二维梁的固有频率和振型

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固支梁各阶固有频率及振型测量

固支梁各阶固有频率及振型测量
一、实验目的：
1. 熟悉梁的固有频率测量原理及振型形状；
2. 用共振法确定固支梁的各阶固有频率和振型。

二、实验仪器设备及安装示意图：
1. 计算机
2. YE6230T3动态数据采集系统
3. 功率函数发生器
4. 机械振动实验台
5. 加速度传感器激光位移传感器电涡流传感器自选
6. 激振器
三、实验过程：
四、实验结果及分析：
1、前三阶固有频率测量结果
2、各测点实测振幅（单位：）1，175；
3、各测点振幅换算值
4、绘出固支梁前三阶振型图一阶振型图
二阶振型图三阶振型图
多自由度系统各阶固有频率及主振型的测量一、实验目的
二、实验设备及安装示意图
三、实验结果与分析
1、不同张力下各阶固有频率的理论计算值与实测值
2、绘出观察到的三自由度系统振型曲线。

3、将理论计算出的各阶固有频率、理论振型与实测固有频率、实测振型相比较，是否一致? 产生误差的原因在哪里?。

梁的振动实验报告

《机械振动学》实验报告实验名称梁的振动实验专业航空宇航推进理论与工程姓名刘超学号 SJ1602006南京航空航天大学Nanjing University of Aeronautics and Astronautics2017年01月06日1实验目的改变梁的边界条件，对比分析不同边界条件，梁的振动特性（频率、振型等）。

对比理论计算结果与实际测量结果。

正确理解边界条件对振动特性的影响。

2实验内容对悬臂梁、简支梁进行振动特性对比，利用锤击法测量系统模态及阻尼比等。

3实验原理3.1 固有频率的测定悬臂梁作为连续体的固有振动，其固有频率为：()1,2,.......r r l r ωλ==其中，其一、二、三、四阶时， 1.87514.69417.854810.9955.....r l λ=、、、简支梁的固有频率为：()1,2,.......r r l r ωλ==其中其一、二、三、四阶时， 4.73007.853210.995614.1372.....r l λ=、、、其中E 为材料的弹性模量，I 为梁截面的最小惯性矩，ρ为材料密度，A 为梁截面积，l 为梁的长度。

试件梁的结构尺寸：长L=610mm, 宽b=49mm, 厚度h=8.84mm. 材料参数： 45＃钢，弹性模量E ＝210 (GPa), 密度ρ＝7800 (Kg/m 3)横截面积：A ＝4.33*10-4 (m 2),截面惯性矩：J ＝312bh =2.82*10-9(m 4)则梁的各阶固有频率即可计算出。

3.2、实验简图图1 悬臂梁实验简图图2简支梁实验简图实验仪器本次实验主要采用力锤、加速度传感器、YE6251数据采集仪、计算机等。

图3和图4分别为悬臂梁和简支梁的实验装置图。

图5为YE6251数据采集仪。

图3 悬臂梁实验装置图图4 简支梁实验简图图5 YE6251数据采集分析系统实验步骤1:"在教学装置选择"中，选择结构类型为"悬臂梁"，如果选择等份数为17，将需要测量17个测点。

简支梁固有频率与固有振型的实验室测量与理论分析

ＥｘｅｉｅａｓｉｅｈｏｓａｄｐｒｍｎｔｌＴｅｔｎｇＭｔｄｎＴｈｅｅｃｌＡｎａｙｉｆＳｍｐｌａｏｒｔａｉｌｓｓｏｉｅＢｅｍｗｉｈＮａｕａｅｕｅｙａｎｒｎｂａｏｔｔｒＦｒｑｎｃｎｄＩｈｅｅｔＶｉｒｔｎｌｉ
Ａｂｔａｔｉｌｂａｗｈｃｉｈｒｓ —ｅｔｎａｄｃｎｉｕｕｔｕｔｒｓｕｕｌｓｄａｎａａｙｉｔｏｆｈｉｒｔｎｐｅｓｒｃ：Ｓｍｐｅｅｍｉｈｗｔｔｅｃｏｓｓｃｉｎｏｔｏｓｓｒｃｕｅ，ｉｓａｌｕｅｓａｎｌｓｓｏｌｅｖｂａｉｈ－ｈｏｎｙｏｔｏｎｍｅｏ．Ｄｎｍｉａａｙｉｏｉｌｅｍｔｈｐｌａｉｎｏｅｒｔａｎｌｓｓａｄｅｐｒｎａｓｉｇｍｅｈｄ，ｃｎｇｔａｕｏｎｎｙａｃｎｌｓｓｆｓｍｐｅｂａｗｉｔｅａｐｉｔｆｈｏｅｉｌａｙｉｎｘｅｍｅｔｌｅｔｔｏｓａｅｔ — ｈｃｏｔｃａｉｔｎｎｒｌｒｑｅｃｖｂａｉｎａｌｕｅａｄｃｔａｄｍｐｎｆｔｅｃｎｉｕｕｔｃｕｅｏａａｙｅｔｅｎｔｒｌｒｑｅｃｖｂａｉｎ，ａｌａｅｕｎｙ，ｉｒｔｍｐｉｄｎｒｉｌａｉｇｏｏｔｏｓｓｕｔｒ．Ｔｎｚｈａｕａｅｕｎｙ，ｉｒｔｆｏｔｉｃｈｎｒｌｆｏｍｐｉ — ｔｄｎｒｔａａｉｇｃｎａｏｄｓｍｐｔｅｉｉｒｔｎｗｈｃｅｄｅｆｒｅｔａｇｏｔｅｆｍｅｏｋｔｃｎａｓｅｃｅｉ — ｕｅａｄｃｉｌｄｍｐｎａｖｉｙａｈｔｖｂａｉ，ｉｈｌａｓｔｔｕｔｓｍａｅｔａｗｒ．Ｉａｌｏｒａｈｔｉｃｃｏｏｈｈｄｈｒｈｎｔｎｉｎｔｖｉｉｒｔｎｔｒｗｉｈａｕａｅｕｎｙａｄｉｈｒｎｉｒｔｎｏｅｓｍｐｅｂａｗｉｒｓ－ｅｔｎ，ｗｉｈｏｆｒｄａｅｔｏａｏｄｖｂａｉ．Ｓａｔｔｔｅｎｔｒｆｑｅｃｎｎｅｅｔｂａｉｆｔｉｌｅｍｔｃｏｓｓｃｉｏｏｈｌｒｖｏｈｈｏｈｃｆｅｅｕｅｕｔｏｏｓｒｏｒｒｓａｃｉｒｔｎｏｏｌａｅｒｍｅｏｋｓｆｌｍｅｈｄｔｔｔｕｅｅｒｈｏｖｂａｉｆｍｐｉｔｄｆａｆｏｃｃａｗｒ．Ｋｅｒｓ：ｓｍｐｅｂａｗｔｒｓ —ｅｔｎｉｒｔｎａｕａ￣ｅｕｎｙ；ｉｈｒｎｉｒｔｎｍｏｅ；ｄｍｐｎａｉｙｗｏｄｉｌｅｍｉｃｏｓｓｃｉ；ｖｂａｉ；ｎｔｒｌｑｅｃｈｏｏｎｅｅｔｂａｉｄｖｏａｉｇｒｔｏ

10二自由度系统的各阶固有频率与主振型

实验10 二自由度系统的各阶固有频率与主振型一、实验目的1．学会用共振法确定二自由度系统的各阶固有频率。

2．观察二自由度系统的各阶振型。

3．将实验测得的各阶固有频率和振型与理论结果进行比较。

二、实验装置与仪器1．机械振动与控制实验台。

2．磁电式非接触激振器（JZF-1型）。

3．激振信号源（SJF-3型）。

4．重锤两个（1kg 与2kg 各一个），磁性表座，两质量块的钢丝绳一根，螺丝刀。

图4-12-1 二自由度横向振动系统的装置简图三、实验原理二自由度系统的装置示意如图4-12-1所示，两个质量块、m 的质量均为m （集中质量），钢丝绳的张力可以通过改变重锤的重量来调节，从而构成一个弦上有集中质量的横向振动系统，不计钢丝绳的质量，便将无限自由度系统简化为二自由度系统的模型，具有两个固有频率。

在激振力作用下，系统发生振动，该振动是两个主振型的叠加。

当激振频率等于某一阶固有频率时，系统的振动形态就是该阶固有频率的主振型，而另一阶振型的影响可以忽略不计。

A mB 在测定系统的固有频率时，需要连续调节激振频率，使系统出现某阶振型且振幅值达到最大，这时的激振频率就是该阶的固有频率。

由振动理论，两个集中质量的运动系统可由以下方程描述：0=+KX XM &&其中质量矩阵为：mm 00=M 刚度矩阵为：21123/6/3/3/6−−=−−=L T L T L T L T L T K 位移矩阵为：21x x X =系统的一阶固有频率为：mLT 31=ω 或者 mL T f 3π211= 系统的二阶固有频率为：mLT 92=ω 或者 mL T f 9π212= 在以上各式中， =0.0045kg 为集中质量， m T 为弦丝张力（N ）， =L 0.625m 为弦丝长度。

各阶主振型分别为()111++=A 以及()112−+=A ，参见图4-12-2。

（a ）（b ）图4-12-2 二自由度系统的一阶主振型（a ）和二阶主振型（b ）四、实验方法1．将磁电式非接触激振器接入激振信号源输出端，把激振器对准其中任一个质量块，保持一定的间隙（8—10mm ），使得振动时激振器与质量块不会发生碰撞。

两端悬挂梁各阶固有频率和主振形的测定试验

两端悬挂梁各阶固有频率及主振形的测定试验一、实验目的1、用共振法确定两端悬挂梁横向振动时的前五阶固有频率；2、熟悉和了解两端悬挂梁振动的规律和特点；3、观察和测试两端悬挂梁振动的各阶主振型，分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。

二、仪器和设备两端悬挂支座；脉冲锤1个；圆形截面钢梁标准件一个；加速度传感器一个；LMS振动噪声测试系统。

三、实验基本原理实验基本同悬臂梁实验四、实验结果记录前五阶固有频率表阶数固有频率（Hz）1 8.47352 54.69353 152.16244 295.96015 490.4713实验测得前5阶振型图如下：1阶振型图2阶振型图3阶振型图4阶振型图5阶振型图五、ANSYS有限元模拟仿真结果5.1前五阶固有频率仿真数据5.2前五阶振型仿真图1阶振型仿真图2阶振型仿真图3阶振型仿真图4阶振型仿真图5阶振型仿真图六、结果误差分析悬臂梁理论计算固有频率理论值、有限元仿真值与实测值表梁几何尺寸梁长 L=1m梁直径D=12mm 固有频率（Hz ） 1f2f 3f4f5f实验值 8.4735 54.6935 152.1624 295.9601 490.4713 有限元仿真值 053.884148.43290.69479.87结论：由以上表可以看梁一阶频率的实验值和仿真值完全不同，并且仿真值为0，其余四阶的数值比较接近，推测出现此结果的原因是：（1）有限元仿真中梁为无约束梁，其六个自由度均未约束，因此会出现前六个仿真值均接近0的情况，即悬挂梁不存在一阶振型。

（2）由于悬挂梁的六个自由度都未约束，实际震动中会将能量分散到整个空间，因此难以测得悬挂梁的一阶固有频率。

机械振动学中的固有频率与振型分析

机械振动学中的固有频率与振型分析机械振动学是研究机械系统在受到外界激励作用下产生振动现象的一门学科。

在机械系统中，固有频率与振型分析是非常重要的内容，可以用来描述系统的动态特性和振动行为。

本文将介绍机械振动学中固有频率与振型分析的基本概念和应用。

一、固有频率固有频率是指机械系统在没有外界激励下自由振动的频率。

对于一个简单的振动系统，其固有频率可以通过运动方程的解析解求得。

固有频率是系统的固有特性之一，可以用来描述系统的动态响应特性和结构的刚度、质量、阻尼等参数。

在实际工程应用中，固有频率的计算对于系统结构设计和振动控制至关重要。

通过对系统的固有频率进行分析，可以避免共振现象的发生，减小系统动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。

二、振型分析振型分析是指对机械系统的振动模式和振动幅值进行分析和描述。

振型是指系统在特定频率下的振动模式，可以通过振动实验和有限元分析等方法得到。

振型分析可以提供系统的模态形式和振动幅值信息，有助于分析系统的受力情况和结构设计。

振型分析在工程实践中具有广泛的应用，可以用于评估系统的结构健康状况、辅助设计优化和振动控制。

通过对系统的振型进行分析，可以找到系统的薄弱环节和潜在问题，及时进行改进和优化，提高系统的性能和可靠性。

三、结语固有频率与振型分析是机械振动学中重要的内容，对于机械系统的设计和性能评估具有重要意义。

通过对系统的固有频率和振型进行分析，可以优化系统的结构设计，降低系统的动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解机械振动学中固有频率与振型分析的相关知识。

07-固有频率与振型

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多自由度系统
固有频率主振型
A(1)
. 10000 = 10000 . . 10000
,
A( 2 )
. 10000 = 0.2808 −0.6404
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多自由度系统
固有频率主振型
(2k − ω 2 m)(k − 2ω 2 m) − k 2 adj B = k (k − 2ω 2 m) k2 (2k − ω 2 m)(k − 2ω 2 m) k ( 2k − ω 2 m) k ( 2k − ω 2 m) ( 2k − ω 2 m) 2 − k 2 k2 k (k − 2ω 2 m)
LL
(i ) 令 An = 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
A(i ) = A1(i )
(
A2(i )
L 1
)
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。
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多自由度系统
固有频率主振型主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。特征矩阵 B K − ω 2M 用矩阵A的第i=行第j 列的代数余子逆矩阵 B −1 = 1 adj B B 式把第j 行第i 列的元素替换掉得到代入就是A的伴随矩阵，记作adjA。 adj B 乘以 BI =B ωi 任 BB 何 (i ) B i I = Bi adj Bi Bi =0 非 A 零 Bi adj Bi = 0 列 adj Bi 比较成 (K − ωi2 M ) A (i ) = 0 比例所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。

连续弹性体悬臂梁各阶固有频率及主振型测定(最全)word资料

实验十二连续弹性体悬臂梁各阶固有频率及主振型测定一、一、实验目的1、 1、用共振法确定连续弹性体悬臂梁的各阶固有频率和主振型。

2、 2、观察分析梁振动的各阶主振型。

情况下，梁的振动是无穷多个主振型的迭加。

如果给梁施加一个合适大小的激扰力，且该力的频率正好等于梁的某阶固有频率，就会产生共振，对应于这一阶固有频率确定的振动形态叫做这一阶主振型，这时其它各阶振型的影响小得可以忽略不计。

用共振法确定梁的各阶固有频率及振型，我们只要连续调节激扰力，当梁出现某阶纯振型且振动幅值最大即产生共振时，就认为这时的激扰力频率是梁的这一阶固有频率。

实际上，我们关心的通常中最低几阶固有频率及主振型，本实验是用共振法来测定悬臂梁的一、二、l i β①根据《振动力学》，刘延柱，陈文良，陈立群著，1998版。

136页，例6.2-2式(g)A — A — 梁横截面积(m 2)l ρ—材料线密度(kg/m) l ρ=ρAρ—材料密度（kg/m 3） I —梁截面弯曲惯性矩(m 4)对矩形截面，弯曲惯性矩：123bhI = (m 4) (2)式中： b —梁横截面宽度(m) h —梁横截面高度(m) 本实验取l =( ) m b=( ) m h=( ) mE=20×1011Pa ρ=7800kg/m 3 各阶固有频率之比：f 1:f 2:f 3:f 4……=1:6.27:17.55 (3)理论计算可得悬臂梁的一、二、三阶固有频率的振型如图(3)所示：0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-10120 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2020 0.10.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.511.5beam transvers vibration with one end clasped四、四、实验方法1、 1、选距固定端L/4之处为激振点，将激振器端面对准悬臂梁上的激振点，保持初始间隙δ=6~8mm 。

桥梁模态参数

桥梁的模态参数是描述桥梁结构振动特性的重要参数，通常用于结构动力学分析和设计中。

桥梁的模态参数包括以下几个主要内容：
1.固有频率（Natural Frequency）：桥梁的固有频率是指在没有外部激励的情况下，桥
梁结构自由振动的频率。

固有频率是桥梁结构的固有特性之一，对结构的动态响应以及结构的抗震性能有重要影响。

固有频率与桥梁的刚度和质量密切相关。

2.振型（Mode Shape）：振型描述了桥梁在振动时不同部位的相对位移和振幅分布情
况。

每一个固有频率都对应一个振型，振型反映了结构在不同频率下的振动形态和振动模式，对于分析结构的振动行为和进行结构优化具有重要意义。

3.阻尼比（Damping Ratio）：阻尼比是描述结构振动系统耗散能量能力的参数，它反
映了结构振动的衰减速度和稳定性。

合理的阻尼比能够减小结构振动响应，提高结构的抗震性能。

机械振动固有频率与振型

, A(1)
. 10000 = −17808 . 0.3904
这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵 K = 0 是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的外力的合力为零，是动量守恒系统。
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LL
(i ) 令 An = 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
A(i ) = A1(i )
(
A2(i )
L 1
)
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。
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多自由度系统
固有频率主振型主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。特征矩阵 B K − ω 2M 用矩阵A的第i=行第j 列的代数余子逆矩阵 B −1 = 1 adj B B 式把第j 行第i 列的元素替换掉得到代入就是A的伴随矩阵，记作adjA。 adj B 乘以 BI =B ωi 任 BB 何 (i ) B i I = Bi adj Bi Bi =0 非 A 零 Bi adj Bi = 0 列 adj Bi 比较成 (K − ωi2 M ) A (i ) = 0 比例所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。
A T KA ω = T ≥0 A MA
2
A T MA > 0
AT KA ≥ 0
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多自由度系统
固有频率主振型
A T MA > 0，
A T KA ≥ 0

测试梁的各阶固有频率试验

21
梁的横向振动微分方程
图中的直梁在xy平面内作横向振动。假定梁的各截面的中心惯性主轴在同一平面Oxy内，外载荷也作用在该平面，并且略去剪切变形的影响及截面绕中性轴转动惯量的影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧拉-伯努利梁的模型。
22
•
在梁上x处取长为dx的微元段。在任意瞬时t，此微元段的横向位移用y(x, t)表示；单位长度梁上分布的外力用 p (x, t)表示；单位长度梁上分布的外力矩用m (x, t)表示。记梁的密度为，横截面积为A，材料弹性模量为E，截面对中性轴的惯性矩为J。由牛顿第二定律写出微段沿y向的运动微分方程
如果函数f(t)的周期T无限增大，则f(t)成为非周期函数。傅氏积分和傅氏变换是研究非周期函数的有力手段。与周期函数不同，非周期函数的频谱是连续曲线。由数学知，若非周期函数f(t)满足条件：(1) 在任一有限区间满足狄氏条件；(2) 在区间（-，+) 上绝对可积，则在f(t)的连续点处有 1 jt jt f (t ) [ f ( t ) e dt ] e d (4) 2 上式称函数 f (t ) 的傅氏积分公式。如令
k
fn
F

1 2 k m
3
4-1-5 用“三线摆”法验证均质圆盘转动惯量理论公式实验目的 1. 了解并掌握用“三线摆”方法测取物体转动惯量的方法。 2. 分析“三线摆”摆长对测量的误差。 “三线摆”是测取转动惯量的一种常用方法。给摆一个微小偏转，然后自然释放，摆就会产生扭振。同样的摆线长，不同的转动惯量，摆动的周期是不相同的；而同样的转动惯量，不同的摆长，摆动的周期也不相同。因此，“三线摆”的摆动周期不仅与物体的转动惯量有关，而且与摆线的长度也有关。根据摆的线长和摆动周期，可以推算出三线 o 摆在线性振动范围内圆盘转动惯量计算公式为 mgr 2T 2 Jc 4 三线摆示意图 4 2l

二维梁的固有频率和振型

一、综合实验题目和要求题目：求一二维梁的固有振型和频率。

要求：用有限元理论，求一二维梁的固有振型和频率：（1）用二维梁有限元对梁进行分析数值计算求出其主振型向量和频率；（2）求出其理论精确解，精确主振型向量和频率；（3）将理论结果和计算结果进行比较。

二、程序流程图三、实验结果1.前六阶振型同一有限元数不同阶数比较（以有限元20为例）如下图所示：00.10.20.30.40.50.60.70.80.9一阶-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81二阶-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81三阶-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8四阶-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81五阶-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81六阶四、实验分析对于二维梁有限元的划分（以下只对二维梁而言），要根据需求精度进行合理划分，既兼顾精度，同时也兼顾计算量（随着计算精度的提高，单元数量增加，相应计算量也会增加，计算时间也会增加），经过试验随着单元数量增加，其计算精度也不段提高，当将梁分到七单元时，通过计算得到的主振型和频率和理论值吻合的非常好。

当梁取一单元时（elementno=1），由于梁总体只有两自由度，故只能得出前两阶主振型；当梁取二单元时（elementno=2），由于梁总体有四自由度，故只能得出前四阶主振型；对于梁取三单元（elementno=3）以及三单元以上（elementno>3）时，梁总体有六自由度以及更高自由度，这里只画出前六阶主振型图。

下六图是在elementno=20的情况下，通过计算，画出前六阶的主振型图（其中红线部分为理论主振型图，绿色五角星是计算在梁各单元节点处的振型，数量取决于梁单元划分的数目）。

五、源程序清单clear allclose all%各参数的设置rou=2.7e3; %密度A=1e-3;%横截面积E=72e9; %弹性模量L=1; %梁长I=8.3333e-009;%截面惯性矩elementno=input('输入有限元的数量:'); %有限元的数量rodno=elementno+1;%节点数alldimension=rodno*2;l=L/elementno;%单元刚度矩阵ke=E*I/l^3*[12 -6*l -12 -6*l;-6*l 4*l^2 6*l 2*l^2;-12 6*l 12 6*l;-6*l 2*l^2 6*l 4*l^2];%单元质量矩阵me=rou*A*l/420*[156 -22*l 54 13*l; -22*l 4*l^2 -13*l -3*l^2;54 -13*l 156 22*l;13*l -3*l^2 22*l 4*l^2];K=zeros(alldimension,alldimension); M=zeros(alldimension,alldimension);for i=1:elementno %总刚度矩阵和总质量矩阵K(2*i-1,2*i-1)=ke(1,1)+K(2*i-1,2*i-1); K(2*i-1,2*i)=ke(1,2)+K(2*i-1,2*i);K(2*i-1,2*i+1)=ke(1,3)+K(2*i-1,2*i+1) ;K(2*i-1,2*i+2)=ke(1,4)+K(2*i-1,2*i+2) ;K(2*i,2*i-1)=ke(2,1)+K(2*i,2*i-1);K(2*i,2*i)=ke(2,2)+K(2*i,2*i);K(2*i,2*i+1)=ke(2,3)+K(2*i,2*i+1);K(2*i,2*i+2)=ke(2,4)+K(2*i,2*i+2);K(2*i+1,2*i-1)=ke(3,1)+K(2*i+1,2*i-1) ;K(2*i+1,2*i)=ke(3,2)+K(2*i+1,2*i);K(2*i+1,2*i+1)=ke(3,3)+K(2*i+1,2*i+1 );K(2*i+1,2*i+2)=ke(3,4)+K(2*i+1,2*i+2 );K(2*i+2,2*i-1)=ke(4,1)+K(2*i+2,2*i-1) ;K(2*i+2,2*i)=ke(4,2)+K(2*i+2,2*i);K(2*i+2,2*i+1)=ke(4,3)+K(2*i+2,2*i+1 );K(2*i+2,2*i+2)=ke(4,4)+K(2*i+2,2*i+2 ); M(2*i-1,2*i-1)=me(1,1)+M(2*i-1,2*i-1) ;M(2*i-1,2*i)=me(1,2)+M(2*i-1,2*i);M(2*i-1,2*i+1)=me(1,3)+M(2*i-1,2*i+ 1);M(2*i-1,2*i+2)=me(1,4)+M(2*i-1,2*i+ 2);M(2*i,2*i-1)=me(2,1)+M(2*i,2*i-1);M(2*i,2*i)=me(2,2)+M(2*i,2*i);M(2*i,2*i+1)=me(2,3)+M(2*i,2*i+1); M(2*i,2*i+2)=me(2,4)+M(2*i,2*i+2); M(2*i+1,2*i-1)=me(3,1)+M(2*i+1,2*i-1);M(2*i+1,2*i)=me(3,2)+M(2*i+1,2*i); M(2*i+1,2*i+1)=me(3,3)+M(2*i+1,2*i+ 1);M(2*i+1,2*i+2)=me(3,4)+M(2*i+1,2*i+ 2);M(2*i+2,2*i-1)=me(4,1)+M(2*i+2,2*i-1);M(2*i+2,2*i)=me(4,2)+M(2*i+2,2*i);M(2*i+2,2*i+1)=me(4,3)+M(2*i+2,2*i+ 1);M(2*i+2,2*i+2)=me(4,4)+M(2*i+2,2*i+2);endKcantalever=K(3:alldimension,3:alldime nsion);Mcantalever=M(3:alldimension,3:alldim ension);[V,D]=eig(Kcantalever,Mcantalever);lanbuda=diag(D);%特征值omega=sqrt(diag(D))vstandard=zeros(elementno,elementno); %数值计算主振型的生成for i=1:(alldimension-2)Vstandard(:,i)=V(:,i)/V((alldimension-3) ,i);for j=1:elementnovstandard(j,i)=Vstandard(2*j-1,i);%提取有纵向位移有关的向量元素形成新向量endendlanbudar=[1.875 4.694 7.85510.996 14.137 17.279]'omegaexact=lanbudar.^2*sqrt(E*I/rou/ A)x=0:0.01:1; xrod=linspace(1/elementno,1,elementno );y1=zeros(101,6);a=(sinh(lanbudar)-sin(lanbudar))./(cosh( lanbudar)+cos(lanbudar));if (elementno<=3)p=2*elementno;else p=6;endfor i=1:py1(:,i)=cosh(lanbudar(i)*x')-cos(lanbuda r(i)*x')-a(i).*(sinh(lanbudar(i)*x')-sin(l a nbudar(i)*x')); %理论主振型函数ystandardexact= y1(:,i)/ y1(101,i); %理论主振型归一化figure(i)plot(x,ystandardexact,'r') %理论主振型函数的绘制hold onplot(xrod,vstandard(:,i),'g*')grid onend六、对本实验课的几点建议首先，通过几周的MATLAB课程的学习，让我掌握了其基本的操作和命令，以及其Simulink仿真模块，对以后的学习增加了一个实用的数学工具。

模态振型固有频率基本理论

模态分析技术发展到今天已趋成熟,特别是线性模态理论(通常所说的模态分析均是指线性模态分析)方面的研究已日臻完善,但在工程应用方面还有不少工作可做。

首先是如何提高模态分析的精度,扩大应用范围。

增加模态分析的信息量是提高分析精度的关键,单靠增加传感器的测点数目很难实现,目前提出的一种激光扫描方法是大大增加测点数的有效办法,测点数目的增加随之而来的是增大数据采集与分析系统的容量及提高分析处理速度,在测试方法、数据采集与分析方面还有不少研究工作可做。

对复杂结构空间模态的测量分析、频响函数的耦合、高频模态检测、抗噪声干扰……等等方面的研究尚需进一步开展。

模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。

非线性模态的概念早在1960年就由Rosenberg提出,虽有不少学者对非线性模态理论进行了研究,但由于非线性问题本身的复杂性及当时工程实践中的非线性问题并示引起重视,非线性模态分析的发展受到限制。

近年来在工程中的非线性问题日益突出,因此非线性模态分析亦日益受到人们的重视。

最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学。

关于非线性模态的正交性、解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等问题是当前研究的重点。

在非线性建模理论与参数辨识方面的研究工作亦是当今研究的热点。

非线性系统物理参数的识别、载荷识别方面的研究亦已开始。

展望未来,模态分析与试验技术仍将以新的速度,新的内容向前发展。

模态振型是一个相对量,通常是一个列向量,二维以上的系统其模态振型不是一个数。

一个数对应单模态,其数值无意义。

某模态频率下的模态振型反映了在该模态频率下各自由度的相对位移的比值。

如果系统的初始位移恰好等于模态频率下的模态振型(或与之成比例),则此时系统的自由响应中只会出现该模态频率。

感谢欧阳中华教授的指点,我现在觉得自己当初确实对模态振型概念不清楚。

模态振型是系统固有的振动形态,线性响应是振型线性叠加的结果,但振型之间是独立不耦合的。

振型是个相对量,所以就有了多种振型归一划的方法。

梁固有频率计算公式

梁固有频率计算公式梁固有频率是指在固定支点的情况下，梁自由振动的频率。

它是结构振动分析中重要的参数之一，也是设计和调试结构工程时需要考虑的因素。

在工程领域中，计算梁的固有频率是非常必要的，因为振动频率对结构的耐久性、稳定性、可靠性等方面都有着重要的影响。

因此，本文将着重介绍梁固有频率的计算公式及其应用。

第一章梁固有频率的定义梁固有频率是指在固定支点的情况下，梁自由振动的频率。

自由振动是指在外加载荷或强制振动的情况下，结构没有任何干预下的振动状态。

自由振动状态下，梁结构本身的固有特性将影响梁的振动频率。

第二章梁固有频率的计算梁固有频率的计算公式与梁的自由振动模式有关。

梁的自由振动模式是指固定支点情况下，梁的振动方式和振幅。

梁的自由振动模式可以用谐波简并理论来进行研究，简单的情况下可以通过经典的欧拉-伯努利梁理论进行分析和计算。

针对不同的梁结构，可以采用不同的计算方法和公式。

2.1 线弹性梁的简谐振动在采用欧拉-伯努利梁理论的情况下，梁的固有频率计算公式如下：$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$其中，f为梁的固有频率，m为梁的质量，k为梁的刚度。

以简单支承线弹性梁为例，在确定梁的自由振动模式后，可以计算出梁的刚度和质量，进而计算梁的固有频率。

在计算出梁的固有频率后，可以根据梁结构所处的工作环境，来判断是否存在共振的情况，进而作出相应的调整和设计。

2.2 板和薄壁结构的简谐振动在考虑板和薄壁结构的固有频率时，需要采用壳理论。

采用壳理论，将板和薄壁结构看做三维结构，可以得出相应的计算公式。

具体的计算方法可以根据不同的工作环境和结构材料进行调整。

但是，总的来说，板和薄壁结构的固有频率计算公式可以使用如下的形式：$$f=\sqrt{\frac{D}{m}}$$其中，f为梁的固有频率，m为梁的质量，D为结构的柔度矩阵。

通过计算结构的柔度矩阵，可以得出结构的刚度和质量，从而计算结构的固有频率。

固有频率与振型

An(n)
令
A(i) n
1
，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i)
A2(i)
T
1
在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。
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多自由度系统
固有频率主振型
主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。
0 1 2 n
其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后
依次称为二阶、三阶固有频率等。
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多自由度系统
固有频率主振型
(K 2M)A 0
对应于ωi可以求得A(i)，它满足 (K i2M)A(i) 0
设n自由度系统运动微分方程的解为
xi Ai sin(t )
i 1,2,3, n
即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为
x Asin(t )
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多自由度系统
固有频率主振型
Mx Kx 0
x Asin(t )
固有频率主振型
K 2M 0
下面对其取值情况进行讨论。
KA 2MA
前乘以 AT
可得到
ATKA 2ATMA
由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正
定的，因此有
2
ATKA ATMA
0
于是，得到 ATMA 0 AT KA 0
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matlab有限元计算二维梁的固有频率

matlab有限元计算二维梁的固有频率二维梁是工程中常见的结构形式，固有频率是指结构在没有外界激励作用下，自身固有振动的频率。

通过计算二维梁的固有频率，可以了解结构的振动特性，为结构设计和分析提供依据。

在matlab中，可以使用有限元方法来计算二维梁的固有频率。

有限元方法是一种基于离散化的数值计算方法，通过将连续的结构分成有限个小单元，将结构的振动问题转化为求解单元上的位移和应力问题。

以下将介绍如何使用matlab进行二维梁的固有频率计算。

需要构建二维梁的有限元模型。

假设二维梁的长度为L，截面积为A，杨氏模量为E，密度为ρ。

可以将梁分割成若干个单元，每个单元有两个节点，节点之间的连线即为单元的长度。

通过定义节点和单元的坐标、自由度等信息，可以构建出二维梁的有限元模型。

接下来，需要定义边界条件。

边界条件包括固支边界条件和自由边界条件。

固支边界条件可以通过将某些节点的位移约束为零来实现，表示这些节点不能发生位移。

自由边界条件表示其他节点可以自由移动。

然后，需要定义二维梁的质量矩阵和刚度矩阵。

质量矩阵是描述结构质量分布的矩阵，刚度矩阵是描述结构刚度分布的矩阵。

通过对每个单元的质量矩阵和刚度矩阵进行组装，可以得到整个二维梁的质量矩阵和刚度矩阵。

通过求解特征值问题，可以得到二维梁的固有频率和振型。

特征值问题可以表示为Ku=ω²Mu，其中K是刚度矩阵，u是位移向量，M是质量矩阵，ω是固有频率。

通过求解这个问题，可以得到固有频率和对应的振型。

实际计算中，可以使用matlab中的函数进行矩阵运算和特征值求解。

通过将上述步骤整合在一起，可以编写一个matlab程序来计算二维梁的固有频率。

程序的输入包括梁的几何参数和材料参数，输出包括固有频率和振型。

在实际应用中，可以通过调整梁的几何参数和材料参数来研究不同情况下的梁的固有频率。

例如，可以研究不同长度、不同截面积和不同材料性质的梁的固有频率。

这些研究结果可以用于结构设计和振动分析的参考。

两自由度系统固有频率与主振型的算法研究

‘／：Ｉ。＼
图３条件下的固有振型
２２第二种算法．
将利用矩阵方程求系统的固有频率与主振型的问
。），（２
题，转化为求关于矩阵二次型的特征值问题．即将方程
（）４转化为求矩阵方程ＫｕＭｕ的特征值问题，ｚ于是
展开矩阵方程，即
（土）３惫
— ２ｍ
系统振动过程中始终是不动的．当两自由度系统的两个质量体、两个刚度系数各自均不相等时，在方程有实根的条件下，可得到类似的
结果．
即系统的固有频率为：
一ｅ一６０８，８．√ ．√ １
第３期
ＭｅｈｎｃｌｂａｉｎｏｈｏｉｉｃｔｎｏｏｔＦａｃａｉｒｔｎｔｅＳｌｆａｉｆａＬｓｏｍａＶｉｏｄｉｏ
展开（即将其转化为求解矩阵方程的特征值问题）从，
而快速得到振动系统的运动规律．于是，限制振动当时，外部激励的频率应尽量远离系统的固有频率，以限制系统的机械振动；当要利用振动时，外部激励的频率应与固有频率接近或相等（相等会生共振）以有效，口【产！Ｊ

设弹簧不变形位置为系统的平衡位置，某一瞬在
间质量体ｍｌｒ２、分别移动的位移为ｚ、２则此瞬间物ｎ３，７体的受力情况如图２所示．
１
— — — —
风力发电运行的振动、床加工过程产生的振动、机电梯运行时的振动等．些振动在日常生活与工程中会带有