一元一次方程知识点及经典例题

第三章一元一次方程单元复习与巩固

知识点一：一元一次方程及解的概念

1、一元一次方程：

一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：

一元一次方程须满足下列三个条件：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的次数是1次；

（3）整式方程．

2、方程的解：

判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．

类型一：一元一次方程的相关概念

1、已知下列各式：

①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。

其中方程的个数是( )

A、5

B、6

C、7

D、8

[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：

-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)

[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。

[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( )

A．－5 B．5 C．7 D．2

知识点二：一元一次方程的解法

1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果，那么；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果，那么；如果，那么

要点诠释：

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）

特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，

如方程：－=1.6，将其化为：

－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”

区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：

解一元一次方程的一般步骤

常用步骤具体做法

依据注意事项

去分母在方程两边都乘以各分母的最

小公倍数

等式基本性

质2

防止漏乘（尤其整数项），注

意添括号；

去括号一般先去小括号，再去中括号，

最后去大括号

去括号法

则、分配律

注意变号，防止漏乘；

移项把含有未知数的项都移到方程

的一边，其他项都移到方程的另

一边(记住移项要变号)

等式基本性

质1

移项要变号，不移不变号；

合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项

法则

计算要仔细，不要出差错；

系数化成1 在方程两边都除以未知数的系

数a，得到方程

的解x＝

等式基本性

质2

计算要仔细，分子分母勿颠

倒

类型二：一元一次方程的解法

1．巧凑整数解方程：

[变式]解方程：＝2x－5

2．巧用观察法解方程：

3．巧去括号解方程：

思路点拨：从外向内去括号可以使计算简单。

[变式]解方程：

4．运用拆项法解方程：

5．巧去分母解方程：

[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。

解：原方程可变形为 (__________________________)

去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)

去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）

(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)

合并，得5x=-17. (合并同类项)

（____________________）,得x=. （_________________________）

6．巧组合解方程：

7．巧解含有绝对值的方程：

|x－2|－3＝0

8．利用整体思想解方程：

知识点三：列一元一次方程解应用题

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．

（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．

（4）解方程．

（5）检验，看方程的解是否符合题意．

（6）写出答案．

2、常见的一些等量关系

常见列方程解应用题的几种类型：

类型基本数量关系等量关系

(1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多余量

②总量＝倍数×倍量

抓住关键性词语

(2)等积变形问题变形前后体积相等

(3)行程问题相遇问题路程＝速度×时间甲走的路程＋乙走的路程＝两地

距离

追及问题同地不同时出发：前者走的路程

＝追者走的路程

同时不同地出发：前者走的路程

＋两地距离＝追者所走的路程顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

顺流的距离＝逆流的距离

(4)劳力调配问题

从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之

几”“多”“少”等关键词语

(5)工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1

(6)利润率问题商品利润＝商品售价－商品进价

商品利润率＝×100％

售价＝进价×(1＋利润率) 抓住价格升降对利润率的影响来考虑

(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上

的数字分别为a，b，则这个两位数可表

示为10a＋b 抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系

(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本

金×利率×期数×(1－利息税

率)

(9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c全部数量＝各种成分的数量之和

(设一份为x)

(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比

左边的数大1；日历中每一列上相邻的

两数，下边的数比上边的数大7 日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数