二维梁的固有频率和振型
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一、综合实验题目和要求
题目:求一二维梁的固有振型和频率。
要求:用有限元理论,求一二维梁的固有振型和频率:
(1) 用二维梁有限元对梁进行分析数值计算求出其主振型向量和频率; (2) 求出其理论精确解,精确主振型向量和频率; (3) 将理论结果和计算结果进行比较。
二、程序流程图
三、实验结果
1.前六阶振型
同一有限元数不同阶数比较(以有限元20为例)如下图所示:
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
一阶
-0.8
-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
二阶
-0.8
-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
三阶
-0.8
-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8
四阶
-0.8
-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
五阶
-0.8
-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81
六阶 四、实验分析
对于二维梁有限元的划分(以下只对二维梁而言),要根据需求精度进行合理划分,既兼顾精度,同时也兼顾计算量(随着计算精度的提高,单元数量增加,相应计算量也会增加,计算时间也会增加),经过试验随着单元数量增加,其计算精度也不段提高,当将梁分到七单元时,通过计算得到的主振型和频率和理论值吻合的非常好。当梁取一单元时(elementno=1),由于梁总体只有两自由度,故只能得出前两阶主振型;当梁取二单元时(elementno=2),由于梁总体有四自由度,故只能得出前四阶主振型;对于梁取三单元(elementno=3)以及三单元以上(elementno>3)时,梁总体有六自由度以及更高自由度,这里只画出前六阶主振型图。下六图是在elementno=20的情况下,通过计算,画出前六阶的主振型图(其中红线部分为理论主振型图,绿色五角星是计算在梁各单元节点处的振型,数量取决于梁单元划分的数目)。
五、源程序清单
clear all
close all
%各参数的设置
rou=2.7e3; %密度
A=1e-3;%横截面积
E=72e9; %弹性模量
L=1; %梁长
I=8.3333e-009;%截面惯性矩
elementno=input('输入有限元的数量:'); %有限元的数量
rodno=elementno+1;%节点数
alldimension=rodno*2;
l=L/elementno;
%单元刚度矩阵
ke=E*I/l^3*[12 -6*l -12 -6*l;
-6*l 4*l^2 6*l 2*l^2;
-12 6*l 12 6*l;
-6*l 2*l^2 6*l 4*l^2];
%单元质量矩阵
me=rou*A*l/420*[156 -22*l 54 13*l; -22*l 4*l^2 -13*l -3*l^2;
54 -13*l 156 22*l;
13*l -3*l^2 22*l 4*l^2];
K=zeros(alldimension,alldimension); M=zeros(alldimension,alldimension);
for i=1:elementno %总刚度矩阵和总质量矩阵
K(2*i-1,2*i-1)=ke(1,1)+K(2*i-1,2*i-1); K(2*i-1,2*i)=ke(1,2)+K(2*i-1,2*i);
K(2*i-1,2*i+1)=ke(1,3)+K(2*i-1,2*i+1) ;
K(2*i-1,2*i+2)=ke(1,4)+K(2*i-1,2*i+2) ;
K(2*i,2*i-1)=ke(2,1)+K(2*i,2*i-1);
K(2*i,2*i)=ke(2,2)+K(2*i,2*i);
K(2*i,2*i+1)=ke(2,3)+K(2*i,2*i+1);
K(2*i,2*i+2)=ke(2,4)+K(2*i,2*i+2);
K(2*i+1,2*i-1)=ke(3,1)+K(2*i+1,2*i-1) ;
K(2*i+1,2*i)=ke(3,2)+K(2*i+1,2*i);
K(2*i+1,2*i+1)=ke(3,3)+K(2*i+1,2*i+1 );
K(2*i+1,2*i+2)=ke(3,4)+K(2*i+1,2*i+2 );
K(2*i+2,2*i-1)=ke(4,1)+K(2*i+2,2*i-1) ;
K(2*i+2,2*i)=ke(4,2)+K(2*i+2,2*i);
K(2*i+2,2*i+1)=ke(4,3)+K(2*i+2,2*i+1 );
K(2*i+2,2*i+2)=ke(4,4)+K(2*i+2,2*i+2 ); M(2*i-1,2*i-1)=me(1,1)+M(2*i-1,2*i-1) ;
M(2*i-1,2*i)=me(1,2)+M(2*i-1,2*i);
M(2*i-1,2*i+1)=me(1,3)+M(2*i-1,2*i+ 1);
M(2*i-1,2*i+2)=me(1,4)+M(2*i-1,2*i+ 2);
M(2*i,2*i-1)=me(2,1)+M(2*i,2*i-1);
M(2*i,2*i)=me(2,2)+M(2*i,2*i);
M(2*i,2*i+1)=me(2,3)+M(2*i,2*i+1); M(2*i,2*i+2)=me(2,4)+M(2*i,2*i+2); M(2*i+1,2*i-1)=me(3,1)+M(2*i+1,2*i-1);
M(2*i+1,2*i)=me(3,2)+M(2*i+1,2*i); M(2*i+1,2*i+1)=me(3,3)+M(2*i+1,2*i+ 1);
M(2*i+1,2*i+2)=me(3,4)+M(2*i+1,2*i+ 2);
M(2*i+2,2*i-1)=me(4,1)+M(2*i+2,2*i-1);
M(2*i+2,2*i)=me(4,2)+M(2*i+2,2*i);
M(2*i+2,2*i+1)=me(4,3)+M(2*i+2,2*i+ 1);