高中数学知识点函数与导数知识点.pdf
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（4）周期性： 对于函数 f x ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值
时，都有 f xT f x ，那么函数 f x 就叫做周期函数。非零常数 T 叫做这个函 数的周期。对于常数 T，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函 数 f x 的最小正周期。
【特别提醒】：函数的图象是“形”与“数”的有机组合，由性质看图象， 由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质是高考的常考点。
如果对于任意 x1 ， x2 I，当 x1 x2 时，都有 f x1 f x2 ，那么就说 f x 在区
间 I 上是单调减函数．区间 I 叫做 f x 的单调减区间；
如果对于任意 x1 ，x2 I，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2) ，那么就说 f x 在区间
I 上是单调增函数．区间 I 叫做 f x 的单调增区间； 单调增区间或单调减区间统称为单调区间。 单调性的求解方法： ①定义法:取值——作差——变形——定号——判断 ②复合函数：“同增异减” （2）最大（小）值：设函数 f x 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
高中数学知识点
复合函数：如果 y f (u), u g(x) ，则称函数 y f (g(x)) 为 f 和 g 构成的复合函
数，其中 y f (u), u g(x) 分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层 函数的定义域。
●4. 函数的基本性质： （1）单调性：设函数的定义域为 A，区间 I A 。
●5. 一些有用的结论： ①奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
②在公共定义域内：增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 减函数
g(x) 是减函数；
③函数 y ax b (a 0,b 0) 的单调性：
x
单调增区间是： (,
b a
]
和
[
b a
①对于任意的 xI ，都有 f (x)M （或 f (x)M ）；
②存在 x0I ，使得 f (x0)M ．那么我们称 M 是函数 y f (x) 的最大（或小） 值。
求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配 方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数 法。
,
)
；单调减区间是： [
b a
,
0)
和
(0,
b a
]
。
④如果函数 y f (x) 对于一切 xR ，都有 f ax f ax ，那么函数 y f (x) 的
图象关于直线 xa 对称。
⑤函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 x 0 对称；
函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 y 0 对称；
函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以 导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。
（3）奇偶性： 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x，都有 f x f x ，那么函数 f x 就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称。 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x，都有 f x f x ，那么函数 f x 就叫做偶函数。偶函数的图象关于 y 轴对称。 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶 性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式： f (x) f (x) f (x) f (x)0 ，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶
高中数学知识点
性。 Βιβλιοθήκη Baidu特别提醒】（1）若 f (x)0 ，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数， f (x)a (a 0) ，
则 f (x) 是偶函数；若 f (x) 是奇函数且在 x0 处有定义，则 f (0)0 .（3）函数的奇
偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考 查的热点。
高中数学知识点
专题二函数
【知识概要】 一、映射 ●映射：映射是两个集合 A、B 间一种特殊的对应， f :AB 表示对集合 A 中
的任何一个元素，在集合 B 中有唯一确定的元素与之对应。如果 aA ，bB ，且 元素 a 和元素 b 对应，那么，元素 a 叫做元素 b 的原像，元素 b 叫做元素 a 的像， 记为 b f (a) 。
【特别提醒】： （1）映射由三要素组成，集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f ，集合 A、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合。对于 A 中每一个元素，在 B 中有且只 有一个元素和它对应。 （2）A 中的不同元素允许对应 B 中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一 对一”，但不允许“一对多”。B 中的元素可以在 A 中没有元素和它对应。 二、函数的概念 ●1. 函数的定义： 如果 A、B 都是非空的数集，映射 f :AB 就叫做 A 到 B 的函数，记作：y f x ， xA ，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值，函数值的集合y| y f (x) xA 叫做函数的值域．如果用 f (A) 表
示值域，则有 f (A) B 。
通常 y f x 表示“y 是 x 的函数”，简记作函数 f x 。
●2. 函数的三要素：定义域 A，对应法则 f，值域 f (A) 。 ●3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法： （1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法； （2）换元法. 已知复合函数 f (g(x)) 的解析式，可用换元法，要注意变量的 取值范围； （3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f x 。 （4）直接法.变形后直接代换 【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明 定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。 分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段 函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。
时，都有 f xT f x ，那么函数 f x 就叫做周期函数。非零常数 T 叫做这个函 数的周期。对于常数 T，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函 数 f x 的最小正周期。
【特别提醒】：函数的图象是“形”与“数”的有机组合，由性质看图象， 由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质是高考的常考点。
如果对于任意 x1 ， x2 I，当 x1 x2 时，都有 f x1 f x2 ，那么就说 f x 在区
间 I 上是单调减函数．区间 I 叫做 f x 的单调减区间；
如果对于任意 x1 ，x2 I，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2) ，那么就说 f x 在区间
I 上是单调增函数．区间 I 叫做 f x 的单调增区间； 单调增区间或单调减区间统称为单调区间。 单调性的求解方法： ①定义法:取值——作差——变形——定号——判断 ②复合函数：“同增异减” （2）最大（小）值：设函数 f x 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
高中数学知识点
复合函数：如果 y f (u), u g(x) ，则称函数 y f (g(x)) 为 f 和 g 构成的复合函
数，其中 y f (u), u g(x) 分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层 函数的定义域。
●4. 函数的基本性质： （1）单调性：设函数的定义域为 A，区间 I A 。
●5. 一些有用的结论： ①奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
②在公共定义域内：增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 减函数
g(x) 是减函数；
③函数 y ax b (a 0,b 0) 的单调性：
x
单调增区间是： (,
b a
]
和
[
b a
①对于任意的 xI ，都有 f (x)M （或 f (x)M ）；
②存在 x0I ，使得 f (x0)M ．那么我们称 M 是函数 y f (x) 的最大（或小） 值。
求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配 方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数 法。
,
)
；单调减区间是： [
b a
,
0)
和
(0,
b a
]
。
④如果函数 y f (x) 对于一切 xR ，都有 f ax f ax ，那么函数 y f (x) 的
图象关于直线 xa 对称。
⑤函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 x 0 对称；
函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 y 0 对称；
函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以 导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。
（3）奇偶性： 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x，都有 f x f x ，那么函数 f x 就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称。 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x，都有 f x f x ，那么函数 f x 就叫做偶函数。偶函数的图象关于 y 轴对称。 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶 性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式： f (x) f (x) f (x) f (x)0 ，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶
高中数学知识点
性。 Βιβλιοθήκη Baidu特别提醒】（1）若 f (x)0 ，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数， f (x)a (a 0) ，
则 f (x) 是偶函数；若 f (x) 是奇函数且在 x0 处有定义，则 f (0)0 .（3）函数的奇
偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考 查的热点。
高中数学知识点
专题二函数
【知识概要】 一、映射 ●映射：映射是两个集合 A、B 间一种特殊的对应， f :AB 表示对集合 A 中
的任何一个元素，在集合 B 中有唯一确定的元素与之对应。如果 aA ，bB ，且 元素 a 和元素 b 对应，那么，元素 a 叫做元素 b 的原像，元素 b 叫做元素 a 的像， 记为 b f (a) 。
【特别提醒】： （1）映射由三要素组成，集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f ，集合 A、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合。对于 A 中每一个元素，在 B 中有且只 有一个元素和它对应。 （2）A 中的不同元素允许对应 B 中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一 对一”，但不允许“一对多”。B 中的元素可以在 A 中没有元素和它对应。 二、函数的概念 ●1. 函数的定义： 如果 A、B 都是非空的数集，映射 f :AB 就叫做 A 到 B 的函数，记作：y f x ， xA ，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应 的 y 值叫做函数值，函数值的集合y| y f (x) xA 叫做函数的值域．如果用 f (A) 表
示值域，则有 f (A) B 。
通常 y f x 表示“y 是 x 的函数”，简记作函数 f x 。
●2. 函数的三要素：定义域 A，对应法则 f，值域 f (A) 。 ●3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法： （1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法； （2）换元法. 已知复合函数 f (g(x)) 的解析式，可用换元法，要注意变量的 取值范围； （3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f x 。 （4）直接法.变形后直接代换 【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明 定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。 分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段 函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。