高中数学导数知识点归纳总结

高中导数知识点归纳

一、基本概念

1. 导数的定义：

设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值

x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。

()f x 在点0x 处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim )(00000 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-

3．基本常见函数的导数:

①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'=

③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;

⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;

⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x

'=. 二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： ).())(('

'x Cf x Cf =(C 为常数)

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦

。 2.复合函数的导数

形如)]([x f y ϕ=的函数称为复合函数。法则： [()]()*()f x f x ϕμϕ'''=.

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数)(x f y =在某个区间),(b a 可导，

如果'

f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；

如果'f 0)(

（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常函数。

2．函数的极点与极值：当函数)(x f 在点0x 处连续时，

①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；

②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.

3．函数的最值：

一般地，在区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值。函数)(x f 在区间上的最值],[b a 值点处取得。只可能在区间端点及极

求函数)(x f 在区间上最值],[b a 的一般步骤：①求函数)(x f 的导数，令导数0)('=x f 解出方程的跟②在区间],[b a 列出)(),(,'x f x f x 的表格，求出极值及)()(b f a f 、的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值

4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、例题插播

例1：函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

[解析]：∵323)(2/++=ax x x f ，又3)(-=x x f 在时取得极值∴0630)3(/=-=-a f 则a =5

例2. 已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图像过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间. 答案：（Ⅰ）解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.