中考数学,二次函数性质综合题

第二部分 题型研究

题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型

针对演练

1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝4

3x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x

的取值范围．

2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2

－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . (1)求点A ，B 的坐标；

(2)若抛物线在－2≤x ≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值；

(3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．

第2题图

3. 已知二次函数y ＝kx 2

＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2.

(1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；

(2)点A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系．

4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2

＋x －1)的图象交于点A (1，k )和点B (－1，－

k )．

(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

考向2) 函数类型不确定型(杭州：，，

针对演练

1. (2012杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．

2. (2015杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．

(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；

(2)根据图象，写出你发现的一条结论；

(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．

第2题图

3. (2011杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．

(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；

(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；

(3)对任意负．实数k，当x＜m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．

4. 已知函数y＝(k－1)x2＋x－k＋2(k为常数)．

(1)求证：不论k为何值，该函数的图象与x轴总有交点；

(2)当k为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点；

(3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k值；若不存在，请说明理由．

5. 已知关于x的函数y＝kx2＋(2k－1)x－2(k为常数)．

(1) 试说明：无论k取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)；

(2) 在x >0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；

(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，

求此时k 的值．

6. 关于x 的函数y ＝2kx 2

＋(1－k )x －1－k (k 是实数)，探索发现了以下四条结论： ①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点； ②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，8

3

)；

③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3

2；

④当k ≠0时，函数图象总经过两个定点． 请你判断四条结论的真假，并说明理由．

答案

1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝4

3

x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8，

①当n ＝8时，一次函数为y 2＝4

3

x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，

∵抛物线y 1＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，

∴这时抛物线开口向下，B (10，0)； 如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，

由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2；

第1题解图①

②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝43

x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)，

∵抛物线y 1＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，

∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，

如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；

第1题解图②

综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2. 2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A (0，－2)，

∵抛物线的对称轴为直线x ＝－

－2m

2m

＝1， ∴B (1，0)；

(2)易知抛物线y ＝mx 2

－2mx －2的对称轴为x ＝1， 当m ＞0时，抛物线开口向上，

∵－2≤x ≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2， ∴－m －2＝－3，∴m ＝1， 当m ＜0时，抛物线开口向下，

y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18

.

故m 的值为1或－1

8

.

(3)易得A 点关于对称轴直线x ＝1的对称点A ′(2，－2)， 则直线l 经过A′、B ，

设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，