函数与导数核心考点与题型：二阶导数

函数与导数核心考点与题型：二阶导数

高中数学中，导数最大的作用是判断复杂函数的单调性。在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接得出导函数的正负，因此无法判断原函数的单调性。可对“主导”函数再次求导，通过判断f ′′(x)的符号，来判断f ′(x)的单调性。“再构造，再求导”是破解函数综合问题的强大武器。

例1.讨论函数f (x )＝(x ＋1)lnx －x ＋1的单调性.

解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)

f ′(x )＝lnx ＋x ＋1x －1＝lnx ＋1x

令φ(x )＝lnx ＋1x (x ＞0)，则φ′(x )＝1x －1x ²＝x －1x ²

令φ(x )＞0，则x ＞1；令φ(x )＜0，则0＜x ＜1， ∴φ(x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.

∴φ(x )≥φ(0)＝1＞0，从而f ′(x )＞0

∴f (x )在(0，＋∞)上递增.

例2. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。 解析：22255()(3)123(3)122

x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+， 则2112x e x a x

--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x

--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12

x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >

恒成立，即17()()028h x h ≥=> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2

+∞

上单调递增，min 19()g()24

g x ==

所以94

a ≤-

二阶导数的用法:

判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，然后问题得解。

巩固练习：

1.求函数f (x )＝xe 2－x ＋ex 的单调区间.

解：f (x )的定义域为R

f ′(x )＝(1－x )e 2－x ＋e

令φ(x )＝(1－x )e 2－x ＋e ，则φ′(x )＝(x －2)e 2－x

当x ∈(－∞，2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(－∞，2)上递减； 当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上递增； ∴φ(x )≥φ(2)＝－1＋e ＞0

∴f (x )单调增区间为R ，无减区间.

2.求函数f (x )＝ln (x ＋1)x 的单调区间.

解：f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，＋∞)

f ′(x )＝x －(x ＋1)ln (x ＋1)(x ＋1)x ²

令φ(x )＝x －(x ＋1)ln (x ＋1)，则φ′(x )＝－ln (x ＋1)

当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0，则φ(x )在(－1，0)上递增 ∴φ(x )＜φ(0)＝0∴f ′(x )＜0

∴f (x ) 在(－1，0)上递减

当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0，＋∞)上递减； ∴φ(x )＜φ(0)＝0∴f ′(x )＜0

∴f (x ) 在(0，＋∞)上递减

综上所述：f (x )单调递减区间为(－1，0)和(0，＋∞).