高中数学导数知识点归纳.

高中数学选修

2----2知识点

第一章

导数及其应用

一．导数概念的引入

1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y

f x 在0x

x 处的瞬时变化率是

00

()()lim

x

f x x f x x

，

我们称它为函数()y f x 在0x

x 处的导数，记作

0()f x 或0

|x

x y ，

即0()f x =0

00

()()

lim

x

f x x f x x

2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点

n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易

知道，割线n PP 的斜率是00()()n n

n f x f x k x x ，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x 在0x x 处的导

数就是切线PT 的斜率k ，即000

()()lim ()

n x n

f x f x k

f x x x 3.

导函数：当x 变化时，()f x 便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x 的导函数有

时也记作y ,即0

()()

()

lim

x

f x

x f x f x x

二.导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

2 若()f x x ,则1

()f x x

;

3 若()sin f x x ,则()cos f x x

4 若()cos f x x ,则()sin f x x ;

5 若()x

f x a ,则()ln x

f x a a 6 若()x f x e ,则()x

f x e

7 若()log x

a f x ,则1()ln f x x a 8 若()

ln f x x ,则1()

f x x 2）导数的运算法则2. [()

()]()

()

()

()

f x

g x f x g x f x g x

3. 2

()()()()()

[

]

()

[()]

f x f x

g x f x g x g x g x 3）复合函数求导

()y f u 和()u

g x ,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y

f g x 为一个复合函数

(())()

y

f g x g x 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数

:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下＇关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x ，那么函数()y f x 在这个区间单调递增；

如果()

0f x ，那么函数()y f x 在这个区间单调递减

.

Ps ：二阶导数，是

原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f （x ）的导

数y ＇=f ＇（x ）仍然是x 的函数，则y ＇=f ＇（x ）的导数叫做函数y=f （x ）的二阶导数。几何意义

（1）切线斜率变化的速度

（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）

2.函数的极值（局部概念）与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数()y

f x 的极值的方法是:

(1)如果在0x 附近的左侧()0f x ,右侧()0f x ,那么0()f x 是极大值; (2)如果在0x 附近的左侧()

0f x ,右侧()

0f x ,那么0()f x 是极小值;

(3)若

f ＇（x ）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。

4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.

求函数()y f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤

（1）求函数()y f x 在(,)a b 内的极值；（2）

将函数()y

f x 的各极值与端点处的函数值

()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最

小的是最小值.

可导奇函数的导函数的是偶函数可导偶函数的导函数的是奇函数

III. 求导的常见方法：

①常用结论：x x 1|)|(ln '

.

②形如))...()((21n a x a x a x y 或)

)...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y

两边同取自然对数，可转化求代数和

形式.

③无理函数或形如

x

x y

这类函数，如

x

x y

取自然对数之后可变形为

x x y ln ln ，对两边求导可得

x

x

x x

x y

y x y y

x

x

x y

y

ln ln 1ln '

'

'

.

导数中的切线问题

1：已知切点，求曲线的切线方程2：已知斜率，求曲线的切线方程3：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．4：已知过曲线外一点，求切线方程

1.

函数)(x f 的定义域为开区间

3(

,3)2

，导函数

)(x f 在

3(

,3)2

内的图象如图所示，则函数

)(x f 的单调增区间是

_____________

2.

如图为函数

3

2

()f x ax

bx

cx d 的图象，'()f x 为函数()f x 的导

函数，则不等式

'()0x f x 的解集为_____ _

3.若函数

2

()f x x

bx

c 的图象的顶点在第四象限，则其导函数

'()f x 的图象是（

）

4.

函数()y

f x 的图象过原点且它的导函数

'()f x 的图象是如图所示的一条直

线，则()y f x 图象的顶点在（）

A ．第一象限 B

．第二象限 C

．第三象限 D ．第四象限

5.

定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f ．)(x f 为)(x f 的导函

数，

已知函数

)(x f y 的图象如右图所示.若两正数

b a,满足

)

(x f y

o

y

x

-3

3

)

(x f y

x

y

O