六年级长方体与正方体的认识

长方体和正方体的认识

江苏省南通师范学校第二附属小学吴冬冬

教学目标：

1．使学生通过观察、操作等活动认识长方体、正方体，知道长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高（或棱长）的含义，掌握长方体和正方体的基本特征。

2．使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。

3．使学生进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。

教学重点：

掌握长方体和正方体的基本特征；增强空间观念，发展空间想像能力。

教学难点：

认识长方体、正方体的特征。

教学准备：

(教具)长方体和正方体教具各一个、长方体框架一个、课件；

(学具)正方体、长方体的物体各一个、土豆和小刀、若干小棒和三通接头。

教学过程：

一、切物成形，导入新课。

学生动手切土豆，认识“面”、“棱”、“顶点”。

先切一刀。摸一摸新切的面，比较和切之前有什么变化。

再切一刀，观察发生了什么变化。指一指新增的边，并想

一想它是怎么形成的。揭示：两个面相交的线叫做棱。

切第三刀，观察又有什么新变化。指一指新增的点，并数一数它是由几条棱相交而成的。揭示：三条棱相交的点叫做顶点。

继而通过屏幕演示，将土豆切成一个长方体。

二、循序渐进，探究特征。

1．自主观察，了解“面”、“棱”、“顶点”的数量。

（1）独立数一数长方体“面”、“棱”、“顶点”的数量。

（2）交流结果和数法。

发现：长方体有6个面、12条棱、8个顶点。

交流：长方体面的个数你们是怎么数的？长方体棱的条数你们又是怎么数的？

（3）提出研究角度：这堂课将从面、棱、顶点三个方面继续研究长方体。

2．渐次展开，探究长方体的特征。

（1）动手操作，探究“棱”的特征。

以高楼大厦的建造一般是以长方体框架为基础引入，提出让我们也来当一回“小小建筑师”，试着用小棒来制作长方体框架，从中寻找长方体更多的奥秘。

①活动提示。

●材料说明：材料中配有颜色不同的小棒和连接小棒的接头。

●学会合作：四人小组合作完成一个长方体框架。

●自主探究：仔细观察完成的作品，结合活动单在小组内交流你的发现。

②动手操作。

③汇报交流。

搭一个长方体框架一共使用了几根小棒？这些小棒分别是什么颜色的？每种颜色的各几根？这些小棒在搭的时候有什么规律？

从而发现：长方体相对的棱长度相等。

（2）直觉判断，认识直观图。

①初步认识。

相机出示直观图，引导学生观察图中的“面”和“棱”。

②直觉判断。

寻找看不见的棱，知道在直观图中用虚线来表示看不见的棱。

③形成表象。

在观察了解的基础上，闭上眼睛在脑海里想象长方体的样子。

（3）变式呈现，理解长、宽、高。

①逐次擦去棱，想象长方体。

先擦去一条，展开想象。

再擦去三条，继续想象。

最后，发现最少保留三条不同方向的棱就可以想象出长方体原来的样子。

相机揭示：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。

②辨认长、宽、高。

变换教具的摆放位置，指出长方体的长、宽、高分别是哪些棱的长度。

（4）展开想象，探究“面”的特征。

①根据长、宽、高想象长方体的6个面，选择合适的长方形配面。

②交流演示，引导发现面的特征：这个长方体的6个面都是长方形，相对的面完全相同。

③变化棱的长度，认识特殊的长方体。

动态演示变化过程。

观察发现：长方体也可能有两个相对的面是正方形，其余四个面完全相同。

寻找身边这样的特殊长方体。

3.自主探究，发现正方体的特征。

（1）继续变化棱长，得到正方体。

（2）引导学生从面、棱、顶点三个方面自主探究正方体。

（3）讨论交流正方体的特征：

6个面，都是正方形，完全相同；12条棱，长度都相等；8个顶点。

相机揭示棱长的定义。

（4）比较发现：正方体是特殊的长方体。并说一说理由。

相机出示集合图。

4. 概括总结，揭示课题。

揭示课题：通过前面的研究，我们从面、棱、顶点三个方面进一步认识了长方体和正方体。

下面我们就运用所学的知识来解决一些生活问题。

三、巩固练习，发展能力。

1．链接生活，运用新知。

出示冰箱的外形尺寸（cm）：70×60×180。

思考：看到这组数据，你知道这台冰箱的哪些信息？你还知道这台冰箱哪些面的面积呢？

2．展开想象，正确选择。

根据所给数据选择对应物体。

（1）长、宽、高分别是10米、2.5米、3米，教室、公共汽车、家用冰箱

（2）长、宽、高分别是6厘米、6厘米、6厘米，魔方、粉笔盒、骰子

（3）长、宽、高分别是20厘米、15厘米、1厘米，数学书、新华字典、文具盒

（4）当长、宽、高分别是20厘米、15厘米、0.1毫米，猜猜是什么物体？

四、畅谈收获，总结课堂。

谈话：通过今天的学习，有收获吗？现在，如果请你来介绍长方体和正方体，你有什么话想说呢？

小结：本节课同学们经过自主探索，在操作中探究了棱的特征，又由棱联想到面，进一步认识了长方体，并独立探究出正方体的特征。

情境让“探索特征”和“发展空间观念”比翼齐飞

江苏省南通师范第二附属小学吴冬冬

“长方体和正方体的认识”是苏教国标版六年级上册第10～11页的内容。这部分内容是在学生过去初步认识长方体和正方体的基础上进一步教学的，是学生比较深入地研究立体几何图形的开始。教学中要让学生通过观察、操作等活动认识长方体、正方体，知道长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高（或棱长）的含义，掌握长方体和正方体的基本特征；使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考；让学生进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。

我觉得，从学科内容上考量，相对于“复式统计表”来说，知识点多未尝不是它的优点，可深度挖掘的空间更大，教学的组织形式也更丰富；相对于“解决问题的策略——转化”来说，受到学生前期知识基础和经验积累的限制相对较小，在选择教学年段时更自由些。而选择了这个课题，沿袭照搬原有的设计只能重复昨天的故事，我必须另辟蹊径，探索出一条新路来。

一、课前慎思——

1.特征教学如何探索出一条新路？

特征认识是本节课的主体内容，如何组织教学这部分内容是执教本节课首要思考的问题。广泛收集资料后，我发现特征教学的思路主要有三种：第一种，先从实物入手，通过量一量、比一比等方式认识面的特征；接着借助长方体框架，通过量或推理等方式认识棱的特征；最后认识顶点的特征。第二种，结合准备的长、正方体自主探索，然后汇报交流面、棱、顶点的特征，形成共识。第三种，结合用物体切、用长方形纸围、用小棒搭等动手操作，在汇报交流中逐步构建，

不断完善对长方体特征的认识。其中，第一种方式是按照面、棱、顶点的顺序逐个展开的，后面两种面、棱、顶点的特征是同步进行的。

我思考，空间建构是由点到线，由线到面，由面到体的。面和棱的特征是教学的重点和难点，为何一定是先研究面后研究棱，而不先研究棱后研究面呢？

我思考，长方体的“面”与“顶点”特征的认识对高年级学生来说并不困难，因为这两者在长方体中相对于棱而言属于强刺激，而且学生在第一学段中已经初步接触。长方体特征的认知难点在于棱的特征的认识，因为如果让学生根据现成的长方体物体总结棱的特征有相当一部分学生是存在困难的。创设怎样的情境有利于学生探究棱的特征，使得棱的特征成为一个自主探索，自我发现的过程呢？发现面的特征除了以直观观察为基础，还可以以怎样的方式去发现，更有利于发展学生数学思考，增进空间观念呢？

受到以上思考的触动，我尝试着突破特征教学的传统设计，通过先发现棱的特征，然后由棱及面，发现面的特征，体现由“线——面——体”螺旋上升的认识。这样的认知过程也有助于学生建构对长方体、正方体的整体认知。

在认识长方体棱的特征时，我创设了一个“小小建筑师”的操作情境：让学生选择合适的小棒去搭建长方体框架，在做中观察、做中探索、做中发现。在面的特征的处理上，有了对棱认识的基础，在学生能力允许的范围内，我设计了根据长、宽、高想象长方体的面这样一个想象情境，引导学生展开观察、想象、推理，从而寻找到长方体的6个面，继而观察这6个面，理性地思考总结长方体面的特征。这样的设计体现了思维的层次性，由直观走向抽象，由实物操作过渡到表象操作，从直观体验上升到理性分析，更有利于发展学生数学思考，增进空间观念。

2.发展空间观念如何从“附属”走向“核心”？

相对于几何知识的习得而言，空间观念的发展意义更为重大。长方体和正方体的认识，是学生由研究平面图形扩展到研究立体图形，空间观念由二维向三维发展的转折阶段，这是学生发展空间观念的一次飞跃。如何引导学生由原有的面

的认识过渡到体的认识，发展空间观念，培养空间想象能力是教学的关键。而在传统的长、正方体教学中，我们过多地还是把它当成了“附属产品”，把“掌握长方体、正方体的特征”作为教学的主要任务。我认真地思考：如何把培养空间观念和发展数学思考由“附带产品”转变成“核心目标”呢？如何实现“基础知识”和“发展空间观念”的比翼齐飞呢？学生究竟应该怎样学，才能使空间观念建立得更好呢？

空间观念是以现实生活为源泉，在积累丰富的几何知识过程中建立起来的。我们在教学中应当以学生生活经验为基础，在观察中积累感性知觉，在操作建构空间观念，在想象中发展空间观念，在对比转化中深化空间观念，在综合运用中提升空间观念，根据“感知———表象———思维”的认知规律，采用多种教学手段和方法，引导学生运用多种感官，协调活动，积极主动地参与到学习中来。

其中，想象是空间观念培养的主要途径，引导学生进行想象来发展学生的空间观念应该是本节课的着力点。教学中，我们要为学生提供展开想象的机会，给学生留下充分想象的空间。我从“长方体的大小是由长、宽、高决定的”这个数学常识中汲取到灵感，在教学长、宽、高的概念时我没有直接告知学生，而是创设了一个想象情境，“如果擦去一条棱，你也能够想象出这个长方体原来的样子吗？”“再擦去三条呢？”“至少保留几条棱，你就能够想象出这个长方体原来的样子？”这个情境充满了挑战性，为学生展开空间想象留下了广阔的空间，最终引导学生发现至少保留三条不同方向的棱就可以想象出长方体的样子，水到渠成地抽象出长、宽、高的定义。将一个原本“人为规定”的数学知识演绎成为了一次富有挑战的想象过程，不仅使知识获得了更为鲜活的意义，更使得想象力和空间观念都在其间得以有效发展。由棱到面的特征认识也为展开想象提供了有力的条件。在认识面的特征时，我创设了又一个想象情境，引导学生根据长、宽、高想象长方体的6个面，促使学生将眼前简约的三条棱和已经获得的相关表象结合、重组，然后在脑海里从已有的三条棱出发，依次描画出其它的看不见的棱，进而呈现出一个完整的长方体。这个想象的过程不仅顺利引出了面的特征，也进一步发展了空间想象力。再比如巩固练习中，“根据所给长、宽、高的数据想想是什么物体？”“联系储物柜的前面，观察想象，应用新知根据前面选择其它面。”

这一系列持续的想象活动使得长方体在学生脑海里留下了清晰又简约的表象，实现了“基础知识”和“发展空间观念”的充分交融和比翼齐飞。

3.课堂结构如何构建才能既流畅又有梯度？

“长方体和正方体的认识”包含的知识点有：认识直观图，认识长、正方体面、棱、顶点的特征和长、正方体之间的关系，认识长、宽、高。这么多纷繁的知识点融入在短短的40分钟之内，构造不当，很容易造成零散、杂乱，给人“东一榔头西一棒”的感觉，让学生难以抓住重点。

如何线性组合，形成一个连贯的整体，由棱到面的特征认识恰好提供了一条优化的途径。首先，在操作情境中，探究“棱”的特征。有了一定的感性知觉积累，接下来引导学生从面和棱两个角度观察抽象的直观图，在寻找看不见的棱的过程中完善对直观图的认识。接下来，逐次擦棱，在想象长方体的过程中感知长方体的大小是由从同一顶点出发的三条棱决定的，长、宽、高的认识水到渠成。最后，根据长、宽、高想象长方体的面，探究“面”的特征。可以看出，直观图的认识和长、宽、高概念的揭示、面的特征的发现都是以“棱”为线索而展开的，实现了整体的连贯性。

线性的组合还必须具备思维的梯度。根据学生的认知规律，从直观入手，在操作中思考探究，然后逐次抽象，认识直观图，擦棱想象，在表象操作中发现面的特征，进而根据直接直观图观察有两个面是正方形的特殊长方体的特征，并独立地探索正方体的特征，最后又回归生活。在一系列优化的情境中，进行观察、操作、想象、感悟，教学内容逐次铺展，感官活动不断丰富，认知层面渐次抽象，研究角度由局部到完整，自主探索由“扶”到“放”，循序渐进地发展了学生的空间观念，培养空间想象力。

二、形成初案

在以上思考的基础上，历经了学校备课组和崇川区数学中心组的多次研磨，最后确定了以下教学方案——

一、观察演示，导入新课。

再现储物柜的组合过程。

二、循序渐进，探究特征。

1．切石成形，认识“面”、“棱”、“顶点”。

（1）再现石块切割过程，揭示“面”、“棱”、“顶点”。（2）自主观察，发现“面”、“棱”、“顶点”的数量。

（3）提出研究角度：这堂课将从面、棱、顶点继续研究长方体。2．渐次展开，探究长方体的特征。

（1）动手操作，探究“棱”的特征。

①提出要求。

●材料说明：材料中配有颜色不同的小棒，和连接小棒的接头。

●学会合作：四人小组共同讨论制作方案，合作完成一个长方体。

●讲究效率：音乐声响起开始活动，听到铃声，结束活动，将作品和剩余材料放在桌角。

②动手操作。

③汇报交流。

（2）直觉判断，了解直观图。

相机出现直观图。

引导学生寻找隐藏的棱，了解直观图中实线与虚线表示的不同含义。

逐一擦去棱，抽象出长方体的长、宽、高。

变换长方体摆放的位置，分别指出长方体的长、宽、高。

借助实物，同桌互说长方体的长、宽、高。

（4）展开想象，探究“面”的特征。

根据长、宽、高想象长方体的6个面，选择合适的长方形配面。

在操作交流中发现：相对的棱长度

（3）变式呈现，理解长、

交流演示，引导发现面的特征：都是长方形，相对的面完全相同。

认识特殊的长方体。（两个相对的面是正方形）

（1）变化棱长，得到正方体。

（2）引导学生从面、棱和顶点三个角度自主探究正方体。

（3）讨论交流正方体的特征：

6个面，都是正方形，完全相同；12条棱，长度相等；8个顶点。

相机揭示棱长的定义。

4.对比概括，揭示课题。

（2）揭示课题：长方体和正方体的认识。

三、巩固新知，发展能力。

1．联系生活，正确选择。

根据所给数据选择对应物体。

长宽高分别是10米、2.5米、3米 教室 公共汽车 家用冰箱

长宽高分别是6厘米、6厘米、6厘米 魔方 粉笔盒 骰子 长宽高分别是20厘米、15厘米、1厘米 数学书 新华字典 文具盒 （1）比较发现：正方体是特殊的长方

2．由体到面，沟通联系。

变化数学书的高,在动态演示中

感受长方体和长方形之间联系。

3．观察想象，图形还原。

联系储物柜，应用新知根据前面选择其它面。

四、畅谈收获，总结课堂。

1．学生交流。

通过今天的学习，如果请你来介绍长方体和正方体，你有什么话想说呢？

2．回顾总结。

同学们经过自主探索，在操作中探究了棱的特征，又由棱联想到面，进一步认识了长方体，并独立探究出正方体的特征。

三、反思提升

5月，《长方体和正方体的认识》一课获得南通市青年教师优课评比一等奖。赛后，老师们对这节课进行了点评，肯定了这节课思路新颖、结构巧妙，有效进行了空间观念的培养等优点，同时就这节的存在问题提出了许多宝贵建议。围绕这些问题和建议我们进行了深刻的反思和追问——

聚焦一：“乒乓式”问答锁住学生发展的空间

纵观全课，一问一答“乒乓式”的教学形式过密，显得较为琐碎，“牵”得太多。能放手的要放手，要在符合学生认知规律和思考能力的边界内给予学生最大的探索空间和感悟空间。

片断一：切物成形，认识面、棱、顶点

起初，我是这样预设的——

师：同学们，你们看屏幕所显示的这三个物体（储物柜、大理石块、摩天大楼），它们的形状都是什么图形？

师：一起来回顾一下这些长方体形成的过程。先看储物柜是怎样形成的——（动态演示6个面的拼合）

师：从这段演示中你看到了什么？

总结：像这样由6个长方形围成的立体图形我们把它称为长方体。

师：再看长方体大理石是怎样形成的。这是一块原石，先切割一次，就切出一个？这是石块的上面。

再切一次，又得到了一个面，这是石块的？

上面和前面相交的地方还有一条？这条边在数学上有一个专用的名称——叫做棱。

再切一刀，现在有几个面？有几条棱？这条棱是由哪两个面相交而成的呢？这条呢？

你们看，这三条棱还相交到一个点，这个点你们知道它的名称吗？数学上叫做顶点。

师：如果再相对着切三刀就得到了一个长方体的大理石块。

在逐步提供观察材料和教师的引导下，学生了解了什么是长方体，认识了长方体的面、棱、顶点。虽则拼合储物柜、切割大理石块的动态演示清晰逼真，深深吸引了学生主动观察，有助于学生概念的建立。但是，贯穿前后的一问一答的形式，步子迈得太小，限制了学生数学思维的发展和深入地体验。

针对这个环节，丁锦华老师提出了“切物成形”认识面、棱、顶点的金点子。删去长方体定义的介绍，开门见山，让学生试着切一切土豆，伴随着学生的操作、观察、感觉，从一个不规则的土豆中体悟着面、棱、顶点的产生过程。李吉林老师认为：“小学数学教学应重演数学家和劳动大众创造、应用数学最初阶段的那个情境，让孩子如临其境。”这样的更改就带领着学生走进面、棱、顶点产生的原点，不仅在学习形式上更为丰富，还激发了学生更热烈的学习兴趣，学习体验也更深刻。具体是这样设计的——

师：（手持土豆）这是一个？

非常熟悉，地球人都知道。吃过吗？

今天,老师还想请同学们切一切。

师：请看屏幕——（电脑演示切土豆）

先沿着竖直方向切一刀。

来，动手试一试。

师：摸一摸你切出来的面，和切之前有什么变化？

师：说得好。原来是凹凸不平的面，现在是一个怎样的面？

师：（电脑演示切第二刀）接着将切出的平面朝下，像这样沿着竖直方向再切一刀。

看清楚了吗？你们也试试。

师：切了第二刀，这时发生了什么变化？

师：观察得真仔细！我们一起指一指这条边，想一想它是怎么形成的？

师：没错，是由切出的两个面相交而成的。这条边在数学上叫什么呢？（电脑出示：棱）一起说。

师：（电脑演示切第三刀）接下来，将前面还朝下，像这样沿着竖直方向又切一次，使它变成现在的样子。

明白了吗？开始吧。

师：你发现切了第三刀之后又有了什么新变化？

师：你认为的这个角在哪里？（指出：你所指的其实是一个点）。

我们一起指一指这个点，再数一数它是由几条棱相交而成的？

像这样由三条棱相交而成的点在数学上叫做？

小结：在切土豆的过程中我们一起认识了面、棱和顶点。

一起看屏幕（电脑演示），如果将这块土豆再这样切三次，就切成了一个？

省赛课后曾经有老师提问：“切土豆是一个早已为大家所熟知的桥段了，为什么在参加省级赛课时你还选择这样设计呢？”我想：无论方法是新还是旧，有利于学生发展的方法就是好方法，经典是不要束之高阁的。而且，在这个环节中，我们也有创新的元素，首先是全体同学一同参与，每个人都有体验的机会，而不是老师独自在展台前示范；其次，只切三刀，既达到了认知效果，又节约了时间，也避免了切出的长方体不标准的实际问题。

片断二：动手操作，探究“棱”的特征

学生尝试着搭出了长方体框架，汇报交流搭建过程和发现时，起初我是这样预设的——

师：哪一组到前面来介绍一下你们搭成的长方体？

师：先告诉大家你们选择了怎样的12根小棒？

那这12根小棒是随意搭的吗，其中有没有什么规律呢？

生：同种颜色的小棒都是在同一方向，在位置上是相对的。

师：仔细观察他们的作品，相对的小棒都是同种颜色的，是这样吗？

师：真了不起！不仅搭出了长方体，还有了新发现。

你们看，这组相对的棱都是？颜色相同代表长度？那这组相对的棱呢?这组呢?

从这里，你能发现长方体中相对的棱有什么特点？

生：长度都是相等的。

精细的导航毫无悬念地总结出长方体棱的特征，但是在老师步步为营的追问下，学生的思维迈着小碎步，缺乏了对问题的整体性把握和思考。怎样才能提供更大的探索空间，将以上在教师引领下逐步发现的过程转变成学生的自主探究，自主发现呢？带着这样的思考，我重新设计了这个环节——

将原来的操作要求三“讲究效率：音乐声响起开始活动，听到铃声，结束活动，将作品和剩余材料放在桌角。”更改为“自主探究：仔细观察完成的作品，结合活动单在小组内交流你的发现。”在操作材料中提供了一份供同学讨论的活动单。活动单如下：

（操作结束后）

师：哪一组来介绍一下你们搭成的长方体？派两位同学，结合活动单，一人演示，一人交流。

生：我们一共使用了12根小棒。分别是蓝色的、绿色的、黄色的，每种颜色各4根。同种颜色的小棒在搭的时候都是相对的，我们发现长方体相对的棱长度相等。

师：结合长方体框架，具体地向大家介绍一下哪些棱长度相等？

师：相对的棱长度相等，是这样吗？

师：真了不起！不仅搭出了长方体，还有了新发现，把掌声送给他们。

重新设计后的操作环节，因为加入了活动单，观察、思考有了明确的方向，让操作活动不只停留在表层的动手阶段，走向了对长方体特征的深入探索。而且，有了活动单这个扶梯，既引导学生自主地展开探索，同时也为接下来的汇报提供了一个提纲，避免了教师与学生之间一问一答单调的教学方式。

片断三：展开想象，探究“面”的特征

还比如，在探究长方体面的特征时，起初我是这样设计的——

①想象普通长方体简化图。

师：根据长、宽、高，你能想像出这个长方体的6个面吗？

（出示6个不同的长方形）想想它的上、下、前、后、左、右面应该是下图中的几号呢？利用手中的长方体边观察边思考，在小组内商量商量。

师：谁来说说你的发现？

（随机选择两个面让同学结合这幅图说说想法。）

师：根据长、宽、高，我们找到了这个长方体的6个面，仔细观察这6个面，你又有什么发现呢？

师：同学们真善于学习，在想象面的过程中又发现了面的特征。

②想象特殊长方体简化图。

师：老师注意到，刚才还有小组搭出了这样的长方体（出示前面操作活动中搭建的特殊长方体框架，这个长方体有两个相对的面是正方形）。

我们也用三条棱来表示，仔细看，从第一个长方体到第二个长方体发生了什么变化？

生：变小，长和宽一样，有的面也变了。

师：这个长方体的6个面又发生什么变化呢？

上下面是几号？前后是几号？左右面是几号？

仔细观察这个长方体，它的面有什么特别的地方？

生：前、后、左、右4个面完全相同。

师：再来看看上、下面有什么特点？

生：都是正方形。

师：看来，长方体的6个面中也可能有两个相对的面是正方形。

观察一下，你们的课桌上也有两个相对的面是正方形的长方体吗？举起来给大家看一看。

这个环节中，认识普通长方体面的特征和特殊长方体面的特征的呈现方式是完全相同的。都是先根据长、宽、高判断长方体的6个面，然后观察发现，得出