中考一轮复习专题15正比例函数与反比例函数

中考复习之正比例函数与反比例函数

知识考点：

1、掌握正、反比例函数的概念；

2、掌握正、反比例函数的图象的性质；

3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。 精典例题：

【例1】填空：

1、若正比例函数13

52

)1(---=m m x m y 的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的

解析式是 。

2、已知点P （1，a ）在反比例函数x

k y =

（k ≠0）的图像上，其中322

++=m m a （m 为实数），则这个函数的图像在第 象限。

3、如图，正比例函数kx y =（k ＞0）与反比例函数x

y 3

=

的图像交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，则ABCD S 四边形＝ 。

例1图

例2图

答案：1、x y 3-=；2、一、三；3、6；4、（2，－4）

【例2】如图，直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线x

k

y =

（k ＞0）在第一象限的一支相交于A 、B 两点，与坐标轴交于C 、D 两点，P 是双曲线上一点，且PD PO =。

（1）试用k 、b 表示C 、P 两点的坐标；

（2）若△POD 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB 的面积等于34，试求△COA 与△BOD 的面积之和。 解析：（1）C （0，b ），D （b ，0） ∵PO ＝PD

∴22b OD x P ==

，b k

y P 2=

∴P （2b ，b

k

2）

（2）∵1=∆POD S ，有1221=⋅⋅b

k

b ，化简得：k ＝1

∴x

y 1

=（x ＞0）

（3）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），由AOB COD BOD COA S S S S ∆∆∆∆-=+得：

342

1

2121221-=+b by bx ，又b x y +-=22得38)(221-=+-+b b x b bx ，即38)(12=-x x b 得[]

1924)(212212=-+x x x x b ，再由⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=x y b

x y 1

得012

=+-bx x ，从而b x x =+21，121=x x ，从而推出0)12)(4)(4(2

=++-b b b ，所以4=b 。

故348-=+∆∆BOD COA S S

评注：利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法。求两函数图像的交点坐

标，即解由它们的解析式组成的方程组。 探索与创新：

【问题】如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，且OA ＝OB ＝1。这条曲线是函数x

y 21

=

的图像在第一象限的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a 、b ），由点P 向x 轴、y 轴所作的垂线PM 、PN ，垂足是M 、N ，直线AB 分别交PM 、PN 于点E 、F 。

（1）分别求出点E 、F 的坐标（用a 的代数式表示点

E 的坐标，用b 的代数式表示点

F 的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）； （2）求△OEF 的面积（结果用含a 、b 的代数式表

示）； （3）△AOF 与△BOE 是否一定相似，请予以证明。如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。

（4）当点P 在曲线x

y 21

=上移动时，△OEF 随之变

动，指出在△OEF 的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论。

问题图

解析：（1）点E （a ，a -1），点F （b -1，b ） （2）EPF FNO EMO MONP EOF S S S S S ∆∆∆∆---=矩形 ＝2)1(2

1

)1(21)1(21-+-----b a b b a a ab ＝

)1(2

1

-+b a （3）△AOF 与△BOE 一定相似，下面给出证明 ∵OA ＝OB ＝1 ∴∠FAO ＝∠EBO

BE ＝a a a 2)11(22=+-+

AF ＝b b b 2)11(22=++-

∵点P （a ，b ）是曲线x

y 21

=

上一点 ∴12=ab ，即AF ·BE ＝OB ·OA ＝1 ∴

BE

OA

OB AF =

∴△AOF ∽△BOE

（4）当点P 在曲线x

y 21

=

上移动时，△OEF 中∠EOF 一定等于450，由（3）知，∠AFO ＝∠BOE ，于是由∠AFO ＝∠B ＋∠BOF 及∠BOE ＝∠BOF ＋∠EOF ∴∠EOF ＝∠B ＝450 评注：此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了。在证明三角形相似时，∠EBO ＝∠OAF 是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P （a ，b ）在双曲线x

y 21

=

上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。 跟踪训练： 一、选择题： 1、下列命题中：

①函数x y 3=（2≤x ≤5）的图像是一条直线；

②若y 与z 3-成反比例，z 与x 成正比例，则y 与x 成反比例；

③如果一条双曲线经过点（a -，b ），那么它一定同时经过点（b -，a ）； ④如果P 1（1x ，1y ），P 2（2x ，2y ），是双曲线x

y 4

-

=同一分支上的两点，那么当

问题图