6 简单的超静定问题ppt课件
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材料力学第六章静不定
FHale Waihona Puke 5、列补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程
材料力学
.
6
FN2l2FN3l3FN1l1cos
E2A2 E3A3 E1A1
解得
FN1
1
F 2E2A2l1
cos2
E1 A1l2
FN2 FN3 2cosE F2A E21l1 Ac1lo2s
材料力学
.
7
OAB为刚性梁，写几何方程。
450
①
②
O
A
B
l
l1 l l2
l
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。
F
①
F
O
B l1 C
bA
l2 sin 45o
2l1
②
l
l
l
EAsF in N 1 2 clos2EAsiF nN b2closb
FN1 sin 2 FN2 sin 2b
l1 2 l2
sin sin b
l1F E N A 1(co 2 sl)， l2F E N A 2(colsb)
材料力学
.
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
2
l2 l2
2l1 2l1
变形协调方程 。
6-简单超静定问题
4、补充方程
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
超静定问题
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl
GI p
T ( x)dx
l GI p
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面 C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力 偶矩。
m
A
C
a
B
b
解：
A
m
C
ɑ
m
B
b
mA
mB
静力平衡方程为： mA mB m
变形协调条件为： AB AC CB 0
即： mA a mB b 0 GIp GIp
例题 6.1
有载荷F,垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横 梁AB的自重不计,求两杆中的内力.
MA 0
1
A
C
2
L1
FN1a FN22a F2a 0
B
变形协调方程
a
a
F
FN1
FN 2
A
B
C L1
L2
a
a
F
2L1 L2
2 FN1L FN 2L E1 A1 E2 A2
FN1
1
2F 4E2 A2
第六章 简单的超静定问题 q
1.超静定问题及其解法
A
B
l
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由 平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静 定问题,相应的结构称为静定结构.
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程 无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问 题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
E1 A1
FN 2
4
4F E1 A1
E2 A2
L
1.8L LDB
例题 6.2 图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和 C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积
材料力学第六章静不定
FN2
FN3
（c） F
材料力学
中南大学土木工程学院
13
静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B
C
D
B
刚度较大 内力较大
A
F
材料力学
中南大学土木工程学院
C
刚度增加 内力不变
A
F
14
静不定结构的特点（2） 配应力
——装
B
C
B
D
C
A
静定结构 ——无装配应力
A
中南大学土木工程学院
8
OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同，
EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
O
l2 sin 450
2l1
即 l2 2l1
450
①
②
a
A l1
a
l2
B
F
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联
立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
小技巧
l1
FN1
2 3
EA
l ，l2
1F.5NE2lA，l3
FN3
2 3
2EA
l
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 23 F 0.76F
FN2 3
3 2 F 0.14F 23
求拉压静 不定结构 注意事项
32 2 3 FN3 23 F 1.24F ()
材料力学
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
第六章超静定问题PPT课件
1 2
EA
，
E3 A3
FN3
eE3 A3 l
1
1 E3 A3
2EA
所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为 压力是正确的。
5. 各杆横截面上的装配应力如下：
1
2
FN1 A
74.53 MP a
（拉应力）
3
FN3 A3
19.51MP a
（压应力）
第26页/共59页
钢管横截面上任意点的切应力为
b
Tb
I pb
GbM e
Ga Ipa Gb Ipb
cos3
E3 A3
解答表明，各杆的轴力与其刚度有关。
第11页/共59页
例6-2 求图示杆的支反力。
RA
解： 平衡方程：
A
A
RA RB P 0
(1)
变形协调条件：
lAB lAC lBC 0 (2)
物理关系：
LAB
RAa EA
RB b EA
(3)
a l
b
C
P
P
B
B
RB
联解得：
RA
b l
M A
M eb l
C
TAC a GIp
Meab
lGIp
第36页/共59页
例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受 扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘 出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。
(a)
第37页/共59页
Tb Ta
(b)
第9页/共59页
Bx
Bx FB
§6-2 拉压超静定问题
第六章简单超静定问题共68页
Δ1lΔ2lF EN 1A l11 1E1A F1N cl1oαs
l3
FN3l E3 A3
3
2
1
A
Δ1lΔ2lF EN 1A l11 1E1A F1N cl1oαs
l1 l3
A2 A1
由变形协调方程和物理方程，可得到补充方程。
FN1l FN3l cos E1A1cos E3A3
FN3
FN1
E3A3
超静定次数 ——未知力个数与独立平衡方程数 之差 多余约束 —— 保持结构静定多余的约束
B
D
A
F
B
BC
D
A
D
F
A F
二、求解超静定问题的基本方法
方法1：寻找补充方程法（适用于求解拉压超
静定） 因为未知力个数超过了独立的平衡方程数，必须寻 找补充方程。 寻找补充方程的途径： 利用结构的变形条件
结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件：
例题
两端固支的直杆AB，长度为l ，抗拉刚度为EA， 热膨胀系数为α l。
求：温度升高 t 后0c杆内的应力。
A
B
l
解：
本问题为一次超静定 A
静平衡方程
l
Fx 0 FRAFRB
变形协调方程
l lT lF0
FRA A
物理方程
lT l lt
lF
FRAl EA
联解，得： F RA F RB EA l t
FAFBF
变形条件：
FA
BFBF B0A
A
A
A
物理条件：
a
B
F
Fa EA
F
F
F
B FB
FBl EA
《超静定总论》课件
内力计算
超静定结构的内力计算是结构设计中的重要环节之一。通过合理的计算方法和计算程序，可以准确地计算出超静定结 构的内力分布情况，为结构设计提供可靠的依据。
内力优化
为了提高超静定结构的承载能力和稳定性，需要进行内力优化设计。通过合理的优化方法和优化程序， 可以有效地优化超静定结构的内力分布情况，提高其承载能力和稳定性。
03
变形控制
超静定结构的变形控制是结构设计中的重要环节之一。通过合理的结构
设计和技术措施，可以有效地控制超静定结构的变形量，以满足工程中
的要求。
内力特性
内力分布
超静定结构的内力分布比较复杂，因为其受力性能受到多个因素的影响。在结构设计时，应充分考虑超静定结构的内 力分布情况，以确定其承载能力和稳定性。
04
超静定结构的优化设计
优化目标
结构安全
确保超静定结构在各种工况下 的安全性，满足强度、刚度和
稳定性要求。
经济性
在满足安全性和功能需求的前 提下，降低结构成本，提高经 济效益。
美观性
优化结构形式和布局，使其符 合美学要求，提升建筑整体视 觉效果。
施工便利性
考虑施工的可操作性和便利性 ，降低施工难度和成本。
静不定次数
超静定结构的未知约束力 和未知位移的数量。
超静定的分类
按超静定次数分类
01
一次超静定、二次超静定、三次超静定等。
按结构形式分类
02
连续梁、刚架、拱等。
按载荷形式分类
03
固定载荷、可动载荷、分布载荷等。
超静定问题的求解方法
01
力法
通过解除多余约束，将超静定问 题转化为静定问题，再求解未知 力。
优化方法
数学模型建立
超静定结构的内力计算是结构设计中的重要环节之一。通过合理的计算方法和计算程序，可以准确地计算出超静定结 构的内力分布情况，为结构设计提供可靠的依据。
内力优化
为了提高超静定结构的承载能力和稳定性，需要进行内力优化设计。通过合理的优化方法和优化程序， 可以有效地优化超静定结构的内力分布情况，提高其承载能力和稳定性。
03
变形控制
超静定结构的变形控制是结构设计中的重要环节之一。通过合理的结构
设计和技术措施，可以有效地控制超静定结构的变形量，以满足工程中
的要求。
内力特性
内力分布
超静定结构的内力分布比较复杂，因为其受力性能受到多个因素的影响。在结构设计时，应充分考虑超静定结构的内 力分布情况，以确定其承载能力和稳定性。
04
超静定结构的优化设计
优化目标
结构安全
确保超静定结构在各种工况下 的安全性，满足强度、刚度和
稳定性要求。
经济性
在满足安全性和功能需求的前 提下，降低结构成本，提高经 济效益。
美观性
优化结构形式和布局，使其符 合美学要求，提升建筑整体视 觉效果。
施工便利性
考虑施工的可操作性和便利性 ，降低施工难度和成本。
静不定次数
超静定结构的未知约束力 和未知位移的数量。
超静定的分类
按超静定次数分类
01
一次超静定、二次超静定、三次超静定等。
按结构形式分类
02
连续梁、刚架、拱等。
按载荷形式分类
03
固定载荷、可动载荷、分布载荷等。
超静定问题的求解方法
01
力法
通过解除多余约束，将超静定问 题转化为静定问题，再求解未知 力。
优化方法
数学模型建立
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第六章 简单的超静定问题
例题： 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定， 则为几次超静定？
B
DE
A
C
FP
(a)静定。 未知内力数：3 平衡方程数：3
B
D
A
C
F
P
(b)超静定。 未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
(c)静不定。
未知内力数：3
平衡方程数：2
FP
静不定次数=1
静不定问题的解法： （1）建立静力平衡方程； （2）由变形协调条件建立变形协调方程； （3）应用物理关系，代入变形协调方程，得到补充方程；
基本静定基的选取：
(1)解除B支座的约束,以约束反力
代替，即选择一端固定一端自由
的悬臂梁作为基本静定基。
(2)解除A端阻止转动的约束，以 约束反力代替，即选择两端简支 的梁作为基本静定基。
基本静定基选取可遵循的原则：
(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条
E3 A3
F FN3 = 1+ 2E1 A1 cos3 a
E3 A3
(拉力) (拉力)
温度应力和装配应力
一、温度应力
在超静定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制， 因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。
杆件的变形 ——
由温度变化引起的变形 温度内力引起的弹性变形
例：阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固 定,上下两段的面积为
=-
[13EI
32(1+
24
I Al
2
)
]
M
M
A
C
B D
l
材料力学--简单的超静定问题
故为一次超静定问题。
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
Mx 0， M A Me MB 0
2. 变形几何方程为：
AB 0
24
MA
MB
(a)
3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：
AB
M Bb GI p
(M B Me )a GI p
0
MB
Mea l
另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为
MA
A
A
2EA a
C
C
RA 解: 放 松B端，加支反力RA、RB
则，RA RB F 0 (1) 变形协调条件 : l总 0
F 2a
B EA
F
lAC
lCB
F RB a
2EA
RB 2a
EA
0
(2)
B
由（1）、（2）式得
RB
RB
F 5
,
RA
4F 5
14
B
D
C (2) 几何方程
1
3
aa
2
AA1 0
A
A0
l1 ( l3 ) cosa
(3) 物理方程及补充方程：
FN1l1 ( FN3l3 ) cosa
E1 A1
E3 A3
l3 A1
(4) 解平衡方程和补充方程，得:
FN1
FN2
l3
1
E1A1 cos2 a 2 cos3 a E1A1 /
(a)
26
Tb Ta
(b)
解: 1. 设铜杆和钢管的横截面上内力矩分别
第六简单超静定问题优秀课件
B FRB
钢材的热膨胀系数 l 12.5106 (0C1) , E 200GPa 求：温度升高 t 50时的0C温度应力。
解：T El t
200109 12.5106 50125MPa
温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免。
温度应力的大小是很大的，工程中应当设法避免
常使的方法：
1、结构中适当留一
B
变形协调方程
a
a
a
F
l2
cos
2l1
(b)
物理方程
l1
FN1l EA
A
l1 C
α D
B
l2
FN 2l2 EA
FN2l
EA cos
l2
C’
D’
B’
补充方程
FN2 2FN1 cos2 (c)
静平衡方程
FN1 2FN 2 cos 3F (a)
补充方程
FN1
A
FN 2
B
FN2 2FN1 cos2 (c)
2FN1 cos FN3 F
D
2
l
补充方程
FN3
FN1
E3 A3 E1A1 cos2
解得：
l3
F cos2
FN1 FN2 2 cos3 E3 A3
E1 A1
FN3
1
2
F E1 A1
cos3
E3 A3
C
3
B
1
AE
l1 A1
F
例题
图示结构,1、2杆的抗拉刚度相同，均为EA，AB 杆为刚杆 ，受力如图。 求：各杆的内力。
结构变形特点：
DC
B
变形前三杆汇交于A点， 变形后三杆仍交于A点。 l
东南大学材料力学课件第六章简单的超静定问题复习.ppt
基本静定系：解除多余约束代之于未知力后的 结构。
超静定次数：未知力个数与独立平衡方程数之 差，也等于多余约束数。 ●超静定问题的解法：综合考虑变形的几何相 容条件、物理关系和静力学平衡条件。
解超静定问题必须找出求解所有未知约束反 力所缺少的补充方程。 关键：变形协调条件（几何相容条件）
二、拉压超静定问题
拉压变形时的胡克定律
l FN l
EA 综合考虑变形的协调条件、胡克定律和静力 学平衡条件求解拉压超静定问题。 装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。
例1.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形
A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积
CF
A
B
l1
l2
C、 增加AC的长度
D、 增加BC的长度
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作
用在中间，则AC和BC上应力分别（ C）。
A、
F ，0
A
B、
0，
F A
CF
A
B
l
l
C、
F 2A
，
F 2A
D、 F ， F
2A 2A
4.已知:q,l,则A处约束力偶矩为（ B )。
工程中不容忽视的温度应力！！！ 高温管道间隔一定距离弯一个伸缩节。 路、桥、建筑物中的伸缩缝设置。
三、扭转超静定问题 扭转变形计算公式
Tl
GI p
T ( x)dx
l GI p
例3.两端固定的圆截面等直杆AB，在截面 C受外力偶矩m作用，求杆两端的支座反力 偶矩。
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25
q
例 6-9 求图示超静定梁的约束反力。
A
解: 一次超静定，取基本静定系。
l
超静定梁在多余约束处的约束条件，
就是原超静定梁的变形相容条件，即
FA
q
wB = 0。
变形几何方程
MA
A
wB wBq wBFB 0
wBq
ql 4 8EI
wBFB
FBl 3 3EI
q A
补充方程
ql4 FBl3 0 8EI 3EI
E3 A3F
cos3 a
E3 A3
8
例 6-3 图示平行杆系1、2、3 悬 吊着横梁 AB（AB 刚性），横梁 上作用荷载 F。如杆1、2、3的截 l 面积、长度、弹性模量均相同， 分别 为 A，l，E。试求1、2、3 三杆的轴力 。
解： 一次超静定问题 (1) 平衡方程
Fy 0
FN1 FN 2 FN3 F 0
FN 3l Δe FN1l
E3 A3
EA
联解平衡方程和补充方程即可得装配内力，进而求出装配应力。
15
6.2.3 温度应力
温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。
温度引起的变形量 — L atL
1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
16
例6-5 图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）
+
1.603 m
超静定的次数 = 未知力个数 – 独立平衡方程个数。
3
基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定 结构的基本静定系（简称为静定基）。
静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同的选择。
A
C
B
A
C
B
l
l
l
FC
l
2
2
2
2
A
C
B
FB
4
6.2 拉压超静定问题 6.2.1 拉压超静定问题的解法
FN 1 F
FN 2 A
Fx 0, Fy 0.
FN 1 FN 3 FN 2
A F
B 1
D
C
3
2
aa 多余约束
A
F
2
FA
FB
FA
FC
FB
A
C
BA
C
B
l
l
2
2
l
l
2
2
MAF 0
多余约束
MB F 0
多余约束： 在超静定系统中，多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座。
超静定结构大多为在静定结构的基础上再加上一个或若干个多余约束，这些 约束对于特定的工程要求往往是必要的。
B
1
D
3 aa
C
2
l
1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。
l3 代表杆3 的伸长 l1 代表杆1或杆2 的缩短
代表装配后 A 点的位移
A l3
l1
A
(1) 变形几何关系
l3
l1
cosa
l3
l1
cosa
11
(2) 物理关系
l1
FN1
l
cosa
E1 A1
补充方程
l3
FN 3l E3 A3
FA
A
A
A
a
C F
C F
C
l
=
AC
l
CB
C1
b
B
B
B
FB
解： 1）此杆系为一次超静定结构，列平衡方程:
Fy 0 FA FB F 0
变形协调条件：杆的总长度不变 几何方程为： lAC lCB
6
FA
A
A
A
a
C F
C
C
F
C1
b
B
物理关系： 补充方程
lAC
FAa EA
FAa FBb EA EA
a
3a
1
C
lT
A
A'
A'' l1
FN 1
C A
FC
解：解除1杆约束，使其自由膨胀；
2
AB 横梁最终位置在 A′B′
B'
1、平衡方程:
l2
B
MC 0, FN1a FN2 3a 0
2、几何方程： lT l1 l2
a
3a
FN 2
3、物理方程：
l2
FN2 l EA
,
B
lT aTL,
l1
FN1L EA
l FNl EA
2q
q
wAFN wAq l
A
B
7qa4
wA
wAq 12EI
wAFN
FN a3 EI
2q q
补充方程
B
7qa4 FN a3 FNl
wAq
12EI EI EA
解得
FN
7qa4 A
FN
12
I
l Aa3
wAFN
B
FC
C
C
C 29
例6 -11 求图示梁的支反力，并作梁的剪力图和弯矩图。已知 EI = 5×103 kN·m2
综合考虑几何条件、物理关系和静力学平衡方程三方面来求解 步骤：
1、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。 2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据物理关系写出补充方程。 4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。
5
例6-1 两端固定的等直杆 AB 横截面积为 A，弹性模量为 E，在C点处承受轴力 F 的作用，如图所示 。计算约束反力。
D
l
2q
q
C
A
B
a
2a
27
解：一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞看作多于约束。拉力FN 为多余反力。基本静定系如图。
A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即 wA l 拉杆 AD 的伸长 l FN l
EA
D
FN
A
A
l
wA
A1
FN
FB
2q
B
FC
q C
28
FN
FB
wA l
负号表示 与假设相反。
20 kN/m
B
30 kN
C D
4m
20kN/m
B
3m
MB
2m 30 kN
C D B
B
31
由基本静定系的平衡方程可 求得其余反力
MB 20kN/m
FA 32.05kN
A
30 kN
C D
FB 66.35kN
FC 11.64kN
在基本静定系上绘出剪力图 和弯矩图。
32.05
MB F 0
FN1 2a FN 2 a 0
3 a
B
2 C
1 a
A
F
FN3
FN2
FN1
3
2
B
C
1 A
F
9
(2) 变形协调条件
3
l1 l3 2l2
(3) 物理关系
B
l1
FN1l EA
l2
FN 2l EA
l3
FN 3l EA
l 3
补充方程
C
FN1 FN3 2FN 2
(4) 联立平衡方程与补充方程求解得
A
F1
l N
B
F2
17
B
l lT lN 0
物理关系
lN
FN l EA
lT a ΔT l
由以上三式得温度内力
FN a EA T
温度应力
FN a E T
A
A l
A
A
F1
B
lT B
l N
B
F2 B
18
例6-6 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求：当1杆温度升高T
时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数a
平衡方程
FA FB F
B
FB
lBC
FBb EA
B
FA
Fb lFBຫໍສະໝຸດ Fa ll=
AC
l
CB
7
例6-2 图示杆系结构，已知：l1 = l2，E1A1 = E2A2，E3A3，求：各杆的内力。
B 1
D 3 aa
C 2
解：1）此杆系为一次超静定结构，列平衡方程:
Fx 0 FN1 sina FN2 sina 0 Fy 0 FN1 cosa FN2 cosa FN3 F 0
Mx 0 MA MB Me 0
杆的变形协调条件是，C 截面 相对于两固定端 A 和 B 的相 对扭转角相等。
变形几何方程
AC BC
1
Me
2
A
C
a
l
MA 1
Me
B b
2
MB
A
C
B 21
AC BC
物理关系
AC
T1a GI P
M Aa GI P
BC
T2b GI P
M Bb GI P
补充方程
FN 3l FN1l E3 A3 E1A1 cos2 a
(4) 平衡方程
FN1 sina FN 2 sina 0
FN3 FN1 cosa FN 2 cosa 0
补充方程与平衡方程联解得 FN1 、 FN2 、 FN3
B
1
D
3 aa
C
2
l
A l3
l1
A
FN 3
FN1