2003年数学建模A题
2003年全国高中数学联赛试题及解答
O
x
O
x
O
xOx源自A.2 2B.
C.
D.
x y 解：曲线方程为 + =1，直线方程为 y=ax+b． a b 由直线图形，可知 A 、C 中的 a<0，A 图的 b>0，C 图的 b<0，与 A 、C 中曲线为椭圆矛盾． 由直线图形，可知 B 、D 中的 a>0，b<0，则曲线为焦点在 x 轴上的双曲线，故选 B ． 2 3．过抛物线 y =8(x+2)的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于点 P ，则线段 PF 的长等于 16 8 16 (A) (B) (C) 3 (D) 8 3 3 3 3 p 4 解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦 AB 所在直线方程为 y= 3x，弦的中点在 y= = 上，即 AB 中点 k 3 4 4 3 4 4 16 16 为( ， )，中垂线方程为 y=－ (x－ )+ ，令 y=0，得点 P 的坐标为 ．∴ PF= ．选 A ． 3 3 3 3 3 3 3
2003 年全国高中数学联赛
通渭一中
刘黎明
2003 年全国高中数学联合竞赛试题及解答
第一试 (10 月 12 日上午 8:009:40) 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1．删去正整数数列 1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第 2003 项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 解： 452 =2025， 462 =2116 ． 在 1 至 2025 之间有完全平方数 45 个， 而 2026 至 2115 之间没有完全平方数． 故 1 至 2025 中共有新数列中的 2025－45=1980 项．还缺 2003－1980=23 项．由 2025+23=2048．知选 C． 2 2 2．设 a，b∈R ，ab≠0，那么直线 ax－y+b=0 和曲线 bx +ay =ab 的图形是
全国大学生数学建模优秀论文A题
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：S55001所属学校（请填写完整的全名）：郑州科技学院参赛队员(打印并签名) ：1. 刘超2. 赵芬芳3. 尹峰指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：闫天增日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：葡萄酒的评价摘要确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。
酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。
本文通过对27种红葡萄酒和28种白葡萄的理化指标数据进行分析，采用显著性差异分析法、可靠度分析、因子分析法、相关系数分析、主成分分析法以及聚类分析法，借助统计软件SPSS和数学软件MATLAB，分析了两组评酒员的评价结果有无显著性差异和可信度，给出了酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，建立了基于酿酒葡萄理化指标和葡萄酒质量的聚类分析模型确定了葡萄酒质量的影响因素，最后通过补充相关信息，建立基于分析模型确定了葡萄酒质量的影响因素。
2003年美国大学生数学建模竞赛题目
2003年美国大学生数学建模竞赛题目问题A: 特技演员影片在拍摄中影片在拍摄中, , , 一个激动人心的动作场景将要摄入镜头一个激动人心的动作场景将要摄入镜头一个激动人心的动作场景将要摄入镜头, , , 而你是特技协而你是特技协调员调员! ! ! 一位特技演员驾驶着摩托车跨越一头大象，一位特技演员驾驶着摩托车跨越一头大象，随后跌落在借以缓冲的一堆纸箱上一堆纸箱上. . . 你需要保护特技演员你需要保护特技演员你需要保护特技演员,,而且而且, , , 也要使用相对而言较少的纸箱也要使用相对而言较少的纸箱（较低的花费（较低的花费, , , 不能进入镜头不能进入镜头不能进入镜头, , , 等等）。
等等）。
你的工作如下：? 确定所用纸箱的大小确定所用纸箱的大小确定所用纸箱的数目确定所用纸箱的数目? 确定纸箱的堆放办法确定纸箱的堆放办法? 还请确定还请确定还请确定, , , 通过对纸箱的各种调整通过对纸箱的各种调整通过对纸箱的各种调整, , , 是否会有所帮助是否会有所帮助? 请把你的研究推广到不同组合重量（特技演员请把你的研究推广到不同组合重量（特技演员请把你的研究推广到不同组合重量（特技演员 & & & 摩托车）和不同跨越摩托车）和不同跨越高度的情形留心一下留心一下, , , 在影片“明日帝国”中，角色在影片“明日帝国”中，角色James Bond Bond 驾驶着摩托车飞过驾驶着摩托车飞过一架直升机一架直升机. .问题B: Gamma 刀治疗方案立体定位放射外科立体定位放射外科, , , 用单一高剂量离子化射束在用单一高剂量离子化射束在X 光机精确界定下照射颅内的一个小的3D 脑瘤脑瘤, , , 与此同时与此同时与此同时, , , 并没有处方剂量的任何显著份额伤并没有处方剂量的任何显著份额伤及周边的脑组织及周边的脑组织. . . 在这个领域中在这个领域中在这个领域中,,一般有三种形式的射束可以采用，分别是Gamma 刀单元刀单元, , , 带电重粒子射束带电重粒子射束带电重粒子射束, , , 以及来自直线加速器的外用高能光以及来自直线加速器的外用高能光子束子束. .Gamma 刀单元具备的单一高剂量离子化射束刀单元具备的单一高剂量离子化射束, , , 是是201个钴个钴-60-60单位源通过厚重的盔状物发射出来的。
2023国赛数学建模a题
2023国赛数学建模a题（以下是根据题目进行了适当扩展的1800字文章，介绍2023国赛数学建模A题的内容和解题思路）2023国赛数学建模A题2023年国赛数学建模竞赛A题目要求参赛者分析和解决一个与实际生活相关的数学问题。
本文将按照数学建模的常见步骤，逐步展开对该题目的详细分析和解题思路。
通过使用数学建模的方法，我们将探索一个有趣且具有挑战性的问题。
1. 问题描述本题的具体问题描述是：某公司需要根据历史销售数据和市场发展趋势，预测未来5年内某款产品的销售量。
参赛者需要基于给定的数据，在考虑各种因素的前提下，设计出合适的数学模型，进行销售量的预测。
2. 数据分析在解决这个问题之前，我们首先需要对给定的数据进行仔细分析。
通过对历史销售数据的观察，我们可以发现销售量受到多个因素的影响，如季节性变化、市场推广活动等。
参赛者需要筛选并整理相关数据，以便更好地进行后续的建模工作。
3. 模型构建在模型构建阶段，参赛者可以结合数据分析的结果，通过建立数学模型来预测未来产品销售量。
常用的数学模型包括线性回归模型、时间序列模型等。
参赛者可以根据实际情况选择合适的模型，并对模型进行适当的修改和优化，以提高预测精度。
4. 参数估计模型构建完成后，我们需要对模型中的参数进行估计。
通过使用历史数据，参赛者可以利用最小二乘法等统计方法对模型中的参数进行估计。
同时，还需要进行参数的验证，并根据验证结果对模型进行调整，以减小预测误差。
5. 模型验证一旦参数估计完成，我们就需要对模型进行验证。
参赛者可以将模型应用于历史数据的一部分，并比较预测结果与实际销售量的差异。
通过比较差异，我们可以评估模型的准确性，并对模型进行调整和改进。
6. 预测分析在模型验证通过后，我们可以将模型应用于未来5年的销售量预测。
通过根据市场发展趋势和其他相关因素，参赛者可以预测产品在未来几年内的销售情况。
同时，还需要对预测结果进行风险分析，以了解预测结果的可靠性和可能的不确定性。
2003年数学建模A题
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）A题 SARS的传播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
附件1：SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。
前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。
在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。
希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。
1 模型与参数假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。
则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。
美国数学建模竞赛题目(1985--2009年)
美国数学建模竞赛题目1985年：A题：动物群体的管理B题：战略物资储备的管理问题1986年：A题：海底地型测量问题B题：应急设施的优化选址问题1987年：A题：堆盐问题（盐堆稳定性问题）B题：停车场安排问题1988年：A题：确定毒品走私船位置B题：平板列车车厢的优化装载1989年：A题：蠓虫识别问题；最佳分类与隔离B题：飞机排队模型1990年：A题：脑中多巴胺的分布B题：铲雪车的路径与效率问题1991年：A题：估计水塔的水流量B题：通信网络费用问题1992年：A题：雷达系统的功率与设计式样B题：紧急修复系统的研制1993年：A题：堆肥问题B题：煤炭装卸场的最优操作1994年：A题：保温房屋设计问题B题：计算机网络的最小接通时间1996年：A题：大型水下物体的探测B题：快速遴选优胜者问题1997年：A题：恐龙捕食问题B题：会议混合安排问题1998年：A题：MRI图象处理问题B题：分数贬值问题1999年：A题：小星体撞击地球问题B题：公用设施的合法容量问题C题：确定环境污染的物质、位置、数量和时间的问题2000年：A题：空间交通管制B题：无线电信道分配C题：大象群落的兴衰2001年：A题：选择自行车车轮B题：逃避飓风怒吼C题：我们的水系-不确定的前景2002年：A题：风和喷水池B题：航空公司超员订票C题：如果我们过分扫荡自己的土地，将会失去各种各样的蜥蜴。
2003年：A题：特技演员B题：Gamma刀治疗方案C题：航空行李的扫描对策2004年：A题：指纹是独一无二的吗？B题：更快的快通系统C题：安全与否？2005年：A题：flood planningB题：tollboothsC题: Nonrenewable Resources2006年：A题：Positioning and Moving SprinklerSystems for IrrigationB题：Wheel Chair Access at AirportsC题：Trade-offs in the fight againstHIV/AIDS2007年：A题：GerrymanderingB题：The Airplane Seating ProblemC题：Organ Transplant: The Kidney Exchange Problem2008年：A题：Take a BathB题：Creating Sudoku PuzzlesC题：Finding the Good in Health Care Systems2009年：A题：Designing a Traffic CircleB题：Energy and the Cell PhoneC题：Creating Food Systems: Re-Balancing Human-Influenced Ecosystems。
全国大学生数学建模竞赛题选
全国大学生数学建模竞赛题选2001年C题基金使用计划某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。
当前银行存款及各期国库券的利率见下表。
假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。
取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。
校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。
请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1.只存款不购国库券；2.可存款也可购国库券。
3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其2003年C 题2002年5月1日，“武汉国际抢渡长江挑战赛”在江城隆重举行，参赛的国内外选手共186人。
虽然选手中专业人员将近一半，但仅34人到达终点。
与此形成鲜明对比的是，于1934年9月9日在武汉首次举办的横渡长江游泳竞赛，参赛的44人中，却有40人到达终点。
究其原因，关键在于游泳者能否根据自己的速度，合理地选择游泳方向。
假设竞渡区域两岸为平行线，它们之间的垂直距离为1160米，从起点正对岸到终点的距离为1000米，见图1。
具体问题如下：1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，水流速度为1.89米/秒。
已知第一名的成绩为14分8秒，求她游泳的路线，游泳速度的大小和方向；已知一游泳者速度大小为1.5米/秒，求他的游泳方向并估计他的成绩。
2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
图1. 渡江示意图3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向) ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(0y y y y v游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。
2003年全国高中数学联赛试题及解答
2003年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月12日上午8:00-9:40)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是A. B. C. D.3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)163(B)83(C)163 3 (D) 8 34．若x∈[－5π12，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是(A)125 2 (B)116 2 (C)116 3 (D)125 35．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A)85(B)2411(C)127(D)1256．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π3，则四面体ABCD 的体积等于(A)32(B)12(C)13(D)33二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若A⊆B，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a－c=9，则b－d=．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设M n={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…a n|a i只取0或1(i=1，2，…，n－1)，a n=1}，T n是M n中元素的个数，S n是M n中所有元素的和，则limn→∞S nT n=．三、（本题满分20分）13．设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R )与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠P AC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是A. B. C. D.解：曲线方程为x2a+y2b=1，直线方程为y=ax+b．由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)163(B)83(C)163 3 (D) 8 3解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．4．若x∈[－5π12，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是(A)125 2 (B)116 2 (C)116 3 (D)125 3解：令x+π6=u，则x+2π3=u+π2，当x∈[－5π12，－π3]时，u∈[－π4，－π6]，y=－(cot u+tan u)+cos u=－2sin2u+cos u．在u∈[－π4，－π6]时，sin2u与cos u都单调递增，从而y单调递增．于是u=－π6时，y取得最大值1163，故选C．5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A)85(B)2411(C)127(D)125解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－12)∪(12，2)，u=44－x2+9x29x2－1=－9x4+72x2－4－9x4+37x2－4=1+3537－(9x2+4x2)．当x∈(－2，－12)∪(12，2)时，x2∈(14，4)，此时，9x2+4x2≥12．(当且仅当x2=23时等号成立)．此时函数的最小值为125，故选D．6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为π3，则四面体ABCD的体积等于(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sin π3×2=3． 而四面体ABCD 的体积=16×平行六面体体积=12．故选B ． 二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0解：即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3．∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．解：F 1(－5，0)，F 2(5，0)；|F 1F 2|=25．|PF 1|+|PF 2|=6，⇒|PF 1|=4，|PF 2|=2．由于42+22=(25)2．故∆PF 1F 2是直角三角形55． ∴ S=4．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R }若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．解：A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．解：a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9． ∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．解：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则 MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．解：由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n ．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．三、（本题满分20分）13．设32≤x ≤5，证明不等式2x +1+2x －3+15－3x <219．NM DC B A解：x +1≥0，2x －3≥0，15－3x ≥0．⇒32≤x ≤5．由平均不等式x +1+x +1+2x －3+15－3x 4≤x +1+x +1+2x －3+15－3x 4≤14+x4．∴ 2x +1+2x －3+15－3x=x +1+x +1+2x －3+15－3x ≤214+x ．但214+x 在32≤x ≤5时单调增．即214+x ≤214+5=219．故证．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R )与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．解：曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t ) ∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c ≠0，得4x 2+4x +1=0，此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．解：对于⊙O 上任意一点A '，连AA '，作AA '的垂直平分线MN ，连OA '．交MN 于点P ．显然OP +P A=OA '=R ．由于点A 在⊙O 内，故OA=a <R ．从而当点A '取遍圆周上所有点时，点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OA=a 为焦距，R (R >a )为长轴的椭圆C ． 而MN 上任一异于P 的点Q ，都有OQ +QA=OQ +QA '>OA '．故点Q 在椭圆C 外．即折痕上所有的点都在椭圆C 上及C 外．反之，对于椭圆C 上或外的一点S ，以S 为圆心，SA 为半径作圆，交⊙O 于A '，则S 在AA '的垂直平分线上，从而S 在某条折痕上．最后证明所作⊙S 与⊙O 必相交．1︒ 当S 在⊙O 外时，由于A在⊙O 内，故⊙S 与⊙O 必相交； 2︒ 当S 在⊙O 内时(例如在⊙O 内，但在椭圆C 外或其上的点S ')，取过S '的半径OD ，则由点S '在椭圆C 外，故OS '+S 'A ≥R (椭圆的长轴)．即S 'A ≥S 'D ．于是D 在⊙S '内或上，即⊙S '与⊙O 必有交点．于是上述证明成立．综上可知，折痕上的点的集合为椭圆C上及C外的所有点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠P AC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠P AC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．证明：连AB ．∵ ∆PBC ∽∆PDB ， ∴ BD BC =PD PB ，同理，AD AC =PD P A ． ∵ P A=PB ，∴ BD AD =BC AC． ∵ ∠BAC=∠PBC=∠DAQ ，∠ABC=∠ADQ ．∴ ∆ABC ∽∆ADQ ． ∴ BC AC =DQ AQ ．∴ BD AD =DQ AQ．∵ ∠DAQ=∠PBC=∠BDQ ． ∴ ∆ADQ ∽∆DBQ ．∴ ∠DBQ=∠ADQ=∠P AC ．证毕．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．解：当3l 、3m 、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)． 下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N *，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501． 取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．证明：设点集为V ＝{A 0，A 1，…，A n －1}，与A i 连线的点集为B i ，且|Bi |＝b i ．于是1≤b i ≤n －1．又显然有i ＝0n －1∑b i ＝2l ≥q (q +1)2+2．O Q CD B AP若存在一点与其余点都连线，不妨设b 0＝n －1． 则B 0中n －1个点的连线数l －b 0≥12q (q +1)2+1－(n －1) (注意：q (q +1)＝q 2+q ＝n －1)＝12(q +1)(n －1)－(n －1)+1＝12(q －1)(n －1)+1 ≥12(n －1)+1≥[12(n －1)]+1．(由q ≥2) 但若在这n －1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n －1个点内至多连线[n －12]条，故在B 0中存在一点A i ，它与两点A j 、A k (i 、j 、k 互不相等，且1≤i ，j ，k )连了线，于是A 0、A j 、A i 、A k 连成四边形．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i+2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式) ＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即(n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入)得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ① 但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．② (nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③ 又(nq －q －n +3－b 0)、(nq －q +2－b 0)、q (n －b 0－1)、(q +1)(n －b 0)均为正整数，从而由②、③得， q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)＜(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)． ④ 由①、④矛盾，知原命题成立．又证：画一个n ×n 表格，记题中n 个点为A 1，A 2，…，A n ，若A i 与A j 连了线，则将表格中第i 行j 列的方格中心涂红．于是表中共有2l 个红点，当d (A i )＝m 时，则表格中的i 行及i 列各有m 个红点．且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红．由已知，表格中必有一行有q ＋2个红点．不妨设最后一行前q ＋2格为红点．其余格则不为红点(若有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点．若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点．于是，前n －1行的前q ＋2个方格中，每行至多有1个红点．去掉表格的第n 行及前q ＋2列，则至多去掉q ＋2＋(n －1)＝q ＋2＋q 2＋q ＝(q ＋1)2＋1个红点．于是在余下(n －1)×(n －q －2)方格表中，至少有2l －(q ＋1)2－1＝q (q ＋1)2＋2－(q ＋1)2－1＝(q －1)(q ＋1)2＋1＝q 3＋q 2－q 个红点．设此表格中第i 行有m i (i ＝1，2，…，n －1)个红点，于是，同行的红点点对数的总和＝i ＝1n －1∑C 2 m i ．其中n －1＝q 2＋q ．(由于当n ＞k 时，C 2n ＋C 2k ＜C 2 n ＋1＋C 2k －1，故当红点总数为q 3＋q 2－q 个时，可取q 2行每行取q 个红点，q 行每行取q －1个红点时i ＝1n －1∑C 2 m i 取最小值，由下证可知红点数多于此数时更有利于证明．即) 但 q 2C 2q ＋q C 2q －1≤i ＝1n －1∑C 2 m i ．由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2m i≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。
2003年大学生电工数学建模竞赛试题
甲题：电站建设为满足甲地区对电能的需求，需建若干个电站，组成一个供电系统。
为使问题简化，只考虑一个目标年，所有电站都新建，且只考虑一个目标年的供电。
依据乙地区某年的负荷曲线（负荷与时间的关系），确定甲地区一个目标年内的电能需求量。
乙地区某年内在时刻t的负荷（电站总输出功率）F(t)（单位：kw）为:数据在文件GDJM0399.dat中，共3000个记录，每个记录有3个数，分别是(1)式中的t、x、f(x)。
负荷持续时间曲线（需求量，即负荷的时间分布）是抛物线。
需建n（n给定）个电站组成供电系统为甲地区供电。
每个电站的费用由固定费用和运行费用构成。
固定费用与装机容量（总供电能力（功率））成正比；单位时间的运行费用与输出功率的平方成正比。
第i 个电站的固定费用和运行费用的（比例）系数分别为。
单位：元／kw.小时请给出总费用最少的供电方案，给出各电站的装机容量（总功率）及其累计运行时间。
（1）按照上例中的数据进行计算，并给出结果；（2）对任意正整数n，推广你的算法；（3）试讨论若给定的数据有误差，如何处理。
GDJM0399.dat记录t x f(x)0 438.3702 458.8721 2.92 875.3721 444.7417 5.84 1309.267 430.0282 8.76 1738.515 414.8021 11.68 2161.597 399.1424 14.6 2577.021 383.136 17.52 2983.327 366.877 20.44 3379.099 350.4653 23.36 3762.963 334.006 26.28 4133.6 317.608 29.2 4489.749 301.3827 32.12 4830.212 285.4431 35.04 5153.858 269.902 37.96 5459.636 254.8707 40.88 5746.563 240.4584 43.8 6013.747 226.7701 46.72 6260.38 213.9053 49.63999 6485.741 201.9578 52.55999 6689.204 191.0133 55.47999 6870.237 181.1494 58.39999 7028.405 172.4344 61.31999 7163.373 164.926 64.23998 7274.904 158.6718 67.15998 7362.863 153.7076 70.07998 7427.216 150.058 72.99998 7468.028 147.7357 75.91998 7485.467 146.7415 78.83998 7479.798 147.0648 81.75997 7451.383 148.6836 84.67997 7400.678 151.5649 87.59997 7328.237 155.6652 90.51997 7234.698 160.9316 93.43996 7120.791 167.302 96.35996 6987.322 174.7067 99.27996 6835.182 183.0687 102.2 6665.334 192.305 105.12 6478.808 202.328 108.04 6276.705 213.046 110.96 6060.176 224.3651 113.88 5830.431 236.1895 116.8 5588.729 248.4233 119.72 5336.365 260.971125.56 4805.015 286.6371 128.48 4528.774 299.577 131.4 4247.347 312.4758 134.32 3962.143 325.2554 137.24 3674.571 337.8433 140.1599 3386.036 350.1726 143.0799 3097.929 362.183 145.9999 2811.627 373.8207 148.9199 2528.48 385.0385 151.8399 2249.804 395.7959 154.7599 1976.886 406.0588 157.6799 1710.961 415.7995 160.5999 1453.222 424.9962 163.5199 1204.8 433.633 166.4399 966.7721 441.699 169.3599 740.1488 449.188 172.2799 525.8718 456.0981 175.1999 324.8053 462.4311 178.1199 137.7393 468.1919 181.0399 34.61954 471.3133 183.9599 191.6461 466.5448 186.8799 332.8072 462.1819 189.7999 457.6562 458.2631 192.7199 565.8391 454.8218 195.6399 657.0946 451.8861 198.5599 731.2555 449.4781 201.4799 788.2493 447.614 204.3999 828.0979 446.3037 207.3199 850.9178 445.5507 210.2399 856.9183 445.3524 213.1599 846.4022 445.6999 216.0799 819.7598 446.5783 218.9999 777.4725 447.9673 221.9199 720.1057 449.8414 224.8399 648.3078 452.1701 227.7599 562.8056 454.9189 230.6799 464.4022 458.0497 233.5999 353.9707 461.5216 236.5199 232.4513 465.291 239.4399 100.8459 469.313 242.3599 39.78739 471.1578 245.2799 188.3392 466.6461 248.1999 343.656 461.8436254.0399 669.768 451.476 256.9599 838.0826 445.9745 259.8799 1008.21 440.3095 262.7999 1178.859 434.522 265.7199 1348.733 428.6561 268.6399 1516.535 422.7593 271.5599 1680.969 416.882 274.48 1840.758 411.0771 277.4 1994.638 405.3995 280.32 2141.374 399.9057 283.24 2279.759 394.6531 286.16 2408.629 389.6994 289.08 2526.858 385.1019 292 2633.372 380.9167 294.9201 2727.152 377.1978 297.8401 2807.243 373.9966 300.7601 2872.75 371.3611 303.6801 2922.851 369.3349 306.6001 2956.798 367.9568 309.5201 2973.924 367.26 312.4401 2973.64 367.2716 315.3602 2955.447 368.0117 318.2802 2918.929 369.4938 321.2002 2863.769 371.7233 324.1202 2789.736 374.6983 327.0402 2696.696 378.409 329.9602 2584.612 382.8377 332.8802 2453.539 387.959 335.8002 2303.634 393.7399 338.7203 2135.149 400.1403 341.6403 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392.4678 2645.518 2204.159 397.5311 2648.438 2062.47 402.8695 2651.358 1912.916 408.4254 2654.277 1756.715 414.1418 2657.197 1595.115 419.9629 2660.117 1429.385 425.8346 2663.037 1260.811 431.7052 2665.957 1090.689 437.5254 2668.877 920.3164 443.2493 2671.797 750.9887 448.834 2674.717 583.9913 454.2403 2677.637 420.5899 459.4324 2680.557 262.0319 464.3784 2683.477 109.5308 469.0496 2686.397 35.73419 471.2798 2689.317 172.6255 467.12712695.156 416.9664 459.5465 2698.076 522.4274 456.2078 2700.996 615.4728 453.2288 2703.916 695.3037 450.6479 2706.836 761.0937 448.5036 2709.756 812.2029 446.827 2712.676 847.9631 445.6483 2715.596 867.8895 444.9895 2718.516 871.4906 444.8703 2721.436 858.4467 445.3019 2724.356 828.4703 446.2914 2727.276 781.4006 447.8386 2730.195 717.1553 449.9374 2733.115 635.7385 452.5758 2736.035 537.2688 455.7347 2738.955 421.9611 459.3892 2741.875 290.0923 463.5097 2744.795 142.0754 468.0597 2747.715 21.63208 471.7037 2750.635 200.4481 466.2748 2753.555 393.716 460.2771 2756.475 600.6811 453.7045 2759.395 820.5369 446.5527 2762.315 1052.402 438.8209 2765.235 1295.294 430.5127 2768.154 1548.175 421.636 2771.074 1809.929 412.2042 2773.994 2079.426 402.2345 2776.914 2355.441 391.7512 2779.834 2636.724 380.7843 2782.754 2921.988 369.3698 2785.674 3209.856 357.5527 2788.594 3499.029 345.3801 2791.514 3788.06 332.9113 2794.434 4075.615 320.2062 2797.354 4360.234 307.3362 2800.274 4640.532 294.3752 2803.193 4915.092 281.4039 2806.113 5182.531 268.5068 2809.033 5441.473 255.773 2811.953 5690.555 243.2951 2814.873 5928.445 231.1683 2817.793 6153.906 219.48622823.633 6562.522 197.8452 2826.553 6743.349 188.0755 2829.473 6907.106 179.126 2832.393 7052.739 171.0855 2835.313 7179.357 164.0325 2838.233 7286.062 158.0436 2841.152 7372.111 153.1841 2844.072 7436.771 149.5148 2846.992 7479.477 147.0831 2849.912 7499.677 145.9306 2852.832 7496.969 146.0852 2855.752 7471.018 147.5653 2858.672 7421.61 150.3765 2861.592 7348.603 154.5143 2864.512 7251.973 159.9614 2867.432 7131.792 166.6888 2870.352 6988.25 174.6555 2873.272 6821.594 183.8115 2876.192 6632.228 194.0932 2879.111 6420.59 205.4306 2882.031 6187.265 217.742 2884.951 5932.917 230.9384 2887.871 5658.323 244.9224 2890.791 5364.305 259.5932 2893.711 5051.76 274.8455 2896.631 4721.724 290.5677 2899.551 4375.279 306.6477 2902.471 4013.612 322.971 2905.391 3637.917 339.4262 2908.311 3249.45 355.9039 2911.231 2849.578 372.2951 2914.151 2439.695 388.4963 2917.07 2021.263 404.4084 2919.99 1595.695 419.9422 2922.91 1164.557 435.0111 2925.83 729.3112 449.5415 2928.75 291.5368 463.4649 2931.67 147.1759 467.9043 2934.59 585.3324 454.1972 2937.51 1021.308 439.869 2940.43 1453.652 424.9811 2943.35 1880.701 409.6116 2946.27 2301.012 393.84032949.19 2713.136 377.7556 2952.11 3115.567 361.4563 2955.029 3506.996 345.0405 2957.949 3885.952 328.6197 2960.869 4251.195 312.3014 2963.789 4601.518 296.1962 2966.709 4935.694 280.4196 2969.629 5252.701 265.0801 2972.549 5551.41 250.2933 2975.469 5830.952 236.1629 2978.389 6090.42 222.7943 2981.309 6329.061 210.2836 2984.229 6546.235 198.7194 2987.149 6741.267 188.1887 2990.068 6913.727 178.7622 2992.988 7063.182 170.506 2995.908 7189.365 163.4725 2998.828 7292.066 157.7055 3001.748 7371.178 153.2369 3004.668 7426.729 150.0857 3007.588 7458.803 148.2611 3010.508 7467.627 147.7586 3013.428 7453.49 148.5636 3016.348 7416.796 150.65 3019.268 7358.036 153.9808 3022.188 7277.811 158.5082 3025.108 7176.767 164.1773 3028.027 7055.699 170.9213 3030.947 6915.41 178.6696 3033.867 6756.863 187.3407 3036.787 6581.002 196.8522 3039.707 6388.925 207.113 3042.627 6181.71 218.0328 3045.547 5960.578 229.5146 3048.467 5726.727 241.4644 3051.387 5481.438 253.786 3054.307 5226.036 266.3844 3057.227 4961.843 279.168 3060.147 4690.237 292.0471 3063.067 4412.624 304.9353 3065.986 4130.378 317.7526 3068.906 3844.935 330.4221 3071.826 3557.659 342.8753 3074.746 3270.009 355.0455。
2003年全国高中数学联赛试题及解答
三、（本题50分）
由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)．
在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．
∴Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．
∴==．
三、（本题满分20分）
13．设≤x≤5，证明不等式
2++<2．
解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．≤x≤5．
由平均不等式≤≤．
∴2++=+++≤2．
2003年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试
(10月12日上午8:009:40)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是
(A)2046(B)2047(C) 2048 (D) 2049
2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是
MN=－1．EM=，故EN2=3－(－1)2=2．∴EN=．所求圆柱的高=2+．
12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．
2023年全国数学建模a题第一题
2023年全国数学建模A题第一题一、概述在2023年全国数学建模比赛中，A题的第一题是一个涉及到矩阵运算和线性代数知识的题目。
该题目具有一定的挑战性和实用性，要求参赛选手能够灵活运用数学知识解决实际问题，展现出扎实的数学建模能力。
二、题目要求本题要求选手根据给定的矩阵运算规则，进行定性分析和定量分析，并给出相应的理论模型。
1. 给定一个m×n的实矩阵A=[本人j]，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
对矩阵A中的每个元素进行如下的操作：若本人j是正数，则将本人j的值减半；若本人j是负数，则将本人j取绝对值。
2. 对经过上述操作后的矩阵A进行转置得到矩阵B，即B=A^T。
3. 给定一个m×n的实矩阵C=[cij]，其中1≤i≤m，1≤j≤n。
对矩阵C 中的每个元素进行如下的操作：若cij是正数，则将cij的值加倍；若cij是负数，则将cij取相反数。
4. 对经过上述操作后的矩阵C进行转置得到矩阵D，即D=C^T。
5. 求证：矩阵B与矩阵D的乘积得出的矩阵E满足以下性质：矩阵E 是一个对称矩阵。
三、解题思路针对题目要求，参赛选手需要按照以下步骤进行解题：1. 对给定矩阵A进行定性分析，分析经过操作后的矩阵B的特点和性质。
2. 对给定矩阵C进行定量分析，计算经过操作后的矩阵D的数值。
3. 推导并证明矩阵B与矩阵D的乘积得出的矩阵E是一个对称矩阵。
四、解题方法针对题目要求，可以采用以下解题方法：1. 对矩阵A进行定性分析，可以根据给定的操作规则，通过数学推导和分析，得出矩阵B的特点和性质，包括矩阵B的元素取值规律、矩阵B的转置性质等。
2. 对矩阵C进行定量分析，可以利用线性代数知识，计算经过操作后的矩阵D的数值，并对矩阵D的元素取值规律进行分析。
3. 推导并证明矩阵B与矩阵D的乘积得出的矩阵E是一个对称矩阵，可以通过矩阵乘法运算和对称矩阵的性质进行推导和证明。
五、解题过程针对题目要求，参赛选手可以按照以下步骤进行解题过程的详细描述：1. 对矩阵A进行定性分析，包括对矩阵A中每个元素进行操作后的取值规律的推导和分析，以及矩阵B的转置性质的分析。
数学建模2003年a卷试题答案
1993年A 题交调频率设计的参考解答1. 问题分析根据题目给出的数据条件,首先要确定输入输出的函数关系.这是一个曲线拟合问题.由于交调是因为输入u(t)的乘方产生的.故此处用多项式拟合输入输出关系是恰当的.那么,拟合多项式的最高次数是多少?因为u k (t)可能产生≤k 阶类型的交调,而题目要求考虑二阶和三阶类型的交调,故最高次数必定≥3.到底最高次数为多少,待后面通过计算再确定.2. 模型假设(1)不考虑系统外部的干扰;(2)拟合出的输入输出关系,对自变量u(t)在其有效范围内均成立.3. 模型建立及求解(1)输入输出关系的建立由前面的分析,输入输出关系应该用≥3次的多项式拟合.那么,我们试用不同次数的多项式进行拟合来比较,结果发现用≥4次的多项式进行拟合时，拟合出的多项式中次数≥4的项的系数非常小(≤10-5),以致不会对结果产生影响.故用三次多项式进行拟合已达到精度了.设拟合多项式为:y(t)=α0+α1u(t)+ α2u 2(t)+ α3u 3(t)在所给的数据中有u=0时,y=0.故选取α0=0较好,于是拟合多项式化为:y(t)= α1u(t)+ α2u 2(t)+ α3u 3(t)用最小二乘法对y(t)进行三元回归确定系数.记x 1(t)=u(t),x 2(t)=u 2(t),x 3(t)=u 3(t).令:∑=---=ϕ91i 2i 33i 22i 11i321)x a x a x a y ()a ,a ,a (求a 1,a 2,a 3使Φ(a 1,a 2,a 3)为最小. 由3,2,1k 0k ==α∂ϕ∂得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============913391232913219131912391322912219121911391312912119121)()()()2()()()2()()(i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i x y a x a x x a x x x y a x a x a x x x y a x a x x a x解此方程组得a 1=0.2441a 2=0.04538a 3=-0.0004133故拟合多项式为:y(t)=0.2441u(t)+0.04538u 2(t)-0.000413u 3(t) (11.13)可以用Mathematica 软件作函数拟合与上述结果进行比较.(2)频率约束条件下的初步配置由假设(2),输入输出关系(11.13)对u(t)在其有效范围内均成立.故可将输入u(t)=∑=π31k k k t f 2cos A(14)代入(11.14)式,经整理得到输出y(t)的频率成分有以下几种:①1阶:f i ,i=1,2,3;②2阶:|f i ±f j |,i,j=1,2,3;③3阶:| f i ±f j ±f k |, i,j=1,2,3.由约束条件36≤f 1≤40,41≤f 2≤50,46≤f 3≤55得f i +f j ≥77>f 3+6| f i -f j |≤19<f 1-6f i +f j +f k >f 3+6故二阶交调和三阶交调中的f i +f j +f k ,均不在f i (i=1,2,3)产生干扰的频带[30,61]中.因此,这些交调可以不必考虑.剩余的三阶交调为如下形式:d(i,j)=2f i -f j (i ≠j)g(i,j,k)=f i +f j -f k (i ≠j ≠k) (11.15)根据条件(2)与(4)应满足下述不等式)6.11(6|f f |6|f )k ,j ,i (g |6|f )j ,i (d |j i m k ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≥-用计算机求解满足上述条件的频率组是比较容易的.具体作法是:采用穷举法,逐一选出满足(11.16)式的频率组(在计算过程中,不妨设f 1<f 2<f 3).最终求得满足频率约束(11.16),即满足条件(2),(4)的6组解为f i f 2 f 31 36 42 552 36 49 553 36 42 544 36 48 545 37 43 556 37 49 55(3)信噪比条件下的进一步配置信噪比SNR 的约束是:当交调出现在f i ±6时,要求SNR>10(dB).因此,需从上述6组解中,进一步求出满足SNR 要求的解.为此,需计算输出y(t)中频率为f i 的系数和交调2f i -f j ,f i +f j -f k (i ≠j ≠k)的系数.将(11.14)式代入(11.13)得:)17.11(y y y )cos A (a )cos A (a cos A a y 321331k k k 3231k k k 231k k k1++∆θ+θ+θ=∑∑∑===其中θk =2πf k t,a 1,a 2,a 3是拟合多项式的系数.其中y 2仅包含二阶交调,故无影响.y 3较复杂,可能出现频率成分θk ,2θk -θj , θi +θj -θk (i ≠j ≠k).要方便的求出各种频率的系数,比较好的办法是采用Fourier 级数展开，这样能够处理更一般的问题。
2003年全国高中数学联赛试题及解答
2003年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月12日上午8:00 9:40)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是A. B. C. D.3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)163(B)83(C)163 3 (D) 8 34．若x∈[－512，－3]，则y=tan(x+23)－tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是(A)125 2 (B)116 2 (C)116 3 (D)125 35．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A)85(B)2411(C)127(D)1256．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD 的体积等于(A)32(B)12(C)13(D)33二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若A B，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a－c=9，则b－d=．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设M n={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…a n|a i只取0或1(i=1，2，…，n－1)，a n=1}，T n是M n中元素的个数，S n是M n中所有元素的和，则limn→∞S nT n=．三、（本题满分20分）13．设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R )与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A 刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠P AC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是A. B. C. D.解：曲线方程为x2a+y2b=1，直线方程为y=ax+b．由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)163(B)83(C)163 3 (D) 8 3解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．4．若x∈[－512，－3]，则y=tan(x+23)－tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是(A)125 2 (B)116 2 (C)116 3 (D)125 3解：令x+6=u，则x+23=u+2，当x∈[－512，－3]时，u∈[－4，－6]，y=－(cot u+tan u)+cos u=－2sin2u+cos u ．在u∈[－4，－6]时，sin2u与cos u都单调递增，从而y单调递增．于是u=－6时，y取得最大值1163，故选C．5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A)85(B)2411(C)127(D)125解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－12)∪(12，2)，u=44－x2+9x29x2－1=－9x4+72x2－4－9x4+37x2－4=1+3537－(9x2+4x2)．当x∈(－2，－12)∪(12，2)时，x2∈(14，4)，此时，9x2+4x2≥12．(当且仅当x2=23时等号成立)．此时函数的最小值为125，故选D．6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sin π3×2=3． 而四面体ABCD 的体积=16×平行六面体体积=12．故选B ． 二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0解：即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，(|x |－|x |<－5+12，或5－12<|x |<3．∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．解：F 1(－5，0)，F 2(5，0)；|F 1F 2|=25．|PF 1|+|PF 2|=6，|PF 1|=4，|PF 2|=2．由于42+22=(25)2．故PF 1F 2是直角三角形55． ∴ S=4．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R }若A B ，则实数a 的取值范围是 ．解：A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．解：a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9． ∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．解：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45而得．设E 的射影为N ，则 MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．解：由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －20.11…1+2n －210－n ．∴ lim n →∞S n T n =12 19=118．三、（本题满分20分）13．设32≤x ≤5，证明不等式2x +1+2x －3+15－3x <219．N MDC B A解：x +1≥0，2x －3≥0，15－3x ≥0．32≤x ≤5． 由平均不等式x +1+x +1+2x －3+15－3x 4≤x +1+x +1+2x －3+15－3x 4≤14+x4．∴ 2x +1+2x －3+15－3x=x +1+x +1+2x －3+15－3x ≤214+x ．但214+x 在32≤x ≤5时单调增．即214+x ≤214+5=219．故证．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R )与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．解：曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t ) ∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ① 若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c 0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c 0，得4x 2+4x +1=0，此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A 刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．解：对于⊙O 上任意一点A ，连AA ，作AA 的垂直平分线MN ，连OA ．交MN 于点P ．显然OP +P A=OA =R ．由于点A 在⊙O 内，故OA=a <R ．从而当点A 取遍圆周上所有点时，点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OA=a 为焦距，R (R >a )为长轴的椭圆C ． 而MN 上任一异于P 的点Q ，都有OQ +QA=OQ +QA >OA ．故点Q 在椭圆C 外．即折痕上所有的点都在椭圆C 上及C 外．反之，对于椭圆C 上或外的一点S ，以S 为圆心，SA 为半径作圆，交⊙O 于A ，则S 在AA 的垂直平分线上，从而S 在某条折痕上．最后证明所作⊙S 与⊙O 必相交．1 当S在⊙O 外时，由于A 在⊙O 内，故⊙S 与⊙O 必相交； 2 当S 在⊙O 内时(例如在⊙O 内，但在椭圆C 外或其上的点S )，取过S 的半径OD ，则由点S 在椭圆C 外，故OS +S A ≥R (椭圆的长轴)．即S A ≥S D ．于是D 在⊙S 内或上，即⊙S 与⊙O 必有交点．于是上述证明成立．综上可知，折痕上的点的集合为椭圆C 上及C 外的所有点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠P AC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠P AC=∠ADQ ，则BDQ ∽DAQ ．反之，若BDQ ∽DAQ ．则本题成立．而要证BDQ ∽DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．证明：连AB ．∵ PBC ∽PDB ， ∴ BD BC =PD PB ，同理，AD AC =PD P A ． ∵ P A=PB ，∴ BD AD =BC AC． ∵ ∠BAC=∠PBC=∠DAQ ，∠ABC=∠ADQ ．∴ ABC ∽ADQ ． ∴ BC AC =DQ AQ ．∴ BD AD =DQ AQ．∵ ∠DAQ=∠PBC=∠BDQ ． ∴ ADQ ∽DBQ ．∴ ∠DBQ=∠ADQ=∠P AC ．证毕．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．解：当3l 、3m 、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104．即求满足3l 3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)． 下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ (104)=10412⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N *，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501． 取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．证明：设点集为V ＝{A 0，A 1，…，A n －1}，与A i 连线的点集为B i ，且|Bi |＝b i ．于是1≤b i ≤n －1．又显然有O Q CD B APi ＝0n －1∑b i ＝2l ≥q (q +1)2+2．若存在一点与其余点都连线，不妨设b 0＝n －1． 则B 0中n －1个点的连线数l －b 0≥12q (q +1)2+1－(n －1) (注意：q (q +1)＝q 2+q ＝n －1)＝12(q +1)(n －1)－(n －1)+1＝12(q －1)(n －1)+1 ≥12(n －1)+1≥[12(n －1)]+1．(由q ≥2) 但若在这n －1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n －1个点内至多连线[n －12]条，故在B 0中存在一点A i ，它与两点A j 、A k (i 、j 、k 互不相等，且1≤i ，j ，k )连了线，于是A 0、A j 、A i 、A k 连成四边形．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i +2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式) ＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2) (2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即(n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入)得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ① 但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．(b 0≥q +2)② (nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③ 又(nq －q －n +3－b 0)、(nq －q +2－b 0)、q (n －b 0－1)、(q +1)(n －b 0)均为正整数，从而由②、③得， q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)＜(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)． ④ 由①、④矛盾，知原命题成立．又证：画一个n ×n 表格，记题中n 个点为A 1，A 2，…，A n ，若A i 与A j 连了线，则将表格中第i 行j 列的方格中心涂红．于是表中共有2l 个红点，当d (A i )＝m 时，则表格中的i 行及i 列各有m 个红点．且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红．由已知，表格中必有一行有q ＋2个红点．不妨设最后一行前q ＋2格为红点．其余格则不为红点(若有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点．若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点．于是，前n －1行的前q ＋2个方格中，每行至多有1个红点．去掉表格的第n 行及前q ＋2列，则至多去掉q ＋2＋(n －1)＝q ＋2＋q 2＋q ＝(q ＋1)2＋1个红点．于是在余下(n －1)×(n －q －2)方格表中，至少有2l －(q ＋1)2－1＝q (q ＋1)2＋2－(q ＋1)2－1＝(q －1)(q ＋1)2＋1＝q 3＋q 2－q 个红点．设此表格中第i 行有m i (i ＝1，2，…，n －1)个红点，于是，同行的红点点对数的总和＝i ＝1n －1∑C 2 m i ．其中n －1＝q 2＋q ．(由于当n ＞k 时，C 2n ＋C 2k ＜C 2 n ＋1＋C 2k －1，故当红点总数为q 3＋q 2－q 个时，可取q 2行每行取q 个红点，q 行每行取q －1个红点时i ＝1n －1∑C 2 m i 取最小值，由下证可知红点数多于此数时更有利于证明．即)但 q2C 2q ＋q C 2q －1≤i ＝1n －1∑C 2 m i ． 由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2m i≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。
2023数学建模国赛a题解题思路
文章标题：深度解析2023数学建模国赛A题思路一、引言2023年数学建模国赛A题，作为一项具有挑战性的数学竞赛题目，要求参赛选手能够充分运用数学建模知识和技巧，对复杂的实际问题进行分析、建模和求解。
本文将围绕2023年数学建模国赛A题展开全面的讨论和分析，以期帮助读者更好地理解解题思路和方法。
二、题目分析2023年数学建模国赛A题是一个涉及到XXX领域的实际问题。
题目要求参赛选手运用XXX模型，分析XXX现象，并基于XXX原理，进行XXX预测。
该题目所涉及的知识面广泛，涉及到XXX、XXX等多个学科领域，对参赛选手的综合能力和分析能力提出了挑战。
三、解题思路1. 对题目要求进行分析，确定所需建模知识和技巧。
在开始解题之前，我们首先需要对题目要求进行充分的分析，明确所涉及到的具体问题和需要运用的数学建模知识和技巧。
对于XXX现象的分析可能需要用到XXX模型，而对XXX预测可能需要用到XXX原理。
我们需要建立一个清晰的知识框架，帮助我们更好地理解问题和对问题进行建模求解。
2. 建立数学模型，提出数学假设。
在确认题目要求和所需知识后，我们需要着手建立数学模型，并提出合理的数学假设。
这一步骤需要充分发挥数学建模的创造性和想象力，运用数学方法对实际问题进行抽象和简化，并提出合理的数学假设，为问题的进一步分析和求解打下基础。
3. 进行定量分析和求解，得出结论。
在建立数学模型并提出数学假设后，我们需要进行定量分析和求解，得出具体的数学结论。
这一步骤需要我们熟练掌握数学建模技巧和求解方法，运用各种数学工具和技巧对模型进行求解，并得出符合实际情况的定量结论。
四、个人观点和理解针对2023数学建模国赛A题，我个人认为……（此处可加入自己对题目的理解和思考，以及解题过程中的心得体会）五、总结与展望在本文中，我们对2023年数学建模国赛A题的解题思路进行了深入的分析和讨论，希望能够帮助读者更好地理解和掌握解题方法。
未来，我们还将继续关注数学建模领域的发展，不断提升自己的建模能力，为实际问题的分析和解决提供更好的数学支撑。
数学建模(2003)1
位置报上来，然后，铺开一张大白纸，画出飞机的轮廓，再把那
些小窟窿一个一个地添上去。
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画完后，大家一看，飞机浑身上下都是窟窿，只有飞行员座
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
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模型准备： 首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种
储油罐的变位识别与罐容表标定
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般 都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来 测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表
（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到
罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐 体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位）， 从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进
V = r 2 h
由于上底强度比其他部位高，厚度是其它部位三倍，因
此，材料总体积：
A=3 r b r b 2 rhb (4 r 2 rh)b
2 2 2
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2003年A题全国数学建模优秀论文5
测控SARS流行趋势的优化模型齐秋锋魏杰万晓晨指导教师谭欣欣等摘要SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。
为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。
在本题中给出了一个早期指数模型，我们把它称为模型1，它在短期内有着计算参数简单等合理性与实用性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。
基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。
由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段主要还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数 r ，用来表示发病率。
在假设所研究各地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合各地SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。
由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控和拟合实际上优于模型1。
同时，我们也通过Matlab语言对北京、山西等的计算值和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。
当然，要建立一个最优模型还需要考虑更多因素，在考虑了传播途径及易感人群等因素后，也可以建立一个最优的SEIRQ模型。
但这样考虑就需要大量的数据采集整理工作，但在实际中这是不易实现的。
在对卫生部所采取部分措施的评析中，我们引入了小世界网络模型，对政府措施作出了定量评论，并用图形直观的表示出来。
最后，我们分析了Logistic SARS模型的特点，并对其改进与应用做出了展望。
2003年A题全国数学建模优秀论文1
摘要SARS时疫对中国社会发展产生了重大影响，本论文以传统的微分方程为理论基础，以2003年6月以前的有关SARS的数据为参考资料，着重从数学的角度研究和预测其发展趋势，提出了控制前的自然传播模型和控制后的传播模型，重点分析了控后模型，并根据各参数对疫情的影响对北京、内蒙古、广东、香港四个SARS重点疫区的疫情作了详细的分析，并提出了应对SARS时疫的若干对策。
最后针对微分方程自身的缺陷提出了模型的改进方向和思路。
关键词：微分方程概率平均曲线拟合一. 问题的提出2003年春天，SARS这一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，中国首当其冲，且受其影响最大。
面对突如其来的灾害，中国人民在党中央和国务院的统一指导下，迅速展开了抗击SARS的顽强斗争。
尽管SARS作为一种时疫尚未过去，人类与SARS的斗争可能才刚刚开始，但SARS时疫对我国社会发展的影响迫切需要我们进行理性的思考，并为抗击SARS时疫并取得阶段性胜利提出有价值的建设性意义。
二．数学模型的分析与建立分析与假设在SARS爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对病SARS毒传播的速度和危害程度认识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加时, 政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延.所以SARS的传播规律可以分为三个阶段:I.控制前, 接近于自然传播时的传播模式。
II.过渡期，在公众开始意识到SARS的严重性到政府采取得力措施前的一段时间内。
III.控制后,在介入人为因素之后的传播模式。
但是，除了广东和香港地区外，内地的其他城市都是在SARS刚刚大肆传播就采取了很强有力的措施，因此，这些地区的过渡期都可以包括在控后期；而广东和香港的情况虽然有一些不同，但根据我们的分析和模拟，这两个地区也可以用两个阶段即“控制前（包括控制力度不大的阶段）”和“控制后”来较好的符合采集到的数据，因此，我们统一将所有地区的SARS传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来模拟。
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛及其参考答案整理
2003 高教社杯全国大学生数学建模竞赛参考答案补充说明（2003 年10 月 4 日）全国组委会在京部分委员应邀参加了北京赛区的阅卷工作，现将有关阅卷工作情况通报给你们，供你们参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
A题A 题阅卷专家组进行了评分标准的讨论，大家达成的评分标准的共识大体如下：（以百分制打分）1．分数分布⑴ 摘要 5 分⑵ 对附件 1 中的模型的评价15 分⑶ 学生自己建立的模型40 分⑷ 对经济影响的建模25 分⑸ 短文10 分⑹ 机动分（或印象分） 5 分2．上述各项指标评分基本原则⑴ 对附件 1 中的模型的评价①对附件 1 中的模型的评价只限于一般性的议论，评差；②对附件 1 中的模型的缺点（不足）论述得比较清楚，评中；③把该模型实际上的假设说得比较清楚，评优。
⑵ 学生自己建立的模型估计大体上有两类建模方法，即基于机理的（例如：SIR 模型，差分模型等）和统计建模（包括：时间序列，马尔柯夫链，神经网络等）。
在建模的过程中应注意分阶段考虑（在阅卷时应充分强调这一点），比如：潜伏期，隔离期，疑似病例，预测功能等。
直接的单变量回归拟合，评差；时间序列（自回归）等，评优。
⑶ 对经济影响的建模SARS对经济影响的预测，数据拟合，评中；联系到SARS情况，评优。
以上仅是北京赛区阅卷中对 A 题评判标准的大致共识。
同时，阅卷专家还强调，各位专家要在保证公平的基础上有自己的见解。
在评卷的过程中，希望各位专家能够注意有特色和创新亮点的论文。
在碰到有关专业性强的问题时建议找组内有关方面专家讨论。
组长要组织有关非共识（有争议）论文的讨论，以争取达到共识，不漏掉一份好论文。
B题1. 对电铲能力约束的理解：可以认为只要在8 小时中能装上车就能完成生产，即每个铲位产量可以达到96车（亦即原参考答案中第2 页上的约束（2）可以取到等号）。
由于实际生产中各班次之间是连续的，可以认为这样假设有一定合理性。
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）A题 SARS的传播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
附件1：SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。
前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。
在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。
希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。
1 模型与参数假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。
则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。
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2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“对论文格式的统一要求”）
A题 SARS的传播
SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。
请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：
（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。
附件2提供的数据供参考。
（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。
附件3提供的数据供参考。
（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。
附件1：
SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测
2003年5月8日
在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。
前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。
在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。
希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。
1 模型与参数
假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K
一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。
则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：
N（t）= N0 (1+K)t
如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。
考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。
我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。
参数K和L具有比较明显的实际意义。
L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。
从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。
但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。
该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。
参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。
在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值比较大。
为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定
出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。
到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。
显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。
2 计算结果
2.1 对香港疫情的计算和分析。
香港的数据相对比较完整准确。
但在初期，由于诊断标准等不确切，在3月17日之前，没有找到严格公布的数据。
我们以报道的2月15日作为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。
3月17日后则都是正式公布的数据。
累积病例数在图1中用三角形表示。
我们然后用上述方法计算。
4月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰时期，在此之前我们取K=0.16204。
此后的10天，根据数据的变化将K逐步调到0.0273，然后保持0.0273算出后面控制期的结果。
短期内K调整的幅度很大，反映社会的变化比较大。
图中实心方黑点是计算的累积病例数。
从计算累积病例数，很容易算出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。
可以看出，香港疫情从起始到高峰大约45天，从高峰回落到1/10以下（每天几个病例）大约40天（5月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到6月上中旬）。
2.2 对广东疫情的计算和分析。
广东的起点是02年11月16日，到今年2月下旬达到高峰，经过了约100天。
在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。
总体上看，广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。
但广东的回落也比较慢。
从2月下旬高峰期到现在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样过程香港只用了约40天。
这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。
比较好的拟合结果是，在高峰期之前（t < 101天），K=0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。
用这组参数算出的后期日增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。
这种情况与疫情的社会控制状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。
2.3 对北京疫情的分析与预测。
北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰。
我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913。
这个值比香港的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近60天，而香港是45天，这就造成了累积病例数大大超过香港。
从图2中还看出4月20日以前公布的数据大大低于计算值。
而我们从对香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是比较可行的。
从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。
图中的公布数据截止到5月7日（从起点起67天），其后的计算采用的是香港
情况下获得的参数。
按这种估算，北京最终累积病例数将达到3100多。
图1 对香港疫情的拟合
图2 对北京疫情的分析
图3是计算的日增病例数。
后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。
这就是说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增几例。
然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。
但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。
至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。
图3 北京日增病例走势分析
3 结论
每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个
值在不同地区和不同疫情阶段似乎变化不大。
病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。
香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。
北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，则有望在6月上中旬下降到日增几例。
然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。
而累积总病例数将达到3100多。
但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。
附件2：北京市疫情的数据
( 据：/Resource/Detail.asp?ResourceID=66070)
附件3：北京市接待海外旅游人数（单位：万人）。