2019-2020学年天津市耀华中学高一(下)第一次月考数学试卷

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天津市2019高一月考数学试卷含答案

高一数学试卷一．选择题（每题4分，共40分）1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15B ．59C ．53D ．12．平面α∥平面β，直线a ∥α，直线b ⊥β，那么直线a 与直线b 的位置关系一定是 ( ) A ．平行 B ．异面 C ．垂直 D ．不相交 3．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( ) A ．直角三角 B ．锐角三角形 C ．钝角三角 D ．不存在4.设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列三个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥；（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥；（3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如图所示,则该几何体的俯视图为( )6．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的三个内角的度数分别是( )A ．45°，45°，90°B ．30°，60°，90°C ．30°，30°，120°D ．30°，45°，105° 7．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＝c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( ) A.B.4πC.2πD.10．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是（）A. BD ∥平面11CB DB. 1AC BD ⊥C. 1AC ⊥平面11CB DD. 异面直线AD 与1CB 所成的角为60° 二、填空题（每题4分，共20分）11．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为__12．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=__ __13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝_ __，c ＝__ __．14．如图,Rt △A'B'C'为水平放置的△ABC 的直观图,其中A'C'⊥B'C',B'O'=O'C'=1,则△ABC 的面积为__ __15．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是．三、解答题（共60分）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b sin A ＝a cos B ．(1)求B ；(2)若b ＝3，sin C ＝3sin A ，求a ，c ．17．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点求MN 与CC 1所成角的余弦值18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14．(1)求b 的值； (2)求sin C 的值； (3)求△ABC 的面积．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,,ABCD PD DC E =是PC 的中点.(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：平面BDE ⊥平面PCB ．MABCN C 1A1B 1-中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 20.如图，在四棱锥S ABCD与BD的交点为O，E为侧棱SC的中点时.（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅱ）求二--的大小为.面角E BD C。

天津市耀华中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

天津市耀华中学2019-2020学年度第二学期期末考试高一年级生物学科试卷一、单选题（共30小题，每题2分，共60分）1.沙眼衣原体是一类导致人患沙眼的病原体，通过电子显微镜观察其细胞结构，可以确定沙眼衣原体是原核生物。

作为判断的主要依据是A. 有细胞壁B. 有细胞膜C. 没有线粒体D. 无核膜包被的细胞核2.下图表示二肽分子的结构，①②③④中含有肽键的是A.①B.②C.③D.④3.如图表示细胞中一种常见水解反应，下列化合物中能发生此种反应生物大分子是A.氨基酸B.油脂C.糖原D.麦芽糖4.下图中甲图是一组目镜标有5×和16×字样、物镜标有10×和40×字样的镜头，乙图是在甲图中选用的一组能放大160倍的镜头组合所观察到的图像。

欲将乙图视野中处于右上方的细胞移至视野中央放大640倍观察，下列操作中正确的是A.将装片向左下方移动，使左下方的细胞位于视野正中央B.将显微镜的光圈调小，反光镜调成平面镜C.目镜不需要换，转动转换器将物镜换成镜头③D.物镜换成高倍物镜后，如果视野模糊，应调节粗准焦螺旋5.ATP是细胞的能量通货，以下叙述不正确的是A.细胞中绝大多数需要能量的生命活动都是由ATP直接供能B.细胞代谢可在温和条件下快速发生是因为ATP和ADP之间的快速转化C.小麦根尖细胞内合成ATP的能量来自根细胞进行呼吸作用所释放的能量D.萤火虫尾部发光过程中除了荧光素、ATP，还离不开荧光素酶的参与6.下图为细胞膜的流动镶嵌模型示意图。

下列有关叙述中，不正确的是A.具有①的一侧为细胞膜外侧B.组成细胞膜的基本支架是②C.细胞膜的功能越复杂，③的数量和种类就越多D.细胞膜的结构特点是具有选择透过性7.将萝卜磨碎制得的提取液，取少量分别加入pH为3、5、7、9的盛有等量过氧化氢溶液的几个试管中，保持30℃温度，结果每个试管都产生气体。

提取液的加入量加倍，重复上述实验，反应相同时间后测得各试管中过氧化氢的含量如图所示。

天津市耀华中学高三数学第一次月考试题文新人教A版

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟.第I 卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1、i 是虚数单位，复数3+22-3ii 等于A 、iB 、-iC 、12-13iD 、12+13i 【答案】A【解析】3+223i i -(3+2)(23)13=23(23)13i i i ii i +==-+（），选A.2、下列命题中是假命题的是A 、(0,),>2x x sin xπ∀∈ B 、000,+=2x R sin x cos x ∃∈C 、,3>0xx R ∀∈ D 、00,=0x R lg x ∃∈ 【答案】B【解析】因为000+4sin x cos x x π+≤（）B 错误，选B.3、在下列区间中，函数()=+4-3xf x e x 的零点所在的区间为 A 、（1-4，0） B 、（0，14） C 、（14，12） D 、（12，34）【答案】C【解析】1114441()=2=1604f e e --<，121()=102f e ->，所以函数的零点在11(,)42，选C.4、设a ，b ∈R ，那么“>1ab ”是“>>0a b ”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由>1ab 得，10a a b b b --=>，即()0b a b ->，得0b a b >⎧⎨>⎩或0b a b <⎧⎨<⎩，即0a b >>或0a b <<，所以“>1ab ”是“>>0a b ”的必要不充分条件，选B.5、设集合={|||<1},={|=2}M x x N y y x,x M ∈，则集合()RM N 等于A 、(-∞,-1)B 、(-l ，1)C 、(,1][1,)-∞-+∞D 、(1，+∞) 【答案】C 【解析】{1}{11}M x x x x =<=-<<,={|=2}N y y x,x M ∈{22}y x =-<<,所以{11}M N x x =-<<,所以()RM N ={11}x x x ≥≤-或,选C.6、已知函数2()=-f x x cos x ，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是 A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f f D 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f 【答案】B【解析】因为函数2()=f x x cos x -为偶函数，所以(0.5)(0.5)f f -=，()=2f 'x x sin x +，当02x π<<时，()=20f 'x x sin x +>，所以函数在02x π<<递增，所以有(0)<(0.5)<(0.6)f f f ，即(0)<(0.5)<(0.6)f f f -，选B.7、已知幂函数27+3-225()=(+1)()t t f x t t x t N -∈是偶函数，则实数t 的值为A 、0B 、-1或1C 、1D 、0或1 【答案】C【解析】因为函数为幂函数，所以211t t -+=，即20,0t t t -==或1t =.当0t =时，函数为75()=f x x 为奇函数，不满足条件.当1t =时，85()=f x x 为偶函数，所以1t =，选C.8、定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x-1.5|-,[0,1)()=-(0.5),[1,2)x x x f x x ⎧∈⎨∈⎩若[-4,-2]x ∈时，1()-42t f x t ≥恒成立，则实数t 的取值范围是 A 、[-2，0)(0，l) B 、[-2，0)[l ，+∞) C 、[-2，l] D 、(-∞，-2](0，l]【答案】D【解析】当[-4,-2]x ∈，则4[0,2]x +∈，所以11()(2)(4)24f x f x f x =+=+24 1.51[(4)(4)],[4,3)4=1(0.5),[3,2)4x x x x x +-⎧+-+∈--⎪⎪⎨⎪-∈--⎪⎩ 2 2.51(712),[4,3)4=1(0.5),[3,2)4x x x x x +⎧++∈--⎪⎪⎨⎪-∈--⎪⎩，当[4,3]x ∈--时，221171()=(712)[()]4424f x x x x ++=+-的对称轴为7=2x -，当[4,3]x ∈--时，最小值为71()=216f --，当 2.51[3,2),()=(0.5)4x x f x +∈---，当 2.5x =-时，最小，最小值为14-，所以当[-4,-2]x ∈时，函数()f x 的最小值为14-，即11442t t -≥-，所以110424t t -+≤，即220t t t +-≤，所以不等式等价于2020t t t >⎧⎨+-≤⎩或2020t t t <⎧⎨+-≥⎩，解得01t <≤或2t ≤-，即t 的取值范围是(,2](0,1]-∞-，选D.9、已知方程2(3+2)+2(+6)=0x m x m -的两个实根都大于3，则m 的取值范围是A 、(15-7，-2] B 、(-∞，-2] C 、[2，157) D 、[2，+∞)【答案】C【解析】设函数2(3+2)+2(+6)y x m x m =-，则由题意知0(3)0(32)32f m ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪-+⎪->⎩，即2(32)8(6)093(32)2(6)0326m m m m m ⎧+-+≥⎪-+++>⎨⎪+>⎩，整理得29444015743m m m m ⎧⎪+-≥⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩，即222915743m m m m ⎧≥≤-⎪⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩或.所以1527m ≤<，选C.10、若2()=(-2+1+)f x lg x ax a 在区间(-∞，1]上递减，则a 的取植范围为 A 、[1，2) B 、[1,2] C 、[1, +∞) D 、[2，+∞)【答案】A【解析】函数222()21()1g x x ax a x a a a-++=-++-的对称轴为x a=，要使函数在(-∞，1]上递减，则有(1)01ga>⎧⎨≥⎩，即201aa->⎧⎨≥⎩，解得12a≤<，即[1,2)，选A.11、若x≥0，y≥0且2=1x y+，那么2x+3y2的最小值为A、2B、34C、23D、0【答案】B【解析】由2=1x y+得=120x y-≥得，12y≤≤，所以22222232433()33x y y y y+=-+=-+，因为12y≤≤，所以当12y=时，有最小值2211323243243244x y y y+=-+=-⨯+⨯=，选B.12、己知函数()=(2+-1)xaf x log b(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A、10<<b<1a B、10<b<<1a C、10<<a<1b D、110<<<1a b【答案】A【解析】由图象知函数单调递增，所以1a>，又1(0)0f-<<，0(0)=(2+1)=a af log b log b-，即1log0ab-<<，所以101ba<<<，选A.第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上． 13、函数()=++1f x ax b sin x ，若f(5)=7，则f(-5)= . 【答案】5-【解析】(5)5+sin517f a b =+=，所以5+sin56a b =.(5)5sin51615f a b -=--+=-+=-. 14、设集合是A={32|()=83+6a f x x ax x -是(0，+∞)上的增函数}， 5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈，则()R A B = ；【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】2()=2466f 'x x ax -+，要使函数在(0,)+∞上是增函数，则2()=24660f 'x x ax -+>恒成立，即14a x x <+，因为144x x +≥=，所以4a ≤，即集合{4}A a a =≤.集合5={|=,[-1,3]}+2B y y x x ∈{15}y x =≤≤，所以{14}A B x x ⋂=≤≤，所以()=RA B (,1)(4,)-∞+∞.15、已知(+2)f x 的定义域为(-2，2)，则(-3)f x 的定义域为；【答案】(3,7)【解析】因为函数(+2)f x 的定义域为(2,2)-，即22x -<<，所以024x <+<.由034x <-<得，37x <<，即(-3)f x 的定义域为(3,7).16、已知函数32,2()=(-1),<2x f x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩，若关于x 的方程()=f x k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是；【答案】(0,1)【解析】做出函数()f x 的图象如图，由图象可知，要使()=f x k有两个不同的实根，则有01k <<，即k 的取值范围是(0,1).17、设定义在[-2，2]上的偶函数()f x 在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，则实数m 的值为；【答案】1[1,)2- 【解析】因为函数()f x 为偶函数，所以由(1)()f m f m -<得，(1)()f m f m -<，又函数()f x 在[0，2]上单调递减，所以有212221m m m m ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，即132212m m m ⎧⎪-≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩，所以112m -≤<，即1[1,)2m ∈-.18、若关于x 的不等式211+-()022n x x ≥对任意*n N ∈在(-,]x λ∈∞上恒成立，则实常数λ的取值范围是；【答案】(,1]-∞-【解析】211+()022n x x -≥得211+()22n x x ≥，即211+()22n maxx x ≥恒成立.因为11()22n max =，即211+22x x ≥在(,]λ-∞恒成立，令21+2y x x =，则22111+2416y x x x ==+-（），二次函数开口向上，且对称轴为1=4x -.当14x ≤-时，函数单调递减，要使不等式恒成立，则有211+22λλ≥，解得1λ≤-.当14x >-，左边的最小值在1=4x -处取得，此时21111+21686x x =-=-，不成立，综上λ的取值范围是1λ≤-，即(,1]-∞-.三、解答题；本大题共5小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19、(本小题满分12分)已知函数=+322x x y sin cos，求：(1)函数y 的最大值，最小值及最小正周期；(2)函数y 的单调递减区间.20、(本小题满分12分)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体，六个面上分别为l ，2，3，4，5，6点)，所得点数分别记为x ，y ，(1)列出所有可能的结果(x ，y)； (2)求x<y 的概率； (3)求5<x+y<10的概率.21、(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，且AB=PD=1． (1)求证：AC ⊥PB ；(2)求异面直线PC 与AB 所成的角；(3)求直线PB 和平面PAD 所成角的正切值.22、(本小题满分12分)已知函数2()=3-6-5 f x x x．(1)求不等式()>4f x的解集；(2)设2()=()-2+g x f x x mx，其中m∈R，求()g x在区间[l，3]上的最小值；(3)若对于任意的a∈[1,2]，关于x的不等式2()-(2+6)++f x x a x a b≤在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围.23、(本小题满分12分)设函数1()=(-)-f x a x ln xx(1)当a=1时，求曲线=()y f x在点(1,(1))f处的切线方程；(2)若函数()f x在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(3)设函数()=eg xx，若在[l，e]上至少存在一点0x使00()()f xg x≥成立，求实数a的取值范围.。

天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学(理)(含解析)

��
��
��
A. 向左平移6个单位长度
��
B. 向右平移6个单位长度
��
C. 向左平移12个单位长度
【答案】C
D. 向右平移12个单位长度
1 2�� 7��
【解析】解：由函数��(��) = ��(�� + ��)的图象可得�� = 1，4 再根据五点法作图可得故把可得 2 × 3 + �� = ��
天津市耀华中学 2018-2019 学年第一学期高三年级第一次月考数学（理）
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）
−1 + 3��
1.
i 是虚数单位，复数 1 + 2��
=(
) C. −5−5�� D. −1−��
A. 1 + ��
【答案】A
��
��
的图象向左平移12个单位长度，
��
�� = 2��[2(�� + 12) + 3] = 2��(2�� + 2) = 2��2��
的图象，
故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出��，由五点法作图求出��的值，可得 ��(��)的解析式，再利用函数�� = ��(�� + ��)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数�� = ��(�� + ��)的部分图象求解析式，函数�� = ��(�� + ��)的图象变换规律，属于基础题．

2019-2020学年天津市耀华中学高一下学期期中数学试卷(有解析)

2019-2020学年天津市耀华中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 下列各组向量中，能作为平面内一组基底的是( )A. e 1⃗⃗⃗ =(0,2)，e 2⃗⃗⃗ =(0,−1)B. e 1⃗⃗⃗ =(2,1)，e 2⃗⃗⃗ =(0,0)C. e 1⃗⃗⃗ =(3,1)，e 2⃗⃗⃗ =(5,53) D. e 1⃗⃗⃗ =(−2,1)，e 2⃗⃗⃗ =(4,2)2. 化简：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 0⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗C. BA ⃗⃗⃗⃗⃗D. CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 以下给出了5个命题(1)两个长度相等的向量一定相等；(2)相等的向量起点必相同；(3)若a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，且a ⃗ ≠0⃗ ，则b ⃗ =c ⃗ ；(4)若向量a ⃗ 的模小于b ⃗ 的模，则a ⃗ <b⃗ ． (5)若b ⃗ =c ⃗ ，且a ⃗ ≠0⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗(6)与a ⃗ 同方向的单位向量为a⃗ |a ⃗ |其中正确命题的个数共有( ) A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0个4. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：(单位：分)78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91.则这15人成绩的第80百分位数是( )A. 90B. 91.5C. 91D. 90.5 5. 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i)(1−bi)=a ，则a b 的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知向量a ⃗ =(1,1),2a ⃗ +b ⃗ =(4,3),c ⃗ =(x,−2)，若b ⃗ //c ⃗ ，则x 的值为( )A. 4B. 2C. −4D. −27. 已知向量a ⃗ =(1,−3)，b ⃗ =(3,m)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b⃗ |等于( ) A. 10 B. 16 C. 5√2 D. 4√108. 若|m ⃗⃗⃗ |=2，m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =8，m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为60°，则|n ⃗ |的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 89. 若z 是复数，且(3+z)i =1(i 为虚数单位)，则z 为( )A. −3+iB. 3+iC. −3−ID. 3−i10. 在平面四边形ABCD 中，AC =2，BD =1，则(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=( ) A. 5B. −5C. −3D. 3 11. 1−2sin 2π8的值等于( ) A. 0 B. 12 C. √22 D. √3212. 已知向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(1,λ)，若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 2π3 B. 3π4 C. π3 D. π4 二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 某校高一、高二和高三年级学生的人数比为2：2：1，用分层抽样的方法从全体学生中抽取1个容量为45的样本，则高一年级抽取的学生数为______ 人．14. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图(如下图所示)，则这100名学生的平均成绩为__________．15. 计算：(1+i)(1−i)+(1+2i)2=_______________．16. 在△ABC 中，a =3，b =2，A =30°，则cosB = ______ ．17. 在△ABC 中，AB =AC ，BC =4，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =________．18. 在△ABC 中，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sinA sinC的值为______ ．三、解答题（本大题共1小题，共10.0分）19. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinB(acosB +bcosA)=√3ccosB ．(1)求B ；(2)若b =2√3，△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查平面向量基本定理，基底的定义，属于基础题．判定两个向量是否不共线即可．解：A 中，e 1⃗⃗⃗ =−2e 2⃗⃗⃗ ，所以向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 共线，不能作为一组基底;B 中，e 2⃗⃗⃗ 为零向量，所以e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 共线，不能作为一组基底;C 中，e 1⃗⃗⃗ =35e 2⃗⃗⃗ ，所以向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 共线，不能作为一组基底;D 中，向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 不共线，可以作为一组基底．故选D ．2.答案：A解析：本题主要考查了向量的加减运算，属于基础题．根据向量的加减运算法则计算可得．解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．故选A ．3.答案：B解析：解：两个向量相等的充要条件是大小相等且方向相同，所以两个长度相等的向量不一定相等，故(1)错误；两个向量只要大小相等且方向相同，就是相等向量，所以相等的向量起点可以不相同，故(2)错误；若a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，且a ⃗ ≠0⃗ ，则b ⃗ =c ⃗ 或a ⃗ ⊥b ⃗ 且a⃗ ⊥c ⃗ ，故(3)错误； (4)∵两个向量不能比较大小，∴a ⃗ <b ⃗ 不正确，故(4)错误；(5)由(3)可以得到(5)正确；(6)根据单位向量的定义可以(6)正确．故正确命题的个数为2个，故选：B．根据向量的物理背景与概念、数量积的概念逐个分析．本题考查向量的概念，两个向量的数量积的定义和性质，注意向量的数量积与实数的乘积的区别，正确理解向量相等的含义．4.答案：D解析：本题考查了一组数据的百分位数问题，是基础题．把该组数据从小到大排列，计算15×80%=12，即可求解．解：该组数据从小到大排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98.且15×80%=12，=90.5.所以这15人成绩的第80百分位数是90+912故选D．5.答案：A解析：本题考查复数的运算和复数相等的充要条件，属基础题，解：(1+i)(1−bi)=1−bi+i−bi2=1+b+(1−b)i，∵(1+i)(1−bi)=a，∴1+b+(1−b)i=a，即1+b−a+(1−b)i=0，∴{1+b−a=01−b=0，解得a=2，b=1，=2，∴ab故选A．6.答案：C可求出b⃗ =(2,1)，从而根据b⃗ //c⃗得出x+4=0，解出x=−4．考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系．解：b⃗ =2a⃗+b⃗ −2a⃗=(2,1)；∵b⃗ //c⃗；∴x+4=0；∴x=−4．故选C．7.答案：C解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =3−3m=0，解得m=1．∴2a⃗+b⃗ =(5,−5)，则|2a⃗+b⃗ |=√25+25=5√2．故选：C．通过斜率的数量积求出m，利用斜率的模转化求解即可．本题考查斜率的数量积的应用，斜率的模的求法，是基本知识的考查、8.答案：D解析：本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可．解：因为，所以．故选D．9.答案：C解析：本题主要考查复数代数形式的混合运算，属于基础题．解：∵(3+z)i=1，∴z=1−3=−3−i，i10.答案：C解析：本题主要考查平面向量基本定理的应用，数量积，属于基础题．将所有向量全部用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示即可求解．解：(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2(12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−3故选C ． 11.答案：C解析：解：1−2sin 2π8=cos(2×π8)=cos π4=√22．故选：C ．直接利用二倍角的余弦公式，特殊角的三角函数值即可化简得答案．本题考查二倍角的余弦，考查了特殊角的三角函数值，是基础题． 12.答案：D解析：本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，属于基础题．根据m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ 得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得λ的值，再求m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值，从而求出夹角大小．解：∵m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(1,λ)，m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1×1+2λ=0，解得λ=12，∴m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ =(1,3)，∴(m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ )⋅m ⃗⃗⃗ =1×(−1)+3×2=5，|m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ |=√12+32=√10，|m⃗⃗⃗ |=√(−1)2+22=√5．设m⃗⃗⃗ +2n⃗与m⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=(m⃗⃗⃗ +2n⃗⃗ )⋅m⃗⃗⃗|m⃗⃗⃗ +2n⃗⃗ |×|m⃗⃗⃗ |=√10×√5=√22，，∴m⃗⃗⃗ +2n⃗与m⃗⃗⃗ 的夹角为π4．故选：D．13.答案：18解析：由某校高一、高二和高三年级学生的人数比为2：2：1，用分层抽样的方法从全体学生中抽取1个容量为45的样本，能求出高一年级抽取的学生数．本题考查分层抽样的应用，解题时要认真审题，是基础题．解：∵某校高一、高二和高三年级学生的人数比为2：2：1，用分层抽样的方法从全体学生中抽取1个容量为45的样本，∴高一年级抽取的学生数为：45×22+2+1=18(人)．故答案为：18．14.答案：71解析：本题考查利用频率分布直方图求平均数，属于中档题．首先求出a的值，然后计算平均数．解：由题意可知：a=1÷10−0.01−0.015−0.015−0.025−0.005=0.03，x=45×0.01×10+55×0.015×10+65×0.015×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=71故答案为71．15.答案：−1+4i解析：本题主要考查复数的运算，属于基础题．按照复数运算直接计算即可．解：(1+i)(1−i)+(1+2i)2=2+1+4i −4=−1+4i ．故答案为−1+4i ．16.答案：2√23．解析：解：由正弦定理可得：sinB =bsinA a =2×sin30°3=13， ∵a =3>b =2，∴由三角形中大边对大角可得∠B <∠A ，即∠B 为锐角．∴cosB =√1−sin 2B =2√23．故答案为：2√23．正弦定理可求sin B ，由三角形中大边对大角可得∠B <∠A ，即∠B 为锐角，由同角三角函数关系式即可求cos B ．本题主要考查了正弦定理的应用，考查了三角形中大边对大角的应用，属于基本知识的考查． 17.答案：8解析：本题考查平面向量数量积的求法，向量的数量积及其运算，属于基础题．首先可以建系，转化为坐标运算，也可以利用运算的几何意义解答．解：解法一：取BC 的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，因为BC =4，则B(−2,0)，C(2,0)，设A(0,a)，所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,a)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0)，所以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8．解法二：因为AB =AC ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为BO ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×4=8．故答案为8．18.答案：√2解析：本题考查平面向量的数量积以及余弦定理和正弦定理的应用，属于中档题．根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出sinA sinC 的值．解：在△ABC 中，设三条边分别为a 、b ，c ，三角分别为A 、B 、C ，由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得ac ·cosB +2bc ·cosA =ba ·cosC ，由余弦定理得：12(a 2+c 2−b 2)+(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+a 2−c 2)，化简得a 2c 2=2， ∴a c =√2，由正弦定理得sinA sinC =a c =√2．故答案为：√2． 19.答案：解：(1)根据正弦定理得：sinB(sinAcosB +sinBcosA)=√3sinCcosB ， ∴sinBsin(A +B)=√3sinCcosB ，∴sinBsinC =√3sinCcosB ，∵C ∈(0,π)，∴sinC >0，∴sinB =√3cosB ，即tanB =√3，∵B ∈(0,π)，∴B =π3，(2)∵S △ABC =12acsinB =√34ac =2√3， ∴ac =8，根据余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB，∴12=a2+c2−8，即a2+c2=20，∴a+c=√(a+c)2=√a2+2ac+c2=6，∴△ABC的周长为：6+2√3．解析：(1)根据正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinBsinC=√3sinCcosB，结合sinC>0，可求tanB=√3，结合范围B∈(0,π)，由特殊角的三角函数值可求B的值．(2)利用已知及三角形面积公式可求ac=8，进而利用余弦定理可求a+c=6，从而可求三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．。

天津市耀华中学2019-2020学年高一下学期期末数学题(解析版).docx

天津市耀华中学2019-2020学年度高一年级第二学期期末考试数学学科试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分共100分，建议用时100分钟.第I卷（选择题共40分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，骨弩案途荏答题卡匕1.复数z = z-（l + z）在复平面上对应的点位于（）A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的乘法化简复数z,再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数z = z-（l + z） = -l + z,所以在复数Z复平面上对应的点位于第二象限故选：B2,已知一组数据为4,5,6,7,8,8,第40百分位数是（）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】C【解析】【分析】直接利用百分位数的定义求解.【详解】因为有6位数，所以6x40% = 2.4,所以第40百分位数是第三个数6.故选：C3.在AABC中，己知a=l,b = 2,C = 60。

，则边c等于（）A. 3B. V2C.用D. 4 【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理列式，由此求得c的值.【详解】由余弦定理得c2=/+屏_2abcosC = l + 4 —2x2x^ = 3,故c =右.2故选C.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题.4,已知向量a =（2,4）, 5 = （-1,1）,则2a-b=（）A.（5,7）B.（5,9）C.（3,7）D.（3,9）【答案】A【解析】【详解】因为2刁= （4,8）,所以2刁—5 = （4,8）—（—1,1）= （5, 7）,故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.5.已知向量a = （-1,2）,方= （3,m + l）,若Q_L方，则m等于（）A. -7B. 5C. --D.-2 2【答案】D【解析】【分析】利用a• S = -1 x 3 + 2（/«+1）=0 ,即可得m的值.【详解】因为El片，所以a•片= -lx3 + 2（m+l）=0 ,解得：机==,2故选：D6.己知向量刁，片满足|刁| = 1, | = 2,且4与5的夹角为120。

天津耀华中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

天津市耀华中学2019-2020学年度第一学期期中形成性检测高一年级数学学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟．第I 卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．1.已知集合{}2|1,M y y x x R ==-∈，集合{|N x y ==，M N =I （）．A. {}( B. [- C. D. ∅【答案】B 【解析】解：[1,)M =-+∞，[N =，故[M N ⋂=- 故选：B2. 下列判断正确的是（）A. 函数22()2x xf x x -=-是奇函数B. 函数()(1f x x =-C. 函数()f x x =+D. 函数()1f x =既是奇函数又是偶函数【答案】C 【解析】【详解】试题分析：A 中函数的定义域为{}|2x x ≠不关于原点对称，()f x 不是奇函数；B 中函数的定义域为{}|11x x -≤<不关于原点对称，()f x 不是偶函数；C 中函数的定义域为{}|1,1x x x ≤-≥或，()()f x x f x -=-+≠，()()f x x f x -=-≠-，所以()f x 是非奇非偶函数；D 中是偶函数，不是奇函数.故选C. 考点：函数的奇偶性.【方法点睛】判断函数奇偶性的方法：⑴定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=〔或或()()0f x f x --=〕⇔函数()f x 是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有〔或或⇔函数()f x 是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①判断定义域是否关于原点对称；②比较与()f x 的关系；③下结论.⑵图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数.⑶运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数；③若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.3.设函数2(1)()x a x a f x x+++=为奇函数，则实数a =（）．A. 1-B. 1C. 0D. 2-【答案】A 【解析】∵函数2(1)()x a x af x x+++=为奇函数，∴22(1)(1)()()0x a x a x a x af x f x x x-+++++-+=+=-，化为(1)0a x +=， ∴10a +=，解得1a =-．故选：A ．4.设0x >，y R ∈，则“x y >”是“x y >”的（） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C12>-不能推出12>-，反过来，若x y >则x y >成立，故为必要不充分条件.5.若关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为（）A. {2x x <-或)1x > B. {}12x x << C {1x x <-或}2x > D. {}12x x -<<【答案】D 【解析】【分析】由题意得出方程0ax b -=的根为1x =，且0a <，然后将不等式02ax b x +>-变形为102x x +<-，解出该不等式即可.【详解】由于关于x 的不等式0ax b ->的解集为{}1x x <，则关于x 的方程0ax b -=的根为1x =，且0a <，0a b ∴-=，得b a =. 不等式02ax b x +>-即02ax a x +>-，等价于102x x +<-，解得12x -<<. 因此，不等式02ax bx +>-的解集为{}12x x -<<. 故选：D.【点睛】本题考查一元一次不等式解集与系数的关系，同时也考查了分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.6.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A. n<m<0B. m<n<0D. m>n>0 【答案】A 【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C 1，C 2的图象可知n<m ,故选A.7.偶函数f (x )在[0,+∞)单调递增,若f (-2)=1,则f (x-2)≤1的x 的取值范围是( ) A. [0,2] B. [-2,2] C. [0,4] D. [-4,4]【答案】C 【解析】【分析】由题意不等式()21f x -≤可化为()()22f x f -≤-，又可得函数在(),0-∞上单调递减，根据偶函数的对称性可将问题转化为2x -和2-到对称轴的距离的大小的问题处理．【详解】∵偶函数f (x )在[0,+∞)单调递增， ∴函数f (x )在(),0-∞上单调递减．由题意，不等式()21f x -≤可化为()()22f x f -≤-．又函数的图象关于0x =对称， ∴22x -≤-，即22x -≤，解得04x ≤≤， ∴x 的取值范围是[0,4]．故选C ．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解不等式的关键是根据函数的性质将不等式中的符号“f ”去掉，转化为一般不等式求解，解题时要灵活运用函数的性质将问题转化． 8.已知()53232f x x ax bx =-++，且()23f -=-，则()2f =（）A. 3B. 5C. 7D. 1-【答案】C 【解析】【分析】由题意可得出()()224f f -+=，由此可求出()2f 的值. 【详解】()53232f x x ax bx =-++Q ，()2321662f a b ∴-=-+-+，()2321662f a b =-++，()()224f f ∴-+=，因此，()()()242437f f =--=--=.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查计算能力，属于基础题.9.设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上，()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式3()2()05f x f x x--<的解集为（）．A. (1,0)(1,)-??B. (,1)(0,1)-∞-UC. (,1)(1,)-∞-+∞UD.(1,0)(0,1)-U【答案】D 【解析】奇函数()f x 定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上，在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =， ∴函数()f x 的关于原点对称，且在(,0)-∞上也是增函数，过点(1,0)-，所以可将函数()f x 的图像画出，大致如下：∵()()f x f x -=-，∴不等式3()2()05f x f x x--<可化为()0f x x <，即()0xf x <，不等式的解集即为自变量与函数值异号的x 的范围，据图像可以知道(1,0)(0,1)x ∈-⋃．故选：D ．10.设0a b >>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（） A. 1 B. 4C. 3D. 2【答案】B 【解析】【分析】先把代数式()221121025a ac c ab a a b ++-+-整理成()()()2115a c ab a a b ab a a b -+++-+-，然后利用基本不等式可求出原式的最小值. 【详解】()()()222221110112102255a ac c a ab ab ab a ac c ab a b a a a b =-++-+++++-+--Q ()()()211504a c ab a a b ab a a b =-+++-+≥+=-，当且仅当()511a cab a a b ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩时，即当a =2b =c =时，等号成立，因此，()221121025a ac c ab a a b ++-+-的最小值是4. 故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.第II 卷（非选择题共60分）二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上．11.设三元集合,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭={}2,,0a a b +，则20142015a b += ．【答案】【解析】试题分析：集合,且,,则必有,即,此时两集合为,集合,,，当时,集合为,集合,不满足集合元素的互异性.当时,,集合,满足条件,故201420151,0,1a b a b =-=∴+=,因此，本题正确答案是:.考点：集合相等的定义. 12.若幂函数2223(1)m m y m m x --=--在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值为．【答案】2m = 【解析】试题分析：由题意得：2211,2302m m m m m --=--<⇒= 考点：幂函数定义及单调性13.已知:1p x >或3x <-，:q x a >（a 为实数）.若q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】[)1,+∞ 【解析】【分析】求出p ⌝和q ⌝中实数x 的取值集合，然后根据题中条件得出两集合的包含关系，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由题意可得，:31p x ⌝-≤≤，:q x a ⌝≤，由于q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则[](]3,1,a --∞Ü，所以，1a ≥.因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞. 故答案：[)1,+∞.【点睛】本题考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合的包含关系，考查化归与转化思想，属于中等题.14.某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售量y （桶）与销售单价x （元）的关系式为y ＝－30x ＋450，则该桶装水经营部要使利润最大，销售单价应定为_______元. 【答案】10 【解析】【分析】根据题意，列出关系式，()()304505420W x x =-+--，然后化简得二次函数的一般式，然后根据二次函数的性质即可求出利润的最大值.【详解】由题意得该桶装水经营部每日利润为()()304505420W x x =-+--，整理得2306002670W x x =-+-，则当x=10时，利润最大.【点睛】本题考查函数实际的应用，注意根据题意列出相应的解析式即可，属于基础题.15.设定义在N 上的函数()f n 满足()()13,200018,2000n n f n f f n n +≤⎧⎪=⎨⎡⎤->⎪⎣⎦⎩，则()2012f =________. 【答案】2010 【解析】【分析】根据函数()y f n =的解析式以及自变量所满足的范围选择合适的解析式可计算出()2012f 的值.【详解】Q 定义在N 上的函数()f n 满足()()13,200018,2000n n f n f f n n +≤⎧⎪=⎨⎡⎤->⎪⎣⎦⎩，()()()()()201220121819941994132007f f f f f f f ∴=-==+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()20071819891989132002200218f f f f f f f f =-==+==-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()198419841319971997132010f f f f ==+==+=⎡⎤⎣⎦.故答案为：2010.【点睛】本题考查分段函数值的计算，要结合自变量所满足的范围选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于中等题. 16.已知函数()23a af x x x =-+在()1,3上是减函数，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(],18-∞- 【解析】【分析】任取1213x x <<<，由题意得出()()120f x f x ->，可得出1220x x a +>，即122a x x <-，由1213x x <<<可得出1219x x <<，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】任取1213x x <<<，则()()1212122323a a a a f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()121212121221121222222a x x x x x x a a a x x x x x x x x x x --+⎛⎫=-+-=-+= ⎪⎝⎭， 1213x x <<<Q ，120x x ∴-<，1219x x <<，由于函数()y f x =在()1,3上单调递减，则()()120f x f x ->，1220x x a ∴+>，得122a x x <-，1219x x <<Q ，121822x x ∴-<-<-，18a ∴≤-. 因此，实数a 的取值范围是(],18-∞-. 故答案为：(],18-∞-.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，解题时可以利用函数单调性的定义结合参变量分离法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.三．解答题：本大题共4小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上．17.已知不等式()()22110x a x a a -+++≤的解集为集合A ,集合()2,2B =-.（I ）若2a =，求A B ⋃；（II ）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围. 【答案】（I ）(2,3]A B ⋃=-（II ）3a ≤-或2a ≥ 【解析】【分析】（I ）将a 代入，利用十字分解法求出集合A ，再根据并集的定义求解；（II ）已知A ∩B ＝∅，说明集合A ，B 没有共同的元素，从而进行求解；【详解】（I ）2a =时，由2560x x -+≤ 得()()320x x --≤，则[]2,3A = 则(]2,3A B ⋃=-（II ）由()()22110x a x a a -+++≤ 得()()10x a x a ---≤则[],1A a a =+，因为A B ∅⋂= 所以12a +≤-或2a ≥，得3a ≤-或2a ≥【点睛】本题主要考查并集的定义及求解，考查了子集的性质，涉及不等式解集的求法，是一道基础题18.已知()()221y mx m x m m R =-++∈.（1）当2m =时，解关于x 的不等式0y ≤；（2）当0m ≤时，解关于x 的不等式0y >. 【答案】（1）122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）将2m =代入函数解析式，结合一元二次不等式的解法可解出不等式0y ≤；（2）不等式等价于()()10mx x m -->，分0m =和0m <两种情况，在0m <时，对1m和m 的大小关系进行分类讨论，即可得出不等式的解.【详解】（1）当2m =时，2252y x x =-+，解不等式0y ≤，即20252x x ≤-+，即()()2120x x --≤，解得122x ≤≤，因此，不等式0y ≤的解集为122x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）不等式0y >，即()2210mx m x m -++>，即()()10mx x m -->.（i ）当0m =时，原不等式即为0x ->，解得0x <，此时，原不等式的解集为(),0-∞；（ii ）当0m <时，解方程()()10mx x m --=，得1x m=或x m =. ①当1m m <时，即当10m -<<时，原不等式的解集为1,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②当1m m =时，即当1m =-时，原不等式即为()210x -+>，即()210x +<，该不等式的解集为∅； ③当1m m >时，即当1m <-时，原不等式的解集为1,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，同时也考查了含参二次不等式的解法，解题时要对首项系数以及方程根的大小关系进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19.已知函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=-x 2+ax.（1）若a=-2，求函数f (x )的解析式；（2）若函数f (x )为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围;②若对任意实数m ,f (m -1)+f (m 2+t )<0恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1) 222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-<=⎨--≥⎩.(2) ①a ≤0 ②t>54. 【解析】【详解】（1）当0x <时，0x ->，又因为()f x 为奇函数，所以22()()(2)2f x f x x x x x =--=---=- 所以222 0(){2 0x x x f x x x x -<=--≥ （2）①当0a ≤时，对称轴02a x =≤，所以2()f x x ax =-+在[0,)+∞上单调递减，由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，又在(,0)-∞上()0f x >，在(0,)+∞上()0f x <，所以当a ≤0时，()f x 为R 上的单调递减函数当a>0时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，不合题意所以函数()f x 为单调函数时，a 的范围为a 0≤…②因为2(1)()0f m f m t -++<，∴2(1)()f m f m t -<-+所以()f x 是奇函数，∴2(1)()f m f t m -<--又因为()f x 为R 上的单调递减函数，所以21m t m ->--恒成立，所以22151()24t m m m >--+=-++恒成立，所以54t > 20.已知：函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =．（1）求(0)f 的值．（2）求()f x 的解析式．（3）已知z R ∈，设P ：当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立；Q ：当2][2x ∈-，时，()()g x f x ax =-是单调函数．如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求C R A B ⋂（R 为全集）．【答案】（1）(0)2f =-；（2）2()2f x x x =+-；（3）C {|15}R A B a a ⋂=<…【解析】【分析】（1）令1x =-，1y =带入化简得到答案.（2）令0y =，代入计算得到答案. （3）根据恒成立问题计算得到{|1}A a a =≥，根据单调性计算得到 {|3,5}B a a a =≤-≥或，再计算C R A B ⋂得到答案. 【详解】（1）令1x =-，1y =，则由已知(0)(1)1(121)f f -=--++，∴(0)2f =- （2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x -=+，又∵(0)2f =-∴2()2f x x x =+- （3）不等式()32f x x a +<+即2232x x x a +-+<+，21x x a -+<．由于当102x <<时，23114x x <-+<，又2213124x x x a ⎛⎫-+=-+< ⎪⎝⎭恒成立，故{|1}A a a =≥，22()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--对称轴12a x -=，又()g x 在[2,2]-上是单调函数，故有122a -≤-或122a -≥， ∴{|3,5}B a a a =≤-≥或，C {|35}R B a a =-<<∴C {|15}R A B a a ⋂=≤<．【点睛】本题考查了函数求值，函数解析式，集合的运算，意在考查学生的综合应用能力.。

天津市耀华中学2020届高三数学第一次校模拟考试试题文(含解析)

天津市耀华中学2020届高三年级第一次校模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A. -6B. 13C.D.【答案】A【解析】解答：∵是纯虚数，∴，解得a=−6.本题选择A选项.2. 曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对函数求导则，则，则倾斜角为．故本题答案选．3. 命题：，命题：，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B考点：充要条件与简易逻辑的综合.点评：要先求出p,q真的条件，得到,真的条件，再根据,为真对应的集合之间的包含关系，从而可求出是成立的充要关系.4. 在区间中随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.【点睛】直线与圆相交问题，都转化为圆心与直线的距离与半径关系。

5. 若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.6. 已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，为单位向量，又，则，可得，则，．又．则在上的投影为．故本题答案选．7. 过双曲线（，）的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质8. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，即.恰有4个零点即有4个零点等价于函数图像与直线的图像有4个交点.因为的最小值为，结合函数图像如图所示:分析可得.故D正确.考点：1函数方程，零点;2数形结合思想.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 已知全集，集合，，则集合__________．【答案】【解析】求题知，，则，则．故本题应填．10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．【答案】2【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：.11. 已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________．【答案】12【解析】由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半。

2023-2024学年天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()3ln xf x x=的部分图象是A. B.C. D.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：.时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.21.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a b c <<B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b6. 已知4log a a =，则2log a a +=（）A 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（）A.29B.18C.112D.588. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A. ①②③B. ②③C. ①③④D. ②④.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.11.在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．12.若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.14. 已知0a >，0b >的最大值为________.15. 设R ω∈，函数()2π2sin ,0,6314,0,22x x f x x x x ωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x x ω=.若()f x 在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x 与()g x 图象有三个交点，则ω的取值范围是________.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c ，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)A B +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.的17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l上；的（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆=？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.20 已知函数()()1211222x f x x ex x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．.天津市耀华中学2024届高三年级第一次月考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.1. 已知集合{}220A x x x =+-<，{}lg 1B x x =<，A B = （）A. ()2,10-B. ()0,1C. ()2,1-D. (),10-∞【答案】B 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}()2202,1A x x x =+-<=-，{}()lg 10,10B x x =<=，所以A B = ()0,1，故选：B2. 设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A. 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <..据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 函数()3ln xf x x =的部分图象是A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0xf x x =>，排除CD ，得到答案.【详解】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x =-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y （千只）0.50.8 1.0 1.2 1.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为 0.24y x a=+，则下列说法不正确的是（）A. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B. 线性回归方程 0.24y x a=+中 0.26a =C. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量 y 平均增加0.24个单位D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断A 选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B 选项；根据回归方程判断CD 选项.【详解】从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故A 正确；由已知数据得()11234535=++++=，()10.50.8 1.0 1.2 1.515y =++++=，代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.240.28a =-⨯=，故B 错；根据线性回归方程ˆ0.240.28yx =+可得x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.24个单位，故C 正确.将6x =代入ˆ0.240.28yx =+中得到ˆ0.2460.28 1.72y =⨯+=，故D 正确.故选：ACD.5. 已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a b c << B. a c b<< C. b<c<a D. c<a<b【答案】A 【解析】【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.20.20.21log 0.5log log 2a ==<=，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <.又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.6. 已知4log a a =，则2log a a +=（）A. 11或238-B. 11或218-C. 12或238-D. 10或218-【答案】A 【解析】【分析】对4log a a =43log 2a =或32-，讨论43log 2a =或32-时2log a a+的值，即可得出答案.【详解】由4log aa =()(4log 44log log aa=()49249log log4a ==，所以43log 2a =或32-.当43log 2a =时，33242a ===8，所以22log 8log 811a a +=+=；当43log 2a =-时，32148a -==，所以221123log log 888a a +=+=-，综上，a +2log 11a =或238-，故选：A.7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（）A.29B.18C.112D.58【答案】A 【解析】【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，计算出每种情况的概率即可.【详解】设事件A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件k B 表示丢失的一箱为,1,2,3k k =分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得()()()2223554222219999C C C 11382|2C 5C 10C C 9k k k P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯==∑．故选：A8. 将函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，有下述四个结论：①()π2sin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭②函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增③点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心④当ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A. ①②③ B. ②③C. ①③④D. ②④【答案】B 【解析】【分析】根据图象变换可得()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：()π2sin 3g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故①错误；因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,336x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故②正确；因为4π4ππ2sin 2sin π0333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图像的一个对称中心，故③正确；因为ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π4ππ,336x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦-，所以当π4π33x -=-，即πx =-时，函数()g x 的最大值为()4ππ2sin 3g ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故④错误；故选：B.9. 已知函数()()()()()()22121,1,11,1,1a x a x x f x a x ax x x ⎧-++-∈-⎪=⎨-++∉-⎪⎩有且只有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A. ()0,1 B. ()(),80,1-∞- C. [)0,1 D. (][),80,1-∞- 【答案】B【解析】【分析】先求1a =时函数()f x 的零点，再考虑1a ≠时，函数()f x 在(][),11,-∞+∞ 的零点，由此确定函数()f x 在()1,1-上的零点个数，结合二次函数性质求a 的取值范围.【详解】当1a =时，()()[)(]31,1,1,1,0,,1x x f x x x x x ∞∞⎧-∈-⎪=+∈+⎨⎪∈--⎩，所以区间(],1-∞-内的任意实数和13都为函数()f x 的零点，不满足要求；当1a ≠时，若(],1x ∈-∞-，则()()21f x a x ax x =-+-，令()0f x =，可得0x =(舍去)，或=1x -，所以=1x -为函数()f x 的一个零点；若[)1,x ∞∈+，则()()21f x a x ax x =-++，令()0f x =，则()210a x ax x -++=，所以11a x a +=-，若111a a+≥-，即01a ≤<，则函数()f x 在[)1,+∞上有一个零点；若1a >或a<0时，则函数()f x 在[)1,+∞上没有零点；当01a ≤<时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有两个零点；当1a >或a<0时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点，因为当01a ≤<时，函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有两个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有一个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有一个根，由()()()22418a a a a ∆=++-=+，当0a =时，方程()()21210a x a x -++-=的根为1x =(舍去)，故0a =时，方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上没有根，矛盾当01a <<时，0∆>，设()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为2122a x a+=>-，函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，由方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有一个根可得()()10,10g g >-<，所以()()()()1210,1210a a a a -++->--+-<，所以01a <<，当1a >时，则函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有两个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有两个根，由()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-可得函数()g x 的图象为开口向上的抛物线，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为222a x a+=-，则()()()224180a a a a ∆=++-=+>，21122a a+-<<-， ()()10,10g g >->，所以4a >，()()()()1210,1210a a a a -++->--+->，满足条件的a 不存在，当a<0时，则函数()f x 在(][),11,-∞-⋃+∞上有一个零点；又函数()f x 在R 上有3个零点，所以函数()f x 在()1,1-上有且只有两个零点，即方程()()21210a x a x -++-=在()1,1-上有两个根，由()()()[]2121,1,1g x a x a x x =-++-∈-可得函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，函数()()()2121g x a x a x =-++-的对称轴为222a x a+=-，则()()()224180a a a a ∆=++-=+>，21122a a +-<<-， ()()10,10g g <-<，所以8a <-，a<0，()()()()1210,1210a a a a -++-<--+-<，所以8a <-，故实数a 的取值范围是()(),80,1-∞- .故选：B【点睛】关键点睛：含绝对值函数的相关问题的解决的关键在于去绝对值，将其转化为不含绝对值的函数，分段函数的性质的研究可以分段研究.第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.10. 复数()21i 1iz -=+（i 为虚数单位），则z =______.【解析】【分析】先利用复数的运算化简复数，再利用模长的公式求解模长.【详解】()()()()()21i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 1i z ----====--=--+++-.所以z ==.11. 在6的二项展开式中，2x 的系数为___________．【答案】38-【解析】【详解】试题分析：因为6263166((1)2r r r r r r r r T C C x ---+==-，所以由32r -=得1r =，因此2x 的系数为1463(1)28C --=-考点：二项式定理【方法点睛】1．求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项的系数．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．12. 若2sin sin αβ+=3π2αβ+=，则sin α=________；cos 2β=________.【答案】 ①. ②. 35##0.6【解析】【分析】由2sin sin αβ+=3π2αβ+=，可得出2sin cos αα-=，再结合同角平方关系即可求出sin α=，从而算出sin β=3cos 25β=.【详解】 2sin sin αβ+=3π2αβ+=，3π2sin sin()2αα∴+-=2sin cos αα-=，cos 2sin αα∴=-，又22sin cos 1αα+= ，∴(22sin 2sin 1,αα+=解得sin α=∴2sin β+=，解得sin β=，23cos 212sin 5ββ∴=-=.综上，sin α=3cos 25β=.，35.13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙､丙科目合格的概率均为23，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ，则(2)P X ==___________；()E X =___________.【答案】①. 49； ②. 2512##1212.【解析】【分析】根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.【详解】3223223224(2)(1(1(1)4334334339P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=；3221(0)(1)(1(1)43336P X ==-⨯-⨯-=，3223223227(1)(1(1)(1)(1)(1)(143343343336P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，3221(3)4333P X ==⨯⨯=，所以174125()012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：49；251214. 已知0a >，0b >的最大值为________.【解析】【分析】利用基本不等式可得答案.【详解】因为0a >，0b >，所以=≤==，当且仅当2a a b=+即a b=等号成立..15. 设Rω∈，函数()2π2sin,0,6314,0,22x xf xx x xωω⎧⎛⎫+≥⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x xω=.若()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且函数()f x与()g x的图象有三个交点，则ω的取值范围是________.【答案】23⎤⎥⎦.【解析】【分析】利用()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增可得1243ω≤≤，函数()f x与()g x的图象有三个交点，可转化为方程23610x xω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根可得答案.【详解】当π0,2x⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，πππ,626ωω⎡⎫++⎪⎢⎣⎭x，因为()f x在1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()π0ππ2624133π12sin62ω⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩，解得1243ω≤≤，又函数()f x与()g x图象有三个交点，所以在(),0x∈-∞上函数()f x与()g x的图象有两个交点，即方程231422x x xωω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根，即方程23610x xω++=在(),0x∈-∞上有两个不同的实数根，的所以22Δ3612003060102ωωω⎧=->⎪⎪-<⎨⎪⨯+⨯+>⎪⎩，解得ω>当0x ≥时，令()()π2sin 6ωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭f xg x x x ，由0x =时，()()10f x g x -=>，当π5π66ω+=x 时，7π3ω=x ，此时，()()7π203-=-<f x g x ，结合图象，所以0x ≥时，函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点，综上所述，23ω⎤∈⎥⎦.故答案为：233⎤⎥⎦.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为方程23610x x ω++=在(),0x ∈-∞上有两个不同的实数根.三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案卡上.16. 已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，满足22cos c b A =+.（1）求角B ；（2）若1cos 4A =，求sin(2)AB +的值；（3）若7c =，sin b A =b 的值.【答案】（1）6π.（2.（3【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得B ；（2）由二倍角公式求得sin 2,cos 2A A 后再由两角和的正弦公式可求值；（3）由正弦定理求得a ，再由余弦定理求得b ．【详解】（1）∵22cos c b A =+，由正弦定理得，2sin 2sin cos C A B A=+∴2(sin cos cos sin )2sin cos A B+A B A B A =+，即2sin cos A B A =.∵sin 0A ≠，∴cos B =又0B π<<，∴6B π=（2）由已知得，sin A ==∴sin 22sin cos A A A ==，27cos 22cos 18A A =-=-∴sin(2)sin(2sin 2cos cos 2sin 666A B A A A πππ+++==.（3）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin b A a B =.由（1）知，6B π=，∴a =由余弦定理得，2222cos 19b a c ac B =+-=.∴b =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序．在三角形中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换．17. 已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//PA DQ ，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、CQ 中点．（1）求证：//EF 平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面PCQ，若存在求出PM MC 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2（3）存在；1PM MC =或15PM MC =【解析】【分析】（1）法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，证明出平面//EGHF 平面ADQP ，利用面面平行的性质可证得结论成立；法二：以点A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）假设存在点M ，使得PM PC λ= ，其中[]0,1λ∈，求出向量AM 的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的方程，解之即可.【小问1详解】的证明：法一：分别取AB 、CD 的中点G 、H ，连接EG 、GH 、FH ，由题意可知点E 、F 分别为线段PB 、CQ 的中点．所以//EG PA ，//FH QD ，因为//PA DQ ，所以//EG FH ，所以点E 、G 、H 、F 四点共面，因为G 、H 分别为AB 、CD 的中点，所以//GH AD ，因为AD ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以//GH 平面ADQP ，又因为//FH QD ，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以//FH 平面ADQP ，又因为FH GH H = ，FH 、GH Ì平面EGHF ，所以平面//EGHF 平面ADQP ，因为EF ⊂平面EGHF ，所以//EF 平面ADQP ；法二：因为ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，所以AP 、AB 、AD 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3P 、()3,3,0C 、()0,3,1Q 、()3,0,0B 、33,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭、31,3,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()0,3,1EF =- ，易知平面PADQ 的一个法向量()1,0,0a = ，所以0a EF ⋅= ，所以E F a ⊥ ，又因为EF ⊄平面ADQP ，所以//EF 平面ADQP ．【小问2详解】解：设平面PCQ 的法向量(),,m x y z = ，()3,3,3PC =- ，()3,0,1CQ =- ，则333030m PC x y z m CQ x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,2,3m = ，所以平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m = ，易知平面CQD 的一个法向量()0,1,0n = ，设平面PCQ 与平面CQD 夹角为θ，则cos cos ,m n m n m n θ⋅=====⋅ ，所以平面PCQ 与平面CQD【小问3详解】解：假设存在点M ，使得()3,3,3PM PC λλλλ==- ，其中[]0,1λ∈，则()()()0,0,33,3,33,3,33AM AP PM λλλλλλ=+=+-=- ，由（2）得平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m = ，由题意可得c os ,AM = ，整理可得212810λλ-+=．即()()21610λλ--=，因为01λ≤≤，解得16λ=或12，所以，15PM MC =或1PM MC=．18. 已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >．【答案】（1）23n a n =+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，用1,a d 表示n S 及n T ，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶结合分组求和法求出n T ，并与n S 作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出n S ，n b ，再分奇偶借助等差数列前n 项和公式求出n T ，并与n S 作差比较作答.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，而6,21,N 2,2n n n a n k b k a n k*-=-⎧=∈⎨=⎩，则112213316,222,626b a b a a d b a a d =-==+=-=+-，于是41314632441216S a d T a d =+=⎧⎨=+-=⎩，解得15,2a d ==，1(1)23n a a n d n =+-=+，所以数列{}n a 的通项公式是23n a n =+.【小问2详解】方法1：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩，当n 为偶数时，12(1)34661n n b b n n n -+=--++=+，213(61)372222n n n T n n ++=⋅=+，当5n >时，22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->，因此n n T S >，当n 奇数时，22113735(1)(1)[4(1)6]52222n n n T T b n n n n n ++=-=+++-++=+-，当5n >时，22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->，因此n n T S >，所以当5n >时，n n T S >.方法2：由（1）知，2(523)42n n n S n n ++==+，23,21,N 46,2n n n k b k n n k*-=-⎧=∈⎨+=⎩，当n 为偶数时，21312412(1)3144637()()222222n n n n n n n T b b b b b b n n --+--++=+++++++=⋅+⋅=+ ，当5n >时，22371()(4)(1)0222n n T S n n n n n n -=+-+=->，因此n n T S >，当n 为奇数时，若3n ≥，则为132411231144(1)61()()2222n n n n n n n T b b b b b b --+-++-+-=+++++++=⋅+⋅ 235522n n =+-，显然111T b ==-满足上式，因此当n 为奇数时，235522n T n n =+-，当5n >时，22351(5)(4)(2)(5)0222n n T S n n n n n n -=+--+=+->，因此n n T S >，所以当5n >时，n n T S >.19. 如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>()F 且斜率为k 的直线交椭圆E 于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l ：40x ky +=交椭圆E 于,C D 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：点M 在直线l 上；（3）是否存在实数k ，使得3BDM ACM S S ∆∆？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）22141x y +=（2）详见解析（3）存在，且k =【解析】【分析】（1）根据离心率和焦点坐标列方程组，解方程组求得,a b 的值，进而求得椭圆E 的方程.（2）写出直线AB 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得中点M 的坐标，将坐标代入直线l 的方程，满足方程，由此证得点M 在直线l 上.（3）由（2）知,A B 到l 的距离相等，根据两个三角形面积的关系，得到M 是OC 的中点，设出C 点的坐标，联立直线l 的方程和椭圆的方程，求得C 点的坐标，并由此求得k 的值.【详解】解：(1)解：由c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a =，1b =所以所求椭圆的标准方程为22141x y +=（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y，(2244y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消x 得，()2222411240k x x k +-+-=，解得12012022x x x y y y ⎧+==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩将()00,M x y 代入到40x ky +=中，满足方程所以点M 在直线l 上.（3）由（2）知,A B 到l 的距离相等，若BDM ∆的面积是ACM ∆面积的3倍，得3DM CM =，有DO CO =，∴M 是OC 的中点，设()33,C x y ，则302y y =，联立224044x ky x y +=⎧⎨+=⎩，解得3y =，=解得218k =，所以k =.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查方程的思想，属于中档题.要证明一个点在某条直线上，那么先求得这个点的坐标，然后将点的坐标代入直线方程，如果方程成立，则这个点在直线上，否则不在这条直线上.20. 已知函数()()1211222x f x x e x x -=--++，()()24cos ln 1g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集；（2）用{}max ,m n 表示m ，n 的最大值，记()()(){}max ,F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数．【答案】（1）增函数；()1,+∞；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到()()()111x f x x e-'=--，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出不等式的解集.（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案.【详解】（1）()()()()111111x x f x x e x x e --'=--+=--，当1x >时，10x ->，110x e -->，∴()0f x ¢>，当1x <时，10x -<，110x e --<，∴()0f x ¢>，当1x =时，()0f x '=，所以当x ∈R 时，()0f x '≥，即()f x 在R 上是增函数；又()10f =，所以()0f x >的解集为()1,+∞．（2））函数()F x 的定义域为(1,)-+∞由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f =当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f xg x =，所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 零点即为函数()g x 的零点下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数：1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+①当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32>=即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--<+所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增的当01x <<时()0g x '<，()g x 递减当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a =>又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f =当1ln 2(1)014cos1g a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点；当1ln 2(1)014cos1g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2(1)0014cos1g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点；②当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由①得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<，所以当0a =时函数()F x 有2个零点③当a<0时，()2()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++≤，即()0g x <成立，由()10f =，所以当a<0时函数()F x 有1个零点综上所述：当1ln 214cos1a ->+或a<0时，函数()F x 有1个零点；当1ln 214cos1a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2014cos1a -<<+时，函数()F x 有3个零点.【点睛】思路点睛：导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.。

耀华中学2019-2020学年高一第一学期期中考试数学试题

耀华中学 2019-2020 学年第一学期期中形成性检测
高一数学试卷
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1.已知集合 M y y x2 1, x R ，集合 N x y 3 x , M N （）
A. 2,1 , 2,1
B. 1, 3
C. 0, 3
D.
2.下列判断正确的是（）
A.函数 f x x2 2x 是奇函数
x2
B.函数 f x 1 x 1 x 是偶函数
1 x
C.函数 f x 1既是奇函数又是偶函数
D.函数 f x x x2 1 是非奇非偶函数
3.设函数 f x x2 a 1x a 为奇函数，则实数 a （）
（1）求 f 0的值；
（2）求 f x 的解析式；（3）已知 a R ，设 P :当 0 x 1 时，不等式 f x 3 2x a 恒成立；Q : 当 x 2,2
2
时， gx f x ax 是单调函数.如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A ，满足 Q 成立的 a 的
则实数 a 的取值范围是______. 14. 某桶装水经营部每天的固定成本为 420 元，每桶水的进价为 5 元，日均销售量 y （桶）
与销售单价 x （元）的关系式为 y 30x 450 ，则该桶装水经营部要使日利润最大，销
售定价应定为______元.
15. 设定义在 N
上的函数
B. m n 0
C. n m 0
D. m n 0
7.偶函数 f x 在 0,上单调递增，若 f 2 1 ，则 f x 2 1 的 x 的取值范围是（）
A. 0,2

天津耀华中学高一数学理联考试卷含解析

天津耀华中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式的解集是：A. (－1,0)B.(－∞,－1)∪(0,+∞)C. (0,1)D. (－∞,0)∪(1,+∞)参考答案：C【分析】把不等式转化为不等式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，不等式，等价于，解得，即不等式的解集为(0,1)，故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的值域为[﹣，]C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=Asinωx的图象参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式；再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得==﹣，∴ω=π．再根据五点法作图可得π?+φ=0，∴φ=﹣，即f（x）=Asin（πx﹣），故函数的周期为=2，故排除A；由于A不确定，故函数f（x）的值域不确定，故排除B；令x=﹣，可得f（x）=﹣A，为函数的最小值，故函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称，故C正确；把函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=Asin[π（x﹣）﹣]=Asin（πx﹣）的图象，故D错误，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．3. 已知M={0,1,2},N={x|x=2a,a M},则M N＝（）A {0，1}B {0,2}C {0,1,2}D {0,1,2,4}参考答案：B略4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有( ).A.向右平移B.向右平移C.向左平移D.向左平移参考答案：B略5. 下列判断正确的是（）A、 B、 C、 D、参考答案：D6. 设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．7. 已知平面上直线的方向向量=(),点和在上的射影分别是和，则=,其中等于（）A． B． C．2D．参考答案：D8. 数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则等于（）A. 1006B. 1008C. －1006D. －1008参考答案：B【分析】依据为周期函数，得到，并项求和，即可求出的值。

天津市耀华中学2020届高三数学上学期第一次月考数学试题(无答案)

天津市耀华中学2020届高三年级第一次月考数学试卷第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}012log ,02322≤-=≤-+=x x B x x x A ，则=B A ( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛32,21 D ．⎥⎦⎤⎝⎛1,212.下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为( ) A ．cos 2y x =，x R ∈ B ．2log ||y x =，x R ∈且0x ≠C ．2x x e e y --=，x R ∈ D ．31y x =+，x R ∈3.设14log ,10log ,6log 753===c b a ，则 ( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 4. 设R ∈α，则“21sin =α”是“Z k k ∈+=,62ππα”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,满足Bbc A a cos 23cos 2-=，且B b sin 5=，则=a ( ) A.35 B.32 C.53D.3526.已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，则( )A ．()()0,021<<x f x fB ．()()0,021><x f x fC ．()()0,021<>x f x fD ． ()()0,021>>x f x f7.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2,0sin πϕωϕωx x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()x f y =的图象( )A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B ．关于直线12π=x 对称 C ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,125π对称 D ．关于直线12π=x 对称8.若函数()()x a x e x f xcos sin +=在⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(]1,∞- B ．()1,∞- C ．[)+∞,1 D ．()+∞,19.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE BC λ=，DF DC μ=.若1=⋅，=⋅CF CE 32-，则λμ+= ( ) A.12 B.712 C.23 D.56第Ⅱ卷（共105分）二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．10.如复数()i m iiz -+-+=111（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为． 11.()43x x +的展开式中3x 的系数是．12.正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 为棱1DD 上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥BFE B -1的体积为．13.数列{}n a 中，已知()*++∈+===N n a a a a a n n n 2121,2,1，则=2020a ．14.不等式()y x a xy x +≤+22对任意正数y x ,恒成立，则正数a 的最小值是．15.设()()x g x f ,是定义在R 上的两个函数，()x f 满足()()x f x f -=+2，()x g 满足()()x g x g =+2，且当(]2,0∈x 时，()x x x f 22+-=，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+=2121102x x x k x g ，若在区间[]11,0上，关于x 的方程()()x g x f =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分15分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为43，乙队中3人答对的概率分别为32,43,54，且各人回答正确与否之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分.(Ⅰ)求ξ的分布列和均值；(Ⅱ) 求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC AD //,AD AB ⊥,4,221====PA BC AD AB ,E 为棱BC 上的点，且BC BE 41=. (Ⅰ) 求证：⊥DE 平面PAC ； (Ⅱ)求二面角D PC A --的余弦值；(Ⅲ)设Q 为棱CP 上的点（不与P C ,重合），且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值55，求CPCQ的值.正项等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，13,131==S a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正，且52=b ，又332211,,b a b a b a +++成等比数列.设()nn n a b b c n 12-=，求数列{}n c 的前n 项和n T .设椭圆()01:2222>>=+b a by a x M 的左、右焦点21,F F ，左顶点为A ，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为21. (Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)过点A 做斜率为k 的直线与椭圆M 交于另一点B ，连接2BF 并延长交椭圆M 于点C ，若AB C F ⊥1，求k 的值．已知1,0≠>a a ，函数()()a x x x g a x f xln ,12+-=-=（Ⅰ）若1>a ，证明：函数()()()x g x f x h -=在区间()+∞,0上是单调增函数（Ⅱ）求函数()()()x g x f x h -=在区间[]1,1-上最大值.（Ⅲ）若函数()x F 的图象过原点，且()x F 的导数()()x g x F ='，当310e a >时，函数()x F 过点()m A ,1的切线至少有2条，求实数m 的值.。

2019-2020学年天津耀华中学高一数学理月考试卷含解析

2019-2020学年天津耀华中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．y=参考答案：D考点：判断两个函数是否为同一函数．分析：函数y=x的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应法则是否相同即可．解答：A．函数的定义域{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．C．函数的定义域{x|x＞0}，两个函数的定义域不同．D．函数的定义域为R，对应法则相同，所以成立．故选D．点评：本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，只有判断函数的定义域和对应法则是否一致即可．2. 已知，函数的图像经过点(4,1)，则的最小值为A. B. 6 C. D. 8参考答案：D由函数的图像经过点，可以得到一个等式，利用这个等式结合已知的等式，根据基本不等式，可以求的最小值.【详解】因为函数的图像经过点，所以有，因为，所以有（当且仅当时取等号），故本题选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，用1巧乘是解题的关键.3. 已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤3B．a≥2C．2≤a≤3D．0＜a≤2或a≥3参考答案：C【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由二次函数和对数函数的单调性，结合单调性的定义，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，f（x）=﹣x2+ax﹣2的对称轴为x=，由递增可得，1≤，解得a≥2；当x＞1时，f（x）=log a x递增，可得a＞1；由x∈R，f（x）递增，即有﹣1+a﹣2≤log a1=0，解得a≤3．综上可得，a的范围是2≤a≤3．【点评】本题考查分段函数的单调性的运用，注意运用定义法，同时考查二次函数和对数函数的单调性的运用，属于中档题．4. 算法的三种基本结构是 ( )A. 顺序结构、模块结构、条件结构B. 顺序结构、循环结构、模块结构C. 顺序结构、条件结构、循环结构D. 模块结构、条件结构、循环结构参考答案：C略5. （4分）若x满足不等式|2x﹣1|≤1，则函数y=（）x的值域为（）A．[0，）B．（﹣∞，] C．（0，1] D．[，1]参考答案：D考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由不等式可得0≤x≤1；从而化简求函数的值域．解答：由不等式|2x﹣1|≤1解得，0≤x≤1；则≤≤1；故函数y=（）x的值域为[，1]；故选D．点评：本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．6. 的分数指数幂表示为（）A． B.C. D.都不对参考答案：C7. 已知圆锥的底面直径与高都是4，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D. 8参考答案：C【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再计算圆锥的侧面积．详解】如图所示，圆锥的底面直径2r＝4，r＝2，高h＝4，则母线长为，所以该圆锥的侧面积为πrl＝π?2?2＝4π．故选：C．【点睛】本题考查圆锥的结构特征与圆锥侧面积计算问题，是基础题．8. 在映射，，且，则中的元素对应在中的元素为( )A. B. C.D.参考答案：A9. 已知，则f(3)为（）A 2B 3C 4D 5参考答案：A10. 在△ABC中，a2﹣c2+b2=ab，则角C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°参考答案：C【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知的等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab，∴cosC===，又C为三角形的内角，则C=60°．故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）参考答案：1560试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．12. 函数的定义域是 .参考答案：略13. 计算的值是______________ .参考答案：略14. 函数f(x)=的定义域为。

天津耀华中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

x | x 1, 或x 1 ， f ( x) x x2 1 f (x) ， f ( x) x x2 1 f (x) ，所
-1-
以 f (x) 是非奇非偶函数； D 中是偶函数，不是奇函数 .故选 C. 考点：函数的奇偶性 .
【方法点睛】判断函数奇偶性的方法： ⑴ 定义法：对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都
∴ 函数 f ( x) 的关于原点对，且在 ( ,0) 上也是增函数，过点 ( 1,0) ，
所以可将函数 f (x) 的图像画出，大致如下：
∵ f ( x) f ( x) ，
3 f ( x) 2 f ( x)
f (x)
∴ 不等式
0 可化为
0，
5x
x
-5-
即 xf ( x) 0 ，不等式的解集即为自变量与函数值异号的
天津市耀华中学 2019-2020 学年度第一学期期中形成性检测
高一年级数学学科试卷
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分共 100 分，考试用时 100 分钟．
第 I 卷（选择题共 40 分）一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1.已知集合 M y | y x2 1, x R ，集合 N x | y 3 x2 ， M I N （）．
ax b
不等式
0 即 ax
a
0 ，等价于 x 1
0 ，解得
1x
2.
x2
x2
x2
因此，不等式 ax b 0 的解集为 x 1 x 2 . x2
故选： D.
【点睛】本题考查一元一次不等式解集与系数的关系，同时也考查了分式不等式的解法，考

天津市耀华中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

天津市耀华中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭r r .若a r P b r，则实数m =（）A ．1B ．1-C ．9D ．9-2．在△ABC 中，“sin sin A B <”是“A ＜B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知非零向量a r ，br 满足a =r r ，若()()32a b a b +⊥-r r r r ，则a r 与b r 的夹角为（） A ．π4 B ．π2C ．3π4 D ．π4．已知a r 2a b ⋅=-r r ，则向量b r 在向量a r 上的投影向量为（） A ．12a rB ．12b rC ．a -rD ．b -r5．已知非零向量,,a b c r r r ，则“a c b c ⋅=⋅r r r r ”是“a b =r r”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知点P 是ABC V 的重心，则AP =u u u r（）A ．1166AP AB AC =+u u u r u u u r u u u rB ．1144AP AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．2133AP AC BC =+u u u r u u u r u u u rD ．2133AP AB BC =+u u u r u u u r u u u r7．在ABC V 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC V 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-8．已知点G 为ABC V 的重心，,D E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则14λμ+的最小值为（） A ．272B ．7C ．92D ．69．如图，在ABC V 中，13AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若15AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为（）A ．15B ．13C ．23D ．4510．在等边ABC V 中，点D 是边BC 的中点，且AD =AB BC ⋅u u u r u u u r为（）A ．16-B ．16C ．8-D ．811．已知ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形12．在ABC V 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（）A ．1B C D ．313．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A ．10π B ．5π C ．310π D ．25π 14．已知ABC V 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +u u u r u u u r u u u rg 的最小值是( )A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-二、填空题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，2c =，1cos 2B =，则b ＝．16．已知平面向量,a b r r 满足1,a b a ==r r r 与b r 的夹角为60°，若a b +r r 与ta b -r r 的夹角为钝角，则满足条件的t 的取值范围为.17．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若53,5,sin 9a b B ===，则cos A =. 18．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，60A ∠=︒，且ABC V若6b c +=，则=a .19．如图，在平面四边形ABCD 中，90CDA CBA ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=，1AB AD ==，若点E 为CD 边上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r的最小值为．20．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，13AE AC =u u u r u u u r ，则DE BE ⋅=u u u r u u u r；若F 为线段BD上的动点，则FE FB ⋅u u u r u u u r的最小值为．三、解答题21．设()221cos sin 2f x x x =-+，()0,πx ∈.(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)设ABC V 为锐角三角形，角A 所对的边a =角B 所对的边5b =.若()0f A =，求ABC V 的面积.22．已知a ，b ，c 分别是ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，且cos 2cos a A b B=-． (1)求a c．(2)若1cos 4C =，ABC V ABC V 的周长．(3)在（2）的条件下，求πcos 26B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。

天津市耀华中学第一学期高三年级第一次月考数学(理)无答案

天津市耀华中学2019届高三年级第一次月考理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一. 选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．. 1. i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（） A. 55i -- B. 1i + C. 55i + D. 1i -- 2.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（）A. ()sin f x x =B. ()1f x x =-+C. 1()()2x x f x a a -=+D. 2()ln 2xf x x -=+3. ABC V 中，ABC V 为锐角三角形是sin cos A B >的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0, 2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（）A. 向右平移12π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度C. 向左平移12π个单位长度D. 向左平移6π个单位长度5. 已知定义在R 上的函数21()()52x mf x --=+为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(22)c f m =-，则（）A. a c b <<B. c b a <<C. c a b <<D. a b c << 6. 已知函数设向量2()2sin cos sin 2x f x x x ωωω=-（0ω>）的最小值在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少出现两次，则ω的最小值等于（）A. 6B.94C. 154D. 37. 若函数3()3f x x x =-在区间2(12,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A. ]1,2(-B. 1,4)(-C. (-D. 1,2)(-8. 已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x =-的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A. a e <-B. 1a >C. a e >D. a e <-或1a >第Ⅱ卷（非选择题共110分）二. 填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．. 9. 若集合{}213A x x =-<，2103x B xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =I . 10. 曲线1y x=与直线y x =，2x =所围成的封闭图形的面积为 . 11. 设α，β都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= . 12. 若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = . 13. 已知函数2()3f x x x =+，x R ∈，若方程()10f x ax --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是 .14. 已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足对x R ∀∈都有(2)(2)f x f x -+=-，当0x ≥时，2 0122() 13sin 2ln , 12x x f x x x x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩若对于[],1x m m ∀∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是 .三. 解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知a ,b ,c 分别为⊿ABC 三个内角A ,B ,C的对边，cos sin 0a C C b c --=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，⊿ABC，求b ，c . 16.（本题满分13分）甲乙两个进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛. 假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）. 17.（本题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， H 是正方形11AA B B的中心，1AA =1C H ⊥平面11AA B B，且1C H =（1）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（2）求二面角111A AC B --的正弦值；（3）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长.18.（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n 在直线上11122y x =+上. 数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=（*n N ∈），且311b =，前9项和为153.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；HC 1B 1A 1BAC（Ⅱ）设21tan(211)tan()3n n n b c a -=-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.（本题满分14分）椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）离心率2e =， 3a b +=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为1k ，MN 的斜率为2k ，是否存在实数λ使12k k λ-为定值？如果存在，求出λ，否则说明理由.20.（本题满分14分）设函数2()ln (2)f x x a x a x =---. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12 x x ，. （1）求满足条件的最小正整数a 的值；（2）求证：12()02x x f +'>.。

2019届天津市耀华中学高三(下)开学考数学(理)试题解析

绝密★启用前2019届天津市耀华中学高三（下）开学考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．i为虚数单位，则复数241ii+= +（）A．13i-+B．3i+C．3i-D．24i+答案：B直接利用复数的四则运算法则计算即可.解析：()()()()241246231112i ii iii i i+-++===+++-,故选:B.点评：本题考查复数的四则运算,属于基础题.2．若实数x，y满足40{24020x yx yx y+----+„„…，则目标函数23z x y=+的最大值为（）A．11B．24C．36D．49答案：A解析：试题分析：首先根据已知的约束条件画出其表示的平面区域，如下图阴影部分所示．然后将目标函数23z x y=+转化为，由图形可知，目标函数23z x y=+在点(1,3)A处取得最大值，即max213311z=⨯+⨯=，故应选A．【考点】1、简单的线性规划． 3．已知命题p ：26x k ππ≠+，k Z ∈；命题q ：1sin 2x ≠，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B原命题的的逆否命题是：若1:2q sinx ⌝=,则:26p x k ππ⌝=+，显然不成立，是假命题，反之，若￢p 则￢q 成立，故￢q 是￢p 的必要不充分条件，则p 是q 的必要不充分条件，本题选择B 选项.点睛：(1)在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题．(2)当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变． (3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．14B ．15C ．16D ．17答案：C试题分析：由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.【考点】程序框图.5．已知12,F F 为双曲线E 的左，右焦点，点M 在E 的渐近线上，12F F M △ 为等腰三角形，且顶角为120︒，则E 的离心率为（） A ．72B ．2C ．23D ．31+ 答案：A由题意求得M 点坐标,再将之代入渐近线方程,求得a 与b 的关系,最后利用双曲线的离心率公式即可求得E 的离心率. 解析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>,设M 在第一象限,如下图所示:过M 做12MD F F ⊥交x 轴于点D ,由△12F F M 为等腰三角形,且顶角为120︒, 则260MF D ∠=︒,212||||2MF F F c ==, ||3MD c ∴=,2||F D c =,M ∴点坐标为(23)c c ,又M 在双曲线的渐近线b y x a =上,则3b a =故双曲线的离心率2271c b e a a ==+=故选:A. 点评：本题考查双曲线的简单几何性质,考查双曲线的渐近线方程,考查计算能力,属于中档题.6．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（） A ．2- B ．1-C ．0D ．2答案：D 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．【考点】函数的周期性和奇偶性．7．已知函数()()211sinsin 0222xx f x ωωω=+->，x ∈R ，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（） A ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．150,,148⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦答案：D先化简()f x ,再根据()f x 在区间(),2ππ内没有零点,结合正弦函数图像可知4()24k k Z k πωπππωπππ⎧-≥⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩,最后根据不等式组取解集即可. 解析：函数2111cos 112()sin sin sin )2222224xx f x x x x ωωπωωω-=+-=+-=-, 由(),2(,)444x x πππππωωπωπ∈⇒-∈--,若()f x 在区间(),2ππ内没有零点,则154()()42824k k k Z k k Z k πωππωπωπππ⎧-≥⎪⎪∈⇒+≤≤+∈⎨⎪-≤+⎪⎩, 又0>ω,则当1k =-时,1(0,]8ω∈;当0k =时,15[,]48ω∈,因此115(0,][,]848ω∈U ,故选:D. 点评：本题考查了三角函数的图象与性质,考查了不等式的解法,考需要学生具备一定的推理与计算能力,属于中档题.8．梯形ABCD 中，// 4 1260AB CD AB DC AD DAB ︒===∠=，，，，，点E 在直线BD 上，点F 在直线AC 上，且4BE BDCF CA AE DF λμ==⋅=u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r，，，则λμ+的最小值为（） A ．11463+ B ．113C ．463D ．11463- 答案：A根据平面向量基本定理，将,AB AD uu u r uuu r当作两组基底向量，再根据向量线性运算的加法与减法法则，代换出(1),AE AD AB λλ=+-u u u r u u u r u u u r 14DF AD AB μμ-=-+u u ur u u u r u u u r ，结合4AE DF ⋅=uu u r uuu r，化简得3380λλμμ-+-=，将μ表示成λ的关系式，再结合基本不等式求解即可解析：14AC AD DC AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1CF CA AD AB ,4μμ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u ur u u u r BE ()BD AD AB λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r(1),AE AB BE AD AB λλ=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11114444DF DC CF AB CF AB AD AB AD AB μμμ-⎛⎫=+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，由4AE DF ⋅=uu u r uuu r，化简得3380λλμμ-+-=，则333881111,383833833λλλμλμλλλλ-=+=+=++=---…，当且仅当388338λλ-=-时取“=”号故选：A 点评：本题考查平面向量基本定理的应用，向量的加法与减法的线性运算，基本不等式求最值，运算能力，属于难题二、填空题9．设集合{}210A x x =-<，{}2,xB y y x A ==∈，则A B =U _________. 答案：()1,2-先化简集合A ,B ,再利用集合并集运算的定义可得答案. 解析：Q 集合{}()2101,1A x x =-<=-,{}12,,22x B y y x A ⎛⎫==∈= ⎪⎝⎭,()1,2A B ∴=-U ,故答案为:()1,2-. 点评：本题主要考查集合的运算,结合了指数与不等式等相关知识,属于基础题.10．若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中4x 项的系数为__．答案：7 依题意，0214n n C C +=2112n C ⨯，可求得n ，由二项展开式的通项公式即可求得x 4项的系数．解析：解：∵12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数依次成等差数列， ∴0214n n C C +=2112n C ⨯，即1()18n n -+=n ，解得n ＝8或n ＝1（舍）．设其二项展开式的通项为T r +1，则T r +18rC =•x 8﹣r•12r⎛⎫ ⎪⎝⎭•x ﹣r 8r C =•12r⎛⎫ ⎪⎝⎭•x 8﹣2r，令8﹣2r ＝4得r ＝2．∴展开式中x 4项的系数为28C •212⎛⎫= ⎪⎝⎭2814⨯=7．故答案为7．点评：本题考查二项式定理，通过等差数列的性质考查二项展开式的通项公式，考查分析与计算能力，属于中档题．11．在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线2C 的极坐标方程为cos 104πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最小距离为________.1曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=,是圆心为1(1,0)C ,半径1r =的圆,曲线2C 的直角坐标方程为10x y -+=,求出圆心1(1,0)C 到曲线2C 的距离d ,则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最小距离min h d r =-. 解析：Q 曲线1C 的参数方程为1sin sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),∴曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=,是圆心为()11,0C ,半径1r =的圆,Q 曲线2C cos 104πθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,即cos sin 10ρθρθ-+=,∴曲线2C 的直角坐标方程为10x y -+=,又圆心()11,0C 到曲线2C的距离d ==∴曲线1C 上的点与曲线2C上的点的最小距离min 1h d r =-=,故答案为1. 点评：本题考查直线上一点到圆上一点距离最值的求法,考查直角坐标方程､极坐标方程､参数方程的互化,属于中档题.12．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有两个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答). 答案：2520根据题意,按四位数中偶数的个数分3种情况讨论,分别求出每种情况下四位数的数目,由加法原理计算可得答案. 解析：根据题意,分3种情况讨论:①组成的四位数中没有偶数,则其由1､3､5､7､9中的4个数字组成,共有45120A =个四位数;②组成的四位数中有1个偶数,此时有134544960C C A =个符合题意的四位数;③组成的四位数中有2个偶数,此时有2245441440C C A =个符合题意的四位数; 因此一共有1209601402520++=个符合题意的四位数, 故答案为:2520. 点评：本题主要考查排列､组合的应用,涉及分类计数原理的应用,属于基础题.13．不等式()x a x y +≤+对任意正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值是______ 答案：2将条件转化为max a ≥⎝⎭对任意正数x 、y 恒成立,利用均值定理求解max⎝⎭即可解析：由题,则maxa ≥⎝⎭对任意正数x 、y 恒成立,因为2x y =≤+,22x x yx y++≤=+,当且仅当2x y =时,等号成立,所以max2=⎝⎭,即2a ≥, 故答案为：2 点评：本题考查不等式的恒成立问题,考查利用均值定理求最值,考查转化思想14．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+≥-=⎨++<-⎩，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅I ，，则实数a 的取值范围为______．答案：14⎛⎥-∞⎤ ⎝⎦，由题意，条件可转化为函数()22f x x x a a =-++，在(,2)-∞上存在零点，转化为函数()2g x x =与()2h x x a a =+-的图象有交点的横坐标在(2)-∞，上，利用数形结合法求解即可. 解析：由题意，条件可转化为函数()22f x x x a a =-++，在(,2)-∞上存在零点，所以方程22x x a a =+-有根，所以函数()2g x x =与()2h x x a a =+-的图象有交点的横坐标在(2)-∞，上，所以函数()2h x x a a =+-的图象为顶点(,2)a a --在直线2y x =上移动的折线，如图所示，可得122a ≤，即14a ≤，所以实数a 的取值范围是1(,]4-∞.点评：本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中把条件可转化为函数()f x 在(,2)-∞上存在零点，进而函数()2g x x =与()2h x x a a =+-的图象有交点的横坐标在(2)-∞，上是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理论证能力.三、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 为三个内角，已知45A =︒，cos 45B =. （1）求sinC 的值；（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长及ABC V 的面积. 答案：（172.（2）37CD =ABC V 的面积42. (1)由cos B 可求出sin B ,再利用sin sin(45)C B =+︒展开即可得出答案; (2)由正弦定理可得10sin sin 45b B =,解出b ,再结合(1)可得45B <︒,则90C >︒,从而求出cos C ,然后由余弦定理解出AB ,故在ACD ∆中利用余弦定理可得CD ,最后求出ABC ∆的面积即可.解析：(1)4cos 5B =Q ,()0,180B ∈︒︒, 23sin 1cos 5B B ∴=-=,()sinB c 324272sin sin 45cos 45sin 4552os 5210B C B ∴=+︒=+︒=⨯+⨯=︒; (2)由正弦定理可得10s si i B 4n n 5b =︒,解得62b =由(1)可得:4c s 2o 5B =>,45B ∴<︒,90B A ∴+<︒,90C ∴>︒,221sin cos 10C C =--=-∴, 又由余弦定理可得:()222621026210cos 196AB C =+-⨯⨯=,解得14AB =,在ACD V 中,()2226272627cos 4537CD=+-⨯⨯︒=,37CD ∴=,ABC V 的面积113sin 141042225S AB BC B =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.点评：本题考查了三角函数的和差公式以及正､余弦定理的应用,考查了同角三角函数基本关系式,需要学生具备一定的推理与计算能力,属于中档题.16．为丰富高三学生的课余生活，提升班级的凝聚力，某校高三年级6个班（含甲、乙）举行唱歌比赛．比赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；（2）比赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的分布列和数学期望．答案：（1）115（2） X1234P134151521511543EX =解析：试题分析：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则()2424661.15A A P A A ⨯== 所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4.2525661(0)3A A P X A ⨯===，24246644(1)15A A P X A ⨯⨯===，223423661(2)5A A A P X A ⨯⨯===， ,4242661(4)15A A P X A ⨯=== 随机变量X 的分布列为：X1234P1341515215115因此14121401234315515153EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即随机变量的数学期望为43.【考点】概率与分布列期望点评：求分布列的主要步骤：1，找到随机变量可以取的值，2，求出各随机变量值对应的概率，3汇总成分布列，其中求概率考查的是古典概型概率 17．如图,在四棱锥中, 平面平面,.（1）求证:平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.试题分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理知AB⊥平面，根据线面垂直的性质定理可知，再由线面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中点，连结，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法可求出直（Ⅲ）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，线PB与平面PCD所成角的正弦值；根据BM∥平面PCD，即（为平面PCD的法向量），求出的值，从而求出的值.试题解析：（Ⅰ）因为平面平面，，所以平面.所以.又因为，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结.因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得. 所以在棱上存在点使得平面，此时.【考点】空间线面垂直的判定定理与性质定理；线面角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且当2n ≥时，1121n n n S S S --=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，证明：2222234123n b b b b +++++<L .答案：（1）()1,121,221n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩.（2）证明见解析(1)对1121n n n S S S --=+两边取倒数可得:1112n n S S -=+,即1112n n S S --=,然后利用等差数列的通项公式可得n S ,再利用2n …时1n n n a S S -=-,即可得出n a ; (2)2n …时,12(1)n n b n a n =-=,再结合11b =,可得1n b n=,而2n …时,22211112()121214n b n n n n =<=--+-,最后利用裂项相消法证明结论. 解析： (1)112a =Q ,且当2n ≥时,1121n n n S S S --=+.两边同时取倒数可得:1112n n S S -=+,即1112(2)n n n S S --=≥,且112S =, ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,其公差为2,首项为2, ()12212nn n S ∴=+-=, 可得12n S n=, 2n ≥时,()()111122121n n n a S S n n n n -=-=-=---, 所以()1,121,221n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩;(2)2n ≥时,()121n n b n a n=-=, 又1n =时,11b =,对于上式也成立.1n b n∴=, 2n ∴≥时,22211112121214n b n n n n =<=--+-⎛⎫ ⎪⎝⎭,2222234111111111222355721213213n b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫∴++++<-+-++-=-<⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭L L . 点评：本题考查了取倒数法求数列的通项公式,考查了裂项求和方法以及放缩法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别是,A B ，离心率为2，设点()(),2P a t t ≥，连接PA 交椭圆于点C ，坐标原点是O ．（1）证明： OP BC ⊥；（2）设三角形ABC 的面积为1S ，四边形OBPC 的面积为2S ，若 21S S 的最小值为1，求椭圆的标准方程．答案：（1）证明见解析；（2）2212x y +=.试题分析：（1）根据离心率为22，可得22b c =，联立直线AP 与椭圆的方程即可求出点C 的坐标，从而可得直线BC 的斜率，再根据直线OP 的斜率，即可证明OP BC ⊥；（2）由（1）知，()322312222222144222244ABP AOC c t tc tc tc S c S S S t c t c∆∆+=⨯⨯==-=++，根据21S S 的最小值为1，即可求出c 的值，从而求出椭圆的标准方程.试题解析：（1）由2=2c e a = 得， 2212c a = .∴22212a b c -= ，即22b c = . ∴椭圆的方程为2222+12x y c c= ，由)222212x yc cy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得：()22222244280c t x x t c c+++-=，由Ax=可得32224Ccxc t=+，则点C的坐标是22244tcc t⎫⎪⎪+⎝⎭，故直线BC的斜率为.BCkt=-∵直线OP的斜率为OPk=∴·1BC OPk k=-∴OP BC⊥.（2）由（1）知，()3221222222 14244ABP AOCt tctcS S S St c t c∆∆+ =⨯⨯==-=++，∴232222121,424S tc t ttS c t c+==+≥∴当t221min11122SS c⎛⎫=+=⎪⎝⎭∴21c=，∴椭圆方程为2212xy+=.20．已知函数()1f x nx=.（1）若()f x在1x x=，()212x x x≠2=；（2）在（1）的条件下，证明：()()1288ln2f x f x+>-；（3）若34ln2a≤-，证明：对于任意0k>，直线y kx a=+与曲线()y f x=有唯一公共点.答案：（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）证明见解析(1)对()f x求导后令12()()f x f x''=,化简可得结论;(2)由(1)中结论结合基本不等式得出12256x x>,再令12t x x=,利用换元法将12()()f x f x +的表达式换元得另一个函数,求导得该函数的单调性与最值进而证明结论;(3)设()()a x h f x kx =--,求导后分类讨论k 的取值范围,得出函数单调性,再结合零点存在性定理证明直线与曲线有唯一零点. 解析： (1)()ln f x x =-,则()1f x x'=-, 因为()f x 在1x x =,()212x x x ≠处导数相等,1211x x -=,1211x x =-, 化简得2=;(2)由(1)2=,2>2>解得12256x x >, 则()()121212ln ln f x f x x x x x +==, 设12256t x x =>,则()ln g t t =,()0g t '=>, 故()g t 在()256,+∞上单调递增,所以()()25688ln 2g t g >=-, 所以()()1288ln 2f x f x +>-; (3)记()()()0ln h f x kx a kx x a x x =--=-->,则()h x '=,令t =,记()222q t kt t =-+,则116k ∆=-,①当116k ≥时,()0q t ≥,有()0h x '≤,则()h x 在(0,)+∞上单调递减,当ln 0kx x a ⎧>⎪⎨+<⎪⎩,即21a x k x e-⎧<⎪⎨⎪<⎩时,取021min ,a x e k -⎧=⎫⎨⎬⎩⎭,有()00h x ≥,又(2211ln 10a a e h e k k -⎛⎫⎛⎫+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()h x 有唯一零点; ②当1016k <<时,>0∆, 令()0h x '=,解得21x ⎝⎭=,22x =⎝⎭,则当20x ⎝⎭<<和2x ⎝⎭>时,()h x 单调递减,当221144x k k ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝<<⎭-,()h x 单调递增,记214m k ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭-⎪=,214n k ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭+⎪=,则有220km =, 则()()ln ln 1h x h m km m a m a ==--=-+-极小值, 记()ln 1m m a ϕ=-+-,注意2m =⎝⎭=216<,所以016m <<, 又()404m mϕ'=<,则()m ϕ在(0,16)上单调递减, 因此()()1634ln 2m a ϕϕ>=--,所以()0h x >极小值,所以()()0h n h m >>,又(2211ln 10a a e h e k k -⎛⎫⎛⎫+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以()h x 有唯一零点;综上可知,若34ln 2a ≤-,对于任意0k >,直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点. 点评：本题考查用利用导数证明等式与不等式,考查利用导数解决零点问题,属于难题.。

2019-2020学年天津市耀华中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2019-2020学年天津市耀华中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知i为虚数单位，则复数z=i(1+i)在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知一组数据为4，5，6，7，8，8，第40百分位数是()A. 8B. 7C. 6D. 53.在△ABC中，已知a=1，b=2，C=60°，则边c为()A. √3B. √2C. 3D. 44.已知向量a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,1)，则2a⃗−b⃗ =()A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)5.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,m+1)，若a⃗⊥b⃗ ，则m等于()A. −7B. 5C. −52D. 126.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗与b⃗ 的夹角为120°，则|a⃗−3b⃗ |=()A. √11B. √37C. 2√10D. √437.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为()A. 63、64、66B. 65、65、67C. 65、64、66D. 64、65、648.棱长为2的正方体的外接球的表面积为()A. 4πB. 4π3C. 12πD. 4√3π9.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m//α，n⊥β，下列说法正确的是()A. 若m⊥n，则α⊥βB. 若m//n，则α⊥βC. 若m⊥n，则α//βD. 若m//n，则α//β10. 如图所示，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1=AC =2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )A. 4+4√2B. 4+4√3C. 12D. 8+4√2二、单空题（本大题共6小题，共24.0分） 11.1+i 2−i= ______ ．12. 将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组的频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m = ______ ．13. 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为______．14. 已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为60πcm 2，则此圆锥的体积为______cm 3． 15. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =√3，AB =1，BC =2，AC =√3，则异面直线PB 与CD 所成的角等于______ ；二面角P −CD −B 的大小______ ．16. 如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足AMMC =MP PB=2，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，∠BAC =120°，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17. 已知复数z =m(m −1)+(m 2+2m −3)i ，当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)零；(3)z=2+5i．18.某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区中抽出6个社区进行调查．已知A，B，C行政区中分别有12，18，6个社区．(Ⅰ)求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；(Ⅱ)若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率．19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=√3acosB．(1)求角B的大小；(2)若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．(1)求证：AB//平面PCD；(2)求证：直线BD⊥平面PAC；(3)求直线PB与平面PAD所成角的正切值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：z=i(1+i)=i+i2=−1+i所以z对应的点为(−1,1)所以z对应的点位于第二象限故选B按照多项式的乘法法则展开，将i2用−1代替化简复数z；以复数z的实部为横坐标，以虚部为纵坐标写出z对应的点的坐标；据横、纵坐标的符号判断出点所在的象限．本题考查复数的乘法运算法则、考查复数的几何意义：复数与复平面内的以复数的实部为横坐标，以虚部为纵坐标的点一一对应．2.【答案】C【解析】解：因为数据共有6个，所以6×40%=2.4，所以第40百分位数是6．故选：C．直接利用百分位数的定义求解即可．本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：在△ABC中，∵已知a=1，b=2，C=60°，由余弦定理可得c2=a2+b2−2ab⋅cosC=1+4−4cos60°=3，故c=√3，故选：A．根据已知a=1，b=2，C=60°，由余弦定理可得c2=a2+b2−2ab⋅cosC的值，从而求得c的值．本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．【解析】【分析】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础题．直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．【解答】解：由a⃗=(2,4)，b⃗ =(−1,1)，得：2a⃗−b⃗ =2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)．故选：A．5.【答案】D【解析】解：∵向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(3,m+1)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−1×3+2×(m+1)=0，．解得m=12故选：D．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D)=−1；【解析】解：由题意可得：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos120°=1×2×(−12∴(a⃗−3b⃗ )2=a⃗2−6a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2=1+6+36=43；∴则|a⃗−3b⃗ |=√43．故选：D．根据题意，由向量a⃗、b⃗ 的模以及夹角计算可得a⃗⋅b⃗ 的值，进而由数量积的计算可得(a⃗−3b⃗ )2=a⃗2−6a⃗⋅b⃗ +9b⃗ 2，代入数据计算，再开方可得答案．本题考查向量模的计算，关键是掌握向量的数量积的计算公式．属于简单题．【解析】【分析】本题考查了利用频率分布直方图求数据的众数、中位数和平均数的问题，属于基础题．在频率分布直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和，由此求出即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，=65，众数为60+702由10×0.03+5×0.04=0.5，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65，平均数为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67．故选B．8.【答案】C【解析】解：由于正方体与外接球之间的关系为正方体的对角线长即为球的直径，则2√3=2r，即r=√3，则球的表面积为S=4πr2=4π×3=12π．故选：C．由于正方体与外接球之间的关系为正方体的对角线长即为球的直径，则√3a=2r，解得r，再由球的表面积公式计算即可得到．本题考查正方体与外接球的关系，考查球的表面积公式，考查运算能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由已知m//α，n⊥β，对于B，若m//n，得到m⊥β由面面垂直的判定定理可得α⊥β；故B正确；对于C，若m⊥n，则α、β有可能相交；如图对于D，若m//n，则m⊥β，由线面垂直的性质以及面面垂直的判定定理可得，α⊥β；故D错误．故选B乘法利用空间线面平行和面面平行的判定定理和性质定理对选项分别分析选择．本题考查了空间线面平行和面面平行面面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是正确掌握定理的条件，充分发挥空间想象能力．10.【答案】A【解析】解：∵A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥A1A，又∵BC⊥AB，AB∩A1A=A，故BC⊥平面AA1B1B，△A1BC为直角三角形．∴A1B为直线A1C在平面AA1B1B内的射影，AA1=AC=2，AA1⊥底面ABC，∴侧面AA1C1C为正方形，∴A1C=2√2．∴BC=12A1C=√2．又因为△ABC为直角三角形，AC=2，BC=√2，∠ABC=90°，∴AB=√2，三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积为(AB+BC+AC)AA1=(√2+√2+2)×2=4+4√2．故选：A．根据题意，可以证明BC⊥平面AA1B1B，故∠BA1C为直线A1C与侧面AA1B1B所成的角，∴∠BA1C=30°，又△A1BC为以∠ABC为直角的直角三角形，A1C=2√2∴BC=12A1C=√2.∴AB=√2，即可求出侧面积．本题考查了直三棱柱的侧面积的求法，求解过程需要进行简单的证明，属于基础题．11.【答案】15+35i【解析】解：1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i5=15+35i．故答案为：15+35i．利用复数的除法运算法则求解即可．本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的除法运算法则，属于基础题．12.【答案】20【解析】解：∵第二、三组的频率为0.15和0.45∴第一组的频率为1−0.15−0.45=0.4∵第一组的频数为8∴m=80.4=20故答案为：20．利用频率和为1，求出第二组的频率，利用公式频率=频数样本容量，求出样本容量m的值．的纵坐标为频率组距．13.【答案】1315【解析】解：设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件，则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲乙研发新产品成功的概率分别为23和35．则P(B)=(1−23)(1−35)=215，再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1−P(B)=1315，故至少有一种新产品研发成功的概率1315．故答案为1315．利用对立事件的概率公式，计算即可，本题主要考查了对立事件的概率，考查学生的计算能力，比较基础．14.【答案】96π【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．根据侧面积计算圆锥的底面半径，根据勾股定理得出圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算体积．【解答】解：设圆锥的底面半径为rcm ，则S 侧=π×r ×10=60π(cm 2)，解得r =6，∴圆锥的高ℎ=√102−62=8(cm)，∴圆锥的体积V =13πr 2ℎ=13π×36×8=96π(cm 3). 故答案为96π．15.【答案】60° 45°【解析】解：因为底面ABCD 为平行四边形，则AB//CD ，故∠PBA 即为异面直线PB 与CD 所成的角，因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA ⊥AB ，又PA =√3，AB =1，所以∠PBA =60°，则异面直线PB 与CD 所成的角为60°，因为AB =1，BC =2，AC =√3，所以BC 2=AB 2+AC 2，则∠BAC =90°，则∠ACD =90°，故AC ⊥CD ，又CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥CD ，因为PA ∩AC =A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，则PC ⊥CD ，所以∠PCA 为二面角P −CD −B 的平面角，在直角三角形PAC 中，PA ⊥AC ，PA =√3，AC =√3，故∠PCA =45°，即二面角P −CD −B 的大小为45°．故答案为：60°；45°．通过证明AB//CD ，可得∠PBA 即为异面直线PB 与CD 所成的角，利用边角关系求解∠PBA 即可；通过线面垂直的判定定理和性质定理证明PA ⊥CD ，PC ⊥CD ，由二面角的平面角的定义可得，∠PCA 为二面角P −CD −B 的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可．本题主要考查了异面直线所成角和二面角的求解，解题的关键是寻找平行线将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，通过寻找垂线，找到二面角的平面角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．16.【答案】−2【解析】解：∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，∠BAC =120°， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =丨AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨⋅丨AC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨cos120°=2×3×cos120°=−3． ∵MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，化为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×23=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=49AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，=49×(−3)+29×32−23×22=−2．故答案为：−2．利用数量积运算性质可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 利用向量共线定理及其三角形法则可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC⃗⃗⃗⃗⃗ .再利用数量积运算性质即可得出．本题考查了数量积运算性质、向量共线定理及其三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当且仅当{m(m −1)=0m 2+2m −3=0解得m =1，即m =1时，复数z =0．(2)当且仅当{m(m −1)=0m 2+2m −3≠0解得m =0，即m =0时，复数z =−3i 为纯虚数．(3)当且仅当{m(m −1)=2m 2+2m −3=5解得m =2，即m =2时，复数z =2+5i ．综上可知：当m =1时，复数z =0；当m =0时，复数z 为纯虚数−3i ；当m =2时，复数z =2+5i ．【解析】对于复数z =a +bi (a,b ∈R)，(1)当且仅当a =b =0时，复数z =0；(2)当且仅当a =0，b ≠0时，复数z 是纯虚数；(3)当且仅当a =2，b =5时，复数z =2+5i ．本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．18.【答案】解：(Ⅰ)社区总数为12+18+6=36，样本容量与总体中的个体数比为636=16．所以从A ，B ，C 三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1.(Ⅱ)设A 1，A 2为在A 行政区中抽得的2个社区，B 1，B 2，B 3为在B 行政区中抽得的3个社区，C 为在C 行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A 1,A 2)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 1,B 3)，(A 1,C)，(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 2,B 3)，(A 2,C)，(B 1,B 2)，(B 1,B 3)，(B 1,C)，(B 2,B 3)，(B 2,C)，(B 3,C)．共有15种．设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X，则事件X所包含的所有可能的结果有：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C)，共有9种，所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为P(X)=915=35．【解析】(I)先计算A，B，C区中社区数的总数，进而求出抽样比，再根据抽样比计算各区应抽取的社区数．(II)本题为古典概型，先将各区所抽取的社区用字母表达，分别计算从抽取的6个社区中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．19.【答案】解：(1)∵bsinA=√3acosB，由正弦定理可得sinBsinA=√3sinAcosB，即得tanB=√3，由于：0<B<π，∴B=π3．(2)∵sinC=2sinA，由正弦定理得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，9=a2+4a2−2a⋅2acosπ3，解得a=√3，∴c=2a=2√3．【解析】(1)直接利用已知条件和正弦定理求出B的值．(2)根据(1)的结论和余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理的应用，余弦定理的应用及相关的运算问题20.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AB//CD，因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB//平面PCD．(2)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．(3)过B作BE⊥AD，连结PE，因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．又因为BE⊥AD，PA∩AD=A，所以BE⊥平面PAD．所以∠BPE是直线PB与平面PAD所成角，在RT△BEP中，BE=√3,PE=2+AE2=√5，所以tan∠BPE=BEPE =√35=√155．所以∠BPE是直线BP与平面PAD所成角的正切值√155．【解析】(1)通过AB//CD即可证明AB//平面PCD；(2)通过AC⊥BD和PA⊥BD即可证明直线BD⊥平面PAC；(3)过B作BE⊥AD，连结PE，则∠BPE是直线PB与平面PAD所成角，进而可求所成角的正切值．本题考查线面平行和线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．。

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高一年级数学平面向量单元测验
本试卷满分100分，考试用时45分钟，祝同学们考试顺利！
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的).
1．下列命题中正确的是( )
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．模相等的两个平行向量是相等向量
C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b
D ．两个相等向量的模相等
2．化简以下各式：
①AB →＋BC →＋CA →； ②AB →－AC →＋BD →－CD →；③OA →－OD →＋AD →； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →.
结果为零向量的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7,4)
C ．(－1,4)
D ．(1,4)
4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →，则λ等于( ) A ．23 B ．13 C ．－13 D ．－23
5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝( )
A ．12A
B →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →
C ．－12AB →＋12A
D → D ．12AB →－12
AD → 6. 已知||2a =，||1b =， a 与b 的夹角为4π
，则|2|a b +＝( )
A ．8
B ．10
C ．10
D ．227．若向量a 与b 的夹角为60︒，4b =，()()2372a b a b +⋅−=−，则a 等于( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12 8.已知()(),5,5,0,3−==则a 与b 的夹角为( ) A.4π B.3π C.43π D.3
2π 9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)−，若向量c 满足()c a +∥b ，c ⊥()
a b +，则c ＝( ) A ．(79，73) B ．(－73，－79) C ．(73，79) D ．(－79，－73
) 10．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )
A ．－32
B ．32
C ．23
D ．－23
11．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝2，A ＝60°，则B ＝( )
A ． 30°
B ．150°
C ．30°或150°
D ．60︒ 12．已知点O 为ABC ∆所在平面内一点，且222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 一定为
ABC ∆的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
二、填空题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分) .
13．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定
共线的三点是____________．
14．已知两点M (3，－2)，N (－5，－1)，点P 满足MP →＝12
MN →，则点P 的坐标是____________． 15．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则22a －3a ·b ＝____________.
16.已知向量a ＝()1,2，b ＝(),1x ．若〈a ，b 〉为锐角，则x 的取值范围是____________
17．已知向量(1,2)a =， (1,0)b =，(3,4)c =．
若λ为实数，()a b λ+∥c ，则λ的值为____________． 18.设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC ．若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____________．
19．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM
→＝____________．
三、解答题(本大题共1个小题，共12分) .
20．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C ．
(1)求角A 的大小；
(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．。