线性代数求解模型
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵数 学 模 型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。
2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。
培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。
3． 巩固矩阵的概念和计算。
生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。
一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。
该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。
举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。
如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。
上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。
根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。
线性代数解方程
线性代数解方程线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
简介由于科学研究中的非线性模型通常可以被对数为线性模型，使线性代数被广为地应用于自然科学和社会科学中。
概念线性代数就是代数学的一个分支，主要处置线性关系问题。
线性关系意即数学对象之间的关系就是以一次形式去抒发的。
比如，在解析几何里，平面上直线的方程就是二元一次方程；空间平面的方程就是三元一次方程，而空间直线视作两个平面平行，由两个三元一次方程所共同组成的方程组去则表示。
所含n个未知量的一次方程称作线性方程。
关于变量就是一次的函数称作线性函数。
线性关系问题缩写线性问题。
求解线性方程组的问题就是最简单的线性问题。
历史线性代数做为一个单一制的分支在20世纪才构成，然而它的历史却非常久远。
“鸡兔同笼”问题实际上就是一个直观的线性方程组解的问题。
最古老的线性问题就是线性方程组的数学分析，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经并作了比较完备的描述，其中所述方法实质上相等于现代的对方程组的生员矩阵的行颁布初等变换，解出未知量的方法。
由于费马和笛卡儿的工作，现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。
随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入细致，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处置线性问题提供更多了有力的工具，从而促进了线性代数的发展。
向量概念的导入，构成了向量空间的概念。
凡是线性问题都可以用向量空间的观点予以探讨。
因此，向量空间及其线性变换，以及与此二者联系的矩阵理论，形成了线性代数的中心内容。
矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，则由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而)(.3332221116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得.362323233232323231313232322222221212131313121212121212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb ac b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=根据向量的数量积的坐标表示，有.,,,,232323323232222222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行.2cos 222n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ同理.2,2222222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则.952222,462222,5.1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入（2.1）式，得.75.13698291219546951695.110465.110196236==V 于是.)195(82639.38050223m V ≈≈即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有).3,2,1(41,21)1(2)(3)1(1)(2===--k x x x x k k k k又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有).3,2,1(34)1(3)1(2)(1=+=--k x x x k k k于是我们得到递推关系式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=----.41,21,34)1(2)(3)1(1213)1(2)(1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示).3,2,1(0410021340)1(3)1(2)1(1)(3)(2)(1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---k x x x x x x k k k k k k则).3,2,1()1()(==-k Lx x k k其中.100010001000,04100021340)0(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x L 则有),3,2,1()(3)(2)(1)(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k x x x x k k k k,250500700010001000100004100021340)0()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x,12535002750250500700004100021340)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x .8751375143751253500275004100021340)2()3(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Lx x 结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，则在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：),1,,2,1()1()(1-==-+n i x b x k ii k i其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x （3.1）这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是,00000000000)1()1(3)1(2)1(11211321)()(3)(2)(1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得)0()1()(x L Lx x k k k ==-这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即.02500050000005.025.010.005.025.055.065.00321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x 即.025********,005.025.010.005.025.055.065.00,321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Y A x x x X 矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为,Y AX X =-即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c 1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：234457612157891091083630050020080080010004002006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎪⎪-=⎪+=⎪⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎪-=⎪⎪=⎪++=⎪⎩ 系数矩阵为11100000000011000000000011000110000000010001000000000001100000000001000000000110000000001010010100A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 增广矩阵阶梯形最简形式为1000100000800010010000000010000000200000110000050000000101008000000001100100000000000104000000000001600000000000000000000000B ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其对应的齐次方程组为1525345687891000000000x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量()11,1,0,1,1,0,0,0,0,0,'η=--()20,0,0,0,0,1,1,1,0,0'η=--其对应的非齐次方程组为1525345687891080002005008001000400600x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎪=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎪=⎪⎪=⎩赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解()800,0,200,500,0,800,1000,0,400,600'x *=于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得2211211314151221222232425222132333343532214244344454221525535455522212221222122212221a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x 求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[]22120D X Y C λλ++=所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A使用计算机可求得12345(,,,,)(0.6143,0.3440,0.6942, 1.6351,0.2165)a a a a a =---从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221a a a a C C C ,3081.0=的特征值120.3080, 1.0005λλ==123235450.61430.3440 1.63510.34400.69420.21651 1.63510.21651a a a D a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.8203.1-=D于是,椭圆长半轴a=19.1834,短半轴b=5.9045,半焦距c=18.2521.小行星近日点距和远日点距为039313,37.4355h a c H a c =-==+=最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,则一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有.100991000251001100097500101010⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y 事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先,1009910002510011000975⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Ak 年之后的分布(将A 对角化):.75757275100200193115210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态.7572)(00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞z y z y 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
线性代数经管类知识点
线性代数经管类知识点线性代数在经管类学科中具有重要的地位，其涉及的知识点对于分析、建模和解决管理问题具有重要的作用。
本文将介绍一些线性代数在经管类学科中常用的知识点，并探讨其应用。
应用于经管类学科的线性代数知识主要包括矩阵运算、线性方程组的求解以及向量空间的理解。
我们将逐一进行阐述。
1. 矩阵运算：矩阵是一个重要的线性代数工具，在经管类学科中广泛应用于数据的存储和计算。
矩阵的加法、减法和乘法运算能够对数据进行处理和分析。
例如，在经济学中，我们可以通过矩阵乘法来计算不同经济指标的加权平均值，从而对经济状况进行评估。
此外，矩阵的转置运算也可以用于解决一些经济和管理问题，例如对投资组合的评估与优化。
2. 线性方程组的求解：线性方程组是经管类学科中常见的数学模型。
通过线性代数的方法，我们可以求解线性方程组，从而得到方程组的解析解或数值解。
这对于经济学中的均衡分析和管理学中的约束优化问题具有重要的作用。
同时，我们还可以通过求解线性方程组来进行数据拟合和趋势预测，帮助企业做出决策。
3. 向量空间的理解：向量空间是线性代数中的一个重要概念，它描述了向量的线性组合和向量之间的相对位置关系。
在经管类学科中，我们经常遇到多个变量之间的关系，例如市场需求与供给的关系、公司利润与销售额的关系等。
通过将变量转化为向量，我们可以使用向量空间的理论和方法来分析这些关系。
例如，我们可以通过求解向量的线性相关性来检验变量之间的相关性，从而评估市场需求的变化对供给的影响，或者评估公司销售额的变化对利润的影响。
除了以上提到的知识点，线性代数在经管类学科中还有其他重要的应用。
例如，特征值和特征向量的分析可以用于研究矩阵的稳定性和动态系统的行为。
奇异值分解可以用于降维和数据压缩，从而提取关键信息。
矩阵的逆可以用于求解逆问题，例如在金融学中用于对冲或风险管理。
总之，线性代数在经管类学科中扮演着不可或缺的角色。
通过掌握矩阵运算、线性方程组求解和向量空间的理解，我们能够更好地理解和分析经济和管理问题。
矩阵与线性方程组的数学模型和解法
矩阵与线性方程组的数学模型和解法矩阵和线性方程组是线性代数中常见的数学概念，广泛应用于各个学科领域，包括工程、科学、经济等。
本文将介绍矩阵和线性方程组的数学模型以及常见的解法。
1. 矩阵的数学模型矩阵是由数字排列成的矩形阵列。
一个m×n的矩阵表示为：[A] = [a_ij]其中，a_ij是矩阵中第i行第j列的元素。
矩阵按行数和列数分别称为行数和列数，即m×n的矩阵有m行n列。
2. 线性方程组的数学模型线性方程组是一组以线性关系描述的方程组。
形式如下：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2......................a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，x_1, x_2, ..., x_n是未知数，a_ij是系数矩阵的元素，b_1, b_2, ..., b_m是常数项。
3. 线性方程组的解法解一个线性方程组的目标是找到一组满足所有方程的未知数值的解。
下面介绍两种常见的解法：高斯消元法和矩阵求逆法。
a. 高斯消元法高斯消元法是一种通过消元和回代的操作来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：Step 1: 构造增广矩阵[A|b]，其中A为系数矩阵，b为常数项矩阵。
Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为上三角矩阵。
Step 3: 从最后一行开始，利用回代法求出未知数的值。
b. 矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的方法。
具体步骤如下：Step 1: 构造增广矩阵[A|I]，其中A为系数矩阵，I为单位矩阵。
Step 2: 利用初等行变换将增广矩阵化简为[I|B]，其中B为所求逆矩阵。
Step 3: 利用逆矩阵的性质，将常数项矩阵变换为解的矩阵。
4. 矩阵与线性方程组的应用矩阵和线性方程组在各个学科领域都有广泛的应用。
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
最新四种线性代数模型资料
线性代数是高等学校理工科和经济类学科相关专业的一门重要基础课，它不仅是其他数学课程的基础，也是物理、力学、电路等专业课程的基础。
作为处理离散问题工具的线性代数，也是从事科学研究和工程设计的科研人员必备的数学工具之一。
实验一 生物遗传模型1.工程背景设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA 、Aa 和aa 。
常染色体遗传的规律是：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对。
如果考虑的遗传特征是由两个基因A 、a 控制的，那末就有三种基因对，记为AA 、Aa 和aa 。
研究所计划采用Aa(AA)型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。
问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?2.问题分析分析双亲体结合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。
表6-4基因型概率矩阵 后代 基因对 父体—母体的基因对AA —AAAA —Aa AA —aa Aa —Aa Aa —aa aa —aa AA 1 1/2 0 1/4 0 0 Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa1/41/213.模型建立与求解设,,n n n a b c 分别表示第n 代植物中基因型AA 、Aa 、aa 型的植物占植物总数的百分率。
则第n 代植物的基因型分布为()n n n n a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0(0)00a x b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭表示植物型的初始分布。
依据上述基因型概率矩阵，有1112n n n a a b --=+，1112n n n b b c --=+，0n c =，1n n n a b c ++=，表示为矩阵形式11111/2001/21000n n n n n n a a b b c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记11/2001/21000M ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()(1)2(2)3(3)(0)n n n n n x MxM x M x M x ---=====。
线性代数的RMI模型理论——向量空间直和分解理论的RMI模型理论
学专业线性代数 向量空 间直和分 解理 Ｂ ８ ＝ ．－ ｐ＝ ． ｐ ｐ ， ’ｐ 一 ｔ ０ｐ Ｏ即 ： － Ｂ＝ ， 一 ． 论 的教学思路。
关键 词 ： 性 代 数 向量 空 间 线 和 分 解 理 论 Ｒ Ｉ模 型 Ｍ 直 Ｒ Ｉ方 法 Ｍ Ｒ Ｉ Ｍ 方法 的框 图表 示 如 下 ：
】兰州商学院学报 ，９ ０ ２ ： １９ （ ） 证明 设 ｗ， ｗ 的任 意一个余子 学思路 Ⅱ． 是
６ －７ ６ ０．
空间 ，那 么 ｗ 也 是 ｗ。 的一个 余子 空 空 间 。 取 ｗ 的 一 个 基 ｛【 ｌ… ， 和 ０，： ｝ ． ， ０
Ｗ。 一 个 基 ｛ Ｂ ， ， ｓ． 为 Ｖ＝ 的 Ｂ ，： … Ｂ １因
可 以唯 一 地 表 成
．４ 存在 Ｖ中 ｎ ｒ 的形 式 ， 里 ０ ＥＷ．＝ ， ， ， 且 ， ４ — 这 【 ； ， ｌ… ｎ 并 ｉ 的 Ｒ 模型理论 ，并 且应用关系 映射 的一个基 。由定理 ６ ．， ＭＩ
反演思想方 法论述非 数学专业 线性代 个 向量 ｛ ， ， … ０ｌ 【使得｛ 一，【０ 当 Ｖ是有 限维 向量空间时， ０，【 ，
关 １分 系 解
Ｖ＝ ｗ①Ｗｌ
］
关 于 直 和 的概 念 可 以 推 广 到 多 于 两 个 子 空 间 的情 形 。 Ｗ 。 ， Ｗ 设 ， …， 是 向量 空 间 ｖ 的子 空 间 。 如果
（） Ｗ １Ｗ２＋… ＋ ； ｉＶ＝ ＋ ， Ｗ
教 学思路 向量空 间直和分 解理论是 线性代
学 术 纵 横
线牲 代数 的 ＭＩ Ｒ 模型理论
— —
向量空间直和分解理论的 Ｒ 模型理论 ＭＩ
口 窦 永 平
线性代数6.2线性规划
第一步，明确问题的条件。一般可以将问题的条件列成 表格形式，如下表6－3
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第二步，明确问题的变量。 为了做出决策，我们把决策中关键量设为未知量，这种变量 称为决策变量。本例中，设产品甲的日产量为件，产品乙的
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三、线性规划问题的几个基本概念
定义2 在线性规划问题中，满足约束条件的解， 称为可行解。
一般来说，线性规划问题可能有无穷多个可行解， 也可能没有可行解。
使目标函数达到最大值或最小值的可行解，称 为最优解。将最优解代入目标函数，所得到的目标 函数值，称为最优值。
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B3 8,
知 B1, B2 , B3 都是非奇异矩阵，
所以 B1 , B2 , B3 都是这一问题的基。
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四、两个变量线性规划问题的图解法
例6 用图解法求解下列线性规划问题：
max Z 2x1 3x2
2x1 2x2 12,
s.t.
x1 2x2 8, 4x1 16,
6,
约束条件
x1 0, x2 0
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综合上述分析，我们可以写出该问题的数学模型如下
目标函数 约束条件
maxS 3x1 4x2
x1 x2 6,
s.t.
x1
2x2 x2 3,
6,
x1 0, x2 0
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例2 某建设工地，需要直径相同、长度不同的成套钢筋， 每套由7根2m长和2根7m长的钢筋组成，今有15m长的钢筋150
2m长有 4x1 7x3 根
7m长有 x1 2x2 根，根据配套要求，有
常见的数学模型
解法：通过矩阵运算或迭代法 求解线性代数方程
形式：Ax=b，其中A是矩阵，x 是未知数向量，b是常数向量
应用：在物理、工程、经济等 领域有广泛应用
多项式方程
定义：多项式方程 是数学中常见的方 程形式，一般形如 ax^n + bx^(n1) + ... + z = 0
积分公式：常见 的积分公式包括 牛顿-莱布尼茨公 式、换元积分公 式、分部积分公 式等。
01
0 2
03
04
级数与无穷级数
定义：级数是无穷多个数相加的结果，无穷级数是级数的极限状态。 类型：有正项级数、交错级数、幂级数等。
应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如计算曲线的长度、求解微分方程等。 收敛与发散：级数收敛时，所有项的和是有限的；发散时，所有项的和是无穷大。
值。
特征值与特征向量 的应用：在解决实 际问题时，特征值 和特征向量可以用 于分析系统的稳定
性和动态行为。
计算方法：通过求 解矩阵的特征方程， 可以得到矩阵的特 征值和特征向量。
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线性变换与矩阵运算
矩阵运算：基本的矩阵加法、 减法、乘法等运算规则
线性变换：通过矩阵表示几 何变换的过程
微分方程
定义：微分方程是 描述数学模型中变 量之间变化关系的 方程
类型：常微分方程、 偏微分方程等
解法：常用的解法 包括分离变量法、 常数变异法等
应用：在物理学、 工程学、经济学等 领域有广泛应用
线性代数模型
向量与矩阵
向量：由一组有序 数构成的数学对象， 可以表示空间中的 点或方向
解线性方程组的迭代法
解线性方程组的迭代法Haha送给需要的学弟学妹摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。
系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，是著名的病态问题。
因而决定求解Hx b =此线性方程组来验证上述问题。
详细过程是通过用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法求解Hx b =线性方程组。
关键词：病态方程组、Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法、SOR 迭代法目录：一、问题背景介绍二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理1、Gauss 消去法求解原理2、Jacobi 迭代法求解原理3、G-S 迭代法求解原理4、SOR 迭代法求解原理5、Jacobi 和G-S 两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程（一）Hilbert 矩阵维数n=6时1、Gauss 消去法求解2、Jacobi 迭代法求解3、G-S 迭代法求解4、SOR 迭代法求解（二）Hilbert 矩阵维数n=20、50和100时1、G-S 迭代法求解图形2、SOR 迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果1、Gauss 消去法误差分析2、G-S 迭代法误差分析3、SOR 迭代法误差分析G-S 迭代法与SOR 迭代法的误差比较 七、心得体会正文：一、问题背景介绍。
理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。
实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？二、建立正确的数学模型。
考虑方程组Hx b =的求解，其中系数矩阵H 为Hilbert 矩阵，,,1(), , ,1,2,,1i j n n i j H h h i j n i j ⨯===+-这是一个著名的病态问题。
通过首先给定解（为方便计算，笔者取x 的各个分量等于1），再计算出右端,b Hx =这样Hx b =的解就明确了，再用Gauss 消去法、J 迭代法、GS 迭代法和SOR 迭代法四种方法分别求解,Hx b =将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。
线代模型
Q5=
1
0
0 0
1
0 0
0
0 1
0
1 0
Q6=
0 1 0 0
Q7=
0
0
1
0
0
0
0
1
Q8= 0
0 1
1
0
0
0
易知 Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0
则 Q1 , Q2 ,, Q8
线性相关。
而由 r1Q1 r2Q2 r3Q3 r4Q4 r5Q5 r6Q6 r7Q7 0
x
(n)
an 1 (1 / 2n )b0 (1 / 2n1 )c0 bn (1 / 2n )b0 (1 / 2n1 )c0 c 0 n
当n 时， an 1, bn 0, bn 0 5 结论 经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上 呈现AA型。
则称这个数字方为 Durer 魔方。
R=C=D=S
你想构造Durer魔方吗？ 如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？ 2 Durer魔方的生成集
所有的Durer魔方的集合为 D
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
O=
0 0
E=
1 1 1
0 0 r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 = 0 0 0 0 r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 0 0 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 0
线性代数在物理模型求解中的应用研究
线性代数在物理模型求解中的应用研究第一章简介线性代数是数学中非常重要的一个分支，它与世界上各个领域的实际模型的应用息息相关。
在物理学的研究中，线性代数既是基础，又是不可或缺的工具之一。
研究线性代数在物理学中的应用可以帮助深入理解物理学的一些概念，提高数学计算的效率和精确性，更好地解决物理学实际问题。
本文将从物理学中一些具体的应用入手，探究线性代数在物理学中的实际应用和重要性。
第二章矩阵和线性方程组矩阵和线性方程组是线性代数的基本概念。
在物理学中，矩阵和线性方程组广泛应用于解决物理模型的问题。
在物理学中，经常需要对向量进行运算，而向量在计算机中表示的形式为矩阵。
线性代数中，矩阵和向量的乘法通常被表示为矩阵乘积，它可以用来解决多个向量问题的运算，如在物理学中计算物体旋转的问题。
此外，矩阵和线性方程组也可以用来求解电路中的电流和电压，包括在电路中计算电阻、电流和电势差等问题。
第三章物理学中的矩阵在物理学中，矩阵的应用非常广泛，尤其是在量子力学和统计力学中。
例如，对于原子的能级和角动量问题，可以用矩阵来描述。
此外，在荧光光谱学中，也可以用矩阵来计算能谱的参数。
在统计力学中，矩阵可以用来描述复杂系统的行为，比如在统计物理中描述固体的和液体的理论模型。
在应用熵的统计力学中，矩阵也可以用来描述系统的热力学性质。
第四章矢量代数在物理学中，矢量代数是非常有用的工具。
特别是在描述分子结构、运动或力学量时，矢量代数可以非常方便地进行计算。
线性代数和矢量代数的结合可以用来描述一些物理学问题，例如描述液体流动、发射瞄准等问题。
同时，在对物理模型进行数值模拟的时候，也可以用矢量代数来进行计算。
第五章矩阵的特殊性质矩阵在线性代数中的运算有很多特殊性质，这些性质可以帮助求解复杂的物理学问题。
例如，矩阵的行列式可以用来描述方程组的解，它可以用于解决电路中的戴维南－富克斯定理和克拉默法则的问题。
此外，矩阵的逆和矩阵的迹也是重要的矩阵性质，它们在电学分析、流体力学和量子力学的计算中经常被用到。
浙江大学数学建模第四章基于线性代数与差分方程方法的模型
2.移位密码体制
移位密码采用移位法进行加密，明文中的字母重新排列，本 身不变，只是位置改变了。 另一种移位 法采用将字母表中的字母平移若干位的方法来构造 早在4000多年前，古希腊人就用一种名 叫“天书”的器械 密文字母表，传说这类方法是由古罗马皇帝凯撒最早使用的， 来加密消息。该密码器械是用一条窄长的草纸缠绕在一个 故这种密文字母表被称为凯撒字母表。例如，如用将字母表向 直径确定的圆筒上，明文逐行横写在纸带上，当取下纸带 右平移3位的方法来构造密文字母表，可 得： 时，字母的次序就被打乱了，消息得以隐蔽。收方阅读消 明文字母表： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 息时，要将纸带重新绕在直径与原来相同的圆筒上，才能 密文字母表： DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC 看到正确的消息。在这里圆筒的直径起到了密钥的作用。 “WKDQN BRX” 因此 “THANK YOU” 以上两种移位较易被人破译，为打破字母表中原有的顺序还可 采用所谓路线加密法，即把明文字母表按某种既定的顺序安排 在一个矩阵中，然后用另一种顺序选出矩阵中的字母来产生密 文表。
§4.2 密码的设计，解码与破译
密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及 ,巴 比伦、罗马和希腊，历史极为久远 。古代隐藏信息的方法 主要有两大类： 其一为隐藏信息载体，采用隐写术 等； 其二为变换信息载体，使之无法为一般人所理解 。
线性代数数学建模案例1
案例1 交通网络流量分析问题
城市道路网中每条道路、每个交叉 路口的车流量调查，是分析、评价及改 善城市交通状况的基础。根据实际车流 量信息可以设计流量控制方案，必要时 设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
下图为某城市的局部单行示意图
【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.
【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表
产出(1元)
产出
煤
电
运
煤0
0.6 0.5
x
分配 0.6y + 0.5z
订单 60000
消 电 0.3 0.1 0.1
y
耗
0.3x + 0.1y + 0.1z 100000
几条道路的流量统计? （3） 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值. （4） 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动才合
理? 。
【模型假设】： （1） 每条道路都是单行线 （2） 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.
【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④ 四个路口进出车辆数目分别满足：
【模型分析】
（1） 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最
后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的
数据“300”x可1 以x4不1用00统计.
（2）由
x2
x4
600
可得
x3 x4 300
x2 x1 500
x3
x1
200
高等数学中的利用线性代数解决经济学问题
高等数学中的利用线性代数解决经济学问题线性代数在经济学中具有广泛的应用。
通过运用线性代数的概念和技巧，可以帮助解决一系列与经济学相关的问题。
本文将简要介绍如何利用线性代数解决经济学问题。
一、线性方程组与经济模型线性方程组是解决经济学问题的基础。
例如，供求关系可以用线性方程组来表示。
以农产品市场为例，假设农产品的需求和供应分别由线性方程组表示：需求方程：Qd = a - bP供应方程：Qs = c + dP其中，Qd表示需求量，Qs表示供应量，P表示价格，a、b、c和d是常数。
这个经济模型可以用线性方程组表示为：a - bP = c + dP通过求解这个线性方程组，我们可以计算出市场均衡点的价格和数量。
二、矩阵与经济学中的投入产出模型投入产出模型是经济学中常用的模型，用于描述不同部门之间的交互关系。
该模型可以用矩阵来表示。
假设有n个部门，我们可以定义一个n×n的投入矩阵A 和一个n×1的产出向量Y。
投入产出模型可以表示为：Y = AX其中，Y表示总产出，X表示各部门的投入量。
通过求解这个线性方程组，我们可以计算出各部门的投入量和总产出。
三、最小二乘法与经济数据拟合经济学中常常需要对数据进行拟合和预测。
线性回归是常用的方法之一。
最小二乘法可以用于对经济数据进行线性回归拟合。
假设我们有m个经济数据点，可以将其表示为一个m×n的矩阵X和一个m×1的向量Y。
我们希望找到一个n×1的向量β，使得Y ≈ Xβ。
通过最小化误差，我们可以得到最佳的拟合系数β。
这可以通过求解以下线性方程组来实现：XTXβ = XTY其中，XT表示X的转置。
通过解这个线性方程组，我们可以得到最佳的拟合系数β，从而对经济数据进行预测和分析。
四、矩阵特征值与优化问题矩阵的特征值与优化问题在经济学中也有重要的应用。
例如，在投资组合理论中，投资者希望最大化收益同时降低风险。
我们可以用一个n×1的向量表示投资组合的收益率，一个n×n的协方差矩阵来表示投资组合的风险。
如何通过线性规划和线性代数解决实际问题
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线性规划在解决实际问题中的实际 案例
线性代数和线性规划的相互促进发展
线性代数和线性规 划的结合点
线性代数在解决线 性规划问题中的应 用
线性规划在促进线 性代数理论发展中 的作用
线性代数和线性规 划在实际问题中的 联合解决方案
05 实际案例分析
生产计划优化案例
案例背景：某制造企业面临生产计划安排问题 线性规划模型建立：如何根据市场需求和生产资源限制，制定最优的生产计划 线性代数在优化中的应用：如何使用矩阵运算和线性方程组求解最优解 实际效果：优化后生产计划的实施效果和对企业效益的影响
矩阵的逆与行列 式的计算
矩阵的转置与共 轭
向量运算的应用
向量加法：实现向量的平行四边形法则 向量数乘：实现向量的伸缩变换 向量点乘：实现向量的角度和长度计算 向量叉乘：实现向量的垂直和旋转操作
特征值和特征向量的应用
特征值和特征向量 的定义
在解决实际问题中 的应用场景
具体应用案例及解 析
与线性规划和线性 代数的关联
人工智能与机 器学习结合： 利用机器学习 算法优化线性 规划和线性代
数问题
感谢您的观看
汇报人：
线性代数和线性规划的 结合应用
线性代数在优化问题中的应用
线性代数的基本概念和性 质
线性规划的基本概念和求 解方法
线性代数在优化问题中的 应用实例
线性代数在优化问题中的 优势和局限性
线性规划在解决实际问题中的综合应用
线性代数和线性规划的结合点
线性代数在解决实际问题中的优势
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线性规划在优化问题中的应用
03
线性规划在解决实际问 题中的应用
线性代数方法建模Hill密码的数学模型数学建模案例分析
§3 Hill 密码的数学模型Hill 密码是一种传统的密码体系，它的加密过程可以描述如下：明文→加密器→密文→普通信道→解密器→明文在这个过程中，运用的手段是矩阵运算，具体步骤如下：一、加密1、根据明文字母的表值，将明文信息用数字表示，设明文信息只需要26个英文字母A —Z （也可以不只26个，如还有数字、标点符号等），通信双方给出这26个字母表值（见下表）。
2、选择一个二阶可逆整数方阵，称为Hill 密码的加密矩阵，它是这个加密体制的“密钥”（是加密的关键，仅通信双方掌握）。
3、将明文字母依次逐对分组。
Hill 密码的加密矩阵为二阶矩阵，则明文字母2个一组（可以扩充至每n 个明文字母为一组）。
若最后一组只有一个字母，则补充一个没有实际意义的哑字母，这样使得每一组都由2个明文字母组成。
查出每个明文字母的表值，构成一个二维列向量α。
4、A 乘以α，得到一个新的二维列向量αβA =，由β的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文字母。
以上4步即为Hill 密码的加密过程。
例 明文为YI CHU FA 。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3021A ，求这段明文的Hill 密码。
将明文相邻2个字母分为一组：YI CH UF AA 。
最后一个字母是哑字母，它是为使最后一组的字母数为2而添加的，无实际意义。
查出每对字母的表值，并构造2维列向量：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11,621,83,925（1） 将上述4个列向量左乘矩阵A ，得到4个新的列向量：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,1833,2419,2743 （2）在反查这4个向量对应的字母时，遇到了问题：第1个向量与第三个向量中的43与33不是表值，处理的办法是加减26的整数倍，使其化为0—25之间的一个整数，这称为模26运算，记为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛187)26(mod 1833,117)26(mod 2743 （3） 这样，这4个新的二维列向量对应的字母为：QA SX GR CC 。