《数理金融》习题参考答案
数理金融复习题(含答案)
V
t 1
P m t 1 r 1 r m m
c
mT
代入数据得：
2 20
V
(1
t 1
90 2 0.12 t 2
)
1000 774.30 12 2 20 (1 0.2 )
11．企业 1 在时期 t 1 将发行 100 股股票，该种股票在时期 t 2 的价 值为随机变量 V1 (2) 。企业的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以 至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是
各股票之间的相关系数为 甲乙 =0.8，乙丙 =0.75，丙甲 =0.85， 银行在 0 时刻
-4-
注：此答案仅供参考，若有错漏敬请见谅！
发行债券，价格为 10 元，1 时刻赎回价为 12.5 元。求 (1)各股票的期望收益率； (2)各股票收益率的方差； (3)若某投资者对甲乙丙三种股票及债券的投资组合为 求 的期望收益率和方差。
(2)?
(3)?
bx 14.若某投资者的效用函数为V ( x ) e , b 0 ，
(1)判断该投资者的风险类型； (2)计算阿罗—伯瑞特(Arrow-Pratt)绝对风险厌恶函数。
解：(1) V ( x) be
bx
0, V ( x) b 2 e bx 0, 所以该投资者为风险厌恶型。
T T 16.已知两种股票 A，B 的期望回报率向量为 r (r1 , r2 ) (0.1, 0.2) ，协
0.1 0.12 V 0.12 0.2 方差矩阵为
计算(1)最小方差证券组合中两种股票 A，B 投资比例； (2) 最小方差证券组合的回报率。
数理金融初步 Ross 第三版 中文答案
数理金融初步 Ross 第三版中文答案1. 引言数理金融是研究金融市场中与数学、统计学和经济学有关的问题的学科。
其中，Ross的《数理金融初步第三版》是该领域的经典教材，本文将提供该教材的中文答案。
本文将为读者提供一些重要章节的练习题和问题的解答，并以Markdown 文本格式输出。
2. 第一章 - 投资者行为与资本市场2.1 投资者效用最大化问题练习题 1问题：假设投资者对风险有所厌恶，并且资本市场上仅有一个无风险资产和一个风险资产。
请问投资者在这种情况下会如何分配其投资组合？答案：在这种情况下，投资者会将部分资金投资于无风险资产，以确保资金的安全性。
同时，为了获取更高的回报，他们也会将一部分资金投资于风险资产。
投资者的投资组合将根据其风险厌恶程度确定，较为保守的投资者会分配更多的资金投资于无风险资产，而较为激进的投资者则会分配更多的资金投资于风险资产。
练习题 2问题：在现实中，投资者往往不是对风险完全厌恶或完全喜爱，而是在二者之间存在一种权衡。
这种权衡的概念是什么？答案：这种权衡的概念称为风险偏好。
风险偏好是指投资者愿意承担的风险与预期回报之间的关系。
不同的投资者具有不同的风险偏好，一些投资者更喜欢高回报但也更高风险的投资，而另一些投资者则更愿意选择较低风险但也较低回报的投资。
2.2 资本市场均衡练习题 1问题：什么是资本市场的均衡？答案：资本市场的均衡是指在资产供给和需求相等的情况下，资本市场达到一种稳定状态的状态。
在这种情况下，投资者无法通过买入或卖出资产来获取额外的利润。
资本市场均衡通常是由各类投资者在市场上的交互行为决定的。
问题：资本市场均衡是否意味着所有投资者都将获得相同的回报？答案：不是。
尽管资本市场均衡确保了投资者无法通过买入或卖出资产来获取额外的利润，但不同投资者的投资组合可能会在回报上有所不同。
这是因为投资者的投资组合选择取决于他们的风险厌恶程度以及对不同资产的预期回报和风险的评估。
数理金融练习题
数理金融练习题1. 简答题1.1 请简述数理金融的定义，并说明其在金融领域中的应用。
数理金融是数学、统计学和金融学的交叉学科，研究运用数学和统计方法解决金融问题的理论和方法。
它主要运用概率论、微积分、随机过程等数学工具来分析和建模金融市场的风险和回报，为金融决策制定提供科学依据。
在金融领域中，数理金融可用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。
例如，通过运用数理金融方法，可以衡量金融资产的价格波动风险，为金融机构提供风险控制措施；同时，数理金融还可以帮助投资者在不同资产之间进行有效的配置，以最大化投资组合的预期收益。
1.2 请简要介绍一下随机过程在数理金融中的应用。
随机过程是数理金融中常用的一种数学模型，它刻画了一系列随机事件随时间的变化过程。
在数理金融中，随机过程可以用来描述金融市场中的价格走势、利率变动等不确定性因素。
常见的随机过程模型包括布朗运动、几何布朗运动、扩散过程等。
随机过程在数理金融中的应用广泛，例如，通过建立随机过程模型，可以预测股票价格的未来演变，为投资者提供决策参考。
此外，随机过程还可用于衡量金融产品的风险价值，对金融衍生品的定价进行分析，以及评估投资组合的风险收益特征等方面。
2. 计算题2.1 假设某股票的价格服从几何布朗运动模型，其价格演化满足如下随机微分方程：dS = u * S * dt + σ * S * dz其中，S为股票价格，t为时间，u为收益率，σ为波动率，dz为布朗运动的微分项。
请计算在给定参数下，该股票的价格在一年之后的期望值和方差。
解：根据几何布朗运动的性质，该股票的价格演化方程可以写成如下形式：dln(S) = (u - 0.5 * σ^2) * dt + σ * dz其中，ln(S)为股票价格的对数。
根据该方程，可以推导出ln(S)的解析解为：ln(S(t)) = ln(S(0)) + (u - 0.5 * σ^2) * t + σ * W(t)其中，W(t)为标准布朗运动。
《数理金融》习题参考答案
《数理金融》习题参考答案第一章〔P52〕题1-1 希德劳斯基模型的金融学含义是什么？解：参考方程〔1.2.13〕式后面的一个自然段。
题1-2 欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？解：参考方程〔1.5.9〕式和方程〔1.5.10〕式后面的一个自然段。
题1-3 假如你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。
那么一年后你欠了多少钱？解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。
因此，一个季度后你的欠款为： 1000(1+0.02)两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=四个季度后你的欠款为：341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==题1-4 许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。
假如在一年的年初支付金额为P ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？ 解：如此的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。
因此，一年后你的欠款为：12P(1+0.015)1.1956P =题1-5 假如一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地运算利息，那么每年的有效利率应该是多少？解：有效利率应为：0.050.05eff Pe P r e 10.05127P-==-≈ 即有效利率是每年5.127%。
题1-6 一家公司在以后的5年中需要一种特定型号的机器。
这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，以后3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。
该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。
数理金融 习题答案
数理金融习题答案数理金融是一门结合了数学和金融学的学科，它运用数学模型和统计方法来分析金融市场和金融产品。
在数理金融的学习过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以加深对数理金融理论的理解，并提高解决实际问题的能力。
下面，我将为大家提供一些数理金融习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一题：假设某只股票的价格服从几何布朗运动，其漂移率为0.05，波动率为0.2。
如果当前股票价格为100元，且时间为1年，求1年后股票价格为120元的概率。
答案：根据几何布朗运动的性质，股票价格的对数服从正态分布。
设股票价格的对数为X，则有X ~ N((0.05-0.2^2/2)*1, 0.2^2*1)，即X ~ N(0.03, 0.04)。
将120元转化为对数形式，即ln(120)，然后代入正态分布的公式，可以计算出概率为P(X > ln(120))。
最后，利用统计软件或查表工具，可以得到答案。
第二题：假设某只期权的价格为5元，行权价为100元，无风险利率为0.05，期权到期时间为3个月，波动率为0.3。
求该期权的Delta值。
答案：Delta值表示期权价格对标的资产价格变动的敏感性。
对于欧式期权，Delta值可以通过期权定价模型计算得到。
常用的期权定价模型有布莱克-斯科尔斯模型和它的变种。
根据布莱克-斯科尔斯模型，Delta值可以通过期权定价公式中的一阶偏导数来计算。
对于看涨期权，Delta值为N(d1)，对于看跌期权，Delta值为N(d1)-1，其中N(x)表示标准正态分布函数，d1的计算公式为：d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ√T)其中，S为标的资产价格，X为行权价，r为无风险利率，σ为波动率，T为期权到期时间。
将题目中给定的参数代入公式，即可计算出该期权的Delta值。
第三题：假设某只债券的到期时间为5年，票面利率为5%，市场利率为4%，票面价值为100元。
13数学本-2022数理金融学作业布置及参考答案(2)
13数学本-2022数理金融学作业布置及参考答案(2)作业次数顺序：请按作业本上顺序标号，我这里的标号不一定对。
做作业请我布置的顺序做，谢谢！第八次作业：4.1，4.2教材p68第6,7题请参考4.3,4.4解法作业八：贝塔系数与证券定价（一）4.1.一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是11%，标准差是0.18，且市场组合的期望收益是15%。
假定资本资产定价模型有效。
如果一个证券与市场组合的相关系数是0.30、标准差是0.4，计算该证券的期望收益是多少？解：设该投资组合为某p(1)r某M,由题意知，E(某M)14%,r0.05,pM所以，E(某p)rMp(E(某Mr))，11%5%Mp(15%5%)Mp0.6mp,m0.180.60.3mmpppmjmjpm0.30.400.30.120.30.4由资本市场线CML方程得:E(某j)rMj(E(某M)r5%0.410%9%4.2设无风险利率为6%，市场组合的期望收益是15%，方差为0.04.证劵j与市场组合的相关系数是0.45，方差是0.16。
根据资本资产定价模型，证券j的期望收益是多少？解：设某j为证券j的收益率，由题意知，2E(某M)15%,r6%,mjmjjm/m0.450.40.2/0.040.9由CAPM模型：E(某j)rfmj(E(某M)rf)得：E(某j)6%0.9(15%6%)14.1%4.3假设证券的市场价值为40美元，证券的期望收益率为13%，无风险利率为7%，市场风险溢价E(某M)-r为8%。
假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。
4.3解：设此证券为某p由证券市场线方程E(某p)-r=bMp(E(某M)-r)，可知bMp8%-7%=6%,bMp=0.75因为bMp=cov(某p,某M)var(某M),当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍时，bMp￠=2bMp=1.5,则E(某￠)=7%+1.58%收益D=P0E(某)19%4013%5.2,原来的2倍时，bMp￠=2bMp=1.5,D=P0ⅱE(某￠)P019%=5.2,P0=5.2/19%27.374.4假设证券的市场价值为60美元，证券的期望收益率为15%，无风险利率为7%，市场风险溢价E(某M)-r为8%。
数理金融
时间仓促，可能会有些许打印错误，望请见谅1.你管理的股票基金的预期风险溢价为10％，标准差为14％，短期国库券利率为6％。
你的委托人决定将60000美元投资于你的股票基金，将40000美元投资于货币市场的短期国库券基金，你的委托人的资产组合的期望收益率与标准差各是多少？解：你的基金的预期收益率=国库券利率+风险溢价= 6%+ 1 0%= 1 6%。
客户整个资产组合的预期收益率为0 . 6×1 6%+ 0 . 4×6%= 1 2%。
客户整个资产组合的标准差为0 . 6×1 4%= 8 . 4%。
2.假设投资者有100万美元，在建立资产组合时有以下两个机会：①无风险资产收益率为12％/年，②风险资产收益率为30％/年，标准差为40％，如果投资者资产组合的标准差为30％，那么收益率是多少？解：W=30%/40%=0.75E(r)=12%*0.25+30%*0.75=25.5%3.A、B、C三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票收益之间的相关系数。
根据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为：①平均投资于A、B；②平均投资于A、C；③平均投资于B、C；④全部投资于C。
答案：③4。
如果rf＝6%，E(rM)＝1 4%，E(rP)＝1 8%的资产组合的β值等于多少？答案：5.一证券的市场价格为50美元，期望收益率为14％，无风险利率为6％，市场风险溢价为8.5％。
如果这一证券与市场资产组合的协方差加倍（其他变量保持不变），该证券的市场价格是多少？假定该股票预期会永远支付一固定红利。
答案：如果证券的协方差加倍，则它的值和风险溢价也加倍。
现在的风险溢价为8%( = 1 4%-6%)，因此新的风险溢价为1 6%，新的折现率为1 6%+ 6%= 2 2%。
如果股票支付某一水平的永久红利，则我们可以从红利D的原始数据知道必须满足永久债券的等式：价格=红利/折现率5 0 =D/ 0 . 1 4D= 5 0×0 . 1 4 = 7 . 0 0美元在新的折现率2 2%的条件下，股票价值为7美元/ 0 . 2 2 = 3 1 . 8 2美元。
数理金融习题答案
数理金融习题答案数理金融习题答案数理金融作为一门交叉学科，融合了数学、统计学和金融学的理论与方法，用于解决金融市场中的问题。
在学习数理金融的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题，我们可以更好地理解和应用相关的知识。
下面，我将为大家提供一些数理金融习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 期权定价模型中的Black-Scholes模型是如何推导出来的？答案：Black-Scholes模型是由Fischer Black和Myron Scholes于1973年提出的，它是一种用于计算欧式期权价格的数学模型。
该模型基于一些假设，如市场无摩擦、无套利机会、股票价格服从几何布朗运动等。
通过对股票价格的随机性建模，我们可以得到一个偏微分方程，即Black-Scholes方程。
通过求解这个方程，我们可以得到期权的理论价格。
2. 什么是马尔科夫链？答案：马尔科夫链是一种随机过程，具有马尔科夫性质。
马尔科夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔科夫链可以用状态转移矩阵来描述，矩阵中的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔科夫链在金融中的应用很广泛，比如股票价格的模拟和风险管理等领域。
3. 什么是随机过程的鞅性？答案：鞅是一种随机过程，具有平均保持不变的性质。
在数理金融中，我们常常关注鞅性的概念。
一个随机过程被称为鞅，如果它的条件期望在给定当前信息下等于当前值。
鞅性在金融中有很多应用，比如期权定价中的风险中性概率测度和无套利定价等。
4. 如何计算期权的Delta和Gamma？答案：Delta是期权价格对标的资产价格变化的敏感度，可以通过计算期权价格在标的资产价格上的偏导数来得到。
Gamma是Delta对标的资产价格变化的敏感度，可以通过计算Delta在标的资产价格上的偏导数来得到。
这两个指标在期权交易中非常重要，可以帮助我们了解期权价格的变化情况。
数理金融初步完整版
数理金融初步HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】（1章）6从52张扑克随机抽出两张牌。
如果已知两张的花色不同，则他们都是A 的条件概率是多少？解：设第一次取出A 的事件为A1，第二次取出不同花色A 的事件为A2,则p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1)因为p(A1)=4/52=1/13 p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,所以p(A1A2)=1/1697若A,B 独立，证明下列事件也独立：a)A 和B^c b)A^c 和B^c证明：a)因为p （B ）+p(B^c)=1,p(B/A)+P(B^c/A)=1,所以p(B^cA)=p(A)xp(B^c/A)=p(A)[1-p(B/A)]=p(A)-p(A)p(B)=p(A)[1-p(B)]=p(A)p(B^c),所以A 和B^c 独立b)p(A^c)p(B^c)=p(B^c)p(A^c/B^c)=p(B^c)[1-p(A/B^c)=p(B^c)-p(B^c)p(A/B^c)=p(B^c)-p(A^cB^c)=p(B^c)-p(A)P(B^c)=p(B^c)[1-p(A)]=p(B^c)p(A^c),所以A^c 和B^c独立。
9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校出发去足球场。
四辆车分别载乘39,33,46,34位学生。
如果从152位学生中任意选取一位，记X 为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。
四辆公共汽车的司机也随机选取一位，令Y 为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。
a)你认为E （X ）和E （Y ）哪一个大？ b)求出E(X)和E(Y)解：a)E(X)大。
b)由题意知X 可取39,33,46,34 。
Y 可取39,33,46,34。
所以X=39,p(x)=39/152, x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152,x=34,p(x)=34/152,同理p(Y=39)=1/4P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,所以E （X ）=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=3810两位选手比赛兵兵球，当一个选手赢了两局时比赛结束。
数理金融学导论补充练习及参考答案
6．如果一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地计算利息，那么每年的有效利率应该是多少？
解：有效利率应为：
。
即有效利率是每年 。
7．一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有1台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。该机器开始使用后第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？
其中，
因此股票的价格为：
股票价格的现值
第三步，将从步骤1和步骤2得到的这两个现值相加得到普通股的价值。
为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000的运转成本；在第三年的成本为新机器22000的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了三年的机器价值的负值。其他的三个现金流序列可以通过相似的方法推得。
解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的六年现金流如下（以1000美元为单位）：
在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4；
在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8；
在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12；
数理金融试题
数理金融试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：一、选择1. 假设债券A(0)=100元；A(1)=110元，股票S(0)=80元，100(1),60S ⎧⎨=⎩上涨和下跌概率分别为0.8和0.2。
假设你有10000元资金，决定买入50股股票60份债券，那么该资产组合收益的数学期望()V E K 为（ D ）。
A 、 0.11B 、0.14C 、0.13D 、0.122.下面关于贝塔因子(β)的描述，说法正确的是( A )A.、若某股票的β>1，则当市场证券组合的回报率上升时，该股票的回报率比市场上升得更快B 、若某股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率比市场下跌得更慢C 、若某股票的0<β<1，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率反而上升D 、若某股票的β<0，则当市场证券组合的回报率下跌时，该股票的回报率也跟着下跌3. 两风险资产的对应权重为12(,)ωω，风险分别为2212(,),σσ相关系数为12,ρ则其组合的风险可表示为（ D ）。
A 、22211221212122v σσωσωωωρσσ=++ B 、22211221212122v σωσωσωωρσ=++ C 、22222112212122v σωσωσωωσσ=++ D 、2222211221212122v σωσωσωωρσσ=++ 4. 投资两个风险证券，下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)错误的是（ A ）。
① μ ② μ0.8ρ= 1ρ=③ μ ④ μ0.8ρ=- 1ρ=-A ①②③B ②③④C ①③④D ①②④ 5. 投资两个风险证券，下列资产组合线(粗黑色表示不允许卖空)正确的是（B ）(1) μ (2) μσσ0.5ρ=-1ρ=(3) μ (4) μ0.5ρ=σ1ρ=- σA 、(1) (2) (3)B 、(1) (3) (4)C 、(1) (2) (4)D 、(2) (3) (4) 6. 本金相同、存期相同且有效利率相同，则按期复合的终值(V1)与连续复合的终值(V2)满足( C )A V1>V2B V1≠V2C V1=V2D V1<V2 7、给定资产组合或单个证券(收益率用 v K 表示)的贝塔因子v β，下列表达式正确的是（ B ） A(,)V M v MCov K K βσ=B 2(,)V M v M Cov K K βσ=C (,)V M v VCov K K βσ=D 2(,)V M v VCov K K βσ=8、设无风险利率为0.07，市场证券组合的期望回报率为0.15，则市场风险溢价为（ ），一个贝塔系数为1.25的投资所要求的回报率为（ D ）。
最新《数理金融学》题库(含)答案
《数理金融学》题库（含）答案第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。
1期的两个可能状态的状态价格分别为a φ和b φ。
考虑一个参与者，他的禀赋为(011;;a b e e e )。
其效用函数是对数形式0110111(;;)log (log log )2a b a b U c c c c c c =++ 问：他的最优消费／组合选择是什么？解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是011a a b b w e e e φφ=++。
他的最优化问题是011011,,0110111maxlog (log log )2s.t.()0,,0a b a b c c c a a b b a b c c c w c c c c c c φφ++-++=≥其一阶条件为：00110111/1(1/)21(1/)20,0,,a a a b b b a a b b i i c c c c c c wc i a bλμλφμλφμφφμ=+=+=+++=== 给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。
因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。
在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。
因此，0(0,,)i i c i a b μ==。
对于c 我们立即得到如下解：1c λ=, 11112a a c λφ=, 21112b bc λφ= 把c 的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：2λω=最后，我们有12c w =, 114a a w c φ=, 114b aw c φ= 可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。
某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。
状态价格高的状态下的消费更昂贵。
结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。
数理金融
时间仓促，可能会有些许打印错误，望请见谅1.你管理的股票基金的预期风险溢价为10％，标准差为14％，短期国库券利率为6％。
你的委托人决定将60000美元投资于你的股票基金，将40000美元投资于货币市场的短期国库券基金，你的委托人的资产组合的期望收益率与标准差各是多少？解：你的基金的预期收益率=国库券利率+风险溢价= 6%+ 1 0%= 1 6%。
客户整个资产组合的预期收益率为0 . 6×1 6%+ 0 . 4×6%= 1 2%。
客户整个资产组合的标准差为0 . 6×1 4%= 8 . 4%。
2.假设投资者有100万美元，在建立资产组合时有以下两个机会：①无风险资产收益率为12％/年，②风险资产收益率为30％/年，标准差为40％，如果投资者资产组合的标准差为30％，那么收益率是多少？解：W=30%/40%=0.75E(r)=12%*0.25+30%*0.75=25.5%3.A、B、C三种股票具有相同的期望收益率和方差，下表为三种股票收益之间的相关系数。
根据这些相关系数，风险水平最低的资产组合为：①平均投资于A、B；②平均投资于A、C；③平均投资于B、C；④全部投资于C。
答案：③4。
如果rf＝6%，E(rM)＝1 4%，E(rP)＝1 8%的资产组合的β值等于多少？答案：5.一证券的市场价格为50美元，期望收益率为14％，无风险利率为6％，市场风险溢价为8.5％。
如果这一证券与市场资产组合的协方差加倍（其他变量保持不变），该证券的市场价格是多少？假定该股票预期会永远支付一固定红利。
答案：如果证券的协方差加倍，则它的值和风险溢价也加倍。
现在的风险溢价为8%( = 1 4%-6%)，因此新的风险溢价为1 6%，新的折现率为1 6%+ 6%= 2 2%。
如果股票支付某一水平的永久红利，则我们可以从红利D的原始数据知道必须满足永久债券的等式：价格=红利/折现率5 0 =D/ 0 . 1 4D= 5 0×0 . 1 4 = 7 . 0 0美元在新的折现率2 2%的条件下，股票价值为7美元/ 0 . 2 2 = 3 1 . 8 2美元。
数理金融考研题目及答案
数理金融考研题目及答案在数理金融领域，考研题目通常涉及概率论、数理统计、随机过程、微分方程等基础数学工具，以及金融市场的模型和理论。
以下是一些模拟的考研题目及答案：### 题目一：概率论与数理统计问题：设随机变量 \( X \) 和 \( Y \) 独立同分布，其概率密度函数为 \( f(x) = 2x \)，\( 0 \leq x \leq 1 \)。
求 \( X + Y \) 的分布函数 \( F_{X+Y}(z) \)。
答案：首先，我们知道 \( X \) 和 \( Y \) 的累积分布函数\( F_X(x) \) 和 \( F_Y(y) \) 可以通过概率密度函数 \( f(x) \) 积分得到：\[ F_X(x) = F_Y(y) = \int_0^x 2t \, dt = 2x^2, \quad 0 \leq x \leq 1 \]由于 \( X \) 和 \( Y \) 独立，\( X + Y \) 的分布函数可以通过\( X \) 和 \( Y \) 的累积分布函数的卷积得到：\[ F_{X+Y}(z) = P(X + Y \leq z) = \int_0^z P(Y \leq z - x)f(x) dx \]\[ = \int_0^z (1 - F_Y(z - x)) 2x \, dx \]\[ = \int_0^z (1 - 2(z - x)^2) 2x \, dx \]计算积分，得到 \( X + Y \) 的分布函数 \( F_{X+Y}(z) \)。
### 题目二：随机过程问题：考虑一个股票价格遵循几何布朗运动模型 \( dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \)，其中 \( \mu \) 是期望收益率，\( \sigma \) 是波动率，\( W_t \) 是标准布朗运动。
求股票价格\( S_t \) 的期望值和方差。
答案：根据伊藤引理，我们可以推导出股票价格 \( S_t \) 的微分形式。
《数理金融理论与模型》习题解答
《数理金融理论与模型》习题解答第一章 金融市场错误!未定义书签。
错误!未定义书签。
第一章 练习题 解答1. 已知一家上市公司在下一年度分红为2元/股，该公司业绩年均增长率为5%，并且红利分配以同样的增长率增加，并且假设每年的贴现率都为10%，那么这家上市公司现在的股票内在价值是多少？ 解答:()()111112401110%5%1n nnn n d i d i d IV i r r i r -∞∞==++⎛⎫===== ⎪++--⎝⎭+∑∑2. 下表给出了“2005年记账式(四期)国债”的基本信息，假设2010年3月19日观察到的到期收益率曲线为水平直线4%，则问这一天“2005年记账式（四期）国债”的价值应该是多少？()()()()()()140.07950.079515.07951140.07950.079515.079511100*1114.11% 4.11%104.11%100*106.251 3.8903%11n n n n c c c DirtyPrice r r r r r +=+=⎡⎤+=++⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑∑100**(10.0795)106.25 3.78102.47CleanPrice DirtyPrice c =--=-=3. 请简要叙述利用复制技术与无套利原理对金融衍生品定价的原理与步骤，认真体会为什么由这个方法定出来的价格称为无套利价格.并仔细回顾本章中如何利用复制技术和无套利原理进行衍生品定价，以及推导期权的价格性质. 解答: 见第二节内容4. 请利用构造股票和储蓄存款组合复制远期合约的方式，以及无套利原理证明股票远期的定价公式，请分别就股票不支付红利与支付红利的情形构造组合，并给出无套利定价公式。
解答：Case 1：无红利支付情形： 组合一:一个远期合约多头；组合二：一份不支付红利的标的股票多头和存款()·r T t K e ---（即借款()·r T t K e --）;记两个组合的价值函数分别为1t ∏和2t ∏，则显然两个组合在T 时刻的价值为T S K -，即T 时刻的价值可以完全复制12T T ∏=∏。
数理金融步习题答案
1(证明）请使用一价律证明看跌-看涨期权平价公式。
证明：构造两个投资组合：（1）0时刻买入一股股票及一个看跌期权，成本S+P 。
（2）0时刻买入一份看涨期权并加上金额为rt Ke -，现金成本rt Ke C -+，在t 时刻，假定股票价格为S （t ），当S （t ）》K ，对投资（1）来说价值S （t ），对投资（2）价值以rt rt e Ke ⋅-=K 买入一股股票，价值为S （t ）。
当S （t ）<K 时，投资（1）价值为K ，综上所述由一价律值知：S+P=C+rt Ke -。
2（证明）证明：如果S+P-C>K rt e -，那么以下的投资策略总可以得到正的收益：卖出一股股票，卖出一个看跌期权，并买入一个看涨期权。
证明：如果S+P-C>K rt e -，那么我们通过在0时刻购买一份股票，同时买入一个看涨期权，并卖出一个看跌期权，这个初始的投入S+P-C ，在t 时刻卖出如果S(t)<=k,那么买入的看涨期权无价值，可以执行看跌期权，以价格K 卖出。
如果S(t)>=k ，那么卖出的看跌期权无价值，则执行看涨期权，迫使以K 卖出，由于S<(S+P-C)rt e ，我们都有正的利润，所以S+P-C>K rt e -。
4成年男子的血液收缩压服从均值为127.7，标准差为19.2的正态分布，求：a)68%b)95%c)99.9%解：a)设陈年男子血液收缩压为X, E 为对应的正态随机变量，即E=（X-127）/19.2， u=127.7,&=19.2, 所以|&|<=19=0.682,所以-1<=(E-127.7)/19.2<=1,即108.5<=E,所以取值范围为 [108.5,146.9]b)由表可得p{|E|<=2}=0.9544,即-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,所以取值范围[89.3,166.1] c) p{|E|<=3}=0.9974,即-3<=(E-127.7)/19.2<=3,解得70.1<=E<=185.3,所以取值范围[70.1,185.3]. 4一个打算20后退休人，今后240个月月初存款A ，随后360个月月初提款1000，名义利率6%，求A 。
数理经济学参考答案
（x y) (x (1)y ) = x (1)y = x y
(6) 证明
0 (x (x)) = x ( x ) = x x
=0
2.2 证明下列集合是线性空间：(Expl.1.67~1.69) (1)
n 维实向量空间 n ；
xy yz x (x y ) x (x z ) ( x x) y ( x x) z 0y 0z yz
(2)证明
1
x = y
( x) 1
( y )
1 1 ( )x ( )y
(2) 所有实数序列的集合 x1 , x2 ,... ，对任意 i ， xi ； (3) 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 an t n 的集合。
2.3 设 X 1 和 X 2 是线性空间，它们的乘积 X X 1 X 2 的加法和乘法定义如下：
( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 y1 , x2 y2 )
N / RN 5. 不是。因为 x ∈ RN ++ 故 R+ 在标量乘法的意义上不是闭的。 ++ , α < 0 ⇒ αx ∈
6. 证明：∀x, y ∈ S1 ∩ S2 ，S1 是 X 的子空间 ⇒ αx + β y ∈ S1 , 同理, αx + β y ∈ S2 7. 证明： (a) ∀x ∈ intS ⇒ ∃Br (x) ⊆ intS ; S ⊆ T ⇒ Br (x) ∈ T ⇒ intS ⊆ intT ¯ ⇒ x ∈ intS ∪ ∂ (S ), 若 x ∈ intS , S ⊆ T ⇒ x ∈ T ⊆ T ¯; 若 x ∈ ∂ (S ) ⇒ ∀Br (x) 包 (b) ∀x ∈ S ¯⊆T ¯ 含 S 中的某些点，由于 S ⊆ T, 因此或者 x ∈ intT, 或者 x ∈ ∂ (T )。综上，S 8. ∂ (S ) = S ∪ {0} 9. 若 ∂ (S ) ̸= ∅ ⇒ ∃x ∈ ∂ (S ), 由于 S ＝ intS ∪∂ (S ), 因此 x ∈ S , 这与 S 是开集矛盾，故 ∂ (S ) = ∅ 10. 证明： (a) 令 G = ∪α Gα , ∀Gα 为开集。∀x ∈ G ⇒ ∃α, x ∈ Gα ; Gα 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Gα ⊆ G ⇒ G 为开集 (b) 令 H = ∩N i=1 Hi , Hi 为开集。∀x ∈ H ⇒ x ∈ Hi , i = 1, . . . , N ; Hi 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Hi ⇒ Br (x) ∈ H ⇒ x 为内点 ⇒ H 为开集 ( )C C C (c) (2) 利用 ∩N = ∪N i=1 Gi i=1 Gi ，(∪α Hα ) = ∩α Hα 2
数理金融练习及参考答案
附录：练习题目 第一章练习及参考答案1. 假设1期有两个概率相等的状态a 和b 。
1期的两个可能状态的状态价格分别为a φ和b φ。
考虑一个参与者，他的禀赋为(011;;a b e e e )。
其效用函数是对数形式0110111(;;)log (log log )2a b a b U c c c c c c =++问：他的最优消费／组合选择是什么？解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是011a a b b w e e e φφ=++。
他的最优化问题是011011,,0110111maxlog (log log )2s.t.()0,,0a b a b c c c a a b b a b c c c w c c c c c c φφ++-++=≥ 其一阶条件为：00110111/1(1/)21(1/)20,0,,a a a b b b a a b b i i c c c c c c wc i a bλμλφμλφμφφμ=+=+=+++===给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。
因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。
在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。
因此，0(0,,)i i c i a b μ==。
对于c 我们立即得到如下解：1c λ=, 11112a a c λφ=, 21112b bc λφ=把c 的解代人预算约束，我们可以得到λ的解： 2λω=最后，我们有12c w =, 114a a w c φ=, 114b aw c φ= 可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。
某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。
状态价格高的状态下的消费更昂贵。
结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。
2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a 和b 。
经济的参与者有1和2，他们具有的禀赋分别为：10:1000e --- ，2200:050e ---两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：01()log (log log )2a b U c c c c =++在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。
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或者，由 得
利用实验误差法求上面方程的数值解（由于 ，很容易计算）得出：
因为 ，所以0.6%的名义月利率对应的有效年利率约为7.8%。
题1-10假设一个人抵押贷款的金额为 ，需要在今后 个月的每月月末偿还等额 。贷款的月利率是 ，每月计息一次。
已知 ， ， ，那么 的值是多少？
在第 月的月末支付已经完成后，还剩下多少贷款的本金？
《数理金融分析—基础原理与方法》习题参考答案
第一章（P52）
题1-1希德劳斯基模型的金融学含义是什么？
解：参考方程（1.2.13）式后面的一个自然段。
题1-2欧拉方程的经济学和金融学的含义是什么？
解：参考方程（1.5.9）式和方程（1.5.10）式后面一个自然段。
题1-3如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度计息一次的复利形式支付利息，借期为一年。那么一年后你欠了多少钱？
注在这个例子中，我们使用了以下的代数恒等式
为了证明这个等式，我们令
由于注意到
因此，
这就证明了该等式。
利用相同的方法，或者令 趋向于无穷，可以证明当 时有
题1-8终身年金给其持有者在未来每一年年末领取数额 款项的权利。这就是说，对于每一个 ，在第 年的年末要向持有者支付 ，如果利率为 ，每年计息一次，那么这个现金流序列的现值是多少？
解： 是月利率。令 ，他所有存款的现值为
类似地，如果 是在随后的360个月中每月的提款额，那么所有的提款额的现值为
这样，如果满足以下等式，他就可以实现所有的提款（同时他的账户中也不再有任何钱）
对于 ， ，可以得到
这就是说，在240个月中每月存款361美元，就可以使得他在随后的360个月中每月提取1000美元。
解：这样的复合利率相当于每个月以月利率 支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款为：
题1-5如果一家银行所提供的利息是以名义利率5%连续地计算利息，那么每年的有效利率应该是多少？
解：有效利率应为：
即有效利率是每年 。
题1-6一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有一台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。该机器开始使用后，第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？
解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的6年现金流如下（以1000美元为单位）：
在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4；
在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8；
在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12；
在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。
解：首先我们考虑这个贷款的每月抵押支付，记之为 。由于100000美元的贷款需要在未来的180个月中以月利率0.6%偿还，所以
其中 。因此，
因此如果你实际得到了100000美元，在180个月中每月偿还910.05美元，那么实际月利率应该是0.6%。但是考虑到银行收取的初始贷款费用、房屋检验费以及一个百分点的贷款额（这意味着收到贷款时，银行将收取名义贷款额100000美元的1%），你实际只得到了98000美元。因此有效月利率应该满足下式的 的值：
对于年利率 ，第一个现金流序列的现值为
其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是
46.083，43.794，43.760，45.627
因此，公司应在两年后购买新机器。
题1-7一个打算在20年后退休的人，决定今后240个月每月月初在银行存款 ，使得他可以在随后的360个月的每月月初提款1000美元。假设每月计息一次的名义年利率为6%，那么 的值应该为多少？
为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000美元的运转成本；在第三年的成本为新机器22000美元的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了3年的机器价值的负值。其他的3个现金流序列可以通过相似的方法推得。
在第 月的支付中，多少是利息的支付，多少是本金的扣除（这很重要，因为有些合同允许贷款提前偿还，偿还的利息部分是可减免税的）？
解： 个月支付的现值为：
因为这必须等于贷款额 ，我们可以看出，
（1-1）
其中，
例如，贷款100000美元，需要以每月计息一次的名义年利率0.09在360个月中偿还，那么 ，每月支付（以美元计）为
解：该现金流可以被复制为初始时刻在银行存入本金 ，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不动），但是在初始阶段存入任何少于 的金额都无法复制这个现金流，因此这个无限期现金流的现值为 。这个结论可以由下式推得：
题1-9假设你向银行借款100000美元买房，负责贷款的经理告诉你可以以0.6%的月利率贷款15年，每月分期偿还。如果银行要收取贷款初始费用600美元，房屋检验费400美元，以及贷款额的一个百分点，那么银行提供的贷款的实际年利率是多少？
解：每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。因此，一个季度后你的欠款为：
两个季度后你的欠款为：
三个季度后你的欠款为：
四个季度后你的欠款为：
题1-4许多信用卡公司均是按每月计息一次的18%的年复合利率索要利息的。如果在一年的年初支付金额为 ，而在这一年中并没有发生支付，那么在这一年的年末欠款将是多少？
令 表示在第 月月末支付完当月偿还额后还欠的本金余额，为了确定这几个量，应该注意到，如果在第 月的月末欠款为 ，那么在第 月月末未发生支付前的欠款应该是 。由于每个月末的支付额为 ，所以有