二次函数解析式的确定
第18讲 二次函数的解析式的确定(解析版)(1)
第18讲 二次函数的解析式的确定【学习目标】二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．【基础知识】一、一般式2y ax bx c =++（0a ¹）（1）任何二次函数都可以整理成一般式2y ax bx c =++（0a ¹）的形式；（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．二、顶点式：()2y a x m k =++（0a ¹）（1）任何二次函数经过配方都可以整理成()2y a x m k =++（0a ¹）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（m -，k ）为抛物线的顶点坐标；（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；（3）对于任意的二次函数2y ax bx c =++，都可以配方为：22424b ac b y a x a a -æö=++ç÷èø的形式．三、交点式()()12y a x x x x =--（0a ¹）（1）交点式：()()12y a x x x x =--（0a ¹），其中x 1 ，x 2为二次函数图像与x 轴的两个交点的横坐标；（2）已知二次函数与x 轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；（3）已知二次函数与x 轴的交点坐标（x 1，0）、（x 2，0），可知其对称轴为122x x x +=；（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x x +=；（52y ax =0=时，即20ax bx c ++=，根据一元二次方程的求根公式可得：1x =2x =（6）对称式：12()()y a x x x x k =--+（0a ¹），当抛物线经过点（x 1，k ）、（x 2，k ）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式．四、二次函数2y ax bx c =++的平移（1）将二次函数2y ax bx c =++左右平移：向左平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =++++；向右平移m 个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c =-+-+．（2）将二次函数2y ax bx c =++上下平移：向上平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =+++；向下平移n 个单位，函数解析式变为2y ax bx c n =++-．（3）通常，在平移前，将二次函数2y ax bx c =++化成()2y a x m k =++的形式，再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．五、二次函数的轴对称1、关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x m k =++关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+-．2、关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-+六、二次函数的中心对称1、关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x m k =++关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x m k =---．2、关于顶点对称：2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x m k =++关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x m k =-++．3、关于点（p ，q ）对称：()2y a x m k =++关于点（p ，q ）对称后，得到的解析式是()222y a x m p q k =---+-．【考点剖析】考点一：一般式2y ax bx c =++（0a ¹）例1．已知二次函数的图像经过点A （1-，5-）、B （0，4-）和C （1，1）．求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】2234y x x =+-．【解析】设二次函数为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 代入二次函数解析式，可得：541a b c c a b c -+=-ìï=-íï++=î，解得234a b c =ìï=íï=-î．所以这个二次函数的解析式：2234y x x =+-．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．例2．已知二次函数2y ax bx c =++图像经过点（0，3）、（3，0）、（2-，5-）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值．【难度】★★【答案】（1）223y x x =-++；（2）函数有最大值，最大值为4y =．【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（2-，5-）代入二次函数解析式，可得：3930425c a b c a b c =ìï++=íï-+=-î，解得123a b c =-ìï=íï=î，所以这个二次函数的解析式：223y x x =-++；（2）2223(1)4y x x x =-++=--+，则当1x =时，函数有最大值，最大值为4y =．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．例3．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （2，3）、B （0，3）、C （4，5-）．（1）求该抛物线的解析式；（2）当x 为何值时，3y >？【难度】★★【答案】（1）223y x x =-++；（2）03x <<．【解析】（1）把A （2，3）、B （0，3）、C （4，5-）代入二次函数解析式，可得：42331645a b c c a b c ++=ìï=íï++=-î，解得123a b c =-ìï=íï=î．所以抛物线的解析式为：223y x x =-++；方法二：也可以利用AB 关于直线1x =对称，设二次函数解析式为2(1)y a x k =-+求解．（2）利用图像性质可得，当抛物线与直线3y =交于点(03)(23)，，，，故03x <<时，3y >．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围．例4．已知二次函数的图像经过点（0，3）、（3-，0）、（2，5-），且与x 轴交于A 、B 两点．（1）试确定该二次函数的解析式；（2）判定点P （2-，3）是否在这个图像上，并说明理由；（3）求PAB D 的面积．【难度】★★【答案】（1）223y x x =--+；（2）在；（3）6．【解析】（1）设二次函数为2y ax bx c =++，把（0，3）、（3-，0）、（2，5-）代入二次函数解析式，可得：4253930a b c c a b c ++=-ìï=íï-+=î，解得123a b c =-ìï=-íï=î．所以二次函数的解析式为：223y x x =--+；（2）把2x =-代入解析式，可得：222233y =-+×+=，所以点P （2-，3）在函数图像上．（3）(30)(10)A B -，、，，可得144362ABP AB S D ==´´=，．【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组和简单数形结合三角形面积求解．考点二：顶点式：()2y a x m k =++（0a ¹）例1．抛物线22y x bx c =++的顶点坐标是（1，2-），则b = ______，c = ______．【难度】★【答案】-4；0．【解析】设抛物线解析式为22()y x m k =++，因为顶点坐标为（1，2-），所以12m k =-=-，， 所以222(1)2240y x x x =--=-+．故b = -4，c = 0．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例2．已知抛物线的顶点坐标为（4，1-），与y 轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式．【难度】★【答案】21234y x x =-+．【解析】设抛物线解析式为2()y a x m k =++，因为顶点坐标为（4，1-），所以41m k =-=-，，所以2(4)1y a x =--，再把（0，3）代入，即得14a =．所以抛物线的解析式为：21234y x x =-+．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例3．如果0a >，0b >，0c >，240b ac ->，那么抛物线2y ax bx c =++经过第__________象限．【难度】★★【答案】一二四．【解析】根据0a >，可得开口向上；根据0b >，可得对称轴在y 轴左侧，根据0c >，可得与y 轴交于正半轴，由240b ac ->，可得与x 轴有两个交点，所以大致图像如下：【总结】考查学生根据顶点式以及系数与0大小关系判断图像．例4．已知二次函数的图像过点（1，5），且当x =2时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．【难度】★★【答案】22811y x x =-+．【解析】∵当x = 2时，函数有最小值3，∴设二次函数解析式为2(2)3y a x =-+，把（1，5）代入函数解析式可得2a =．∴二次函数的解析式为：22811y x x =-+．【总结】考查学生利用顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．例5．已知二次函数的图像的顶点坐标为A （2，1）且图像与x 轴的两个交点为B 、C （点B 在点C 的左侧），若ABC D 是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式．【难度】★★【答案】243y x x =-+-．【解析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，可得AH =1，∵ABC D 是等腰直角三角形，∴BH =AH =CH =1，即得B （1，0），C （3，0）；∵二次函数的图像的顶点坐标为A （2，1），∴设2(2)1y a x =-+， 把B 或C 代入可得1a =-．所以二次函数的解析式为：243y x x =-+-．【总结】考查学生利用几何知识求解顶点坐标，再根据顶点式求解二次函数解析式，以及解方程．考点三：交点式()()12y a x x x x =--（0a ¹）例1．已知二次函数的图像经过点（2-，0）、（1，0），且与y 轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．【难度】★【答案】233322y x x ==--+．【解析】∵二次函数的图像经过点（2-，0）、（1，0），∴设二次函数解析式为(2)(1)y a x x =+-，把（0，3）代入，可得32a =-．∴这个二次函数的解析式为：233322y x x ==--+．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例2．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点M （1-，0）、N （4，0）、P （1，12-）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】2268y x x =--．【解析】∵二次函数的图像经过点M （1-，0）、N （4，0），∴设二次函数解析式为(1)(4)y a x x =+-，把P （1，12-）代入，可得2a =．∴这个二次函数的解析式为：2268y x x =--．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例3．已知二次函数的图形与x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0），且函数有最小值5-，求二次函数的解析式．【难度】★★【答案】252015y x x =-+．【解析】∵二次函数的图形与x 轴的交点坐标是（1，0），（3，0）， ∴设二次函数解析式为(1)(3)y a x x =--， ∵（1，0），（3，0）关于直线2x =对称， ∴函数顶点为(2,5)-，∴把(2,5)-代入，可得5a =．方法二：也可以使用顶点公式2(2)5y a x =--，把（1，0），（3，0）代入．【总结】考查学生利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例4．已知抛物线，当x=3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1，且图像与x轴的两个交点之间的距离为2，求这个抛物线的解析式．【难度】★★【答案】268y x x =-+-．【解析】∵当x = 3时，抛物线最高点的纵坐标为1，∴顶点坐标为(3,1)， 又∵图像与x 轴的两个交点之间的距离为2，∴与x 轴的交点为(2,0)(4,0)， ∴设二次函数解析式为(2)(4)y a x x =--，∴把(3,1)代入，可得1a =-． 方法二：也可设顶点式．【总结】考查学生如何求出与x 轴交点坐标，然后利用交点式求解二次函数解析式，以及解方程．例5．抛物线2y ax bx c =++经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这个抛物线的解析式．【答案】21312y x x =-++．【解析】∵抛物线2y ax bx c =++经过（0，3）、（12，3），∴对称轴为直线6x =，∵顶点的纵坐标为6，∴顶点坐标为(6,6)，∴设二次函数解析式为2(6)6y a x =-+， ∴把（0，3）代入，可得112a =-．所以抛物线的解析式为：21312y x x =-++． 方法二：也可把解析式设成(0)(12)3y a x x =--+的形式再求解．【总结】考查学生根据交点式的特点，利用平移的特点设交点式求解二次函数解析式，以及解方程．考点四：二次函数2y ax bx c =++的平移例1．把抛物线2y ax bx c =++向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为212y x =-，求原来抛物线的解析式．【难度】★★【答案】21422y x x =---．【解析】根据平移法则即可，注意题目求的是原函数解析式，∴21(4)62y x =-++．【总结】主要考查二次函数的平移，注意看清楚谁是由谁平移的．例2．怎样平移抛物线234y x =-，才能使它经过点M （1-，2）和N （1，1-）两点？【难度】★★【答案】先向左平移1个单位，再向上平移2个单位．【解析】设抛物线向左平移m 个单位，向上k 个单位，可得解析式为23()4y x m k=-++把点M （1-，2）和N （1，1-）代入可得：2232(1)431(1)4m k m kì=--++ïïíï-=-++ïî，解得：12m k =ìí=î．【总结】主要考查二次函数的平移，综合性较强，注意审题．例3．已知二次函数的图象的顶点坐标为A （1，4-），且经过点（2，3-）．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式．【难度】★★【答案】（1）223y x x =--，（2）左平移3个单位，24y x x =+．【解析】（1）设抛物线解析式为2()y a x m k =++，因为顶点坐标为（1，4-），所以14m k =-=-，，所以2(1)4y a x =--，把（2，3-）代入，可得1a =．所以二次函数解析式为：223y x x =--． （2）图像经过坐标原点，设向左平移距离为d （d>0），2(1)4y x d =-+-经过（0，0），所以把原点代入可得3d =或1d =-（舍去）．【总结】主要考查顶点式求解析式，利用平移关系，待定系数法的运用．考点五：二次函数的轴对称例1．如果二次函数的图象与已知二次函数22y x x =-的图象关于y 轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ ）A ．22y x x =-+B ．22y x x=+C ．22y x x=--D ．212y x x=-【难度】★★【答案】B【解析】开口方向不变，对称轴关于y 轴对称后为直线1x =-且与y 轴交点为原点．【总结】考查图像的对称变换．例2．二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．1D ．0或3【难度】★★【答案】B【解析】∵二次函数的图象关于y 轴对称，∴230m m -=，0m =（舍去），3m =．【总结】考查图像的对称变换．例3．已知一个二次函数23y x bx =-++的图象经过点A （1，4）．（1）求b 的值；（2）求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式．【难度】★★【答案】（1）2b =；（2）223y x x =--．【解析】（1）∵二次函数的图象经过点A （1，4），∴把点A 代入可得2b =．（2）∵2(1)4y x =--+的顶点为点A （1，4），关于x 轴对称可得（1，-4），开口方向向上大小不变，∴2(1)4y x =--．【总结】代入求解解析式以及图像的对称变换．例4．已知二次函数()()13y x x =--与()()y x a x b =++的图象关于y 轴对称，求()()2211a b +++的值．【难度】★★【答案】20．【解析】二次函数()()13y x x =--与x 轴交于点（1，0）（3，0）， 其关于y 轴对称点为（-1，0）（-3，0），∴对称后的二次函数解析式为(1)(3)y x x =++， ∴13a b ==，；∴()()221120a b +++=．【总结】利用对称的特性求解点坐标，交点式的运用．考点六：二次函数的中心对称例1．函数2y x =与2y x =-的图象关于______轴对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕______旋转______得到的．【难度】★【答案】x 轴；原点；180°．【解析】如右图所示．【总结】利用图像对称的特征．例2．二次函数223y x x =--的图象关于原点O 对称的图象的解析式是__________．【难度】★★【答案】223y x x =--+．【解析】先配方成顶点式2(1)4y x =--可得顶点为(14)-，，其关于原点对称点为(14)-，，所以开口相反，大小不变可得223y x x =--+．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．例3．抛物线232y x x =++的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是__________．【难度】★★【答案】2532y x x =---．【解析】先配方成顶点式231(24y x =+-可得顶点为31(,24--，其关于顶点仍然为31(,)24--，所以开口相反，大小不变可得231(24y x =-+-．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．例4．二次函数21y x x =++的图象关于点A （2，0）对称的图象的解析式是_________．【难度】★★【答案】2921y x x =-+-．【解析】先配方成顶点式213(24y x =++，可得顶点坐标为13(24-，，其关于点A （2，0）对称为93()24-，，所以开口相反，大小不变可得293(24y x =---．【总结】利用点对称的特征，再根据顶点情况求解析式．【过关检测】一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）已知二次函数()221y x =--，那么该二次函数图像的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】A【分析】根据顶点式坐标直接得到二次函数图象的对称轴．【详解】解：∵二次函数的顶点式是()221y x =--，∴函数图象的对称轴是直线2x =．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴的求解方法．2．（2021·上海九年级专题练习）将抛物线22(1)y x =+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）A ．22(2)2y x =--B ．22(2)2y x =-+C ．22(4)2y x =+-D ．22(4)2y x =++【答案】A 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．【详解】将抛物线22(1)y x =+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的表达式是22(13)2y x =+--，即22(2)2y x =--，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．3．（2021·上海九年级专题练习）把二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到二次函数2231y x x =++，则a b c 、、的值分别为（ ）A ．2,1,2a b c ===B ．2=12a b c =-=,,C ．2,1,2a b c =-==-D ．212a b c =-=-=-，，【答案】B【分析】将新抛物线2231y x x =++向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到原抛物线的顶点式解析式，再化为一般式即可得出结论．【详解】解：∵将新二次函数2231y x x =++向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的解析式为()()2213112y x x =-+-++=222x x -+，则a ，b ，c 的值分别为a =2，b =-1，c =2，故选B ．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．4．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y ＝x 2+6x +1图象的对称轴是（ ）A ．x ＝6B ．x ＝﹣6C ．x ＝﹣3D ．x ＝42【答案】C【分析】先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数图象的对称轴．【详解】解：∵y =x 2+6x +1=（x +3）2-8，∴该函数图象的对称轴是直线x =-3，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是熟练运用配方法把二次函数解析式化为顶点式．5．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）抛物线2(1)(3)y x x =+-的顶点坐标是（ ）A ．(-1，8)B ．(1，-8)C ．(-1，-3)D ．(1，3)【答案】B【分析】根据题意可得抛物线与x 轴的交点坐标，进而可得抛物线的对称轴，然后代入抛物线解析式即可得顶点坐标．【详解】Q 2(1)(3)y x x =+-\抛物线的图像与x 轴的交点是()30，、()0-1，\对称轴是直线x=1，\当x=1时，y=-8，顶点坐标是()1，-8．故选B ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像与性质，关键是根据题意得到抛物线的对称轴，然后由对称轴得到抛物线的顶点坐标．6．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）二次函数(2)(4)y x x =+-的对称轴是 （ ）A ．直线x=-2B ．直线x=-4C ．直线x=1D ．直线x=-1【答案】C【分析】先根据抛物线的解析式求出此抛物线与x 轴的交点，再根据两交点关于对称轴对称即可得出其对称轴．【详解】解：∵抛物线的解析式为：y ＝（x ＋2）（x−4），∴此抛物线与x 轴的交点为，（−2，0），（4，0）∴其对称轴为：直线x ＝242-+＝1．故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知抛物线与x 轴的两交点坐标关于对称轴对称是解答此题的关键．二、填空题7．（2021·上海九年级一模）已知二次函数图像经过点()3,4和()7,4，那么该二次函数图像的对称轴是直线________．【答案】x=5【分析】根据抛物线的对称性可知：点()3,4和()7,4关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．【详解】解：∵二次函数图像经过点()3,4和()7,4，∴该二次函数图像的对称轴是直线x=3+72=5故答案为：x=5．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．8．（2021·上海九年级专题练习）已知一条抛物线具有以下特征：（1）经过原点；（2）在y 轴左侧的部分，图像上升，在y 轴右侧的部分，图像下降；试写出一个符合要求的抛物线的表达式：______．【答案】2y x =-（答案不唯一）【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，再把()0,0A 代入，得出符合条件的函数解析式即可．【详解】解：设出符合条件的函数解析式为：()20y ax bx c a =++¹，∵二次函数的图象在y 轴左侧部分是上升的，在y 轴右侧部分是下降的，∴该函数图象的开口向下，对称轴为y 轴，即0a <，0b =，∵函数图象经过()0,0A ，∴0c =，∴符合条件的二次函数解析式可以为：2y x =-（答案不唯一）．故答案为：2y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a 的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．9．（2021·上海九年级专题练习）二次函数24y x x =+图像的对称轴是直线__________．【答案】2x =-【分析】根据二次函数对称轴的公式可直接求解出结果．【详解】二次函数的对称轴为直线2b x a=-，14a b ==Q ，，\对称轴为直线4221x =-=-´，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，属于基础题，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解题的关键．10．（2020·上海九年级专题练习）抛物线2(0)y ax a =¹沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2y x =沿直线y x =时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．【答案】()211y x =-+【分析】沿直线y=x 则相当于抛物线y=ax 2(a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【详解】解:∵抛物线2y x =沿直线y x =，相当于抛物线()2y axa 0=¹向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+．故答案为:()2y x 11=-+．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．11．（2021·上海九年级二模）抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是直线_____．【答案】12x =-【分析】依据抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴方程x ＝2b a-，可以得出结论．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴方程x ＝2b a-，∴抛物线y ＝ax 2+ax +2（a ≠0）的对称轴是x ＝1=22a a --．即对称轴是x ＝12- ．故答案为：x ＝12-．【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴，掌握二次函数的对称轴的求法是解题的关键．12．（2021·上海九年级专题练习）二次函数y ＝x 2－4x ＋1图象的对称轴是直线______________．【答案】2x =【分析】根据抛物线的对称轴公式可求出对称轴方程．【详解】解：由抛物线的解析式可得对称轴为：4222b x a -=-=-=，故答案为：2x =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数()20y ax bx c a =++¹的对称轴为直线2b x a=-是解题的关键．13．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．【答案】()25 1.y x =--【分析】先求抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移k （k ＞0）个单位的函数解析式，再把()3,3代入平移后的解析式，求解k 即可得到答案．【详解】解：抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移k （k ＞0）个单位可得：2C ：()211,y x k =---把()3,3代入()211,y x k =---()23311,k \=---()224,k \-=22k \-=或22,k -=- 0k \=或4,k =经检验：0k =不合题意，取 4.k =()225 1.C y x \=--：故答案为：()25 1.y x =--【点睛】本题考查的是抛物线的平移，抛物线上的点的坐标特点，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题14．（2021·上海九年级专题练习）已知一个二次函数2y x bx c =++的图像经过点（4，1）和（1-，6）．求这个二次函数的解析式．【答案】241y x x =-+【分析】利用待定系数法确定二次函数的解析式．【详解】解：由题意，得()224+411(1)6b c b c ì×+=ïí-+×-+=ïî 解这个方程组，得41b c =-ìí=î∴所求二次函数的解析式是241y x x =-+．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式．解答该题的方程组时，采用了“加减消元法”来解方程组．15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知抛物线y ＝－x 2＋4x ＋m 与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝2，与y 轴交于点C ．（1） 求抛物线的解析式；（2） 若P 为对称轴上一点，要使PA ＋PC 最小，求点P 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）P 点坐标为（2，－1）【分析】（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，然后根据AB=2及抛物线的对称轴可求解A 、B 的坐标，进而抛物线解析式可求；（2）连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB ，则有PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，所以此时PA ＋PC 最小，然后求出直线BC 的解析式，进而问题可求．【详解】解：（1）设点A 的坐标为()1,0x ，点B 的坐标为()2,0x ，2121222x x x x +ì=ïíï-=î，∴1213x x =ìí=î， 把点A 的坐标（1，0）代入24y x x m =-++得3m =-，所以抛物线的解析式为243y x x =-+-；（2）解：连接BC ，交直线x ＝2于点P ，则PA ＝PB ，如图所示：∴PA ＋PC ＝PB ＋PC ＝BC ，∴此时PA ＋PC 最小，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C （0，－3），B （3，0）代入得330b k b =-ìí+=î，解得31b k =-ìí=î，∴直线BC 的解析式为y ＝x －3，当x ＝2时，y ＝x －3＝2－3＝－1，∴P 点坐标为（2，－1）．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知函数()()27322m y m x m -=-++-是二次函数．（1）求m 的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）-3；（2）()2625y x =-+-，开口方向向下，对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5）【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m 的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m 的值；（2）将m 代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a 的正负，对称轴为直线x=-h 以及顶点坐标为（-h ，k ），即可解决本题．【详解】解：（1）∵ 272m -=∴3m =±∵30m -¹∴m≠3∴3m =-（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为()2625y x =-+-∵a=-6＜0∴开口方向向下∴对称轴是直线2x =-，顶点坐标是（-2，-5）．【点睛】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键．17．（2018·上海格致中学九年级月考）把二次函数2'45y x x =---这个图像上下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y x =-的图像上，求平移后二次函数的解析式【答案】2(2)2y x =-++【分析】把这个二次函数的图象上、下平移，顶点恰好落在正比例函数y=-x 的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的横坐标不变，即可求得函数解析式．【详解】∵22'45(2)1y x x x =---=-+-，∴顶点坐标为(-2，-1)∵这个二次函数的图象只上、下平移，且顶点恰好落在正比例函数y x =-的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，∴顶点的横坐标不变为-2，纵坐标为2，∴顶点坐标为(-2，2)，∴函数解析式是：2(2)2y x =-++．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=-x 的图象上点的坐标特征．18．（2020·崇明县大同中学九年级月考）如图已知在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ．（1）求点A 坐标；（2）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标．【答案】（1）点A 的坐标为（﹣1，0）；（2）y ＝24833x x -++4，顶点坐标是（1，163）．【分析】（1）根据B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ，可以求得OA 的长，从而可以得到点A 的坐标；（2）根据点A 和点B 的坐标可以设出该抛物线的解析式，然后根据抛物线经过点C 可以求得该抛物线的解析式，再将解析式化成顶点式可得抛物线的顶点坐标．【详解】解：（1）∵B （3，0），C （0，4），点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ，∴OC ＝4，∴OA ＝1，∴点A 的坐标为（﹣1，0）；（2）设这条抛物线的解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣3），∵点C （0，4）在此抛物线上，∴4＝a （0+1）（0﹣3），解得，a ＝﹣43，∴y ＝﹣43（x+1）（x ﹣3）＝24833x x -++4＝﹣2416(1)33x -+，∴该抛物线的顶点坐标为（1，163），即这条抛物线的解析式为y ＝24833x x -++4，它的顶点坐标是（1，163）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．（2020·上海）已知：抛物线2y x bx c =-++，经过点A(-1,-2)，B(0,1).（1）求抛物线的关系式及顶点P 的坐标.（2）若点B′与点B 关于x 轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m 个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′.①求∠P′B B′的大小.②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M 处，设点N 在（1）中的抛物线上，当△MNB′的面积等于时，求点N 的坐标.【答案】（1）221y x x =-++，顶点坐标()12P ，；（2）①120P BB ¢¢Ð=o ，②当MNB S ¢D =时，点N 的坐标为()47N -，或()27N --，.【分析】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)即可求出m ，得出顶点坐标()2P ¢，连结P B ¢，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H ¢=,HB=1，P’B=2求出tan P H P BH BHÐ=¢=¢得60P BH Ð=¢o ,故可得P BB Т¢的度数②根据题意作出图形，根据旋转的性质与MNB S ¢D =，解得三角形的高6h =；故设()7N a -，或()5N a ，分别代入221y x x =-++即可求出N 的坐标.【详解】（1）把点A （-1，-2）B （0,1）代入2y x bx c =-++得2=11b c c---+ìí=î解得=21b c ìí=î∴抛物线的关系式为：221y x x =-++，得y=-(x-1)2+2；∴顶点坐标为()12P ，.（2）①设抛物线平移后为()2112y x m =--++，代入点B’(0,-1)得，-1=-(m-1)2+2解得11m =+，21m =+（舍去）；∴(212y x =-++，得顶点()2P ¢连结P B ¢，P’B’，作P’H ⊥y 轴，垂足为H ，得P H ¢=,HB=1，=2∵tan P HP BH BH Ð=¢=¢,∴60P BH Ð=¢o ,∴18060120P BB o o o Ð=-=¢¢.②∵2BB ¢=,2P B ¢=即BB P B ¢=¢,∴30BP B P B B ¢¢¢¢Ð=Ð=o ;∵线段P B ¢¢以点B ¢为旋转中心顺时针旋转120o ，点P ¢落在点M 处;∴90OB M Ð=¢o ,B M B P ¢=¢¢∴//MB x ¢轴，B M B P ¢¢=¢=。
怎样确定二次函数的解析式
确定二次函数的解析式一、一般方法（1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式．例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．（2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当．例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．（3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便．例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．二、利用抛物线与x轴交点间的距离求二次函数的解析式例1 已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象经过⎪⎭⎫⎝⎛-25,0A和)6,1(--B两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．三、其它已知条件，灵活运用不同方法求解1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为3，求此抛物线解析式2、.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
3、.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于M ，抛物线顶点为P ，且PB=25（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标和它的解析式（2）△MOP （O 为坐标原点）的面积。
4、已知抛物线y=x 2－(2m －1)x+m 2－m －2 （重要提示：三角形的高要加绝对值）（1）证明抛物线与x 轴有两个不同的交点（2）分别求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的横坐标x A ,x B ,以及与y 轴的交点C 的纵坐标y C （用含m 的代数式表示）（3）设△ABC 的面积为6，且A 、B 两点在y 轴的同侧，求抛物线的解析式。
二次函数解析式确定
小结：
y=- 1 x 2。 25
当知道抛物线的顶点坐标为原点， 且对称轴是 y 轴时， 要求二次函数的解析式，
思路如下：
通常的解题
2
①设二次函数的解析式为： y=ax （ a≠0）
②把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于 ③解方程，求得 a 值；
a 的一元一次方程；
④把 a 的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路
线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
解：
（1） y 1 (x 5
1 x2
8 x
55
4)2 16 5
所以，抛物线 y
1 x2 8 x 的开口向下，顶点为 55
4，16 ，对称轴为直线 x 4 。 5
2
4.2 二次函数关系式设为： y=ax +bx（ a≠ 0）
例 2、（ 2008 年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物
线y
1 x2 8 x ，其中 y （ m）是球的飞行高度， x （m）是球飞出的水平距离，结果球 55
离球洞的水平距离还有 2m，如图 2 所示。
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．
。
小结： 当知道抛物线的顶点坐标： M（ h， 0）和抛物线上的一个点 要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
2
①设二次函数的解析式为： y=a（ x-h ） a≠ 0）
பைடு நூலகம்
A（ x1， y1）时，
②把点 A 的坐标代入所设的解析式中，转化成关于
a 的一元一次方程；
二次函数解析式的确定-三点与交点式
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解即为二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
若一元二次方程有两个相等的实根 $x_1 = x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有一个交点，即抛物线的顶点。
若一元二次方程有两个不相等的实根 $x_1, x_2$，则二次函数图像与 $x$ 轴有两个交点，且这两个交点关于对 称轴对称。
灵活选用方法
在求解二次函数解析式时，可以根据题目给出的条件灵活选用适当的方法。如果已知三个 点的坐标，则可以使用三点确定二次函数解析式的方法；如果已知与$x$轴的两个交点和 另外一点的坐标，则可以使用交点式确定二次函数解析式的方法。
注意方程组的解法
在使用三点确定二次函数解析式的方法时，需要解一个包含三个未知数的方程组。在解方 程组时，可以使用代入法或加减法等方法进行求解。
构造方程组求解系数
设二次函数的解析式为$y = ax^2 + bx + c$。 将三个点的坐标分别代入解析式，得到如下方程组
构造方程组求解系数
$begin{cases} y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c
y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c
构造方程组求解系数
• y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c
设二次函数解析式为$y = a(x x_1)(x - x_2)$，将点$(x_0,
y_0)$代入解析式，得到一个方 程。
解这个方程，可以求得$a$的值， 从两个交点 $(x_1, 0), (x_2, 0)$，以及另一个不在 $x$轴上的点$(x_3, y_3)$。
二次函数图像的变换及解析式的确定(必考)
2，解得a=2,∴抛物线的解析式为 = ሺ − ሻ − = − + .
>
/m
<
解法2：∵抛物线 = + + 的对称轴为x=2，且与x轴交于点(1,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴抛物线的解析式为 = ሺ −
+ ሻሺ − ሻ，把(0,3)代入，得a·3×(-1)=3，解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为 = −ሺ + ሻሺ − ሻ，
即 = − − + .
>
m
<
>
/m
<
类型8 利用平移变换求抛物线解析式
（人教九上P35例3改编）将二次函数 = 22 + 4 + 1 的图象向右平移2个
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
续表
变换形式
图象关系
点坐标变化
横坐标 互
>
m
<
关于 轴
>
m
<
>
m
<
>
/m
<
>
/m
<
为相反数，
>
/m
<
系数关系
不变
______
本质
相同
开口方向______
相 − 值______，
变号
互为____
2
反数
二次函数解析式的确定
二次函数解析式的确定待定系数法（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组211122222333y ax bx cy ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++．温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式． （2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠由于222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图像的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，就可以设二次函数形如22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bx a=-又称为二次函数图像的对称轴． 温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式． （3）交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠我们知道，()()22212424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭，这里12x x ，分别是方程20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图像与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式． 温馨提示：已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式． （4）对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠温馨提示：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化【例1】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【巩固】已知一个二次函数过()00，、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式． 已知抛物线经过三点A （0，2），B （1，0），C （-2，3），求二次函数的解析式。
二次函数的解析式的确定
二次函数的解析式的确定二次函数解析式的确定二次函数的研究必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环。
本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解析式的方法。
重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法，从而快速准确地确定二次函数的解析式。
一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)任何二次函数都可以整理成一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)的形式。
如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。
模块一：一般式y=ax^2+bx+c(a≠0)例1：已知二次函数的图像经过点A（-1，-5）、B（0，-4）和C（1，1）。
求这个二次函数的解析式。
解析：设二次函数为y=ax^2+bx+c，把A、B、C代入二次函数解析式，可得：a-b+c=-5a+b+c=-4a+b+c=1解得a=2，b=3，c=-4.所以这个二次函数的解析式：y=2x^2+3x-4.例2：已知二次函数y=ax^2+bx+c图像经过点（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）。
1）求这个二次函数的解析式；2）求这个二次函数的最值。
解析：（1）把（1，3）、（3，-5）和（-2，-5）代入二次函数解析式，可得：a-b+c=39a+3b+c=-54a-2b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4，则当x=1时，函数有最大值，最大值为y=4.例3：已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）。
1）求该抛物线的解析式；2）当x为何值时，y>3？解析：（1）把A（2，3）、B（0，3）和C（4，-5）代入二次函数解析式，可得：a+b+c=3c=316a+4b+c=-5解得a=-1，b=2，c=3.所以这个二次函数的解析式：y=-x^2+2x+3；2）将y>3代入解析式，得到-x^2+2x>0，解得13.已知二次函数的图像经过点（0，3）、（-3，-5）、（2，-3），且与x轴交于A、B两点。
二次函数解析式的确定
二次函数解析式的确定 本讲例题及随堂练习待定系数法求函数解析式二次函数的三种表达式一般式：y=c bx ax ++2（a ，b ，c 为常数，a ≠0）顶点式：y=k h x a +-2)( [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x ₁)(x-2x ) [仅限于与x 轴有交点A （x ₁ ，0）和 B （x ₂，0）的抛物线一般式：例1、已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。
练习、已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。
求这个二次函数的解析式。
顶点式：例2、已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
练习1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。
练习2： 已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
练习3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。
练习4：一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，。
求这条抛物线的解析式。
两点式：例3、已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的解析式。
练习： 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为(0，－3)，求这个二次函数解析式。
结论:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;•如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2).例4、 根据下列条件，求抛物线的解析式．（1）经过点（0，-1），（1，12-），（-2，-5）； （2）经过点（-3，2），顶点是（-2，3）；（3）与x 轴两交点坐标分别为（-2，0），（2，0）并且与y 轴交于点（0，-2）．例5、已知函数y=x 2＋bx ＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．例6、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？例7、如图所示，求二次函数的关系式。
确定二次函数解析式的常用方法
确定二次函数解析式的常用方法求二次函数的解析式是初中函数学习的重点,其常用方法就是待定系数法,选择什么样形式的解析式来求解,要根据题目的条件而定,下面介绍求二次函数解析式的三种常用方法：一、已知三点坐标，通常选择一般式：y=ax2+bx+c：例1、已知二次函数的图象经过三点（1，1），（-1，7），（2，4），求其解析式。
解：设二次函数的解析式y=ax2+bx+c,把三点坐标代入得：a+b+c=1 a=2a-b+c=7 解得 b=-34a+2b+c=4 c=2∴二次函数的解析式为：y=2x2-3x+2。
二、已知顶点和另一点，通常选择顶点式：y=a(x-h)2+k。
例2、已知抛物线的顶点为（-1，-3），与y轴交点为（0，-5），求此抛物线的解析式。
解：∵抛物线的顶点为(-1,-3)。
∴设其解析式为y=a(x+1)2-3。
把(0,-5)代入上式得：-5=a-3, 则a =-2∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3即：y=-2x2-4x-5，（最后要化为一般式）三、已知抛物线与x轴的两个交点A（x1,0）,B(x2,0) 和另一条件时，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。
例3、已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点，求此抛物线的解析式。
解：∵点B（1，0），C（5，0）是抛物线与X轴的交点。
∴可设其解析式为y=a(x-1)(x-5)。
把点A（0，3）坐标代入上式得：3=a(0-1)(0-5), 解得a=3/5∴所求抛物线的解析式为y=3/5（x-1 ）（x-5）即：y=3/5 x2-18/5 x+3，（最后要化为一般式）由此可以看出，求二次函数的解析式要根据题目不同条件，灵活的采用不同类型的分析式作为解题模型，这样才能提高解题效率，另外所求的解析式最后要化为一般式。
二次函数几种解析式求法
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？
解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，，∴A（-3.6，0），
B（3.6，0），P（0，3.6）。
又∵P（0，3.6）在图像上，
当x=OC=0.8时，
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法： 待定系数法、配方法、数形结合等。 2、求二次函数解析式的 常用思想： 转化思想 : 解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解，最后 结果最好化为一般式。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为 ∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∵A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上， ∴ 即：
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大 高度为3.6m，跨度为7.2m．一辆卡车车高3米，宽1.6米， 它能否通过隧道？ 分析：卡车能否通过，只要看卡 车在隧道正中间时，其车高3米是否 超过其位置的拱高。 即当x= OC=1.6÷2=0.8米时， 过C点作CD⊥AB交抛物线于D点， 若y=CD≥3米，则卡车可以通过。
二次函数的几种解析及求法
一、二次函数常用的几种解析式的确定
1、一般式
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式
第06讲二次函数解析式的确定(5种解题方法)(原卷版)
第06讲二次函数解析式的确定（5种解题方法）1.一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 2.顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴直线x = h ，最值为当x = h 时，y 最值=k 来求出相应的系数. 3.交点式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 4.平移变换型将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2+ k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变． 5.对称变换型根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．解法一：一般式1.一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知一个二次函数的图象经过（﹣1，10），（1，4），（2，7）三点．求这个二次函数的解析式，并求出它考点精讲考点考向的开口方向、对称轴和顶点坐标．3.二次函数图象过A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB＝OC，求二次函数的表达式．4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式．解法二：顶点式1.设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．2.已知二次函数当x＝1时有最大值是﹣6，其图象经过点（2，﹣8），求二次函数的解析式．解法三：交点式1.抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣42.如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B，点C分别为x轴，y轴正半轴上一点，其满足OC＝OB＝2OA．求过A，B，C三点的抛物线的表达式；4.已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点，且BC＝5，求该二次函数的解析式．解法四：平移变换型1.将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．2.将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．3.已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．4.抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移√2个单位，求平移后的解析式．解法五：对称变换型1.已知抛物线y＝﹣2x2+8x﹣7．（1）二次函数的图象与已知抛物线关于y轴对称，求它的解析式；（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与已知抛物线关于原点对称，求a，b，c的值．2.已知二次函数y=12x2﹣3x+1（1）若把它的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，求所得图象的函数表达式．（2）若把它的图象绕它的顶点旋转180°，求所得图象的函数表达式．（3）若把它绕x轴翻折，求所得图象的表达式．3.已知抛物线C1:y=59(x+2)2−5的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．4.将抛物线C1：y=18（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．一、单选题1．（2021·上海杨浦·九年级三模）将抛物线2y x 向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（ ）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．2(2)y x =-D ．2(2)y x =+2．（2021·上海九年级专题练习）将二次函数2y x 的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ） A ．21y x =-B ．21y x =+C ．2(1)y x =-D ．2(1)y x =+3．（2021·上海）抛物线2(5)1y x =+-先向右平移4个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．21884y x x =++B ．224y x x =++C ．21876y x x =++D ．222y x x =+-4．（2021·上海静安·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位5．（2021·上海）如果将抛物线y ＝x 2+2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+2B ．y ＝（x+1）2+2C ．y ＝x 2+1D ．y ＝x 2+36．（2010·上海浦东新·七年级竞赛）如表所示，则x 与y 的关系式为（ ） x 1 2 345y 3 7 13 21 31 A ．y=4x1B ．y=x 2+x+1C ．y=（x 2+x+1）（x1）D ．非以上结论巩固提升7．（2021·上海九年级专题练习）如果A(2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是 ( ) A ．2y x = B ．2y x=-C ．2y x =-D ．2y x二、填空题8．（2011·上海浦东新区·中考模拟）请写出一个图像的对称轴为y 轴，且经过点(2，－4)的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是____________9．（2021·上海九年级专题练习）用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图像时，列出了如下的表格：x… 0 1 2 3 4 … 2y ax bx c =++…3- 013-…那么当5x =时，该二次函数y 的值为___________．10．（2020·崇明县大同中学九年级月考）已知二次函数的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6），并且该图象经过点（2，3）表达式为_______．11．（2020·上海市静安区实验中学）若函数2(1)y m x =+过点(1，4)，则m=_______．12．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线的顶点为()1,3-，且与y 轴交于点()0,1，则抛物线的解析式为______.13．（2021·上海九年级专题练习）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）14．（2021·上海九年级专题练习）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．15．（2021·上海青浦·九年级二模）如果将抛物线y ＝﹣x 2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是__________．16．（2021·上海崇明·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 在x 轴上，且OA ＝4，如果抛物线y ＝ax 2+bx +c 向下平移4个单位后恰好能同时经过O 、A 、B 三点，那么a +b +c ＝_____．三、解答题17．（2021·上海宝山·九年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =+-≠经过点()()2,0,1,0A B -和点()3,D n -，与y 轴交于点C ，（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）将抛物线平移，使点C 落在点B 处，点D 落在点E 处，求ODE 的面积； （3）如果点P 在y 轴上，PCD 与ABC 相似，求点P 的坐标．18．（2021·上海宝山区·九年级三模）如图，在直角坐标平面xOy 内，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限内，且∠OAB ＝90°，∠BOA ＝30°，OB ＝4.，二次函数y ＝﹣x 2＋bx 的图象经过点A ，顶点为点C ． （1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C 的坐标；（2）设这个二次函数图象的对称轴l 与OB 相交于点D ，与x 轴相交于点E ，求DEDC的值； （3）设P 是这个二次函数图象的对称轴l 上一点，如果△POA 的面积与△OCE 的面积相等，求点P 的坐标．19．（2021·上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．20．（2017·上海杨浦区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ． （1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值．21．（2021·上海普陀区·）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD与直线BC交于点E．（1）求b、c的值和直线BC的表达式；（2）设∠CAD＝45°，求点E的坐标；（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示△ACE与△DCE的面积比．22．（2021·上海青浦·九年级二模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D．（1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO＋∠PEO）＝52时，求OE的长．23．（2021·上海中考真题）已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q ．（1）求抛物线的解析式；轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB x①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．。
7.第七节 二次函数解析式的确定(含平移)
＋2＝0，解得a＝－1.
∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋2.
练习2题图
形式二 a，b，c中三个未知 练习3 已知抛物线经过点(0，－6)，点(2，－4)和点(3，0)，求抛物线的解 析式．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
将点(0，－6)，点(2，－4)和点(3，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，得 a＝1
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线顶点G的坐标为(1，4)；(5分)
题图
(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个 单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点， 求点Q的纵坐标yQ的取值范围． (2)抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1. ∵点M，N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， ∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为－4或6， ∴点M的纵坐标为－5，点N的纵坐标为－21.(8分) 又∵点M在点N的左侧， ∴当点M的坐标为(－2，－5)时，点N的坐标为(6，－21)，∴－21≤yQ≤4； 当点M的坐标为(4，－5)时，点N的坐标为(6，－21)，∴－21≤yQ≤－5.(10分)
1 “过”考点 2 河南6年真题 3 重难点精讲优练
方法 具体求法
步骤
二次函数解 析式的确定
二次函数解 析式的确定 （含平移）
二次函数 图象的平移
从图象上考虑 从解析式上考虑
“过”考点
【对接教材】人教：九上P28～P42； 北师：九下P42～P45； 华师：九下P21～P24.
考点 1 二次函数解析式的确定
重难点精讲优练
二次函数解析式的确定
一、待定系数法确定二次函数解析式 形式一 a，b，c中一个或两个未知 练习1 已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，求抛 物线的解析式．
二次函数的解析式的确定
图像特点
二次函数图像为抛物线，开口方 向由二次项系数\(a\)决定。
顶点坐标
顶点坐标为\((-b/2a, f(-b/2a))\)。
顶点形式的二次函数
顶点形式更容易解释二次函数的图像平移和伸缩。顶点形式为： $$f(x) = a(x-h)^2 + k$$
解析式示例
例如：$$f(x) = 2(x-3)^2 + 1$$
图像特点
通过调整顶点的坐标\((h,k)\)，我 们可以平移和伸缩二次函数的图 像。
顶点坐标
顶点坐标为\((h,k)\)。
因式形式的二次函数
因式形式可以帮助我们迅速找到二次函数的根和$x$轴的交点。因式形式为： $$f(x) = a(x-r_1)(x-r_2)$$
解析式示例
例如：$$f(x) = 2(x-1)(x+3)$$
二次函数的解析式的确定
了解二次函数的不同形式以及如何确定解析式，包括标准形式、顶点形式和 因式形式。
标准形式的二次函数
通过探索二次函数的标准形式，我们可以了解其特点和图像的外观。标准形式为： $$f(x) = ax^2 + bx + c$$
解析式示例
例如：$$f(x) = 2x^2 + 3x - 5$$ຫໍສະໝຸດ 解二次方程的技巧和常见错误
掌握一些技巧可以更轻松地解决二次方程，同时避免一些常见的错误。
1 技巧
例如，可以使用因式分解、配方法或二次公式等方法来解决二次方程。
2 常见错误
避免在计算中出现符号错误、忽略或误解负数解等错误。
图像特点
二次函数与$x$轴的交点即为根， 可用于求解方程。
根的性质
根的坐标为\((r_1,0)\)和\((r_2,0)\)。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种方法二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的函数，其中$a \neq 0$。
它是数学中的基本函数之一，广泛应用于物理学、经济学、工程学等学科中。
解析式是指能够明确表达函数关系的数学表达式。
下面将介绍三种常用的方法来确定二次函数的解析式。
第一种方法是使用差值法。
差值法是通过给定的点来确定二次函数的解析式。
假设已知二次函数过三个不同的点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，$(x_3,y_3)$，那么可以将这三个点带入二次函数的解析式中，得到如下的方程组：$$\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=y_1 \\ax_2^2+bx_2+c=y_2 \\ax_3^2+bx_3+c=y_3 \\\end{cases}$$解这个方程组可以得到$a$，$b$，$c$的值，从而确定二次函数的解析式。
第二种方法是使用顶点法。
顶点法是通过二次函数的顶点坐标来确定解析式。
二次函数的顶点坐标可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$来求得。
将这个顶点坐标代入二次函数的解析式中，可以得到一个等于顶点对应的函数值的方程。
结合另外一个给定点的坐标，可以得到一个方程组。
解这个方程组可以得到$a$，$b$，$c$的值，从而确定二次函数的解析式。
第三种方法是使用因式分解法。
因式分解法是将二次函数的解析式进行因式分解，从而得到函数的解析式。
对于一般形式的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以将其写成$y=a(x-p)(x-q)$的形式，其中$p$和$q$是实数。
展开右边的乘积，可以得到如下的方程：$$ax^2+bx+c=a(x^2-(p+q)x+pq)$$通过比较系数，可以得到以下等式：$$\begin{cases}p+q=-\frac{b}{a} \\pq=\frac{c}{a}\end{cases}$$解这个方程组可以得到$p$和$q$的值，从而确定二次函数的解析式。
以上就是三种常用的方法来确定二次函数解析式的介绍。
二次函数解析式的确定(10种)
二次函数解析式的确定2〈一〉三点式。
1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点， 求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ， 直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。
1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
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二次函数解析式的确定（5）
1、已知抛物线y＝ax2经过点A(1，1)．求这个函数的解析式；
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，
求此二次函数的解析式．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，
求抛物线的解析式．
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象经过（1，3），求函数解析式．
5.已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．
求a、b、c，并写出函数解析式．
6.已知二次函数为x＝4时有最小值 -3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，
求此二次函数解析式．
7．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．
8．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式．
25求二次函数解析式．9．二次函数y＝x2－mx＋m－2的图象的顶点到x轴的距离为,
16
2的最小值为1，求m的值．
10．已知二次函数m
-
=6
y+
x
x
11．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；
(3)求△OAB的面积；
12．若抛物线沿y轴向上平移2个单位后，又沿x•轴向右平移2个单位，得到的抛物线的函数关系式为y=5（x-4）2+3，求原抛物线的函数关系式．
13.已知一次函数y=－2x+c与二次函数y=ax2+bx－4的图象都经过点A(1，－1)，二次函数的对称轴直线是x=－1，请求出一次函数和二次函数的表达式.
14.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点,已知点A的横坐标是3,求A、B两点
坐标及抛物线的函数关系式.。