小学奥数----余数问题
小学中级奥数第25讲-余数问题
23、16除以5的余数分别是3 和1，所以（23X16）除以5 的余数等于3X1=3。
23、19除以5的余数分别是3 和1，所以（23X19）除以5 的余数等于（3X4）除以5的 余数2。
某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于
。
一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。
用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________．
求 478 296351 除以17的余数。
求 4373091993 被7除的余数。
22003 与 20032 的和除以7的余数是_______。
22008 20082 除以7的余数是多少？
有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数。
甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
用某自然a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。
当1991和1769除以某个自然数n，余数分别为2和1．那么，n最小是多少？
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个 整数是______。
课后作业 <作业2> 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍，那么除数最小可能是_______。
课后作业 <作业3>
在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个。
<作业4>
求 478 2569352 除以9的余数。
课后作业
<作业5>
求 3406 的个位数字。
除法算式 □□= 20 8 中，被除数最小等于________。
71427和19的积被7除，余数是几?
小学生六年级奥数数论考点：余数问题
小学生六年级奥数数论考点：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：
如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
五年级奥数余数问题
五年级奥数余数问题一、题目。
1. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数最小是多少？解析：我们先列出除以3余2的数：2、5、8、11、14、17、20、23、26…再列出除以5余3的数：3、8、13、18、23、28…然后列出除以7余2的数：2、9、16、23、30…可以发现23同时满足这三个条件，所以这个数最小是23。
2. 有一个数，除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？解析：这个数加上3就能被4、5、6整除。
4、5、6的最小公倍数是4 = 2×2，5 = 5，6=2×3，最小公倍数LCM = 2×2×3×5 = 60。
所以这个数最小是60 3=57。
3. 一个数除以5余4，除以8余3，求这个数最小是多少？解析：设这个数为x。
根据除以5余4，可设x = 5a+4（a为整数）。
又因为除以8余3，所以5a + 4=8b+3（b为整数），即5a=8b 1。
通过试值法，当b = 2时，a = 3。
此时x=5×3 + 4=19，19除以8余3，所以这个数最小是19。
4. 一个数除以9余7，除以11余9，这个数最小是多少？解析：这个数加上2就能被9和11整除。
9和11互质，它们的最小公倍数是9×11 = 99。
所以这个数最小是99 2 = 97。
5. 某数除以7余1，除以8余2，除以9余3，求这个数最小是多少？解析：这个数加上6就能被7、8、9整除。
7、8、9的最小公倍数为7×8×9=504。
所以这个数最小是504 6 = 498。
6. 一个数除以3余1，除以5余2，除以7余3，这个数最小是多少？解析：中国剩余定理：先求5×7 = 35，35除以3余2，2×2 = 7，7除以3余1。
再求3×7=21，21除以5余1，1×2 = 2，2除以5余2。
然后求3×5 = 15，15除以7余1，1×3=3，3除以7余3。
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.3.除以99,余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.4.求下列各式的余数：(1)2461×135×6047÷11(2)19992000÷7分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.【第四篇】1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.2.除以99的余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.【第五篇】。
小学奥数-余数问题-完整版题型训练
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
(完整版)小学奥数数论问题余数问题练习题.doc
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为所得的余数相同 ,根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有 1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14.2.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.3.除以 99,余数是 ______.分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余数是 19.4.求下列各式的余数：(1)2461 × 135× 6047 ÷ 11(2)19992000 ÷ 7分析： (1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000与42000除以7的余数相同.然后再找规律 ,发现 4 的各次方除以 7 的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么 3 个一循环 ,所以由 2000÷3 余 2 能够得到 42000 除以 7 的余数是 2,故 19992000÷7的余数是 2.【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛 )有苹果 ,桔子各一筐 ,苹果有 240 个,桔子有 313 个,把这两筐水果分给一些小朋友 ,已知苹果等分到最后余 2 个不够分 ,桔子分到最后还余 7 个桔子不够再分 ,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说 ,已知一个数除 240 余 2,除 313 余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化 ,因为 240 被这个数除余 2,意味着 240-2=238恰被这个数整除 ,而 313被这个数除余 7,意味着这 313—7=306 恰为这个数的倍数 ,我们只需求 238 和 306 的公约数便可求出小朋友最多有多少个了 .240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于 1 的整数 ,除 45,59,101 所得的余数相同 ,求这个数 .分析：这个题没有告诉我们 ,这三个数除以这个数的余数分别是多少 ,但是因为所得的余数相同 , 根据性质 2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差 ,也就是说它是任意两数差的公约数 .101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为 2,7,14.【第四篇】1.已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 .分析： 127-3=124,99-3=96,则 b 是 124 和 96 的公约数 .而(124,96)=4,所以 b=4. 那么 a 的可能取值是 11,15,19,23,27.2.除以 99 的余数是 ______.分析：所求余数与 19×100,即与 1900 除以 99 所得的余数相同 ,所以所求余数是 19.【第五篇】199419941994(1994个 1994)除以 15 的余数是 ______.分析：法 1：从简单情况入手找规律,发现 1994÷15余14,19941994 ÷ 15余 4,199419941994 ÷余15 9,1994199419941994 ÷ 15余 14,......,发现余数 3 个一循环,1994 ÷3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以 15 的余数是 4;法 2：我们利用最后一个例题的结论能够发现199419941994能被 3 整除 ,那么19941994199400 0能被 15 整除 ,1994 ÷3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以 15 的余数是4.。
小学生奥数余数问题五篇(精选)
1.小学生奥数余数问题余数相关知识点：1、除法的一般表达式子是被除数÷除数=商，这个商称为完全商。
2、有余数的除法表达式是被除数÷除数=商……余数（余数<除数），这个商称为不完全商。
用数学式表示，写作m÷n=q……t，也可以表示成m=nq+t（0≤t ≤n-1），其中m为被除数，n为除数，q为商，t为余数。
当t=0时，就是完全商，此时n|m；当t≠0时，就是不完全商。
3、考虑不完全商的问题，即t≠0时，m=nq+t，则m-t=nq，故m-t是n的倍数，因此不能整除的问题可以转化为能整除的问题。
2.小学生奥数余数问题1、数111（2007个1），被13除余多少分析：根据整除性质知：13能整除111111，而20076后余3，所以答案为7。
2、1013除以一个两位数，余数是12。
求出符合条件的所有的两位数。
分析：3、1013-12=1001，1001=71113，那么符合条件的所有的两位数有13，77，91有的同学可能会粗心的认为11也是。
11小于12，所以不行。
大家做题时要仔细认真。
某个自然数被247除余63，被248除也余63。
那么这个自然数被26除余数是多少？解答：由余数的性质，这个数减去63得到的新数既能被247整除，也能被248整除，而相邻的两个整数互质，所以新数能被247×248整除，显然能被26整除。
于是这个数除以26的余数等于63除以26的余数，为11。
解余数问题时，掌握余数的性质很重要：若a÷b…n，则b|a-n。
若a|b，c|b，且a，c互质，则a×c|b。
3.小学生奥数余数问题1、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。
请问学校共有多少个班分析：所求班级数是除以118，67，33余数相同的数。
那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数，所求答案为17。
最新小学奥数 余数问题(绝对经典)
最新小学奥数余数问题知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：++++=例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
奥数专题-余数定理
奥数专题-余数定理练习二（余数定理）A组1、甲数除以11的余数为9，乙数除以11的余数为7，丙数除以11的余数为6，那么：①（甲数＋乙数＋丙数）÷11的余数为；②（甲数＋乙数－丙数）÷11的余数为；③（甲数×乙数×丙数）÷11的余数为；④（甲数－乙数＋丙数）÷11的余数为。
2、17×354×409×672除以3所得的余数是。
3、5678964×47165432的积除以7的余数是。
4、19917被7除，余数是。
5、（203×203×…×203－2003）除以29的余数是。
2002个2036、某个大于1的自然数分别除442、297、210得到相同的余数，则该自然数是。
7、有一个（大于1）数，除300，262，205得到相同的余数，这个数是（第一届华杯赛题）8、某个自然数分别除13511、13903、14589得到的余数相同，则该自然数最大是。
9、有一个自然数，用它分别去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个数是。
（1998年北京市小学数学邀请赛决赛试题）B组1、一个数除以84余70，这个数除以42的余数是。
2、一个数除以96，余数是37，这个数除16，余数是。
3、161989＋171990＋181991除以5的余数是。
4、11＋22＋33＋43＋55＋66＋77＋88＋99除以3的余数是。
5、有一个自然数，用它分别去除83、109、161都有余数，三个余数的和是29，这个数是。
6、有四个数：2613、2243、1503、985，它们分别被同一个数除所得的余数相同，且余数不为零，那么除数是，余数是。
（1994年陕西省小学数学奥赛总决赛试题）7、将数1×2×3×4×…×1997×1998－5分别除以2、3、4、…99、100，那么所得99个余数的和是。
小学奥数思维训练余数_通用版
2022年五年级数学思维训练：余数1．〔4分〕72除以一个数，余数是7．商可能是多少？2．〔4分〕100和84除以同一个数，得到的余数一样，但余数不为0．这个除数可能是多少？3．〔4分〕20220808除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？除以11的余数是多少？4．〔4分〕4个运发动进展乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：比赛盘数最多的运发动打了多少盘？5．〔4分〕某工厂有128名工人消费零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以消费300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：最后一包有多少个零件？6．〔4分〕〔1〕220除以7的余数是多少？〔2〕1414除以11的余数是多少？〔3〕28121除以13的余数是多少？7．〔4分〕8+8×8+…+除以5的余数是多少？8．〔4分〕一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？9．〔4分〕有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？10．〔4分〕100多名小朋友站成一列，从第一人开场依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；假如按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？11．〔4分〕1111除以一个两位数，余数是66．求这个两位数．12．〔4分〕〔1〕除以4和125的余数分别是多少？〔2〕除以9和11的余数分别是多少？13．〔4分〕一年有365天，轮船制造厂每天都可以消费零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：最后一包有多少个零件？14．〔4分〕自然数的个位数字是．15．〔4分〕算式12022+22022+32022+…+20222022计算结果的个位数是多少？16．〔4分〕一个自然数除以49余23，除以48也余23．这个自然数被14除的余数是多少？17．〔4分〕一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？18．〔4分〕刘叔叔养了400多只兔子，假如每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；假如每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；假如每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有6只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？19．〔4分〕除以99的余数是多少？20．〔4分〕把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？21．〔4分〕有一个大于l的整数，用它除300、262、205得到一样的余数，求这个数．22．〔4分〕用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，假如这个数大于1，那么这个数是多少？23．〔4分〕从l依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899．这个多位数除以第 1 页11的余数是多少？24．〔4分〕算式计算结果的末两位数字是多少？25．〔4分〕算式1×3×5×7×…×2022计算结果的末两位数字是多少？26．〔4分〕有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：假如10根一包，最后还剩9根；假如9根一包，最后还剩8根；假如依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签多少根？27．〔4分〕有三个连续自然数，它们小道大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？28．〔4分〕请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．29．〔4分〕21!=．那么四位数是多少？30．〔4分〕有一些自然数n，满足：2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，请问：这样的，n中最小的是多少？参考答案1．商可能是5．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数最小为：余数+1，进而根据“被除数﹣余数=商×除数〞解答即可．解：72﹣7=6565=13×5，所以，72除以一个数，余数是7．商可能是5．点评：解答此题的关键：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，得出余数最大为：除数﹣1，然后被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进展解答即可．2．这个除数可能是8或16．【解析】试题分析：要求这个除数可能是多少，根据同余定理，先求出100和84这两个数的差，再求出这三差的公约数，然后找出不能整除100和84的数，即为这个除数．解：余数一样，那么除数是100﹣84=16的约数，除数可能是1，2，4，8，16其中不能整除100和84的有8和16所以除数是8或者16．答：这个除数可能是8或16．点评：解答此题的关键是理解同余定理，求出两个数之差的公因数，进而解决问题．3．20220808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．【解析】试题分析：根据在有余数的除法中，“被除数=商×除数+余数〞解答即可．解：20220808÷9=2231200 (1807280)20220808÷8=251010120220808÷25=803232 (8)20220808÷11=1825528答：20220808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．点评：解答此题根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进展解答即可．4．打球盘数最多的运发动是126号，打了5盘．【解析】试题分析：能被3整除的条件是：这个整数的各位数字和是3的整数倍；如15，1+6=6，6=3×2，所以15能被3整除；再如19，1+9=10，10÷3=3…1，那么19不能被3整除，19÷3=6…1，通过此题说明了一个问题：数字和除以3余数是几，那么这个数字除以3就余数是几；此题从101、126、173、193中任意选出2个数有6种，求和，除以3，再看和的数字除以3余数是几，再分别求出每个运发动打球的盘数，即可得解．解：101+126=227，2+2+7=11，11÷3=3…2；101+173=274，2+7+4=13，13÷3=4…1；101+193=294，2+9+4=15，15÷3=5；126+173=299，2+9+9=20，20÷3=6…2；126+193=319，3+1+9=13，13÷3=4…1；173+193=366，3+6+6=15，15÷3=5；101号运发动打球的盘数为：2+1+0=3〔盘〕，126好运发动打球的盘数为：2+2+1=5，第 1 页173号运发动打球的盘数为：1+2+0=3〔盘〕，193号运发动打球的盘数为：0+1+0=1〔盘〕，答：打球盘数最多的运发动是126号，打了5盘．点评：完成此题关键是根据题意，得出每个运发动打球的盘数，然后得出答案．5．16个零件.【解析】试题分析：用每人每天可以消费的零件个数乘以人数，乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数，最后一包有的零件个数．解：300×128×23÷17=38400×23÷17=883200÷17=51952〔包〕…16〔个〕答：最后一包有16个零件．点评：此题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．6．〔1〕4；〔2〕4；〔3〕2.【解析】试题分析：〔1〕分别求出23、24、25、26…除以7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；〔2〕首先根据1414=〔11+3〕14，可得1414除以11同余314除以11；然后分别求出33、34、35、36…除以11的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；〔3〕首先根据28121=〔13×2+2〕121，所以28121除以13同余2121，然后分别求出24、25、26、27…除以13的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可．解：〔1〕因为23÷7=1…1，24÷7=2…2，25÷7=4…4，26÷7=9…1，…所以从23开场，除以7的余数分别是1、2、4、1、2、4…，每3个一循环，分别是1、2、4，因为〔20﹣2〕÷3=6，所以220除以7的余数是4；〔2〕根据1414=〔11+3〕14，可得1414除以11同余314除以11，因为33÷11=2…5，34÷11=7…4，35÷11=22…1，36÷11=66…3，37÷11=198…9，38÷11=596…5，…所以从33开场，除以11的余数分别是5、4、1、3、9、5…，每5个一循环，分别是5、4、1、3、9，因为〔14﹣2〕÷5=2…2，所以1414除以11的余数是4；〔3〕根据28121=〔13×2+2〕121，所以28121除以13同余2121，因为24÷13=1…3，25÷13=2…6，26÷13=4…12，27÷13=9…11，28÷13=19…9，29÷13=39…5，210÷13=78…10，211÷13=157…7，212÷13=315…1，213÷13=630…2，214÷13=1260…4，215÷13=2520…8，216÷13=5041…3，所以从24开场，除以13的余数分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8、3…，每12个一循环，分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8，因为〔121﹣3〕÷12=9…10，所以28121除以13的余数是2．点评：此题主要考察了带余除法的性质的应用，以及同余定理的应用．7．2.【解析】试题分析：被5整除的数的特点是个位数字是0和5，所以只要看个位数字，即可，余数只能是0、1、2、3、4中的一个．解：乘积的个位数字分别是8，4，2，6，8，4，2，6，8，4；所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8〔10个8〕的个位数字和是：8+4+2+6+8+4+2+6+8+4=52，所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8〔10个8〕的个位数字是2，2即为余数；答：除以5的余数是2．点评：解决此题的关键是理解被5整除的特征．8．437.【解析】试题分析：因为这个数除以21，除以20都余17，要求这个数最小是多少，就是用20、21的最小公倍数加上17即可．解：21和20的最小公倍数是21×20=420420+17=437所以这个数最小是437．答：这个数最小是437．点评：此题考察了带余除法，根据题目特点，先求2个数的最小公倍数，然后加上余数，解决问题．9．5.【解析】试题分析：利用带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被12整除的局部，B 那么为除以12的余数，得出A可以被3或4整除，再结合这个数除以3余2，除以4余1，得出B也一样，归纳出符合要求的只有5．解：将这个数看成A+B，A为可以被12整除的局部，B那么为除以12的余数．A可以被12整除，那么也可以被3或4整除．因为这个数“除以3余2，除以4余1〞，所以B也是“除以3余2，除以4余1〞，又因为B是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．答：这个数除以12余数是5．点评：此题主要考察了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．10．141.【解析】试题分析：由题意知，一共有多少名小朋友，也就是求11和13的最小倍数，由此解答问题．解：因为9=11﹣2，11=13﹣2，所以只要再多2个人，人数就是11与13的公倍数，11与13的公倍数为143，所以共有143﹣2=141人，符合题意；而143×2＞100，不符合题意．答：共有141人．点评：此题主要把实际问题转化为求最小倍数的数学问题，解决数学问题，回到实际问题，这是数学中常用的一种方法．11．95.第 3 页【解析】试题分析：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；又因为余数小于除数，但是11，19，55＜66，所以只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．解：因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：11，19，55，95；∵余数小于除数，但是11，19，55＜66，∴只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．答：这个两位数是95．点评：此题主要考察了带余除法的性质的应用，解答此题的关键是求出1111与66的差，进而将其分解质因数．12．〔1〕除以4和125的余数分别是1和46．〔2〕除以9和11的余数分别是3和5．【解析】试题分析：〔1〕421被4除后余数是1，放到下一个421，得到1421，除以4，余数仍然是1，再放到下一个421里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个421，余数都是1．同理421除以125余数是46，放到下一个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421，余数都是46．〔2〕被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808一定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是〔8+8〕×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；一个808除以11余数是5，与下一个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，那么20个808被11整除，只要看最后一个808除以11余数为几，即可得解．解：〔1〕421÷4=105 (1)1421÷4=355 (1)再放到下一个421里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个421，余数都是1．421÷125=3 (46)46421÷125=371 (46)放到下一个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421，余数都是46．答：除以4和125的余数分别是1和46．〔2〕被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808一定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是〔8+8〕×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；808÷11=73 (5)5808÷11=528一个808除以11余数是5，与下一个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，那么20个808被11整除，只要看最后一个808除以11余数为5．答：除以9和11的余数分别是3和5．点评：完成此题要根据余数的不同分别讨论解决．13．15个零件【解析】试题分析：用每天消费的零件个数乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数就是最后一包有的零件个数．解：1234×365÷19=450410÷19=23705〔包〕…15〔个〕答：最后一包有15个零件．点评：此题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．14．7.【解析】试题分析：除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，故用〔67﹣1〕除以4，得出是16组余2，所以个位数字是8，最终确定自然数的个位数字是7．解：除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，为一组；〔67﹣1〕÷4=16〔组〕…2〔个〕；所以67个2相乘的个位数字是8，那么自然数的个位数字是 8﹣1=7．故答案为：7．点评：此题考察乘法中的巧算，关键是找出2连乘时积的变化规律，再进一步求得解．15．1.【解析】试题分析：12022的个位数是1，22022的个位数是8，32022的个位数是7，42022的个位数是4，52022的个位数是5，62022的个位数是6，72022的个位数是3，82022的个位数是2，92022的个位数是9，102022的个位数是0，112022的个位数是1…，每10个数一循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2022÷10=200…6，所以算式12022+22022+32022+…+20222022计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数一样，即它的个位数是1，据此解答即可．解：12022的个位数是1，22022的个位数是8，32022的个位数是7，42022的个位数是4，52022的个位数是5，62022的个位数是6，72022的个位数是3，82022的个位数是2，92022的个位数是9，102022的个位数是0，112022的个位数是1…，每10个数一循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；因为1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2022÷10=200…6，所以算式12022+22022+32022+…+20222022计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数一样，即它的个位数是1．点评：此题主要考察了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是判断出：12022、22022、32022、…的个位数依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0，每10个数一循环．16．9.【解析】试题分析：一个自然数除以49余23，除以48也余23，那么这个自然数是49和48的最小公倍数加23，因为48和49互质，所以这个数是49×48+23，然后除以14，49×48÷14=7×24整除，只要看23除以14的余数，即可得解．解：23÷14=1 (9)答：这个自然数被14除的余数是9．第 5 页点评：关键是明白这个自然数是49×48+23，49×48能被14整除．17．237.【解析】试题分析：设这个自然数为x，根据这个自然数除以19余9，除以23余7，列出方程，求解即可．解：设这个自然数为x，根据题意，可得x=19m+9=23n+7〔m、n都是自然数〕，整理得：x﹣7=19m+2=23n，因为23×10=19×12+2，所以x﹣7=230，解得x=237，即这个自然数最小是237．答：这个自然数最小是237．点评：此题主要考察了有余数的除法各局部之间的关系的应用．18．419只.【解析】试题分析：求3、5、7的最小公倍数，进一步找出比400多一些的公倍数，用这个公倍数减去1即可得到答案．解：3、5、7这三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是这三个数的乘积，3×5×7=105105×2=210105×3=315105×4=420420﹣1=419答：刘叔叔一共养了419只兔子．点评：此题关键理解好“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只〞可以理解为“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里少1只〞由此理解后面的内容，即求出3，5，7的公倍数减去1即可得到答案．19．90.【解析】试题分析：6个123除以99刚好整除，这样求出123里有多少个6，余数是几，就看几个123并列除以99的余数，即可得解．解：123123123123123123÷99=1243667910334577每6个整除1次，123÷6=20 (3)前120个123并列能整除99，123123123÷99=1243667 (90)答：123个123并列除以99的余数是90．点评：找到几个123并列可以被99整除，是解决此题的关键．20．20.【解析】试题分析：求出苹果、梨、橘子的总个数，然后用水果的总个数减去25即可得到剩下的水果的总数，然后把水果的总个数分解质因式，确定出学生的人数，然后进一步求出剩下水果的个数，进一步确定剩下个数最多的水果．解：63+90+130﹣25=258258=2×3×43由此可知学生的人数是43人，余下的苹果的个数：63﹣1×43=20〔个〕余下橘子的个数：90﹣2×43=4〔个〕余下梨的个数：130﹣3×43=1〔个〕20＞4＞1所以余下的苹果最多，剩下20个．答：剩下个数最多的水果剩下20个．点评：此题关键求出发给的学生的人数，然后确定出余下水果最多的是那种水果．21．19.【解析】试题分析：a，b数被一个数d去除，有一样的余数，那么d可以整除〔a﹣b〕，由此找出300与262的差，以及262与205的差，它们的非1的公约数就是要求的数．解：这个数除300、262，得到一样的余数，所以这个数整除300﹣262=38，同理，这个数整除262﹣205=57，因此，它是38、57的公约数19．点评：此题利用同余定理的性质，得出要求的数是被除数两两之间差的公约数，从而得解．22．17.【解析】试题分析：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，那么180除以a的余数就是2c；那么两个等式左右相减，余数被减去了，即得到的被除数能被a整除，所以只要把180减去61，分解质因数，即可得解．解：假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，那么：61÷a=b…2c90×2÷a=d…2c那么90×2﹣61=119=17×7因为61÷17=3 (10)90÷17=5 (5)10=5×2符合题意；答：这个数为17．点评：解决此题的关键是理解90的2倍减去61就是所求的数的整数倍，从而转化为求90×2﹣61的因数．23．4.【解析】试题分析：被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除，因此可以先求出此数奇数位上的和以及偶数位上的和．解：在此数前补一位0不影响．即01 23 45 ...67 89 10 11 (99)如上每两位一段．易知，被11整除的数，奇数位和，与偶数位和的差，能被11整除．那么上数，从10往后，偶数位上，数字1到9均出现10次．奇数位上，0到9出现9次．因此奇数位和=〔0+1+2+3…+9〕×9+〔1+3+5+7+9〕=45×9+25偶数位和=〔1+2+3…+9〕×10+〔0+2+4+6+8〕=45×10+20那么他们的差，偶﹣奇第 7 页=45×10+20﹣45×9﹣25=45﹣5=40 不能被11整除，而要是调整奇数位的最后一位〔99的个位9〕，减少4的话．这个差将被11整除．意味着01 23 45 …95 能被11整除，那么原数被11除余4．答：这个多位数除以11的余数是4．点评：解决此题的关键是理解被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除．24．00.【解析】试题分析：要求算式计算结果的末两位数字是多少，只要求出的和除以100的余数，即为其末两位数字，据此解答即可．解：7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而7×7×7×7×7除以100的余数等于7，…那么7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1，因为2022÷4=502，所以算式计算结果除以100的余数同余502×〔7+49+43+1〕=50200，又因为50200除以100余数为0，所以算式计计算结果的末两位数字是00．点评：此题主要考察了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是分析出：7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1．25．75.【解析】试题分析：因为是奇数相乘，有下面这个规律：25〔2n+1〕〔2n+3〕=100n2+200n+75〔25经过相邻的两个奇数相乘后变成75〕，75〔2n+1〕〔2n+3〕=300n2+600n+225〔75经过相邻的两个奇数相乘后变成25〕，这个规律是从15开场的，也就是当n＞2时，〔8n+1〕！和〔8n﹣1〕！最后两位是25，〔8n+3〕!和〔8n+5〕!最后两位是75；又因为2022=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．解：因为是奇数相乘，有下面这个规律：25〔2n+1〕〔2n+3〕=100n2+200n+75〔25经过相邻的两个奇数相乘后变成75〕，75〔2n+1〕〔2n+3〕=300n2+600n+225〔75经过相邻的两个奇数相乘后变成25〕，这个规律是从15开场的，也就是当n＞2时，〔8n+1〕！和〔8n﹣1〕！最后两位是25，〔8n+3〕!和〔8n+5〕!最后两位是75；又因为2022=251×8+5，所以计算结果的末两位数字是75．答：算式1×3×5×7×…×2022计算结果的末两位数字是75．点评：此题主要考察了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是分析出：当n＞2时，〔8n+1〕！和〔8n﹣1〕！最后两位是25，〔8n+3〕!和〔8n+5〕!最后两位是75．26．5039根．【解析】试题分析：根据10根一包，最后还剩9根，9根一包，最后还剩8根，分别以8、7、6、5根为一包，最后也分别剩7、6、5、4根，可以推知此数加上1就是8、7、6、5的公倍数，再求出8、7、6、5的公倍数减去1得解．解：这个数+1=8、7、6、5的公倍数8、7、6、5的最小公倍数为：2×4×7×3×5=840满足5000多这个条件的公倍数是840×6=5040牙签的数量就是5040﹣1=5039〔根〕答：原来一共有牙签 5039根．点评：解决此题关键在于求出符合条件〔5000多〕的8、7、6、5的公倍数，再用它减去1即可．27．160.【解析】试题分析：17，19和21这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．5、7、9最小公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也一定能分别被5、7、9整除，又因为160小于最小公倍数315，所以160，161，162是符合题目要求的最小的一组，因此这三个连续自然数中最小的那个数最小是160．解：5、7、9最小公倍数是5×7×9=315，315+5=320能被5整除，315+7=322能被7整除，315+9=24能被9整除，所以320，322，324分别能被5、7、9整除，这三个数都是偶数，且都相差2，把这三个数分别除以2，得到160，161，162，它们也一定能分别被5、7、9整除，又因为160小于最小公倍数315，所以160，161，162是符合题目要求的最小的一组，因此这三个连续自然数中最小的那个数最小是160．点评：完成此题是在理解5、7和9这一组数的根底上求出最小公倍数，然后用最小公倍数分别加上5、7、9所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数，从而求出三个连续自然数中最小的那个数．28．三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．【解析】试题分析：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，那么它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；然后分类讨论，求出满足题意的三位数即可．解：根据题意，要使余数之和最大，三个余数只能分别为 6、10、12，那么这个三位数加上1就能同时被7、11、13整除，第 9 页所以所求的三位数为7、11、13的公倍数减去1，那么它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一个四位数，不符合题意，因此，余数之和最大时，三个余数分别为 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；〔1〕当三个余数分别为5、10、12时，那么这个数加1后能被11、13整除，且它被7除后余5，所以所求的三位数为：11×13k﹣1，它被7除的余数为：3k﹣1=5，解得k=2，所以这个三位数是：11×13×2﹣1=285；〔2〕当三个余数分别为6、9、12时，那么这个数加1后能被7、13 整除，且它被11除后余9，所以所求的三位数为：7×13k﹣1，它被11除的余数为3k﹣1=9+11，解得k=7，所以这个三位数是：7×13×7﹣1=636；〔3〕当三个余数分别为6、10、11，那么这个数加1后能被 7、11整除，且它被13除后余11，所以所求的三位数为：7×11k﹣1，它被13除的余数为：12k﹣1=11，解得k=1，所以这个数是：7×11﹣1=76，它是一个两位数，不符合题意；综上，三位数285、636除以7、11、13的余数之和最大．点评：此题主要考察了最大与最小问题的应用，考察了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是判断出余数和最大的情况．29．5140．【解析】试题分析：21!=21×20×19×…×15×14×…×11×10×9×8×…5×4×…×1；通过21!分解后的数字，根据数的整除的特点解答即可．解：21!=21×20×19×...×15×14×...×11×10×9×8×...5×4× (1)显然21!末尾有4个0，故D=0；又21!含有质因子2的个数超过7个，所以去掉末尾4个0后，得到的新数后三位是8的倍数，即94C是8的倍数，可得C=4；由于21!能被9整除，所以各位数字之和能被9整除，可得A+B=6或15；由于21!能被11整除，所以奇数位数字和与偶数位数字之差能被11整除，可得：A﹣B=4或B﹣A=7；由于A+B与A﹣B奇偶性一样，所以有：或；解得：或显然只有符合题意．所以四位数是5140．答：四位数是5140．点评：解答此题的关键是灵敏运用数的整除的特点．30．15.【解析】试题分析：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的倍数，2n是5的倍数，4n是2的倍数，又因为2n是5的倍数，所以n的个位是0或5；然后分类讨论，求出n中最小的是多少即可．解：因为2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，所以n是3的倍数，2n是5的倍数，4n是2的倍数，因为2n是5的倍数，所以n的个位是0或5；〔1〕当n的个位是0时，它是3的倍数，所以n最小是30；〔2〕当n的个位是5时，它是3的倍数，所以n最小是15；综上，可得n中最小的是15．答：n中最小的是15．点评：此题主要考察了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是纯熟掌握是2、3、5的倍数的特征．第 11 页。
小学六年级奥数题大全：余数问题
小学六年级奥数题大全：余数问题1.1111+2×1111+3×1111+…+1111×1111被7除所得的余数是 . ?2.在所有的两位数中，用较大的自然数除以较小的自然数，得到的余数能够达到 .??3.一个自然数被9除余1，所得的商被8除也余1.再把第2次所得的商除以8得商为a余7.又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，商是a的2倍，这个自然数是 .4.除以3余1，除以4，5，7不足2的三位数是 .??5.用某自然数a去除2002，得到的商是46，余数是r.则a= ，r= .??6.除以3余1，除以5余2，除以7余4的最小三位数是 .??7.两数相除商5余5，如果被除数扩大5倍，除数不变，则商是27，余数是3，原被除数是，除数是 .??8.7599除以一个质数，所得余数是9，这个质数最小是 .??9.678除以一个数，不完全商是13，并且除数与余数的差是8，除数是，余数是 .??10.一个三位数除以9余6，除以4余2，除以5余1，这样的数中的一个是 .11.某三位数的各位数字都不为零，并且这个三位数被它的各位数字之和除，所得的商最小可能是 .??12.8.77÷5.3除到一位小数时，商是1.6，余数是___________.??13.在下面算式的方框内填数，使带余数的除法的余数.?□÷78=245…□14.一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1.这个数最小是 .?15.某校五年级有学生若干人.?(1)若3人一行最后余2人，7人一行最后余2人，11人一行最后也余2人，五年级最少有学生多少人???(2)若3人一行最后余1人，7人一行最后余5人，11人一行最后余9人，五年级最少有学生多少人?。
五年级奥数基础教程-余数问题小学
余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
五年级奥数测试卷-余数问题-答案
A1．哪些自然数除以6所得的商与余数相同？2．310被一个数两位数除，余数是37，这个两位数是多少？3．求12345678×56789的积除以9的余数。
4．有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25，这三个余数中最小的一个是几？5．有一个整数，除300，262，205，得到相同的余数（且余数都不为0）。
这个整数是多少？6．从1、2、3、……、49、50。
这五十个数中，取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？7．已知A=199119911991………1991，问A除以13的余数是几？1991个1991 8．将自然数从1到2005连续写成一个多位数1234……20042005，这个多位数除以3的余数是多少？9．有5个不同的自然数（0除外），它们当中任意3个数的和是3的倍数，任意4个数的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能小，这5个数分别是多少？10．一个十几岁的男孩，把自己的岁数写有父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们两个人岁数之差和4289。
男孩几岁？B1．71427和19的积被7除，余数是几？2．某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小为多少？3．一个四位数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4……被10除余9，求出这样的四位数。
12．有一个整数，用它去除63、91、129，所得的3个余数的和是25，这个整数是多少？4．32005的末两位数是多少? 5．888888……88÷26的余数是多少？2001个86．某数除1186余1，除2609余2，除4263少3，这个数最大是多少？7．一个数除以11所得的余数是3，如果把这个数增加11后，除以13所得的商不变，且余数为0，这个数是多少？8．n=191919……1919，n被9除所得的商的个位数是多少？1919个19199．能被5除尽，被715除余10，被247除余140，被391除余245，被187除余109的最小整数是多少？10．将自然数N写在任意一个自然数的右面（例如：将2写在35的后面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数。
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余数问题
例1：被除数、除数、商和余数之和是2143，已知商事33，余数是52，求被除数和除数。
拓展1：有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数和是25，这个自然数是多少？
例2：一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？
拓展2：在1~200这200个自然数中，被3除或被7除都余2的数有多少个？
例3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，a加b的和除以7余几？
拓展3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a 大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？
例4：有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，这个数是多少？
例5：整数11111----111（2004个1）被6除余数是几？
1、2100除以一个两位数得到的余数是56，那么这个两位数是（）。
2、在整数除法里，余数比除数小，那么从4到50的各整数除以4，余数是2的整数有（）个。
3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个数至少是（）。
4、清照小学鼓号队同学在操场上列队，已知人数在90~110人之间，排成3列没有剩余，排成5列不足2人，排成7列不足4人，共用（）人参加列队。
5、一个四位数2a75除以11后所得余数是1，那么a=（）。
6、用一个整数去除312、231、123、得到的3个余数之和是41，这个数是（）。
7、在1~400整数中，被3、5、7除都余2的数有（）个。
8、100个7组成一个一百位数，被13除后余数是（），商的各位数字之和是（）。
9、71427和19的积被7除余（）。
10、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3，而余数恰好相同，原题中的除数是（）。
11、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，这个自然数最大是（）。
12、1991和1769除以某一个自然数n，余数分别是2和1，那么n最小是（）。
13、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数的差得4289，男孩（）岁，父亲（）岁。
14甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，都是上5余1，乙数是（）。