第三章 统计描述

平均计划完成程度
xf 95 % 100 105 % 800 115 % 100 1050 105 % 100 800 100 1000 f
1-6
（二）算术平均数的数学性质

1.各单位标志值与算术平均数的离差之和等于0。
(x x) x x nx nx 0 ( x x ) f xf x f x f x f 0
权数
加权
日产量（件） 工人数

xi f i fi
fi
i 1
xf f
x
20 21 22 23 24 25 合计
f
10 20 30 60 50 30 2 00
xf
2 00 4 20 6 60 1 380 1 200 7 50 4 610
xf x 4610 23 . 05 ( 件 ) 200 f

例：生产小组5个工人的日产量分别为28、25、30、35、42件，则 平均工人日产量=（28+25+30+35+42）/5=32（件）

2.公式：
x x x x1 x 2 x n i 1 i n n n n xi
n
1-3
2.加权算术平均数：已编制分配数列的情况下。 （1）单项式数列的算术平均数 例：某机械厂工人日产零件数 的分配数列。
1-4
（2）组距式加权算术平均数
例：某年我国80个产棉大县的 分配数列如表。

按产棉量分 组（百吨） 1 00 以 下 1 00 ～ 20 0 2 00 ～ 30 0 3 00 ～ 40 Leabharlann Baidu 4 00 以 上 合计
县数
组中值
f
x
50 15 0 25 0 35 0 45 0
—
xf
以组中值作为各组的代表值， 假定各组标志值在组内分布 是均匀的。
x1 x 2 x n n

3
50 . 4 % 79 . 58 %
1-14
平均产量
总产量 工人数

x1 x 2 x n n
例2：以复利计算利息。
假设 p 0 为本金，

r 为利率，
p n 为 n 年后的本利和。
若以单利计算：
p1 p 0 p 0 r
若以复利计算：
m （万元）
95 840 11 5 1050
m x
5 8 2 15
100 800 100 1000
平均计划完成程度
m 1050 105 % m 1000 x
1-11

从相对数（或平均数）求平均数时:


若已知的是相对数（或平均数）的分子指标 时，用调和平均数计算； 若已知的是相对数（或平均数）的分母指标 时，用算术平均数计算。
2 2
2 ( x x 0 ) x ( x C ) ( x x ) C
( x x ) 2 2 C ( x x ) nC ( x x ) 2 nC
nC
2
2
2
0
( x x 0 ) 2 ( x x ) 2 ,即 ( x x ) 2 为最小。
若两变量分别取值如下：
x1 : 1 2 3
x2 : 2 3
x 2 2 3 2 .5 2
x x x1 x 2
1 2
则有
那么
1 2 3 1 3 4 22 4 x1 x 2 235 3 2 5 33 6 x1 x 2 3 4 4 5 5 6 4 . 5 6
x 4610 23 . 05 ( 件 ) 200
日产量（件） 工人数

x
20 21 22 23 24 25 合计
f
10 20 30 60 50 30 2 00
—公式： x1 f 1 x 2 f 2 x n f n x f1 f 2 f n
xi f i
i 1 n n
x x x x
x1
x
x x x x
证明：设
xn
2.各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小。
设 x 0 为任意值，
2 2 ( x x ) ( x x0 ) 2 2 ( x x ) f ( x x0 ) f
x 0 x C ,即 x 0 x C
1300 3500 3600 8400
播 种 面 积 （ 亩 ）m
x
500 700 800
—
2600 5000 4500 12100
平均亩产
（三）在运用加权调和平均数时，各组权数相等，就可以采用简单调和平均数。
m 当 m 1 m 2 m n时， H nm n m x m 1 1 x x
xf 16900 x 211 . 25 (百吨 ) 80 f
平均每县产棉量
5 42 16 13 4 80
25 0 63 0 0 40 0 0 45 5 0 18 0 0 16 9 00

（3）下列两种情况，分组资料可以不考虑权数，而用简单算术 平均数。 A x x x f x f x f
95 105 11 5
—
企业数
实际销售额 （万元）
5 8 2 15
95 840 11 5 1050
计划完成程度
实际完成数 计划任务数
销售计划完 成程度（%） 90— 100 1 0 0 — 11 0 11 0 — 1 2 0 合计
组中值（%）
x
95 105 11 5
—
企业数
实际销售额
计划销售额 （万元）
或
4.变量线性变换的平均数等于变量平均数的线性变换。
若 y a bx ，则 y a b x
例如： a 2， b 1，即 y 2 x
当变量 x 取不同变量值时，
x1 2 y 1 2 2 4 x2 4 y2 2 4 6
y 46 5 2
数值平均数：算术平均数，调和平均数，几何平均数。 位置平均数：中位数，众数。
1-2

(三)两种平均数


二、算术平均数
算术平均数 总体标志总量 总体单位总量
钢产量 全国总人口数
强度相对指标：
人均钢产量
算术平均数： 全国钢铁工人平均钢产

量
钢产量 全国钢铁工人数
（一）算术平均数的计算 1.简单算术平均数：未分组的资料。
3.正确选择权数——当从相对数或平均数求平均数时
例：某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表：

选择权数的准则：最终的平 均指标的涵义要符合原来相 对指标(平均指标)本身的涵义
计划完成程度 实际完成数 计划任务数
组中值（%） 企业数
销售计划完 成程度（%） 90— 100 1 0 0 — 11 0 11 0 — 1 2 0 合计
m 8400000 m 12100 x
694 . 2 (公斤 )
1-13
四、几何平均数

（一）公式 1.简单几何平均数：
G n x1 x 2 x n n x
2.加权几何平均数
G
f
x 1x
1
f
f 2
2
x
f n
n

f
x
f
例：1.某产品经过三个流水连续 作业的车间加工生产而成，本月 第一车间的产品合格率为90%， 第二车间的产品合格率为80%， 第三车间的产品合格率为70%。 则全厂的总合格率为
总合格率 90 % 80 % 70 % 50 . 4 %
（二）应用：在某些情况下，若 总体总量是由标志值相乘得出， 这时平均数就应该用几何平均数 的方式来计算。
与算术平均数不同
平均工资 工资总额 工人数
这样平均合格率为
平均合格率
n
x 3 90 % 80 % 70 %

当各组的权数相同时。 当分布数列完全对称时。
x
1
1
2
2
n
n
f


nA
n
(4)加权算术平均数的频率公式。
x x1 f 1 x 2 f 2 x n f n f f f f x1 1 x 2 2 x n n x f f f f f 1-5
2 2 .5 4 .5
1-9
三、调和平均数（H）
（一）调和平均数的公式 1.调和平均数：又称倒数平均数，是标志值倒数的算术平均数的 倒数。 例：某工厂工人日产零件数资料： 2.简单调和平均数
n H 1 1 1 x x n
日产量（件） 零件数 工人数
x
20 21 22 23 24 25 合计
年平均利率 108 . 49 % 1 8 . 49 %
可以看出，以复利计算利息时，n年后本利率的总量为n个 （1+r）相乘，所以本利率的平均数用几何平均数计算。
例:设某笔为期20年的投资按复利计算收益，前10年的年利率为 10%，中间5年的利率为8%，最后5年的年利率为6%。求平均年 利率。 年平均本利率 20 1 . 110 1 . 08 5 1 . 06 5 108 . 49 %
1-7
3.若对每一个标志值加、减、乘、除一个常数A，则平均数也加、 减、乘、除这个常数A。
( x A ) x nA x A n n Ax A x A x n n

或
( x A ) f xf Af x A f f Axf A xf A x f f
计划销售额 （万元）
组中值（%）
x
95 1 05 115
—
实际销售额
企业数
5 8 2 15
销售计划完 成程度（%） 90— 100 1 0 0 — 11 0 11 0 — 1 2 0 合计
x
95 1 05 115
—
f
（万元）
xf
5 8 2 15
1 00 8 00 1 00 1 000
95 8 40 115 1 050
p 1 p 0 p 0 r p 0 (1 r )
p 2 p 1 p 1 r p 1 (1 r ) p 0 (1 r )(1 r ) p 0 (1 r ) 2

p2 p0 p0 2r

p n p 0 p 0 nr

p n p 0 (1 r ) n
第三章 统计描述
第一节 分布的集中趋势 第二节 分布的离散趋势 第三节 分布的偏度与峰度


1-1
第一节 分布的集中趋势

一、统计平均指标概述

（一）定义：是同类社会经济现象在一定时间、地点条件下 所达到的一般水平，是度量分布集中趋势或中心位置的指标。

（二）作用：

1.反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平。 2.比较同类现象在不同单位的发展水平。 3.比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律。 4.分析现象之间的依存关系。
平均日产量
m 4610 H 23 . 05 ( 件 ) m 200 x
1-10
2.从相对数或平均数求平均数时 例：某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表：
销售计划完 成程度（%） 90— 100 1 0 0 — 11 0 11 0 — 1 2 0 合计 组中值（%）
x
1-12
例：已知某地区甲、乙、丙三个乡粮食平均亩产和粮食总产量 如表，求全区平均亩产。
乡名 甲 乙 丙 合计
乡名 甲 乙 丙 合计
平均亩产（公斤） 粮食总产量（吨）
500 700 800
—
平 均 亩 产 （ 公 斤 ）x
1300 3500 3600 8400
平均亩产
粮食总产量 播种面积
m 粮食总产量（吨）
m
200 420 660 1380 1200 750 4610
m x
10 20 30 60 50 30 200
3.加权调和平均数
m H 1 1m m x x m
f xf
（二）调和平均数的应用场合 1.作为算术平均数的变形使用。权数 m为各组的标志总量。即 m xf
m xf xf H m f x xf x
y a bx 2 x 2 3 5
1-8

5.n个独立总体各变量的代数和的平均数等于各总体变量平均 数的代数和。
x x x x1 x 2 x n
1 2 n
对两变量，有 x 1 x 2 x1 x 2
x1 1 2 3 2 3