曲线x2-=1(a>0)的中心和右焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围是().A.[-1,+∞)B.[1,+∞)C.[2,+∞)D.[-2,+∞)【解析】由a2+1=4得a=,所以双曲线的方程为x2-=1.设点P(x0,y0),则-=1,即=3-3.所以·=x0(x0-2)+=4-2x0-3.因为x0≥1,所以当x0=1时,·取得最小值-1,所以·∈[-1,+∞).【答案】A7.(2017西安质检)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|= .【解析】双曲线的右焦点为F(2,0),过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为y=±x,将x=2代入y=±x,得y=±2,∴|AB|=4.【答案】48.(2017成都一诊)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,双曲线上一点P满足PF2⊥x轴.若|F1F2|=12,|PF2|=5,则该双曲线的离心率为.【解析】2c=12⇒c=6,根据勾股定理可得|PF1|==13,所以2a=13-5=8⇒a=4,所以双曲线的离心率e===.【答案】9.(2015年全国Ⅱ卷)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为().A. B.2 C. D.【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),如图,由|AB|=|BM|,∠ABM=120°,则过点M作MN⊥x轴,垂足为N,在Rt△BMN 中,|BN|=a,|MN|=a,故点M的坐标为(2a,a),代入双曲线方程可得a2=b2=c2-a2,即有c2=2a2,所以e==.故选D.【答案】D10.(2017曲靖一中月考)设F1,F2分别是双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A,B两点,若点F2满足·<0,则双曲线的离心率e的取值范围是().A.1<e<+1B.e>+1C.1<e<D.e>【解析】由双曲线的对称性可知△ABF2是等腰三角形,且∠AF2B是钝角,所以<∠AF2F1=∠AF2B<,所以tan∠AF2F1>1,即>1.又|AF1|=,所以>1,即c2-a2>2ac,化简得e2-2e-1>0,解得e>+1,故选B.【答案】B11.(2017柳州市模拟)设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线l交双曲线的左支于A、B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.【解析】|AF2|+|BF2|=2a+|AF1|+2a+|BF1|=4a+|AB|≥4a+=4×3+=16.【答案】1612.(2017烟台模拟)给出下列说法:①“m>5”是“---=1为双曲线”的充分不必要条件;。