数值方法课件_有限差分法
PDE数值计算的有限差分法
PDE 数值计算的有限差分法《图像处理的PDE 方法》对给定的PDE 往往很难求其解析解，尤其是在实际问题中，这就需要求助于数值计算以获取该问题的近似解，常用的PDE 数值方法有有限差分法、有限元法和谱法等，其中，有限差分法应用得最为广泛。
因为待处理的图像通常已经是在二维空间中，按等采样而得到的离散化数字图像，这就自然构成了有限差分法所需要的等分网格（Grid ）。
1、有限差分格式有限差分的基本思想是：利用相距有限距离的两邻点的函数值的差与两点间距离的比值来近似函数对变量的偏导数。
例如，用向前差分来近似对时间的偏导数tu∂∂，即 n i t n i n i ni u D tu u t u)(1++=∆-=∂∂ 对于空间中的一阶偏导数，除上面的向前差分外，还有向后差分、中心差分等，如下：向前差分：n i x n i n i ni u D tu u x u )(1++=∆-=∂∂ 后向差分：n i x n i n i ni u D xu u x u)(1--=∆-=∂∂ 中心差分：n i x n i n i ni u D xu u x u)0(112=∆-=∂∂-+ 根据泰勒展开式，有() +∆∂∂+∆∂∂+=∆+22221)()(x xux x u x u x x u 因此可得)()()(x O xx u x x u x u ∆+∆-∆+=∂∂ 说明向前差分和向后差分是一阶精度的。
同时，由于() +∆∂∂+∆∂∂+=∆+22221)()(x x ux x u x u x x u () +∆∂∂+∆∂∂-=∆-22221)()(x x u x x u x u x x u可得())(2)()(2x O xx x u x x u x u ∆+∆∆--∆+=∂∂ 说明中心差分是二阶精度的。
当偏微分议程中含有二阶偏导数时，同样采用有限差分进行处理，先求出两个半点处的一阶偏导数中心差分，如下：x u u x u n i n i ni ∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++12/1，x u u x u n i n i ni ∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--12/1然后再利用这两个一阶差分，作一次中心差分，得：()n i xx n i n i n i ni ni niu D x u u u x x u x u x u )0(2112/12/1222=∆+-=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-+-+ 对于二阶偏导数yx u∂∂∂2，同样采用类似的方法来处理，如下：x u u u u x u u x u j i j i j i j i j i j i j i ∆--+=∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--++++-+++421,1,11,1,12/1,12/1,12/1, x u u u u x u u x u j i j i j i j i j i j i j i ∆--+=∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂---+-+---+-42,11,1,11,12/1,12/1,12/1, 其中()1,1,12/1,121++++++=j i j i j i u u u ()1,1,12/1,121+--+-+=j i j i j i u u u ()j i j i j i u u u ,11,12/1,121+-+-++=()j i j i j i u u u ,11,12/1,121-----+=因此，yx u u u u yx u u u u u u u u yx u u u u y x u u u u yx u x u y x u j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i nji ∆∆--+=∆∆----+++=∆∆--+-∆∆--+=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-++---+++-++-----+++---+-++--+++-+44441,11,11,11,1,11,11,1,1,11,11,1,1,11,1,11,11,1,11,1,12/1,2/1,,22、显式、隐式和半隐式方案以一维Burgers 方程xu u t u ∂∂=∂∂来说明几种PDE 的数值计算方案。
偏微分方程数值解 有限差分法的基本知识2
u( x j
,
tn
)
o(
),(向前差商）(1.2)
u( x j1 ,
tn) h
u( x j
,
tn )
x
u( x j
,
tn
)
o(h),(向前差商）(1.3)
u( x j
,
tn
)
u(xj1, h
tn
)
x
u(
xj
,
tn
)
o(h),(向后差商）(1.4)
u( x j1 ,
tn) u(xj1, 2h
(1.1)在D上积分，得 D（ 到 ut cux）dxdt 0
t
H
L3
G
L4
L2
E
L1
F
o
x
利用 Gree公 n 式，得
（ucu）dxdt
D t x
（ L unt cunx)ds0
(1.14)
其中 nx与nt分别L是 的外法向单位 n沿向 x方量 向
与沿 t方向的两个分量。
把(1.14)左端分成在L1，L2，L3，L4，上的四个积分，
得近似方程
~ u1h
cu2~
~ u3h
cu4~
0
既
u3
u1
c~
h~
(u2
u4 )
(1.15)
这里h~是L1与L3的长度，~是L2与L4的长度，
ui是可按不同方式确定u的在Li上的近似函数值。
在 网 格E中 ,F,G， ,H依 点次 (n为 1,j1), 22
(n1,j1)(,n1,j1)(,n1,j1), 22 22 22
写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。
微分方程数值求解——有限差分法
1. 引言有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是一种求解微分方程数值解的近似方法，其主要原理是对微分方程中的微分项进行直接差分近似，从而将微分方程转化为代数方程组求解。
有限差分法的原理简单，粗暴有效，最早由远古数学大神欧拉（L. Euler 1707-1783）提出，他在1768年给出了一维问题的差分格式。
1908年，龙格（C. Runge 1856-1927）将差分法扩展到了二维问题【对，就是龙格-库塔法中的那个龙格】。
但是在那个年代，将微分方程的求解转化为大量代数方程组的求解无疑是将一个难题转化为另一个难题，因此并未得到大量的应用。
随着计算机技术的发展，快速准确地求解庞大的代数方程组成为可能，因此逐渐得到大量的应用。
发展至今，有限差分法已成为一个重要的数值求解方法，在工程领域有着广泛的应用背景。
本文将从有限差分法的原理、基本差分公式、误差估计等方面进行概述，给出其基本的应用方法，对于一些深入的问题不做讨论。
2. 有限差分方法概述首先，有限差分法是一种求解微分方程的数值方法，其面对的对象是微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。
此外，有限差分法需要对微分进行近似，这里的近似采取的是离散近似，使用某一点周围点的函数值近似表示该点的微分。
下面将对该方法进行概述。
2.1. 有限差分法的基本原理这里我们使用一个简单的例子来简述有限差分法的基本原理，考虑如下常微分方程\begin{cases} u'(x)+c(x)u(x)=f(x), \quad x \in [a, b]; \\u(x=a) = d \end{cases} \tag{1}微分方程与代数方程最大的不同就是其包含微分项，这也是求解微分方程最难处理的地方。
有限差分法的基本原理即使用近似方法处理微分方程中的微分项。
为了得到微分的近似，我们最容易想到的即导数定义u'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\approx \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \tag{2}上式后面的近似表示使用割线斜率近似替代切线斜率，\Delta x 即为步长，如图 1(a)所示。
有限差分法基本原理
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
工程电磁场数值分析(有限差分法)_2023年学习资料
>实施步骤-设求解二维静电场边值问题：-LI Pl=fs-F-&x2-0y2-V20=F-og-=0-on -Le-器0
有限差分法是最古老、最直观的一种数值方法，直至现-在仍有强大的生命力，在许多学科领域广为应用。在电磁场-领 ，目前最受关注的是时域有限差分法Finite Difference-Time-Domain Method, DTD和有限体积法-Finite Volume-Method.FVM-进一步的参考书：-胡之光.电机电磁场 分析与计算.北京：机械工业出版-社，1989
从有限差分法看数值解的基本思想-离散解（数值解）的概念->方程的离散-化无限维问题为有限维问题-化微分方程 代数方程组，借助计算机求解->解的离散一-离散点上的数值解->数值法的一般步骤->求解区域的离散（前处理代数方程组的求解->离散数据的分析（后处理
各种数值方法的不同之处-在于离散方程所依据的原-理不同，从而导致方程求-8-解技术、求解效率、适用-对象等 不同。
网格划分-2-将场域划分为小的网格。-30-设为正方形网格，边长h。-4-方程离散-将节点上的电位值”作为 Le-求解变量，把微分方程化-为关于p的线性代数方程-≈9-20+p-组。-h2-a对内部节点-≈，-2+ -0,+p2+p,+p-4=-h'
b对边界节点-·第一类边界节点-只考虑节点位于边界上的情况-P:=f;-第一类边界条件-·第二类边界节点考虑齐次边界条件-9,+20+0:-40=F-h2-对所有的节点都建立一个方程，N个-齐次第二类边界条件点有N个未知数，建立N个方程。
有限差分法初步
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 结论与展望
01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将偏微分方程离散化为差分方程， 从而求解偏微分方程的近似解。
近似表示微 分，从而将微分方程转化为差分方程。
有限差分法。
COMSOL Multiphysics实现
COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的多物理场仿真软件，也支持有限差分法。 COMSOL提供了友好的用户界面和丰富的物理模型库，使得有限差分法的实现更加便
捷。
有限差分法的并行计算实现
MPI实现
MPI（Message Passing Interface）是一种并行计算的标准，支持多个处理 器之间的通信。通过MPI，可以实现有限差分法的并行计算，提高计算效率。
自适应网格技术
根据解的特性自适应地调整离散点间距，以 提高计算精度和效率。
并行化与优化
通过并行计算和算法优化等技术提高有限差 分法的计算效率。
与其他方法的结合
将有限差分法与其他数值方法或物理模型相 结合，以处理更复杂的问题。
06
结论与展望
结论
01
有限差分法是一种数值计算方 法，通过离散化连续问题为差 分方程，进而求解数值近似解 。
有限差分法原理简单，易于理解和实现，不需要复杂的数学工 具。
有限差分法可以方便地进行并行计算，提高计算效率。
有限差分法可以应用于各种不同类型的偏微分方程，具有广泛 的适用性。
有限差分法的缺点
精度问题
由于有限差分法是一种离散化方法，其精度受到离散点间距的限制， 可能导致计算结果不够精确。
PDE数值计算的有限差分法
PDE 数值计算的有限差分法《图像处理的PDE 方法》对给定的PDE 往往很难求其解析解，尤其是在实际问题中，这就需要求助于数值计算以获取该问题的近似解，常用的PDE 数值方法有有限差分法、有限元法和谱法等，其中，有限差分法应用得最为广泛。
因为待处理的图像通常已经是在二维空间中，按等采样而得到的离散化数字图像，这就自然构成了有限差分法所需要的等分网格（Grid ）。
1、有限差分格式有限差分的基本思想是：利用相距有限距离的两邻点的函数值的差与两点间距离的比值来近似函数对变量的偏导数。
例如，用向前差分来近似对时间的偏导数tu ∂∂，即n it nin iniuD tu u tu )(1++=∆-=∂∂对于空间中的一阶偏导数，除上面的向前差分外，还有向后差分、中心差分等，如下：向前差分：n ix nin i niuD tu u xu )(1++=∆-=∂∂后向差分：n ix ni n i niuD xu u xu )(1--=∆-=∂∂中心差分：n ix ni n i niuD xu u xu )0(112=∆-=∂∂-+根据泰勒展开式，有()+∆∂∂+∆∂∂+=∆+22221)()(x xu x xu x u x x u因此可得)()()(x O xx u x x u xu ∆+∆-∆+=∂∂说明向前差分和向后差分是一阶精度的。
同时，由于()+∆∂∂+∆∂∂+=∆+22221)()(x xu x x u x u x x u ()+∆∂∂+∆∂∂-=∆-22221)()(x xu x xu x u x x u可得())(2)()(2x O xx x u x x u xu ∆+∆∆--∆+=∂∂说明中心差分是二阶精度的。
当偏微分议程中含有二阶偏导数时，同样采用有限差分进行处理，先求出两个半点处的一阶偏导数中心差分，如下：x u u x u ni ni ni ∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++12/1，x u u x u ni n ini ∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂--12/1然后再利用这两个一阶差分，作一次中心差分，得：()n ixx ni n i n i ni n i niuD x u u u xx u x u x u )0(2112/12/1222=∆+-=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-+-+对于二阶偏导数yx u ∂∂∂2，同样采用类似的方法来处理，如下：x u u u u x u u x u j i j i j i j i j i j i j i ∆--+=∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+--++++-+++421,1,11,1,12/1,12/1,12/1,x u u u u x u u x u j i j i j i j i j i j i j i ∆--+=∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂---+-+---+-42,11,1,11,12/1,12/1,12/1,其中()1,1,12/1,121++++++=j i ji j i u u u ()1,1,12/1,121+--+-+=j i ji j i u u u ()j i j i j i u u u ,11,12/1,121+-+-++= ()j i j i j i u uu ,11,12/1,121-----+=因此，yx u u u u yx u u u u u u u u yx u u u u yx u u u u yx u x u y x u j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i j i j i ji j i j i j i j i j i j i j i j i j i nj i ∆∆--+=∆∆----+++=∆∆--+-∆∆--+=∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-++---+++-++-----+++---+-++--+++-+44441,11,11,11,1,11,11,1,1,11,11,1,1,11,1,11,11,1,11,1,12/1,2/1,,22、显式、隐式和半隐式方案以一维Burgers 方程xu ut u ∂∂=∂∂来说明几种PDE 的数值计算方案。
有限差分法
有限差分法有限差分法有限差分法finite difference method微分方程和积分微分方程数值解的方法。
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。
此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。
对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。
另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。
此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。
因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。
前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。
只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。
关于差分格式的构造一般有以下3种方法。
最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。
另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。
此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
有限差分法
u ( x, y )
= ϕ ( x, y )
Γ = ∂Ω
泊松方程的第一类边界条件 泊松方程的第一类边界条件 Dirichlet条件 条件） （Dirichlet条件）为：
其中 Ω 为以 Γ 为边界的有界区域， 为分 Γ Ω 段光滑曲线， U Γ 称为定解区 ϕ 域， f ( x, y ) ， ( x, y ) 分别为 Ω ，Γ 上 的已知连续函数。
τ ah R( xk , t j ) = ut′′ ( xk , t j + θ2τ ) + u′′2 ( xk + θ1h, t j ) = O(τ + h) 2 2 2 x
差分方程的 截断误差
如果一个差分方程的截断误差为 R = O (τ + h ) ，则称差分方程 对 是 q 阶精度，对 x 是 p 阶精度的。显然，截断误差的阶 数越大，差分方程对微分方程的逼近越好。
有限差分法
有限差分法(finite difference method)是一种普遍认为 method)是一种普遍认为 有限差分法(finite 行之有效的处理函数微分的数值方法， 行之有效的处理函数微分的数值方法，科学与工程计算中 常见的偏微分方程和方程组大都可以采用有限差分方法求 本章首先讨论偏微分方程的定解问题， 解。本章首先讨论偏微分方程的定解问题，然后介绍有限 差分法的基本概念、方法和实现过程， 差分法的基本概念、方法和实现过程，重点介绍了求解椭 圆型偏微分方程定解问题的差分方法。 圆型偏微分方程定解问题的差分方法。
∂ 2u ∂ 2u = a2 ∂ t2 ∂ x2 u (x, 0) = ϕ (x) ∂u = ψ (x) ∂ t t=0
t > 0,
地下水数值模拟03_有限差分法
试研究含水层的水头分布。
T
2H x2
*
H t
H (x,t) t0 H0 (x)
H (x,t)
x0
0 (t)
H (x,t) xL L (t)
T
hk i 1
2hik (x)2
hk i 1
=
*
hk 1 i
hik
t
截断误差为：O([Δx]2)+O(Δt)
整理得：
定义
Tt
* (x) 2
Tt
* (x) 2
hk i 1
2hik
hk i 1
hk 1 i
hik
hik 1 hik1 (1 2 )hik hik1
导数可以利用一阶、二阶导数的差商代替，由于一阶导数 可以有三种差商表示，因此分别对水头关于时间的导数项分 别运用前差、后差、中心差将得到三种差分格式。
显式有限差分 ← 前差
隐式有限差分 ← 后差
中心式有限差分 ← 中心差
一、一维显式有限差分格式
T
2H x 2
* H
t
向前差分
(i,k+1) (i-1,k) (i,k) (i+1,k)
收敛性：如果在△x, △t取得充分小时，差分方程的解和微 分方程的解析解很接近，便说这种差分格式是收敛的。
稳定性：差分计算时，每一步都有舍入误差，随着计算 时间或计算次数的增加，累积误差逐渐减小，以至于不 影响计算结果，那么这种差分格式便是稳定的。
《有限差分法初步》课件
改进方向
高阶有限差分法
通过引入高阶差分方案，可以提高有限 差分法的精度，减少数值误差。
并行算法优化
进一步优化并行算法，提高有限差分 法的计算效率。
自适应网格技术
采用自适应网格技术，根据问题求解 的需要动态地调整网格的密度和分布 ，以提高计算效率和精度。
边界条件处理技术
研究和开发更有效的边界条件处理技 术，减少有限差分法的误差累积。
离散化原理
离散化原理是有限差分法的基础，它通过将连续 的问题离散化，将连续的函数和微分转化为离散 的数值和差分，从而将原问题转化为有限差分方 程组进行求解。
离散化原理的应用范围广泛，可以用于求解微分 方程、积分方程以及偏微分方程等。
离散化原理的关键在于选择合适的离散点，以确 保离散化的结果能够近似反映原问题的真实情况 。
《有限差分法初步》ppt课件
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点01
有限差分法是一种数值计算方法，通过将偏微分方 程离散化，将其转化为差分方程进行求解。
02
它将连续的空间离散为有限个点，并使用离散点的 差分近似表示原方程中的导数。
对学习者在学习过程中可能遇到的问 题进行了详细解答，帮助解决疑惑， 提高学习效果。
展望
深入研究
鼓励学习者在掌握有限差分 法的基础上，进一步探索该 方法的理论和应用，提高自 己的学术水平。
实际应用
提倡将有限差分法应用于实 际问题中，通过实践加深对 该方法的理解和掌握，提高 解决问题的能力。
交流与合作
04
有限差分法的实现
编程语言的选择
Python
Python是一种易于学习且功能强大的 编程语言，适合初学者和科学计算。
有限差分法
一阶导数
第4章 有限差分法
即是无限小的微分
除以无限小的微分
应用差分，显然，它可近似地表达为
的商，
即有限小的差分Δf(x)除以有限小的差分Δx 的商，称为差商。同理，一阶导数
f ' (x) 还可近似表达为
第4章 有限差分法
式（4-2）、 式（4-3）和式（4-4）分别称为一阶向前、 向后和中心差商。 如图 4-1 所示， 对应于点 P 的一阶向前、 向后和中心差商，在几何意义上 可分别表征为弧线 PB、 AP 和 AB的斜率，而在理论上它们对于该点一阶导 数的逼近度则分别可从以下泰勒公式的展开式中得知，即由
第4章 有限差分法
对于场域内典型的内节点 o (xi，yj)， 如图 4-2 所示， 它与周围相邻的节 点 1、 2、 3 和 4构成一个所谓对称的星形。今采用双下标(i，j)的识别方法， 设在这些离散节点上的待求位函数 u 的 近 似 值 分 别 记 作 uo = u（i，j）、 u1 = u(i+1，j)、 u2 = u(i，j+1)、 u3 = u(i-1，j) 和u4 = u(i，j-1)， 则参照式 (4-7)，二维泊松方程（4-8）可近似离散化表示为
同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为
第4章 有限差分法
4.3 差分格式的构造
现以二维静态电、 磁场泊松方程的第一类边值问题为例， 来具体阐明有 限差分法的应用。设具有平行平面场特征的电磁场场域 D， 如图 4-2 所示， 为一由闭合边界 L 所界定的平面域，其定解问题可表述为
4.3.1 偏微分方程的离散化—五点差分格式
对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法进行数值计算的 步骤通常是：
1）采用一定的网格剖分方式离散化场域；
第4章 有限差分法
第 4 章
有 限 差 分 法
4.3.2 定解条件的离散化——各类差分计算格式
对于场域边界上给定的三类边界条件（见 1.7 节）， 由于第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，这里只需讨论第一、第三 类边界条件的差分离散化处理。 （1） 第一类边界条件的差分离散化 若如图 4-2 点 M 所示， 划分网格时相应的网格节点恰好落在边界 L 上，则 只要直接把位函数 u| M∈ L = f(rM)的值赋给该对应的边界节点 M 即可。 若划分网格时引入的节点不落在边界 L 上， 则如图 4-3所示， 对于邻近边界的典型节点 o， 由于 h1≠ h2≠ h， 这样， o点及其周围相邻的 1、 2、 3 和 4 点构成一个不对称的星形。此时， 可仿照 4.2 节， 采用泰勒公式进行差分离散化 处理，即能相当精确地导出关于 o 点的差分计 算格式。
截断于 2hf′(x0)项， 略去了 h3项以及更高幂次的项。很明显，三种差商表达 式中以式（4-4）所示的中心差商的截断误差最小，其误差大致和 h 的二次方 成正比。 二阶导数同样可近似为差商的差商，即
这相当于把泰勒公式
截断于 h2f″(x)项， 略去了 h4项以及更高幂次的项，其误差亦大致和 h 的 二次方成正比。
理方法是依据式（4-3）， 这样， 第三类边界条件在此情况下的差分计算 格式为
第 4 章
有 限 差 分 法
当边界 L 在边界节点 o 处的外法向 n 与网格线不重合时，如图 4-5 所 示， 显然有
于是， 关于 o 点的差分计算格式是
第 4 章
有 限 差 分 法
第二种情况是在边界处引入的相应节点不落在边界 L 上， 这时如图 4-6 所示，可在邻近边界的节点 o 上仍按上述方法列出差分计算格式，只是需引 入与节点 o 相关的边界节点 o′，取点 o′处的外法向 n 作为点 o 处的“外法向 n”， 且近似地认为边界条件中给定的函数f1(ro)和 f2(ro)均在点 o′上取值。这 样，将式（4-14）中的 f1(ro)和 f2(ro)改记为 f1(ro′)和f2(ro′)，即得此种情况下关 于 o 点的差分计算格式。
地下水数值模拟04_有限差分法2
H t
2H x2
KH
H t
1 H
H x
2
W KH
1
2
h k 1 i 1
2hik x
1 2
hk 1 i 1
hk i 1
2hik x 2
hk i 1
1 H
K
hk 1 i
hik
1 j 1
(1
)
hk i 1,
j
2hik, j
hk i1, j
(x)2
hik,
j
1
2hik, j (y)2
hik,
j 1
*
T
hk 1 i, j
hik,
j
t
• 虽然隐式和中心式无条件收敛和稳定，且中心 式截断误差较小，但是方程中包含有5个未知 水头，需要联立求解。
ADI法的特点
k1
h2 i1, j
k1
2hi, j 2 (x)2
k1
h2 i1, j
hk i, j1
2hik, j
hik, j1
(y)2
*
T
k1
h2 i, j
hk i, j
t / 2
k1
h2 i1, j
k1
2hi, j 2 (x)2
k1
hi
y
KH
H y
有限差分法基本原理课件
离散网格点
有限差分法基本原理
差分和逼近误差
差分概念：
设有x的解析函数 y f(x) ，函数y 对x 的导
数为：
d yli m ylim f(x x )f(x )
dx x 0 x x 0
x
dy dy 、dx 分别是函数及自变量的微分，dx 是函数 对自变量的导数，又称微商。上式中的y 、x 分别称 为函数及其自变量的差分，y 为函数对自变量的差商。
有限差分法基本原理
模型方程
为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于
复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨 论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程：
对流方程：
0
t x
对流－扩散方程：
t
x
2x2
热传导方程：
2
t
x2
有限差分法基本原理
Poisson方程：
*n i
为差分方程的近似数
值
解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：
T i* n 1 S* i n T 1 ( 1 2 S )T * in S* i n T 1
in 1 Sn i 1 ( 1 2 S )n i Sn i 1
上式称为误差传播方程。
有限差分法基本原理
x等价定理
2
x2
2
y2
f
2 2
Laplace方程： x2 y2 0
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
以对流方程说明差分方程的建立过程。
0
t x
(x,0) (x)
有限差分法基本原理
差分方程的建立过程
1.划分网格
有限差分方法基础
2!
3!
4!
（1-14）
f (x x) f (x) f (x) f (x) x f (x) (x)2 f IV (x) (x)3 O((x)4 )
x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似替代，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点旳对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面有关逼近误差旳分析懂得，用时间向前差商替代时间导数时旳误差为 O(t) ,
用空间中心差商替代空间导数时旳误差为 O((x)2 )，因而对流方程与相应旳差分方程之间也存在一种误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi , tn t) (xi , tn ) (xi x, tn ) (xi x, tn )
0
t x
（2-1）
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
xi x0 ix, i 0,1, 2,
tn nt,
n 0,1, 2,
图2-1 差分网格
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土
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数
值
计
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出 2)稳定性和收敛性 2)稳定性和收敛性 3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
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法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
①对求解区域进 ①对求解区域进 行网格划分； 行网格划分； ②选择逼近微分 ②选择逼近微分 方程定解问题 方程定解问题 的差分格式； 的差分格式；
¶ 2V c ¶V 2 c -1 ¶V = ( ) + V ¶T ¶ 2 z V ¶z v
1.7
土
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数
值
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方
法
2.6 例子
法分差限有 讲二第
软粘土地基非线性一维固结分析 软粘土地基非线性一维固结分析
定解条件变为： 定解条件变为： V = 1 ; （1） T v = 0 : （2） Z = 0 : V = b ; （3） Z = 1 :
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.1 优点与局限性
不 适 应
规则边界的问题 规则边界的问题
应 适
简便、易编程 简便、易编程 不规则边界的问题 不规则边界的问题
土
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计
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方
法
法分差限有 讲二第
2.2 基本思路
1
3
2
将求解区域 将求解区域 划分成网格 划分成网格
差分方程解 差分方程解 作为微分方 作为微分方 程近似解。 程近似解。
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法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
2)稳定性和收敛性 2)稳定性和收敛性
计算 步骤 增加
步长 无限 缩小
差分格式的 差分格式的 解是否逼近 解是否逼近 于微分方程 于微分方程 的解？ 的解？ 速度如何？ 速度如何？
误差 逐渐消失？ 逐渐消失？ 保持有界？ 保持有界？ 无限增大？ 无限增大？
' ¶ s ¶u 不随时间而变，则有： =¶t ¶t
1.3
1.4
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计
算
方
法
2.6 例子
法分差限有 讲二第
软粘土地基非线性一维固结分析 软粘土地基非线性一维固结分析
将(1.1),(1.2),(1.4)式代入(1.3)式，得控制方程： 将(1.1),(1.2),(1.4)式代入(1.3)式，得控制方程：
定解条件： 定解条件： q u T = 0 : U = = b - 1 ; （1） v ¢
s 0
; （2） Z = 0 : U = 0 ¶U = 0 ( 底面不透水 ) ，U = 0 ( 底面透水 ) 。 （3） Z = 1 : ¶Z
其中，方程（1.6）除 其中，方程（1.6）除c c c k = 1 的特殊条件外 的特殊条件外 尚无法求得解析解。 尚无法求得解析解。 为便于求解，将求U的问题通过V=b-U的变换，转 为便于求解，将求U的问题通过V=b-U的变换，转 化成求V的问题。方程（1.6）变为： 化成求V的问题。方程（1.6）变为：
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法分差限有 讲二第
பைடு நூலகம்
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出
较复杂土工数值计 算问题往往需求解 微分方程数值解。
首先面临将连续导数 首先面临将连续导数 离散化成什么样的形 离散化成什么样的形 式问题。 式问题。
土
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法分差限有 讲二第
①向前差商:
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出
与之相应的二阶导数 与之相应的二阶导数 有二次向前差商、二 有二次向前差商、二 次向后差商、二次中 次向后差商、二次中 心差商。 心差商。 可从其Taylor级数展 可从其Taylor级数展 开式导出，其相应的 开式导出，其相应的 误差也不同。 误差也不同。
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法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
x 0 + h
x 0 - h
x 0
x
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法分差限有 讲二第
①向前差商:
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出
f ( x ) - f ( x ) 0 +h 0 x f ¢( ) » 0 h
②向后差商:
与之相应的二阶导数 与之相应的二阶导数 有二次向前差商、二 有二次向前差商、二 次向后差商、二次中 次向后差商、二次中 心差商。 心差商。 可从其Taylor级数展 可从其Taylor级数展 开式导出，其相应的 开式导出，其相应的 误差也不同。 误差也不同。
如何构造差分方程， 如何构造差分方程， 即建立什么样的差分 即建立什么样的差分 格式？ 格式？
2
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法
法分差限有 讲二第
2.4 适应性
始于20世 纪40年代，首先用于渗流与 固结，后推广到弹性地基上 梁、板、地基的求解。
土
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法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出 2)稳定性和收敛性 2)稳定性和收敛性 3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
无量纲化可得： 无量纲化可得： 其中， 其中，
为最终有效应力 o
¶ 1 ¶U - c ¶U [( b - U ) × )] = × ¶z ¶z b - U ¶T v
1.6
s ¢f ¢ t c c k 10 × ( 1 + e × s 0 z u c v 0 t v 0 × ln 0 ) Z = , U = , b = , c = , T = v = 2 2 ¢ ¢ H s 0 s 0 c H g w c k c × H
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法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
1)问题的提出 1)问题的提出 2)稳定性和收敛性 2)稳定性和收敛性 3)差分法的求解步骤 3)差分法的求解步骤
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法
法分差限有 讲二第
2.5 基本原理
2)稳定性和收敛性 2)稳定性和收敛性
计算 步骤 增加
误差 逐渐消失？ 逐渐消失？ 保持有界？ 保持有界？ 无限增大？ 无限增大？
第十七讲 常用商用软件简介
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法分差限有 讲二第
2.1 优点与局限性 2.2 基本思路 2.3 需考虑的问题 2.4 适应性 2.5 基本原理 2.6 例子
土
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法分差限有 讲二第
2.1 优点与局限性
规则边界的问题 规则边界的问题
应 适
简便、易编程 简便、易编程
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2.6 例子
法分差限有 讲二第
软粘土地基非线性一维固结分析 软粘土地基非线性一维固结分析 一维饱和土体固结方程：
¶ 1 ¶ u 1 ¶ e ( k v × × ) = × ¶ z g w ¶ z 1 + e 0 ¶ t
在瞬间均布荷载q 作用下，总应力 u
' s = s ' + u = s 0 + q u
工
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2.6 例子
法分差限有 讲二第
软粘土地基非线性一维固结分析 软粘土地基非线性一维固结分析
误差 q u
透水 H
o
透水或不透水
地基荷载及边 界条件示意图
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2.6 例子
法分差限有 讲二第
软粘土地基非线性一维固结分析 软粘土地基非线性一维固结分析
误差
已知： 已知： 厚度为 H 作用； 厚度为 H 饱和粘土层；瞬时均布荷载q 饱和粘土层；瞬时均布荷载q 作用； uu 顶面透水，底面不透水（或透水）。 顶面透水，底面不透水（或透水）。
s ¢f ¶ ( k v 0 × ( ' ¶z s 0
c c - u c k )
1 ¶u 1 c ¶u c × ) = × × ¢ g w ¶z ln 10 × ( 1 + e 0 ) s f - u ¶t
1.5
= s 0 ¢ + q s ¢f u = s
近似用差分、差商 近似用差分、差商 代替微分、微商 代替微分、微商
将无限自由 度问题转化成有限自由度问题，即 用含有限个未知数的差分方程 （线性代数方程组）近似代替连续 方程及其初、边值条件。
土
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数
值
计
算
方
法
法分差限有 讲二第
2.3 需考虑的问题
1
3
讨论初值误 讨论初值误 差对中间各 差对中间各 步解的影响 步解的影响 误差估计,并 误差估计,并 大小，即稳 大小，即稳 讨论收敛性 讨论收敛性 定性问题。 定性问题。
c 固结系数 v :
1.2