圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌

一、圆锥曲线的极坐标方程

椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ

ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．

当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；

当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

二、圆锥曲线的焦半径公式

设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θ

cos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θ

cos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有

ep NF MF 211=+.

三、圆锥曲线的焦点弦长

若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，

1、椭圆中，c

b c c a p 2

2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，

若M 、N 在双曲线同一支上，θ

θπθ2222

cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2

222

cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θ

θπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式

设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，

1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；

2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，

当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；

当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；

3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +

=.