二次函数解析式的确定(10种)
二次函数的几种解析式及求法

1、已知:抛物线图像与X轴交于(2,0)(3,0)且函数最小值是-3,
求抛物线的解析式.
2、已知:抛物线y=ax2+bx+c过直线y=
3 - 2 x 3 与x轴、y轴的交
点,且过(1,1),求抛物线的解析式. 3、抛物线的顶点为(-1,-4),它与x轴的两个交点间的距离为4, 求此抛物线的解析式.
小结
一般式
1、二次函数常用解析式
2、求二次函数解析式的一般方法:
.已知图象上三点坐标,通常选择一般式。
顶点式 两根式
.已知图象的顶点坐标(对称轴或最值),通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2, 通常选择交点式。
3. 确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特 点,恰当地选择一种函数表达式,灵活应用。
二次函数的 几种解析式及求法
求解二次函数解析式的基本思想 方法是待定系数法,根据题目给出 的具体条件,设出不同形式的解析 式,找出满足解析式的点,求出相 应的系数.
一、二次函数常用的几种解析式的确定
1、一般式 已知抛物线上三点的坐标,通常选择一般式。 2、顶点式 已知抛物线上顶点坐标(对称轴或最值),通常选择顶点式。 3、交点式 已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴,选择交点式。
根据下面的条件,求二次函数的解析式:
1.图像经过(1,-4),(-1,0),(-2,5)
2.图象顶点是(-2,3),且过(-1,5(4,0)两点,且过(1,- )
1、已知:抛物线y=ax2+bx+c过点(2,1)、 (1,-2 )(0,5)三点,求抛物线的解析式. 2. 已知抛物线顶点是(2,-1)且过点(-1,2), 求抛物线的解析式. 3. 图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2), 求抛物线的解析式.
怎样确定二次函数的解析式

确定二次函数的解析式一、一般方法(1)已知抛物线上三个点的坐标,最好选用一般式.例1已知抛物线经过A(0,4),B(1,3)和C(2,6)三点,求二次函数的解析式.(2)若已知条件与抛物线的顶点有关,则用顶点式比较恰当.例2已知二次函数的图象顶点为(2,3),且经过点(3,1),求这个二次函数的解析式.(3)已知抛物线与x轴两个交点的坐标,选用交点式比较简便.例3已知A(2,0),B(-1,0),C(1,-3)三个点在抛物线上,求二次函数的解析式.例4已知二次函数的图象经过点A(3,—2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.二、利用抛物线与x轴交点间的距离求二次函数的解析式例1 已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4.求二次函数的解析式.例2 已知二次函数的图象经过⎪⎭⎫⎝⎛-25,0A和)6,1(--B两点,且图象与x轴的两个交点间的距离为4.求二次函数的解析式.三、其它已知条件,灵活运用不同方法求解1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-7x+12形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为3,求此抛物线解析式2、.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=2时,有最大值2,其图象在x轴截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。
3、.如图,抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴交于A(1,0),B(5,0)两点,与y 轴交于M ,抛物线顶点为P ,且PB=25(1)求这条抛物线的顶点P 的坐标和它的解析式(2)△MOP (O 为坐标原点)的面积。
4、已知抛物线y=x 2-(2m -1)x+m 2-m -2 (重要提示:三角形的高要加绝对值)(1)证明抛物线与x 轴有两个不同的交点(2)分别求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的横坐标x A ,x B ,以及与y 轴的交点C 的纵坐标y C (用含m 的代数式表示)(3)设△ABC 的面积为6,且A 、B 两点在y 轴的同侧,求抛物线的解析式。
二次函数的几种解析及求法

又 抛物线经过点B(1.5,3.05),得
a=-0.2
y 即所求抛物线为y=-0.2x²+3.5 当x=-2.5时,代入得y=2.25
C
又2.25-1.9-0.15=0.2m
h
所以,他跳离地面的高度
为0.2m
o
x
6:有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面A B的宽为20m,如 果水位上升3米时,水面CD的宽为10m.
(2)、分析:船能否通过,只要看船在拱桥正中间时, 船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。
解: ∵
P
∴
Q
∴顶点(-6,3.6), PQ是对称轴。
当水位为2.5米时, y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 > 3.6
∴ 船不能通过拱桥。
三、应用举例
例3、将抛物线
向左平移4个单位,
再向下平移3个单位,求平移后所得抛物线的解析式。
解法二:顶点式 设解析式为
∵顶点C(1,4) ∴ h=1, k=4.
∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上, ∴
∴ a = -1 ∴
即:
的图像如图所示,
三、应用举例
例1、已知二次函数
求其解析式。 解法三:交点式 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
为 A (-1,0)、B(3,0)
的图像如图所示,
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C(1,4)在抛物线上
即当x= OC=1.6÷2=0.8米时, 过C点作CD⊥AB交抛物线于D点, 若y=CD≥3米,则卡车可以通过。
四、尝试练习
3、如图;有一个抛物线形的隧道桥拱,这个桥拱的最大 高度为3.6m,跨度为7.2m.一辆卡车车高3米,宽1.6米, 它能否通过隧道?
九年级数学二次函数解析式的确定

的解析式。
讲例:
3、 已知:抛物线y=ax2+c的图象如图所示: y (1)求此抛物线的解析式;
(2)当x取何值时,y>0?
(3)将抛物线作怎样的一次 A -1 o -2.5 D C B 5 x
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式。
讲例:
3、 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示: y (1)求此抛物线的解析式;
m 3 n 1
∴y=a(x-3)2+1=ax2-6ax+9a+1 ∴a-6a+9a+1=0 ……
讲例:
3、 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示: y (1)求此抛物线的解析式;
(2)当x取何值时,y>0?
(3)将抛物线作怎样的一次 A -1 o -2.5 D C B 5 x
试一试:
2、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位, 再向左平移5个单位时的顶点坐标为(-2,0), 且a+b+c=0,求a、b、c的值。 点拔: 设原抛物线的解析式为y=a(x+m)2+n 则平移后抛物线的解析式为y=a(x+m+5)2+n-1
根据题意得: (m 5) 2
n 1 0
16 a 4b c 8 c 0
A
o C x
∴y=-x2+6x
4、如图,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交 于A(1,m),B(4,8)两点,与x轴交于原点
及C点,(1)求直线和抛物线的解析式;(2) 3 在抛物线上是否存在点D,使S△OCD= S△OCB, 2 若存在,求出点D;若不存在,请说明理由。 y (1)y=x+4 y=-x2+6x B ( 4, 8) A
十种二次函数解析式求解方法

十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b和c是实数且a不为0。
解析式是一种表示函数的方式,它可以用来求解函数的性质和方程的解。
下面是十种二次函数解析式求解方法:1. 一般式:二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。
通过将函数写成一般式,可以快速识别出a、b和c的值,进而求解一些重要的性质,如顶点、轴对称线、开口方向等。
2.标准式:二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k,其中(h,k)为顶点的坐标。
通过将一般式转化为标准式,可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。
3.因式分解:有时候,二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。
例如,对于函数y=x^2-5x+6,我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3),从而得到x=2和x=3是方程的解。
4.完全平方:如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式,那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。
例如,对于函数y=x^2-4x+4,我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式,从而得到x=2是方程的解。
5. 配方法:对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0,我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。
通过配方法,我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k,从而得到方程的解析式。
6.求导方法:通过对二次函数求导,我们可以得到函数的导数。
导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线,进而求解其他问题。
7.顶点公式:二次函数的顶点公式为(h,k),其中h=-b/(2a),k=f(h)。
通过顶点公式,我们可以快速找到二次函数的顶点,进而求解一些重要的性质。
8. 零点公式:二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
通过零点公式,我们可以求解二次函数的零点或解方程。
9. 判别式:二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)

2,解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2:∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2,且与x轴交于点(1,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ,把(0,3)代入,得a·3×(-1)=3,解得a=-1,
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ,
即 = − − + .
>
m
<
>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
(人教九上P35例3改编)将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
>
m
<
关于 轴
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
为相反数,
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______,
变号
互为____
2
反数
二次函数的解析式的确定

二次函数的解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数的研究必然离不开二次函数解析式的确定,因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环。
本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式,以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法。
重点在于根据不同的条件,灵活选择求解二次函数解析式的方法,从而快速准确地确定二次函数的解析式。
一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)任何二次函数都可以整理成一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)的形式。
如果已知二次函数的图像上三点的坐标,可用一般式求解二次函数的解析式。
模块一:一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)例1:已知二次函数的图像经过点A(-1,-5)、B(0,-4)和C(1,1)。
求这个二次函数的解析式。
解析:设二次函数为y=ax^2+bx+c,把A、B、C代入二次函数解析式,可得:a-b+c=-5a+b+c=-4a+b+c=1解得a=2,b=3,c=-4.所以这个二次函数的解析式:y=2x^2+3x-4.例2:已知二次函数y=ax^2+bx+c图像经过点(1,3)、(3,-5)和(-2,-5)。
1)求这个二次函数的解析式;2)求这个二次函数的最值。
解析:(1)把(1,3)、(3,-5)和(-2,-5)代入二次函数解析式,可得:a-b+c=39a+3b+c=-54a-2b+c=-5解得a=-1,b=2,c=3.所以这个二次函数的解析式:y=-x^2+2x+3;2)y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4,则当x=1时,函数有最大值,最大值为y=4.例3:已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(2,3)、B(0,3)和C(4,-5)。
1)求该抛物线的解析式;2)当x为何值时,y>3?解析:(1)把A(2,3)、B(0,3)和C(4,-5)代入二次函数解析式,可得:a+b+c=3c=316a+4b+c=-5解得a=-1,b=2,c=3.所以这个二次函数的解析式:y=-x^2+2x+3;2)将y>3代入解析式,得到-x^2+2x>0,解得13.已知二次函数的图像经过点(0,3)、(-3,-5)、(2,-3),且与x轴交于A、B两点。
确定二次函数解析式的常用方法

确定二次函数解析式的常用方法求二次函数的解析式是初中函数学习的重点,其常用方法就是待定系数法,选择什么样形式的解析式来求解,要根据题目的条件而定,下面介绍求二次函数解析式的三种常用方法:一、已知三点坐标,通常选择一般式:y=ax2+bx+c:例1、已知二次函数的图象经过三点(1,1),(-1,7),(2,4),求其解析式。
解:设二次函数的解析式y=ax2+bx+c,把三点坐标代入得:a+b+c=1 a=2a-b+c=7 解得 b=-34a+2b+c=4 c=2∴二次函数的解析式为:y=2x2-3x+2。
二、已知顶点和另一点,通常选择顶点式:y=a(x-h)2+k。
例2、已知抛物线的顶点为(-1,-3),与y轴交点为(0,-5),求此抛物线的解析式。
解:∵抛物线的顶点为(-1,-3)。
∴设其解析式为y=a(x+1)2-3。
把(0,-5)代入上式得:-5=a-3, 则a =-2∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3即:y=-2x2-4x-5,(最后要化为一般式)三、已知抛物线与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0) 和另一条件时,通常选用交点式:y=a(x-x1)(x-x2)。
例3、已知抛物线与y轴交于点A(0,3),与X轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点,求此抛物线的解析式。
解:∵点B(1,0),C(5,0)是抛物线与X轴的交点。
∴可设其解析式为y=a(x-1)(x-5)。
把点A(0,3)坐标代入上式得:3=a(0-1)(0-5), 解得a=3/5∴所求抛物线的解析式为y=3/5(x-1 )(x-5)即:y=3/5 x2-18/5 x+3,(最后要化为一般式)由此可以看出,求二次函数的解析式要根据题目不同条件,灵活的采用不同类型的分析式作为解题模型,这样才能提高解题效率,另外所求的解析式最后要化为一般式。
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二次函数解析式的确定2
〈一〉三点式。
1, 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (3,0),B (32,0),C (0,-3)三点, 求抛物线的解析式。
2, 已知抛物线y=a(x-1)2+4 , 经过点A (2,3),求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1, 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A (2,1),求抛物线的解析式。
2, 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1, 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2, 已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=2
1a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1, 在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线222
5212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q , 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
2,抛物线y= x2 +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。
3,抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1,把抛物线y= -2x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2,抛物线3
2-
x
y向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.
-
=x
+
〈六〉距离式。
1,抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。
2,已知抛物线y=m x2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点,与轴交于C点,且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距
离的2倍,求抛物线的解析式。
2、已知抛物线y=-x2+ax+4, 交x轴于A,B(点A在点B左边)两点,交y轴于点
3OC,求此抛物线的解析式。
C,且OB-OA=
4
〈八〉对称式。
1,平行四边形ABCD对角线AC在x轴上,且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。
AD交y 轴于E,将三角形ABC沿x 轴折叠,点B到B1的位置,求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2,求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式。
〈九〉切点式。
1,已知直线y=ax-a2(a≠0) 与抛物线y=mx2有唯一公共点,求抛物线的解析式。
2,直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式。
〈十〉判别式式。
1、已知关于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,
求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。