高中数学核心考点突破一集合、逻辑用语、函数、导数与不等式

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新版高三数学必修一知识点梳理

新版高三数学必修一知识点梳理一、集合与常用逻辑用语集合的基本概念集合：由一些确定的、不同的元素所组成的一个整体。

元素：集合中的每一个对象。

集合的表示方法：列举法、描述法。

集合的分类：有限集、无限集、空集。

集合间的关系子集：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，则A是B的子集。

真子集：如果A是B的子集，且A不等于B，则A是B 的真子集。

集合的相等：如果A是B的子集，且B是A的子集，则A等于B。

集合的运算并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合。

交集：由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合。

补集：对于一个全集U和一个子集A，U中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集。

常用逻辑用语命题：可以判断真假的陈述句。

逻辑联结词：与（∧）、或（∨）、非（¬）。

充分条件与必要条件：如果P则Q，则P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。

充要条件：如果P则Q，且如果Q则P，则P是Q的充要条件。

二、函数及其性质函数的概念函数：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数。

记作y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。

函数的表示方法解析法：用数学表达式表示函数关系。

列表法：列出自变量与函数值的对应表。

图象法：用图象表示函数关系。

函数的性质单调性：函数在某个区间内，随着自变量的增大（或减小），函数值也增大（或减小），则称该函数在这个区间内是增函数（或减函数）。

奇偶性：对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为周期。

精品高中数学专题：集合与常用逻辑用语、不等式、函数

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}．题型二命题的真假与否定问题例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词．答案 B解析对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词．变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题．题型三充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决．答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1，但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．答案 D得分技巧创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论．阅卷老师提醒在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析根据全称命题的否定是特称命题知．綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}．由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5．下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6．下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题答案 D解析对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7．已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8．下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数答案 D解析对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2，当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解．故所求a 的取值范围为(1,2]．。

2012高考数学二轮专题第1讲集合、常用逻辑用语课件

3．常见量词的否定．至少有至多有原词语＝ > < 是都是一个否定词语 ≠ 原词语否定词语 ≤ ≥ 不是至多有 n 个至少有 n＋1 个＋不都是没有所有的存在一个或且两个且或一个一个也至少有
4．．注重利用集合的思想和等价转化的思想来处理简单逻辑问如将充要关系的判定转化为集合的包含关系；题．如将充要关系的判定转化为集合的包含关系；利用原命题和逆否命题的等价关系进行命题的证明等．命题和逆否命题的等价关系进行命题的证明等．
探究提高求涉及不等式的集合的运算时，借助于数轴是
常用的方法．
变式训练 1 已知集合 A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且 A∪B ＝ ≤ ，＝ ≥ ， ∪ 的取值范围是__________．＝R，则实数 a 的取值范围是 a≤1 ，．
解析因为 A∪B＝R，画数轴可知，实数 a 必须在点 1 上 A B R
集合、集合、常用逻辑用语
∴M＝{x|－3<x<2}．又∵N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}．
集合”是一重要知识点，是高考必考的内容．考题分析 “集合”是一重要知识点，是高考必考的内容．本小题重点考查了集合的表示方法和集合的基本运算，小题重点考查了集合的表示方法和集合的基本运算，以及集合元素的特征．体现了集合与不等式的简单结合．合元素的特征．体现了集合与不等式的简单结合．
要的数学知识点，是每套高考试题中必考的知识点．重点考查集合的表示法，元素的性质特征以及集合的基本运算等．本题重点考查了集合的基本运算，同时体现了集合与不等式，难度不大，但重点突出，故押此题．
押题级别 ★★★★★
解析 ∵∁UN＝{x|x<1}， ∴M∩(∁UN)＝{x|0<x<2}∩{x|x<1}＝{x|0<x<1}．

高考数学核心词汇知识点

高考数学核心词汇知识点数学是高考中不可或缺的一门科目，也是很多考生头疼的一门科目。

为了在高考中取得好成绩，除了掌握基本的数学知识和解题技巧外，高考数学核心词汇的掌握也是非常重要的。

本文将介绍一些重要的数学核心词汇知识点。

一、集合与函数在数学中，集合是由一些确定的元素组成的。

集合的描述方式可以用列举法、描述法等进行。

常见的集合表示方法有并集、交集、互斥、子集等。

例如，A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}表示A与B的并集，A∩B={2,3}表示A与B的交集。

函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素和另一个集合中的唯一一个元素对应起来。

函数的定义域、值域、逆函数等概念也是高考中常考的内容。

二、数与代数数是数学的基本概念，包括自然数、整数、有理数和实数等。

高考中经常用到的数的性质有奇偶性、质数与合数、数的倍数和约数等。

代数是数学的一个分支，主要研究数与字母之间的关系。

在高考中，常见的代数表达式有多项式、一次方程与一元二次方程等。

三、几何与图形几何是研究图形与空间的形状、大小与相互位置关系的一门学科。

常见的几何概念有点、直线、线段、角等。

与几何相关的知识点有平行线与垂直线的性质、等腰三角形与直角三角形的判定、圆的性质等。

四、概率与统计概率是研究随机事件发生的可能性大小的数学分支。

统计是可帮助我们对数据进行收集、整理、分析和解读的方法。

在高考中，常见的概率相关知识点有事件的概率计算、相互独立事件的概率、条件概率等。

统计相关知识点有平均值、中位数、众数等。

五、函数与导数函数是数学的一个重要概念，在高考中占据很大比重。

函数的概念、性质与图像、单调性、极值等都是高考中经常考察的内容。

导数是函数求导运算的结果，是函数变化率的度量。

高考中经常考察导数的性质、求导公式、高阶导数等。

总结：数学核心词汇的掌握是高考中取得好成绩的关键之一。

除了上述提到的知识点外，高考数学核心词汇还包括等差数列、等比数列、排列与组合、立体几何等。

高中数学知识点总结(集合,不等式,函数))

上海教材高中数学知识点总结一、集合与常用逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性 2．集合运算全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝ 原命题⇔逆否命题否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n naa1=- m n m na a = 2．对数式b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n a a b b nl o g l o g =a bl o g 1=注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点（条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．7．基本公式同角1cos sin22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈ 9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a s i n :s i n :s i n ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C 注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π。

新高考总复习高中数学核心知识点1.1 集合

的个数为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
由x2-3x+2=0得x=1或x=2,即A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},故满足条件
的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.
高考总复习数学核心知识点
(2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m的取值范围为
就称这个集合为全集,通常记作U.
2.讨论补集的前提是集合A是全集U的子集,没有这一前提无法求补集.补
集是相对于全集而存在的,研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应
的全集.一个确定的集合A,对于不同的全集U,它的补集不同.
高考总复习数学核心知识点
4.集合的运算性质
(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔ B⊆A .
元素的个数为( D )
A.3
B.6
C.8
D.10
根据题意,知集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},
共有10个元素.

(2)已知a,b∈R,若{a,,1}={a2,a+b,0} ,则a3 021+b3 021为( C )
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概
念的作用.
高考总复习数学核心知识点
备考指导
集合知识高考必考,一般为选择题第1题或第2题难度较小.常与不等式、函
数、方程结合,主要考查集合的交、并、补集运算.复习时要理解集合的表

高考数学二轮专题复习第一部分专题一集合、常用逻

专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合与常用逻辑用语考点一集合的概念及运算一、基础知识要记牢1．集合中元素的特性集合元素具有确定性、互异性和无序性．解题时要特别注意集合元素互异性的应用．2．运算性质及重要结论如(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A等．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)(2)(2018届高三·金丽衢联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}[解析] (1)根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．(2)由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.[答案] (1)A (2)D解答集合间的运算关系问题的思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义．(2)根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(3)确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.三、预测押题不能少1．(1)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．(2)设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}．因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0,1；因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1,0,1,2,3. 则(x ，y )的可能取值如下表所示：故考点二四种命题及其关系一、基础知识要记牢与“四种命题”相关联的结论(1)若一个命题有大前提，其他三种命题需保留大前提；(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题：前者既否定条件，又否定结论，后者只否定命题的结论；(3)互为逆否关系的命题真假相同，所以四种命题的真假个数一定为偶数．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4 (2)(2017·金华一中模拟)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题[解析] (1)设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，对于p1，∵1z＝1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋y i(x，y∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋y i)(c＋d i)＝cx－dy ＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋b i∈R，∴b＝0，∴z＝a－b i＝a∈R，∴p4是真命题．(2)对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，其否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以原命题的否命题是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．故选A.[答案] (1)B (2)A1在判定四个命题之间的关系时，首先要分清命题的“大前提、条件、结论”，再进行比较.2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.3根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质，当一个命题的真假不易判定时，可转化为判断其等价命题的真假.三、预测押题不能少2．(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数．(2)有下列四个命题：①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③解析：选D ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的．故选D.考点三充要条件一、基础知识要记牢对于p 和q 两个命题，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 和q 互为充要条件．推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．(2)A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)．[答案] (1)C (2)(－2,2)判定充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .2要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.三、预测押题不能少3．(1)“10a>10b”是“lg a >lg b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由10a>10b得a >b ，由lg a >lg b 得a >b >0，所以“10a>10b”是“lg a >lg b ”的必要不充分条件．(2)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．故选A.[知能专练(一)]一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．(2017·浙江延安中学模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：选D “若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.故选D.3．(2017·宁波模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“l n(x＋1)<0”的必要不充分条件．4．(2017·吉林模拟)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：选A 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．6．(2018届高三·安徽“江南十校”联考)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x(x ∈A)的值域为B，则(∁R A)∩B等于( )A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x>1}解析：选A 由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，∴B＝{y|1≤y≤2}，∁R A＝{x|x<0或x>1}，∴(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}．7．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．若n＝4，则S n的所有奇子集的容量之和为( ) A．7 B．8C．9 D．10解析：选A 若n＝4，则S n的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.9．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.10．下列关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的结论中成立的是( )A．都为真命题 B．都为假命题C．否命题为真命题 D．逆否命题为真命题解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.二、填空题11．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁U T)＝________，集合S共有________个子集．解析：由题意可得∁U T＝{1,4,5}，则S∩(∁U T)＝{1,5}．集合S的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．答案：{1,5} 812．(2017·南通模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为________．解析：“a>b”是“3a>3b”的充要条件，①错误；“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，②错误；“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件，③正确．故正确命题的序号为③.答案：③13．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝________，M ∪(∁R N )＝________.解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1＝{x |x <0或x >2}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}，∁R M ＝{x |0≤x ≤2}，∁R N ＝{y |y <1}，∴N ∩(∁R M )＝{x |1≤x ≤2}，M ∪(∁R N )＝{x |x <1或x >2}．答案：{x |1≤x ≤2} {x |x <1或x >2}14．若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件，则实数p 的取值范围是________．解析：由x 2－x －2>0，得x >2或x <－1. 由4x ＋p <0得x <－p4.故－p 4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．答案：[4，＋∞)15．(2017·诸暨质检)已知A ＝{x |－2≤x ≤0}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∪B ＝________，(∁R A )∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤0}，∴∁R A ＝{x |x <－2或x >0}，又B ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |0<x ≤2}．答案：{x |－2≤x ≤2} {x |0<x ≤2}16．(2017·四川南山模拟)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，13<x <12是不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集．而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12(两个不等式不能同时取等号)，解得－12≤m ≤43，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝______，A ∪B ＝________，∁R A ＝________.解析：∵A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |1<x <5}，∴A ∩B ＝{x |1<x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <5}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．答案：{x |1<x <4} {x |－1<x <5} {x ≤－1或x ≥4} [选做题]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}，若存在实数a ，b 使得A ∩B ≠∅成立，称点(a ，b )为“￡”点，则“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：选A A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝ax ＋b ，x ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝3x 2＋12，x ∈Z}，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝3x 2＋12，故3x 2－ax ＋12－b ＝0，①因为A ∩B ≠∅，故Δ＝a 2－12(12－b )＝a 2＋12b －144≥0，即a 2＋12b ≥144，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12b ≥144，a 2＋b 2≤108，解得a ＝±62，b ＝6，代入①中可知x ＝±2，这与x ∈Z 矛盾，故“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为0，故选A.2．对于非空数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，下列说法： ①A ＋B ＝B ＋A ；②(A ＋B )＋C ＝A ＋(B ＋C )； ③若A ＋A ＝B ＋B ，则A ＝B ； ④若A ＋C ＝B ＋C ，则A ＝B . 其中正确的是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①④解析：选B 对于①，A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }＝{y ＋x |x ∈A ，y ∈B }＝B ＋A ，①正确；对于②，(A ＋B )＋C ＝{(x ＋y )＋z |x ∈A ，y ∈B ，z ∈C }＝A ＋(B ＋C )，②正确；对于③，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}时，A ＋A ＝{偶数}＝B ＋B ，显然A ≠B ，③错误，对于④，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}，C ＝{整数}时，A ＋C ＝{整数}＝B ＋C ，显然A ≠B ，④错误．综上所述，正确的为①②，故选B.3．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52.∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞第二讲函数的概念与性质考点一函数及其表示一、基础知识要记牢(1)函数初、高中定义形式不同，本质一样，核心是对应； (2)当两个函数的三要素完全相同时表示同一个函数；(3)分段函数是一个函数而不是几个函数，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2015·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(2)(2017·嘉兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.(3)(2016·江苏高考)函数y ＝ 3－2x －x 2的定义域是________．[解析] (1)取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝ x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝ x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确．(2)当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1>0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．当a >0时，f (a )＝－a 2<0，由f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝ 2.(3)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．[答案] (1)D (2) 2 (3)[－3,1]1.理解函数概念的要点函数概念本质是对应，以具体函数模型为基础，在新背景、综合背景下理解. 2.求函数定义域的类型和相应方法 1若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式组即可；2实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义., 3.求函数值时应注意的问题分段函数的求值解不等式问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用好其周期性.三、预测押题不能少1．(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9D ．c >9解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 考点二函数的图象一、基础知识要记牢函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．正确作图是解题的基本保障，识图、用图是解题的手段和目标．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )(2)函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝xf (x )，那么函数g (x )值域为( )A ．[0,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D ．[0,4][解析] (1)∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确． (2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ；而k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，取得最大值94；当x ＝3时，取得最小值0.综上所述，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94.[答案] (1)D (2)B由解析式确定函数图象的判断技巧(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复. 三、预测押题不能少2．(1)函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：选A 由二次函数的图象可知b <－1,0<a <1，所以g (x )＝a x＋b 为减函数，其图象由指数函数y ＝a x的图象向下平移|b |个单位长度得到，故选A.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2. 答案：(－∞，－2) 考点三函数的性质一、基础知识要记牢(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)[解析] (1)因为f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－[ 3x －⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．(2)由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D. (3)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． [答案] (1)A (2)D (3)D函数性质综合应用问题的3种类型和解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、预测押题不能少3．(1)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.(2)下列函数中既是奇函数又在其定义域上是减函数的是( ) A ．y ＝lg 1＋x1－xB ．y ＝e －x－e xC ．y ＝sin x －|cos x |D ．y ＝x 3－3x解析：选B 选项A 错误，因为函数f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝－lg 1＋x1－x ＝－f (x )，所以是奇函数且定义域为(－1,1)，因为g (x )＝1＋x 1－x ＝21－x －1是增函数，所以y ＝lg 1＋x1－x 是增函数；选项B 正确，f (－x )＝e x－e －x＝－(e －x－e x )＝－f (x )，所以是奇函数，因为y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是减函数，y ＝－e x是减函数，所以y ＝e －x －e x是减函数；选项C 错误，f (－x )＝－sin x －|cos x |≠－f (x )，所以f (x )＝sin x －|cos x |不是奇函数；选项D 错误，函数y ＝x 3－3x 是奇函数但不是单调函数．故选B.(3)若f (x )是定义在f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，cos πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝________.解析：因为f (x )的周期为4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝cos 5π3＝cos π3＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝14.答案：14[知能专练(二)]一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析：选D f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2＜8－2.72＜1，排除B ；x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )＜14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14单调递减，排除C.故选D.4．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由题意可知函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 22x ，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 22x ＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g 2x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由函数f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝a ＝0.因为g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.答案：0 －259．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－210．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2511．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x ＝－1－2x －1，作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)．答案：(1,2)12．(2017·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R}，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }．首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4，解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊇B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 三、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是偶函数，且过点(2,7)，g (x )＝x ＋4. (1)求f (x )的解析式； (2)求函数F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)的值域；(3)若f (x )≥mx ＋m ＋4对x ∈[2,6]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )， ∴ax 2－bx ＋3＝ax 2＋bx ＋3，得2bx ＝0，又∵x ∈R ，∴b ＝0，得f (x )＝ax 2＋3.把点(2,7)代入得4a ＋3＝7，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋3. (2)F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)＝(2x )2＋3＋2x ＋1＋4＝(2x )2＋2×2x＋7.设2x＝t ，则t ∈(0，＋∞)，F (t )＝t 2＋2t ＋7＝(t ＋1)2＋6>7，∴函数F (x )的值域为(7，＋∞)．(3)依题意得当x ∈[2,6]时，x 2＋3≥mx ＋m ＋4恒成立，即x 2－mx －m －1≥0对x ∈[2,6]恒成立．设p (x )＝x 2－mx －m －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，p 2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2>6，p 6≥0或Δ＝m 2＋4m ＋4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <4，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤5或m ＝－2，得m ≤1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，1]． 14．设a >0，b ∈R ，函数f (x )＝ax－2bx ＋b (0<x ≤1)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )＋|2a －b |≥0在区间(0，m ]上恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)当b ≥0时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －2b ＋b ＝a －b ；当b <0时，有ax －2bx ≥2ax×－2bx ＝2－2ab ，x ＝ a －2b 时等号成立．当－a 2≤b <0，即 a－2b≥1时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －b .当b <－a2，即a－2b<1时，此时f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a －2b ＝2－2ab ＋b ，综上知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，b ≥－a2，2－2ab ＋b ，b <－a2.(2)当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＝a x－2bx ＋2a≥a x－4ax ＋2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2，当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax＋2b (1－x )－2a≥a x＋4a (1－x )－2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2. 由1x －4x ＋2≥0，解得1－54≤x ≤1＋54，又因为1＋54<1，所以m 的最大值为1＋54.第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用考点一基本初等函数的图象与性质一、基础知识要记牢指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·杭州模拟)将函数f(x)＝ax＋b，g(x)＝log a(1＋bx)的图象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能正确的是( )(2)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c[解析] (1)因为g(0)＝0，故排除D；选项A中，由直线可以看出b<0，由1＋bx>0知，函数在y轴右侧的图象是有限的，排除A；选项C中，由直线可以看出b>0，由1＋bx>0知，函数在y轴左侧的图象是有限的，排除C，故选B.(2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，∵log32>log52>log72，∴a>b>c.[答案] (1)B (2)D1基本初等函数的图象是其性质的直观载体，要结合图象理解性质；图象变换要以基本函数图象为基础，结合性质等判断、应用.2比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较.三、预测押题不能少1．(1)函数y＝x－x 13的图象大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A.(2)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得b <a <c .故选A.考点二二次函数一、基础知识要记牢二次函数的相关结论若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根．(2)若x 1，x 2为f (x )＝0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)若二次函数f (x )满足f (3)＝f (－1)＝－5，且f (x )的最大值是3，则函数f (x )的解析式为________．(3)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．(2)法一：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－5，4ac －b 24a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1.法二：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，因为f (3)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝3＋－12＝1，则m ＝1.又f (x )的最大值是3，则a <0，n ＝3，即f (x )＝a (x －1)2＋3，由f (3)＝－5得4a ＋3＝－5，则a ＝－2，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2(x －1)2＋3＝－2x 2＋4x ＋1. 法三：设f (x )＋5＝a (x －3)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－2ax －3a －5＝a (x －1)2－4a －5，又f (x )的最大值是3，则a <0，且－4a －5＝3，所以a ＝－2，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1. (3)f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合二次函数图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.答案：(1)B (2)f (x )＝－2x 2＋4x ＋1 (3)(－∞，2]解决有关二次函数两类综合问题的思想方法(1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用． (2)二次函数的最值问题，通常采用配方法，将二次函数化为y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)的形式，得其图象顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，分三种情况：①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动. 三、预测押题不能少2．(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．2C ．－52D ．－3解析：选C 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x ＝－a 2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，应有f (0)＝1≥0，恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a 的取值范围是a ≥－52，所以a 的最小值是－52，故选C.(2)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x ，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2，令t ＝x ＋1x，则t ≥2(x >0，当且仅当x ＝1时取“＝”)，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2.①当a ≤2时，(|PA |2)min ＝22－2a ×2＋2a 2－2＝2a 2－4a ＋2，由题意知，2a 2－4a ＋2＝8，解得a ＝－1或a ＝3(舍)．②当a >2时，(|PA |2)min ＝a 2－2a ×a ＋2a 2－2＝a 2－2. 由题意知，a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－10(舍)，综上知，a ＝－1，10. 答案：－1，10 考点三函数的零点一、基础知识要记牢确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，方程易解时用此法； (2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1(2)(2018届高三·温州六校联考)函数f (x )＝3－x＋x 2－4的零点个数是________． [解析] (1)法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．综上所述，a ＝12.。

专题01集合和常用逻辑用语(6大核心考点)(课件)-2025年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)

考点题型一：集合的基本概念
【对点训练1】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）若 2 , 0, −1 = , , 0 ，则的值是（
A．0
B．1
C．−1
D．±1
【答案】C
【解析】因为 2 , 0, −1 = , , 0 ，
2 =
2 =

所以①
或②
，
= −1
= −1
0}．若 ⊆ ，则实数组成的集合为（
A．
1 1
,
3 5
1 1
B． − 3 , 5
2 − 8 + 15 = 0 ， = { − 1 =
）
1 1
1 1
C． 0, 3 , 5
D． 0, − 3 , 5
【答案】C
【规律总结】
【解析】由 2 − 8 + 15 = 0得： = 3或 = 5，
A．{| − 2 ⩽ < 1}
B．{| − 2 < ⩽ 1}
C．{| ⩾ −2}
D．{| < 1}
3．（2023•天津）已知集合 = {1，2，3，4，5}， = {1，3}， = {1，2，4}，则∁ ‫ ( = ڂ‬A )
A．{1，3，5}
B．{1，3}
C．{1，2，4}
故选：D．
D．‫ ��∁ ڂ‬
）
考点题型三：集合的运算
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分
丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有
100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第

考点01 集合(核心考点讲与练)2023年高考一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)

考点01 集合（核心考点讲与练）1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。

集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.venn图法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,4B ．{}0C ．{}5D ．{}0,5【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答. 【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}U A B ⋂=. 故选：D2．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}120B x x x =+->，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出集合B ，分析可知阴影部分所表示的集合为()U A B ∩，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为()(){}{1201B x x x x x =+->=<-或}2x >，则{}12U B x x =-≤≤，由题意可知，阴影部分所表示的集合为(){}1,2UA B =.故选：B.3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =，则（） A ．{}0B ．{}2,4C ．{}0,1,3,5D ．{}0,1,2,4【答案】A【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.【详解】解：因为全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =，所以，所以.故选：A 二、填空题4．（2020·江苏南通·三模）已知集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}，则集合A B ＝ _______ . 【答案】{﹣1，0，2}【解析】直接根据并集运算的定义求解即可．【详解】解：∵A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}， ∴A B ＝{﹣1，0，2}，故答案为：{﹣1，0，2}．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．分类讨论方法解决元素与集合关系问题1．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A ，B 满足：A B =R ，A B =∅，函数()3,,32,x x A f x x x B⎧∈=⎨-∈⎩对于下列结论：①不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数； ②存在唯一非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数； ③存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解．其中正确结论的序号为_________．【答案】①③【分析】通过求解332x x =-可以得到在集合A ，B 含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当x 与x -都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程()0f x =判断③是否正确【详解】①若x A ∈，x A -∈，则3()f x x =，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x B -∈，则()32f x x =-，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x A ∈，x B -∈，则3()f x x =，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x A -∈，则()32f x x =-，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 综上不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数 ②若332x x =-，则1x =或2x =-，当{}1B =，时，(1)312f =⨯-满足当1x =时31x =，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数当{}2B =-，A B =R时，(2)3(2)28f -=⨯--=-满足当2x =-时38x =-，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数所以存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数，且不唯一 ③30x =解的0x =，320x -=解的23x =，当非空集合对(,)A B 满足0A ∉且23B ∉，则方程无解，又因为AB =R ，AB =∅，所以存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解故答案为：①③【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理①通过对x 所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对(,)A B 使得函数()f x 为偶函数 ②观察可以发现3x 为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式32x -归并到3x 当中，使得()f x 成为奇函数③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案 2（2020·北京·模拟预测）对给定的正整数n ，令1{(n a a Ω==，2a ，⋯，)|{0n i a a ∈，1}，1i =，2，3，⋯，}n ．对任意的1(x x =，2x ，⋯，)n x ，1(y y =，2y ，⋯，)n n y ∈Ω，定义x 与y 的距离1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-．设A 是n Ω的含有至少两个元素的子集，集合{(,)|D d x y x y =≠，x ，}∈y A 中的最小值称为A 的特征，记作χ（A ）．（Ⅰ）当3n =时，直接写出下述集合的特征：{(0A =，0，0)，(1，1，1)}，{(0B =，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}，{(0C =，0，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．（Ⅱ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）2=，求A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）3=，求证：A 中的元素个数小于202022021．【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）22019；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出(,)d x y 的最小值即可；（Ⅱ）一方面先证明A 中元素个数至多有2 2019 个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为2 2019 个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）设1{A x =，2x ，}m x ⋯，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω，先证明对任意的1i m ，()i N x 中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明()()i j N x N x ⋂=∅，于是得到12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素，所以202020212m ，进而证明结论．【详解】（Ⅰ）χ（A ）3=，χ（B ）2=，χ（C ）1=；（Ⅱ）（a ）一方面：对任意的1(a a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a A ∈，令f （a ）1(a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a ，则(d a ，f （a ）2020)1212a =-=<，故f （a ）A ∉，令集合{B f =（a ）|}a A ∈，则A B =∅，2020()A B ⋃⊆Ω 且A 和B 的元素个数相同，但2020Ω 中共有20202 个元素，其中至多一半属于A ，故A 中至多有2 2019 个元素．（b ）另一方面：设1{(A a =，2a ，⋯，20202020122020)|a a a a ∈Ω++⋯+ 是偶数}，则A 中的元素个数为024********20202020202020202C C C C +++⋯+= 对任意的1(x x =，2x ，⋯，2020)x ，1(y y =，2y ，⋯，2020)y A ∈，x y ≠，易得1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-与112220202020x y x y x y ++++⋯++ 奇偶性相同，故(,)d x y 为偶数，由x y ≠，得(,)0d x y >，故(,)2d x y ，注意到(0，0，0，0，⋯，0，0)，(1，1，0，0，0⋯，0)A ∈ 且它们的距离为2，故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为22019．（Ⅲ）当2020n = 时，设2020A ⊆Ω 且χ（A ）3=，设1{A x =，2x ，}m x ⋯，任意的i x A ∈，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω，（a ）对任意的，()i N x 中恰有 2021 个元素，事实上①若(,)0i d a x =，则i a x =，恰有一种可能；，②若(,)1i d a x =，则a 与i x ，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，()i N x 中恰有2021个元素，（b ）对任意的，()()i j N x N x ⋂=∅，事实上，若()()i j N x N x ⋂≠∅，不妨设()()i j a N x N x ∈⋂，1(j x x ='，2x '，⋯，2020)x '，则20201(,)i j k k k d x x x x ==-'∑20201(||)kk k xa a x =-+-'∑20202020112k k k k x a a x ===-+-'∑∑，这与χ（A ）3=，矛盾，由（a ）和（b ），12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素，所以，注意到m 是正整数，但202022021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A 中的元素个数m 小于202022021．【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．根据集合包含关系求参数值或范围一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}232A x y x x ==+-，{}22B x x k =-+>．若A B A =，则实数k 的取值范围为（） A ．()7,+∞ B ．(),1-∞-C ．()1,7-D ．()(),17,∞∞--⋃+【答案】D【分析】求出集合,A B ，再根据A B A =，知A B ⊆，列出不等式，解之即可得出答案. 【详解】解：解不等式2320x x +-≥，得13x -≤≤，即{}13A x x =-≤≤， {}{22B x x k x x k =-+>=>或}4x k <-，由A B A =，知A B ⊆，所以43k ->或1k <-，解得7k >或1k <-. 故选：D ．2．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,3 B ．()2,3C ．[]1,3D ．[]2,3【答案】B【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合B ，然后由题意得B A ⊆，从而建立不等式组求得a 的范围. 【详解】解不等式2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，所以{}1B x a x a =≤≤+. 由A B B =，得B A ⊆，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<﹒故选：B数轴法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集U =R ，已知集合2|4A x x x >={}，|4B x y x ==-{}，则=（）A ．[0,4]B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞【答案】D【分析】化简集合,A B ，先求出A B ，再求出其补集即可得解. 【详解】2|4A x x x >={}{|0x x =<或4}x >，|4B x y x ==-{}{|4}x x =≤，所以{|0}A B x x =<，所以 ={|0}x x ≥，即()UA B ⋂[0,)=+∞.故选：D2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知集合{}1A x y x ==-，{}2B x x =<，则A B =（） A ．R B ．∅C ．[]1,2D ．[)1,2【答案】D【分析】求函数定义域化简集合A ，解不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答. 【详解】由1y x =-1≥x ，则[1,)A =+∞，由2x <解得22x -<<，即(2,2)B =-，所以[1,2)A B ⋂=. 故选：D3．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,1【答案】C【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】∵{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ∴[1,2)M N ⋃=-. 故选：C .二、填空题4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）设集合{}{}23,650A x x B x x x =≤=-+≤，则A B =________.【答案】[1,3]【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解不等式2650x x -+≤ ，得()()150x x --≤ ，解得15x ≤≤ ，即[]1,5B = ，[]1,3A B ∴= ；故答案为：[]1,3 .5．（2020·上海·模拟预测）已知集合(){}2log 21A x x =-<，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】()3,4【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A 、B ，再根据交集定义求得结果. 【详解】因为(){}{}()2log 2102224A x x x x =-<=<-<=，，()()331003x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=<=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，所以()3,4A B ⋂=，故答案为：()3,4.【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______. 【答案】{}|02x x <<【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，所以A B ={}|02x x <<. 故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合{}0,1,2A =，集合{}2|20B x x =-<，则A B =________．【答案】{}0,1【详解】{}0,1,2A =，{}{}220=02B x x x x =-<<<，所以{}01A B =，．【点睛】本题考查了交集运算，此题属于简单题.8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U ＝R ，A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则＝_____．【答案】{|3x x ≥或1}x <- 【分析】先化简集合,A B ,再求UB ，最后求UAB 得解.【详解】解：A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则UB ＝{x |x ≥3或x ≤﹣1}，则UA B ＝{|3x x ≥或1}x <-，故答案为：{|3x x ≥或1}x <-．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.一、单选题1．（2021·新高考全国11卷）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.2．（2021·新高考全国1卷）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .3．（2021·全国·高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .4．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则（） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则MN =（）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.6．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则（） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 3M x y x ==-，{}xN y y e ==，则() RM N ⋂=（） A ．()3,0- B ．(]0,3 C ．()0,3 D ．[]0,3【答案】B【分析】由题知{}3M x x =>，{}0N y y =>，进而根据补集运算与交集运算求解即可.【详解】解：因为(){}{}ln 33M x y x x x ==-=>，{}{}0xN y y e y y ===>，所以{} R3M x x =≤，所以() RM N ⋂={}(]030,3x x <≤=故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,1x M y y x ==>，{}22N x y x x =-，则M N ⋃等于（） A ．∅ B ．{}2C ．[)1,+∞D ．[)0,∞+【答案】D【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合M ，根据二次根式的意义求出集合N ，利用并集的定义和运算直接计算即可.【详解】{}112222x x y M y y >∴=>=∴=>.{}2200202x x x N x x -≥∴≤≤∴=≤≤.因此[0,)M N =+∞.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}14A x x =≤≤，{}3B x x =≤，则A B =（） A ．{}34x x -≤≤ B ．{}33x x -≤≤ C ．{}14x x ≤≤ D ．{}13x x ≤≤【答案】D【分析】先化简集合B ，再去求A B . 【详解】{}{}333B x x x x =≤=-≤≤则{}{}{}143313A B x x x x x x ⋂=≤≤⋂-≤≤=≤≤ 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}62A x x =-≤≤，{}3,B y y x x A ==-∈，则A B =（） A ．{}01x x ≤≤ B ．{}12x x ≤≤ C ．{}02x x ≤≤ D ．{}13x x ≤≤【答案】B【分析】首先根据定义域求出函数的值域，得集合B ，然后根据集合的交集运算法则求得结果. 【详解】当62x -≤≤时，133x ≤-≤，则{}13B y y =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤≤. 故选:B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合{}2,1x A y y x ==≥，(){}2lg 9B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．3,2B ．()3,2-C ．(]3,2-D ．[)3,2-【答案】B【分析】先求出集合A 、B ，由韦恩图分析，求UB A ⋂.【详解】由1≥x ，得22x ≥，则[)2,A =+∞，所以()U,2A =-∞.\由290->x ，得33x -<<，则()3,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为()U3,2B A ⋂=-.故选:B.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}22A x x =-≤≤，{}2230B x N x x =∈--<，则A B =（） A ．{}12x x -<≤ B ．{}21x x -≤< C ．{}1,2 D ．{}0,1,2【答案】D【分析】先解不含参数的一元二次不等式，进而求出集合B ，然后根据交集的概念即可求出结果. 【详解】解不等式2230x x --<得13x ，又x ∈N ，所以{}0,1,2B =，所以{}0,1,2A B =，故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 10A x x =-≤，{}20B x x x =-≥，则下列结论一定正确的是（） A ．B A ⊆ B ．A B ≠⊂ C ．[)1,A B ⋂=+∞D ．A B R =【答案】B【分析】由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合,A B ，进而得到结果. 【详解】{}{}[)011010,1A x x x x =<-≤=≤<=，{}[]010,1B x x =≤≤=，[)0,1A B A ∴==，[]0,1A B B ==，A B ≠∴⊂.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,0x A y y x ==≥，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(),-∞+∞【答案】C【分析】利用指数函数的性质可化简集合A ，根据对数函数性质得集合B ，然后计算交集．【详解】由已知{}2,0[1,)xA y y x ∞==≥=+，{}ln(2)B x y x ==-(){|20}{|2},2x x x x =->=<=-∞，∴[1,2)A B ⋂=．故选：C ．9．（2022·全国·高三专题练习）若集合{}23A x Z x x =∈≤，{}2,B x y x y A ==∈，则A B =（） A ．{}0,1,2 B ．{}0,2 C ．{}0,1 D ．{}1,2【答案】C【分析】先解不等式求出集合A ，再求出集合B ，然后求两集合的交集即可【详解】解不等式23x x ≤，得03x ≤≤，又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =，所以{}132,0,,1,22B x y x y A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，所以{}0,1A B =．故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合2{|230}A x x x =--≥，{B x y ==，则A B ⋃=（） A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞C ．(][),10,-∞-⋃+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合,A B ，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以集合{|1A x x =≤-或3}x ≥，又由20x -≥，解得2x ≥，所以集合{}2B x x =≥，所以(][),12,A B ⋃=-∞-⋃+∞. 故选：D .11．（2022·全国·高三专题练习）设全集{}24U x N x =∈-<<，{}0,2A =，则UA 为（）A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,1,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【分析】根据全集U 求出A 的补集即可.【详解】{}{}24=0,1,2,3U x N x =∈-<<，{}0,2A =，{}U =1,3A ∴. 故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（）. A ．{}2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}2,3,4【答案】C【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}{}44A x y x x x ==-=≤，{}1,2,3,4,5B =，所以A B = {}1,2,3,4，故选：C13．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}{}22log 213,40A x x B x x =-≤=-≤，则()A B =R （） A ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．122x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}22x x -≤≤D ．∅【答案】A【分析】先求出集合A 和集合A 的补集，集合B ，再求出()A B ⋂R【详解】由22log (21)3log 8x -≤=，得0218x <-≤，解得1922x <≤，所以1922A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，所以12RA x x ⎧=≤⎨⎩或，由240x -≤得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤，所以()A B =R 122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{}2ln 2B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 中的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由Venn 图得到()AM A B =⋂求解.【详解】如图所示()AM A B =⋂，2ln 2x <，22ln ln e x ∴<，解得e e x -<<且0x ≠，(e,0)(0,e)B ∴=- 又{1,0,1,2,3,4}A =-，{1,1,2}A B ∴=-，(){0,3,4}AA B ∴⋂=，{0,3,4}M ∴=，所以M 中元素的个数为3 故选：C15．（2022·全国·高三专题练习）已知全集2,1,0,1,2U，{}21A x Z x =∈-<<，{}1,0,1B =-，则()U B A ⋂=（）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,1【答案】C【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】{2,1,2}UA =-，(){1}U BA =．故选：C ．二、多选题16．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E 是由平面向量组成的集合，若对任意,a b E ∈，()0,1t ∈，均有()1ta t b E +-∈，则称集合E 是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（）．A ．(){},e x x y y ≥B ．(){},ln x y y x ≥C ．(){},210x y x y +-≥D ．(){}22,1x y x y +≤【答案】ACD【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E 是“凸”的意义判断作答. 【详解】设OA a =，OB b =，()1OC ta t b =+-，则C 为线段AB 上一点，因此一个集合E 是“凸”的就是E 表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：A BC D 观察选项A ，B ，C ，D 所对图形知，B 不符合题意，ACD 符合题意. 故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.17．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合1|02x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则关于UA 的表达方式正确的有（） A ．][(),12,-∞⋃+∞ B ．()(){}210xx x --≥∣ C ．102x xx -⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭∣ D ．()(),12,-∞+∞【答案】AB【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【详解】由题意得，()(){}()1|0|2101,22x A x x x x x -⎧⎫=<=--<=⎨⎬-⎩⎭，所以][()()(){},12,|210UA x x x ∞∞=-⋃+=--≥，故AB 正确，CD 错误，故选：AB.18．（2022·全国·高三专题练习）设[]x 表示不大于x 的最大整数，已知集合[]{}22M x x =-<<，{}250N x x x =-<，则（）A ．[]lg2002=B ．{}02M N x x ⋂=<<C ．[]lg 2lg3lg51-+=D ．{}15M N x x ⋃=-≤<【答案】ABD【分析】由对数运算可知2lg 2003<<，()lg2lg3lg51lg30,1-+=-∈，由[]x 的定义可知AC 正误；解不等式求得集合,M N ，由交集和并集定义可知BD 正误.【详解】对于A ，1002001000<<，2lg 2003∴<<，[]lg 2002∴=，A 正确；对于C ，()()lg2lg3lg5lg2lg5lg31lg30,1-+=+-=-∈，[]lg2lg3lg50∴-+=，C 错误；对于BD ，[]{}{}2212M x x x x =-<<=-≤<，{}05N x x =<<，{}02M N x x ∴⋂=<<，{}15M N x x ⋃=-≤<，BD 正确.故选：ABD.19．（2022·全国·高三专题练习）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a bM ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合【答案】ABD【分析】根据集合M 为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而246M +=∉，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则abM ，当a b <时，-a b 是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ∈⋃，而()()1223A A +∉⋃，故12A A ⋃不为闭集合，D 选项错误．故选：ABD ．三、填空题20．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =___________ 【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，所以{1,2}A B =. 故答案为：{1,2}.。

高中数学专题复习一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数一、利用公式求导:1、常见函数求导：'1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()x xe e = '()ln (0)x x a a a a =⋅>'1(ln )x x='1(log )(01)ln a x a a x a=>≠且 2．求导法则：[]'''()()()()()()f xg x fx g x f x g x ⋅=±， []'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 二、利用导数几何意义(切线的斜率）解题——切点待定法（设出切点坐标，写出切线表达式）曲线y=f(x)在点P(x 0 ，f （x 0))处的切线方程是: 0()()()y f x f x x x '-=-三、导函数与原函数图象关系（1()0()f x f x '>⇔、是增函数 2、导数越大，函数变化越大3、原函数看增减性，导函数看正负)1。

已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==,则=N M （）。

),1[+∞-.]2,1[-. ),2[+∞ 。

ϕ选.由题意得}1|{-≥=y y M ，}22|{≤≤-=x x N ，所以=N M ]2,1[-。

2．命题“存在04,2<-+∈a ax xR x 使为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（）．充要条件．必要不充分条件．充分不必要条件．既不充分也不必要条件选。

依题意,“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”得2160aa ∆=+≤，解得016≤≤-a ,所以命题“存在04,2<-+∈a ax x R x 使为假命题”是命题“016≤≤-a "的充要条件. 3.设554a log4b log c log ===25，（3），，则（）．b c a << 。

高考数学一本策略复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语教案文

第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合交集运算·T1本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.Ⅱ卷集合交集运算·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算·T1Ⅲ卷求集合交集中元素个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1Ⅲ卷集合的补集运算·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．(1)(2018·南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，故选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，故选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，故选项D 错误．故选A.答案：A(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，则A ∩B＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}．答案：B 【类题通法】破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算.[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 答案：A2．(2018·德州模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |y ＝4x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{0,1,2}解析：由题意知，A ＝{x ∈Z |4x －x 2≥0}＝{x ∈Z |0≤x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{y |y >2}，则∁U B＝{y|y≤2}，则A∩(∁U B)＝{0,1,2}，故选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或”“且”联结词的否定形式“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.答案：B2．给出下列3个命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b20<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.答案：D3．命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________．答案：若xy ≠1，则x ，y 不互为倒数若xy ＝1，则x ，y 不互为倒数【类题通法】判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2时，直线l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y ＋4＝0，所以直线l 1∥l 2；若l 1∥l 2，则－a (a ＋1)＋2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·南昌模拟)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m 与n 反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n ＝|m·n|，则m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝|m |·|n |·|cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D 【类题通法】1．(2018·胶州模拟)设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1时，有x ＋y ≤2，但反之不成立，例如当x ＝3，y ＝－10时，满足x＋y ≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件．所以“x ＋y >2”是“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第107页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0，1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．故选A. 答案：A2．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数 y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．答案：D3．设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝{1,2}．故选C. 答案：C5．(2018·合肥模拟)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题．答案：D6．(2018·郑州四校联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A7．(2018·石家庄模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件．答案：A8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.答案：A10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，则P(0<X<2)＝0.8，则下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．下列命题是假命题的是( )A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C 错误．答案：C 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)16．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)。

集合、常用逻辑用语

第2部分高考热点专题突破
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
第1讲集合、常用逻辑用语
数学
专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
1
01
考点1
02
考点2
03
考点3
04
专题强化训练
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专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
2
集合的概念及运算
[核心提炼] 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A； (2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A； (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U； (4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
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专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
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【解析】 (1)A 项，若等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列 {Snn}为等差数列，且通项为Snn＝a1＋(n－1)d2，即数列{Snn}是公差为d2的等差数列，故说法正确；B 项，由题意得：Snn＝a1＋(n－1)d，所以 Sn＝na1＋n(n－1)d，则 an＝Sn－Sn－1＝ a1＋2(n－1)d，即数列{an}是公差为 2d 的等差数列，故说法正确；C 项，若数列{an}是等差数列的公差为 d，则数列的奇数项，偶数项都是公差为 2d 的等差数列，说法正确；D 项，若数列{an}的奇数项，偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数列，例如：{1，4，3，6，5，8，7}，说法错误．故选 D.
且或至多有一个
词语的否定不都是(至少有一个不是)
一个也没有某一个或且

2020高考数学(理科)核心考点突破(第一章集合与常用逻辑用语)

第一章集合与常用逻辑用语考纲链接1．集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Wenn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：______，______，__________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________ 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________ 空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)12n非空子集有________个，非空真子集有________个．4．两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________韦恩(Venn)图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁U A)＝________；⑤A∪(∁U A)＝________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card[∁U(A∪B)]＝________________________.自查自纠：1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋)Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n－12n－24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{0，2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝() A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{－2，－1，0，1，2}解：由题意知A∩B＝{0，2}．故选A.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝() A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解：由x2－x－2＞0得(x－2)(x＋1)＞0，解得x ＜－1或x＞2，所以A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.(2017·全国卷Ⅱ)设集合Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2－4x＋m＝0}．若Α∩Β＝{1}，则Β＝() A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}解：由Α∩Β＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．故选C.(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解：A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点构成的集合，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2.故填2.(2017·天津改编)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝________．解：集合A∪B＝{1，2，4，6}，则(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故填{1，2，4}．类型一集合及相关概念(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ． 4解法一：集合A ＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，共9个元素．解法二：A 表示由圆x 2＋y 2＝3内部及边界上所有整数点构成的集合．如图，则圆内部共有9个满足题意的点．故选A. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则实数a ＝ ( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98 解：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.故选D.点拨：题(1)要注意x ，y 的约束条件．题(2)集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (1)设集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1， a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a 的值为________．解：因为B ⊆A ，所以a 2－a ＋1∈A ，所以a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .由a 2－a ＋1＝3，得a ＝2或a ＝－1；由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1.经检验，a ＝1时集合A ，B 不满足集合中元素的互异性，舍去．故 a ＝－1或a ＝2.故填－1或2.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解：由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去；当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，所以a <－98.故填⎝⎛⎭⎫－∞，－98. 类型二集合间的关系 (2018·长春市高一联考)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解：(1)①当B ≠∅时，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1＜5，2m －1≥m ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3.②当B ＝∅时，m ＋1＞2m －1，得m ＜2. 综上可得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤－3，m ≥3，所以m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .点拨：已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到． (1)已知集合A ＝{x |lg x >0}，B ＝{x |x ≤1}，则 ( ) A ．A ∩B ≠∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B 解：由B ＝{x |x ≤1}，且A ＝{x |lg x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝R .故选B. (2)(2018·湖南长沙二模)已知A ＝{y |y ＝x 12，0≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝kx ＋1，x ∈A }，若A ⊆B ，则实数k 的取值范围为 ( ) A ．{－1} B ．{k |k ＜－1} C ．{k |－1≤k ≤0} D ．{k |k ≤－1}解：由已知可得A ＝{y |y ＝x 12，0≤x ≤1}＝[0，1]，易知k ≠0，当k ＞0时，B ＝[1，1＋k ]；当k ＜0时，B ＝[1＋k ，1]．由A ⊆B 知，当k ＞0时不合题意，则1＋k ≤0，即k ≤－1.故选D.类型三集合的运算(1)(2018·浙江)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则∁U A ＝ ( )A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5} 解：因为U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，所以∁U A ＝{2，4，5}．故选C.(2)集合P ＝{x ∈R ||x －1|<1}，Q ＝{x ∈R ||x －a |≤1}，且P ∩Q ＝∅，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |a ≥3}B ．{a |a ≤－1}C ．{a |a ≤－1或a ≥3}D ．{a |－1≤a ≤3} 解：P ＝{x |0<x <2}，Q ＝{x |a －1≤x ≤a ＋1}，要使P ∩Q ＝∅，则a ＋1≤0或a －1≥2，解得a ≤－1或a ≥3.故选C.点拨：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)图等进行运算． (1)(2018·北京)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2，0，1，2}，则A ∩B ＝ ( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1}C ．{－2，0，1，2}D ．{－1，0，1，2}解：因为|x |＜2，所以－2＜x ＜2，所以A ＝{x |－2＜x ＜2}．因为B ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B＝{0，1}．故选A. (2)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，则P ∩(∁U Q )等于 ( )A ．{1，2}B ．{3，4，5}C ．{1，2，6，7}D ．{1，2，3，4，5} 解：因为∁U Q ＝{1，2}，所以P ∩(∁U Q )＝{1，2}．故选A.类型四韦恩(V enn)图(2018·河北武邑质检改编)已知全集 U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝x 2＋2，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg(9－x 2)}，则阴影部分表示的集合为 ( )A ．[－3，2]B ．(－3，2)C ．(－3，2]D ．[－3，2)解：由函数y ＝x 2＋2≥2，得A ＝[2，＋∞)，由函数y ＝lg(9－x 2)，得9－x 2＞0，即B ＝(－3，3)．因为全集U ＝R ，所以∁U A ＝(－∞，2)，图中阴影部分表示的集合为B ∩∁U A ＝(－3，2)．故选B.点拨：韦恩(V enn)图能更直观地表示集合之间的关系，先化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．如图，全集I ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为 ( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |x ＜3}D ．{x |x ＞0} 解：由图可知，阴影部分表示的是集合A ∪B ＝{x |0＜x ＜3}．故选B. 1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用． 4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集． 5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单． 6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.1．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解：由题意，A ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C.2．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3 解：A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2x －3＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞32，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32＜x ＜3.故选D. 3．已知全集R ，集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)(x －2)＝0}，B ＝{y |y ≥0}，则A ∩(∁R B )为( ) A ．{1，2，－2} B ．{1，2} C ．{－2} D ．{－1，－2}解：A ＝{1，2，－2}，而B 的补集是{y |y <0}，故两集合的交集是{－2}．故选C.4．(2018·海淀一模)设集合P ＝{m |－1＜m ≤0}，Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系成立的是 ( ) A ．P Q B ．P QC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝∅ 解：Q ＝{m ∈R |mx 2＋4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，对m 分类：①当m ＝0时，－4＜0恒成立；②当m ＜0时，需Δ＝(4m )2－4×m ×(－4)＜0，解得－1＜m ＜0.综合①②知－1＜m ≤0.故选C.5．集合P ＝{1，4，9，16，…}，若a ∈P ，b ∈P ，则a b ∈P ，则运算可能是( )A ．除法B ．加法C ．乘法D ．减法解：当为除法时，14∉P ，所以排除A ；当为加法时，1＋4＝5∉P ，所以排除B ；当为乘法时，m 2·n 2＝(m n)2∈P ，C 正确；当为减法时，1－4∉P ，所以排除D.故选C.6．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x － x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C. 7．(2018·黄冈市高一质检)已知A ＝{x ∈R |x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ∈R |a ≤x ≤2a －1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为________．解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞3，a ≤2a －1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜－2，a ≤2a －1，解得a ＞3. ②当B ＝∅时，由a ＞2a －1，得a ＜1. 综上可知，实数a 的取值范围是{a |a ＜1或a ＞3}．故填{a |a ＜1或a ＞3}． 8．已知集合A ，B 与集合A @B 的对应关系如下表： A {1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8} {－2，－1，0，1} {－4，－2，0，2}A @B {1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A ＝{－2 019，0，2 018}，B ＝{－2 019，0，2 017}，试根据图表中的规律写出A @B ＝________.解：由规律知，A @B 是由A ∪B 中元素去掉A ∩B 中元素构成的集合，故A @B ＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．9．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，且3∈A ，求m 的值．解：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，3满足题意．故m ＝－32.10．(2018·珠海四中检测)若A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，A ∩B ＝{9}，求A ∪B .解：由A ∩B ＝{9}可知9∈A ，则x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，集合B 中元素不满足互异性，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，满足题意，此时A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}，矛盾，故舍去．综上，A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}． 11．(2018·南京市高一联考)设集合A ＝ {x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }＝{－4，0}，因为B ⊆A ，所以分B ＝A 和B A 两种情况讨论．①当A ＝B 时，B ＝{－4，0}，则有－4，0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，于是得a ＝1.②当B A 时，若B ≠∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，验证知B ＝{0}满足条件；若B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a＜－1.综上可知，所求实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－1}．(2018·河北衡水中学模拟)对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n都是正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 不全为正奇数时，m ※n ＝mn .在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16，a ∈N *，b ∈N *，a ≠b }的真子集的个数是( )A ．27－1B ．211－1C ．212－1D ．214－1 解：因为16是偶数，所以M ＝{(1，16)，(2，8)，(16，1)，(8，2)，(1，15)，(15，1)，(3，13)，(13，3)，(5，11)，(11，5)，(7，9)，(9，7)}，共12个元素，则集合M 的真子集个数为212－1.故选C.1．2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题间的相互关系(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)(2)真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．3．充分条件和必要条件(1)如果p⇒q，则称p是q的______，q是p的________________________．(2)如果________，且________，那么称p是q 的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________．(3)如果p⇒q，但q p，那么称p是q的________条件．(4)如果________，但________，那么称p是q 的必要不充分条件．(5)如果________，且________，那么称p是q 的既不充分也不必要条件．自查自纠：1．(1)判断真假判断为真判断为假(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈P2．(1)(2)①相同②没有关系3．(1)充分条件必要条件(2)p⇒q q⇒p充要条件p⇔q(3)充分不必要(4)p q q⇒p(5)p q q p下列语句为命题的是() A．对角线相等的四边形B．a＜5C．x2－x＋1＝0D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D .(2018·天津)设x∈R，则“⎪⎪⎪⎪x－12＜12”是“x3＜1”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为⎪⎪⎪⎪x －12＜12，所以0＜x ＜1.又因为x 3＜1，所以x ＜1.因为0＜x ＜1⇒x ＜1，但x ＜10＜x ＜1，所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分不必要条件．故选A . (2018·北京)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：|a －3b |＝|3a ＋b |的两边平方得|a |2－6a ·b ＋9|b |2＝9|a |2＋6a ·b ＋|b |2，所以8|a |2＋12a ·b －8|b |2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.因为|a |＝|b |＝1，所以3a ·b ＝0，所以a ·b ＝0，所以a ⊥b .反之，步步可逆，故是充分必要条件．故选C . (教材练习改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是__________．解：原命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．故填若tan α≠1，则α≠π4.已知集合M ＝{x |1<x <a }，N ＝{x |1<x <3}，则“a ＝3”是“M ⊆N ”的________条件．解：a ＝2时亦有M ⊆N .故填充分不必要．类型一四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假． (1)若a ＞b ，则a c 2＞b c 2； (2)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B ； (3)若x 2－2x －3＞0，则x ＜－1或x ＞3.解：(1)因为当c ＝0时，a c 2＝b c 2，所以原命题为假命题．逆命题：若a c 2＞b c 2，则a ＞b .它为真命题．否命题：若a ≤b ，则a c 2≤b c 2.它为真命题．逆否命题：若a c 2≤b c 2，则a ≤b .它为假命题． (2)逆命题：在△ABC 中，若∠C ＞∠B ，则AB＞AC .否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B . 逆否命题：在△ABC 中，若∠C ≤∠B ，则AB ≤AC .这里，四种命题都是真命题． (3)逆命题：若x ＜－1或x ＞3，则x 2－2x －3＞0. 否命题：若x 2－2x －3≤0，则－1≤x ≤3. 逆否命题：若－1≤x ≤3，则x 2－2x －3≤0. 这里，四种命题都是真命题．点拨：写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q ，将原命题写成“若p ，则q ”的形式．在题(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．题(3)中“x ＜－1或x ＞3”的否定形式是“x ≥－1且x ≤3”，即“－1≤x ≤3”．写出下列命题的否定形式和否命题．(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零； (2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零；(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4)有理数都能写成分数．解：(1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零．否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零．(2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．(4)否定形式：有理数不都能写成分数．否命题：非有理数不都能写成分数．类型二充要条件的判定指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；(3)非空集合A，B(A∩B＝∅)中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；(4)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.解：(1)在△ABC中，A＝B⇒sin A＝sin B；反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．(2)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q p，故p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．(4)易知綈p ：x + y = 8，綈q ：x = 2且y = 6，显然点拨：充要条件的三种判断方法：①定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；②集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．(1)(2017·辽宁实验中学月考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若a，b，c，d依次成等差数列，则有a＋d ＝b＋c；反之，如2＋3＝1＋4，但2，1，4，3不成等差数列．所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．故选B.(2)(2018·上海春季高考题)设S n为数列{a n}的前n项和，“{a n}是递增数列”是“{S n}是递增数列”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：若a n＝2n－10，则S4＜S3，所以非充分．若a n ＝1n，则{S n}递增，此时{a n}递减，所以非必要．故选D.类型三充要条件的应用(1)(2018·天津一中月考)已知p：x≥k，q：3x＋1＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是() A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]解：由3x＋1＜1，得3x＋1－1＝2－xx＋1＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞2.由p是q的充分不必要条件知，k＞2.故选B.(2)(2018·海口模拟)已知集合A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜2x＜8，B＝{x|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞) B．(－∞，2]C．(2，＋∞) D．(－2，2)解：由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，又x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，则有A B，所以m＋1＞3，即m＞2.故选C.点拨：①求解充要条件的应用问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．②求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误．(1)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12C．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解：由|4x －3|≤1得12≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0得a ≤x ≤a ＋1，因为綈p 是綈q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1＞1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ＋1≥1，得0≤a ≤12.故选A.(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以 P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.故填[0，3]．1．命题及其真假判断(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题． (2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．2．四种命题间的相互关系及应用(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”． (2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提． (3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断． 3．“否命题”与“命题的否定”的区别“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论． 4．充要条件的三种判断方法(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p ⇒q 及q ⇒p 的真假；第三步，下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若A B ，则p 是q 的充分不必要条件； ③若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；④若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； ⑥若A B 且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．(2018·四川成都一诊)命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是 ( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞bD ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c 解：“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，所以原命题的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．故选A .2．(2018·天津模拟)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：x ＞y x ＞|y |(如x ＝1，y ＝－2)．但x ＞|y |时，必有x ＞y .所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要不充分条件．故选C. 3．(2017·南昌三校联考)下列说法中正确的是( )A ．若α＞β，则sin α＞sin βB ．命题“∀x ＞1，x 2＞1”的否定是“∃x 0≤1，x 20≤1”C ．命题“若x ≤43，则1x －1≥3”的逆命题是真命题D ．“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0或y ≠0，则xy ≠0”解：若α＝120°，β＝60°，则α＞β，sin α＝sin β，故A 错误；命题“∀x ＞1，x 2＞1”的否定是“∃x 0＞1，x 20≤1”，故B 错误；命题“若x ≤43，则1x －1≥3”的逆命题是“若1x －1≥3，则x ≤43”，解1x －1≥3得1＜x ≤43，此时满足x ≤43，故C 正确；“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”的逆否命题为“若x ≠0且y ≠0，则xy ≠0”，故D 错误．故选C . 4．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解：若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上亦为增函数，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．故选A . 5．(2018·云南民族中学适应性考试)下列说法中，正确的个数是 ( ) ①若f (x )＝12x ＋1＋a 为奇函数，则a ＝12； ②“在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ”的逆命题是假命题； ③“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b ＝a c ”的既不充分也不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1＞0”．A ．0B ．1C ．2D ．3 解：若f (x )＝12x ＋1＋a 为奇函数，则f (0)＝0，解得a ＝－12，所以①不正确；在△ABC 中，令角A ，B的对边分别为a ，b ，由A ＞B ，可得a ＞b ，由正弦定理得sin A ＞sin B ，原命题的逆命题是真命题，所以②不正确；三个数a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，若a ＝b ＝c ＝0，则满足b ＝ac ，但三个数a ，b ，c 不成等比数列，所以“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“b ＝ac ”的既不充分也不必要条件，所以③正确；命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x 0∈R ，x 30－x 20＋1＞0”，所以④正确．故选C .6．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：a －b >1，即a >b ＋1.因为a ，b 为正数，所以a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立．反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．故选A .7．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是________．解：“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．故填若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数． 8．(2018·黑龙江大庆教学质量检测)已知p ：x ≤1＋m ，q ：|x －4|≤6.若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解：由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，因为p 是q的必要不充分条件，所以m ＋1≥10，解得m ≥9.故填{m |m ≥9}．9．写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；(真)否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；(真) 逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0.(真)． 10．若p ：a ∈R ，a 2<1，q ：关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，判断p 是q 的什么条件？解：一元二次方程的判别式Δ＞0，故其有两个不等实根．p ：a ∈R ，a 2＜1⇔－1＜a ＜1⇒a －2＜0，可知方程的两根异号，故p 是q 的充分条件；显然p不是q 的必要条件，如当a ＝1时，方程的一个根大于零，另一根小于零．因此p 是q 的充分不必要条件．11．(2018·石家庄二模)已知p ：x 2－3x －4≤0，q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：因为綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以p是q 的充分不必要条件，所以{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}，所以{x |－1≤x ≤4}{x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}．当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意．当－m ＋3＞m ＋3，即m ＜0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4(两等号不能同时取得)，解得m ≤－4. 当－m ＋3＜m ＋3，即m ＞0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4(两等号不能同时取得)，解得m ≥4. 综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}．(湖北部分重点中学2018届联考)已知p ：x ，y ∈R ，x 2＋y 2<2，q ：x ，y ∈R ，|x |＋|y |<2，则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件解：如图所示：“x 2＋y 2<2”对应的图形为半径为2的圆的内部，“|x |＋|y |<2”对应的图形为边长为22的正方形的内部．由图知，x 2＋y 2<2对应的图形在|x |＋|y |<2对应的图形的内部，故p 是q 的充分不必要条件．故选A.1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为__________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)p q p∧q p∨q 綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2018·陕西部分学校摸底)命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是() A．∃x0≥0，x0x0－1≤0 B．∃x0>0，0≤x0≤1 C．∀x>0，xx－1≤0 D．∀x<0，0≤x≤1 解：因为xx－1>0⇔x<0或x>1，所以xx－1>0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是“∃x0>0，0≤x0≤1”．故选B.(2018·河北武邑中学模拟)下列命题为假命题的是() A．∀x∈R，2 018x－2＞0B．∃x0∈R，tan x0∈RC．∃x0∈R，lg x0＜0D．∀x∈R，(x－100)2 018＞0解：对于A，指数式2 018x－2恒大于0，A为真命题；对于B，正切函数的值域为R，B为真命题；对于C，对数函数的值域为R，故C为真命题；对于D，x＝100时，(x－100)2 018＝02 018＝0，D为假命题．故选D.(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∧q D．((綈p)∧(綈q)解：由x ＞0时x ＋1＞1，知p 是真命题，由－1＞－2，(－1)2＜(－2)2可知q 是假命题，即p ，綈q 均是真命题．故选B.命题“∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________________________．解：由定义知命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3”．故填∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤ 3. 已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：因为p 是假命题，则綈p 为真命题，即“∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0”为真命题，所以Δ＝ 4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1.故填(0，1)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断(1)(2018·江西南昌模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧(綈q)B ．(綈p)∧qC ．p ∧qD ．(綈p)∨q解：命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3，当 x 0＝3时，3＋13＞3，命题为真．命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，当x ＝4时，两式相等，命题为假．则p ∧(綈q)为真命题．故选A .(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫13x；命题q ：∃x 0∈N *，2x0＋21－x 0＝22，则下列命题中为真命题的是 ( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解：根据幂函数的性质，可知命题p 为真命题；由2x0＋21－x＝22，得22x 0－22·2x0＋2＝0，解得2x 0＝2，即x 0＝12(或2x 0＋21－x 0≥22 x 0·21－x0＝22，当且仅当2x 0＝21－x 0，即x 0＝12时等号成立)，命题q 为假命题．所以只有p ∧ (綈q )为真命题．故选C.点拨：判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤：第一步，判断复合命题的结构；第二步，判断构成这个命题的每个简单命题的真假；第三步，依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反作出判断．(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，e x >1.则 ( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题解：取x 0＝10，得x 0－2＞lg x 0，所以命题p 是真命题；取x ＝－1，得e x ＜1，所以命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，p ∧(綈q )是真命题，p ∨(綈q )是真命题．故选C. (2)(2018·安徽皖江名校联考)命题p ：存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＞2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)， ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p)∨(綈q)，p ∧q ， (綈p)∧q ，p ∨(綈q)中，正确的命题个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，所以。

高中数学知识点总结归纳

高中数学知识点总结归纳高中数学是一门重要的学科，对于我们的逻辑思维和解决问题的能力培养有着至关重要的作用。

下面为大家总结归纳一下高中数学的主要知识点。

一、集合与常用逻辑用语1、集合集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

集合之间的关系包括子集、真子集、相等。

集合的运算有交集、并集和补集。

2、常用逻辑用语命题是可以判断真假的陈述句。

原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间有着特定的关系。

充分条件、必要条件和充要条件的判断也是常考的内容。

二、函数1、函数的概念设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

2、函数的性质函数的单调性、奇偶性、周期性是重要的性质。

单调性是指函数在某个区间上的增减情况；奇偶性是指函数关于原点或y 轴对称的性质；周期性是指函数在一定区间上重复出现的性质。

3、基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数的图像和性质都需要熟练掌握。

三、导数及其应用1、导数的概念导数是函数的瞬时变化率，它反映了函数在某一点处的变化趋势。

2、导数的运算包括基本函数的导数公式、导数的四则运算法则等。

3、导数的应用利用导数可以研究函数的单调性、极值和最值，还可以解决曲线的切线问题等。

四、三角函数1、三角函数的定义以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

2、三角函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和周期性、奇偶性、单调性等性质要牢记。

3、三角恒等变换包括两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等。

五、平面向量1、平面向量的概念既有大小又有方向的量。

2、平面向量的运算包括向量的加法、减法、数乘和数量积等运算。

3、平面向量的坐标表示通过建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，便于计算和研究。

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核心考点一集合、逻辑用语、函数、导数与不等式第1课时集合与逻辑用语1．(2012年山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}2．(2012年陕西)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2]3．(2012年湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π44．(2012年湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q 5．(2012年广东广州一模)已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x ‖x －a |≤1}，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围为________．6．(2012年福建)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e 0x≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件7．(2012年新课标)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3个B ．6个C ．8个D ．10个8．(2011年安徽合肥一模)若A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________．9．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．10．已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a .若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．第2课时函数的图象与性质1．(2012年江西)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 x ≤1 ，lg x x >1 ，则f [f (10)]＝( )A ．lg101B ．2C ．1D ．02．(2012年陕西)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |3．(2012年安徽)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x4．(2012年江苏)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．5．(2011年浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.6．函数y ＝ln|x |＋1的图象大致为( )7．(2012年广东汕尾模拟)下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ．[1,2) 8．(2012年广东广州调研)定义：若函数f (x )的图象经过变换T 后所得图象对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图象关于x 轴对称 C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，T 将函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称 9．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f b －f a b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．(1)判断函数f (x )＝－x 2＋4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－1,1]上是平均值函数，试确定实数m 的取值范围．10．对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )＝a ·f 1(x )＋b ·f 2(x )，那么称h (x )为f 1(x )，f 2(x )的生成函数．(1)下面给出两组函数，h (x )是否分别为f 1(x )，f 2(x )的生成函数？并说明理由；第一组：f 1(x )＝sin x ，f 2(x )＝cos x ，h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3；第二组：f 1(x )＝x 2－x ，f 2(x )＝x 2＋x ＋1，h (x )＝x 2－x ＋1.(2)设f 1(x )＝x ，f 2(x )＝1x(1≤x ≤10)，取a ＝1，b >0，生成函数h (x )使h (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．第3课时函数与方程1．(2011年福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．(2011年陕西)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根3．(2012年广东汕头二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ≥1 ，f 2x 0<x <1 ，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛2321f 的值是( )A ．－1B ．1 C.12 D ．－124．若x 0是方程 x⎪⎭⎫ ⎝⎛21＝31x 的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 5．(2012年广东韶关一模)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值那么方程x 3＋x A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.56．(2011年山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.7．(2012年上海)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________________．8．(2012年北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x－2，若同时满足条件： (1)∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； (2)∀x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. 则m 的取值范围是________________．9．(2012年广东广州一模)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．10．(2012年湖南)某企业接到生产3 000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k (k 为正整数)．(1)设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．第4课时函数与导数1．已知函数f (x )＝a 3＋sin x ，则f ′(x )＝( )A ．3a 2＋cos xB ．a 3＋cos xC ．3a 2＋sin x D ．cos x2．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln23．(2011年江西)曲线y ＝e x在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e4．(2012年陕西)设函数f (x )＝x e x，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点5．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________________．6．函数f (x )＝e x＋e －x(e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( ) A ．有极大值 B ．有极小值 C ．是增函数 D ．是减函数7．(2011年山东)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．158．(2012年广东广州调研测试)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( )A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点9．(2012年北京东城区模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2－3m 2x ＋1(m >0)．(1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若函数f (x )在区间(2m －1，m ＋1)上单调递增，求实数m 的取值范围． 10．(2012年广东肇庆一模)某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m 元(1≤m ≤3)的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x 元/本(9≤x ≤11)，预计一年的销售量为(20－x )2万本．(1)求该出版社一年的利润L (单位：万元)与每本书的定价x 的函数关系式； (2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值R (m )．第5课时不等式的解法及证明1．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 2．(2012年浙江)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4) 3．函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么|f (x ＋1)|<1的解集是( )A ．(1,4)B ．(－1,2)C ．(－∞，1)∪[4，＋∞) D．(－∞，－1)∪[2，＋∞) 4．(2012年山东)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝____________.5．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．6．(2012年江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为____________．7．已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，在[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边的三角形，则m 的取值范围为( )A ．m >2B ．m >4C ．m >6D ．m >88．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2在R 上存在极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，3) B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)9．(2012年新课标)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．10．(2012年广东广州调研测试)已知函数f (x )＝－13x 3＋a 2x 2－2x (a ∈R )．(1)当a ＝3时，求函数f (x )的单调区间；(2)若对于任意x ∈[1，＋∞)都有f ′(x )<2(a －1)成立，求实数a 的取值范围；(3)若过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－13可作函数y ＝f (x )图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．第6课时不等式的应用1．(2012年福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x ，(x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2，(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |，(x ∈R )D.1x 2＋1>1，(x ∈R ) 2．(2012年广东广州一模)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤t表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012年辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．554．(2011年北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件5．(2012年广东广州调研测试)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0.若目标函数z＝ax ＋y (a ≠0)取得最小值时，其最优解有无数个，则实数a 的值为( )A ．－1B ．－12 C.12D ．16．(2011年浙江)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．197．已知变量x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3, 5) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－1, 2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 1 8．(2012年山东烟台检测)若实数x ，y ，m 满足 |x －m |＞|y － m |，则称x 比y 远离m .若x 2－1比1远离0，则x 的取值范围是________________．9．(2012年山东济南一中测试)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图5的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地的形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．(1)分别写出用x 表示y 和用x 表示S 的函数关系式(写出函数的定义域)； (2)怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？图510．(2012年广东汕头一模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－(2a ＋3)x ＋a 2(a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上有极小值点，求实数a 的取值范围； (2)若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0，求实数a 的取值范围．。