简支梁固有频率及振型函数

简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导

一．等截面细直梁的横向振动

取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为

y=y(x,t) (1)

除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：

22y

EI M x ∂=∂

(2)

其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。在这些规定下，有：

M Q

Q q x x

∂∂==∂∂， (3)

于是，对方程（2）求偏导，可得：

222222(EI )(EI )y M y Q

Q q x x x x x x ∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂， (4)

考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：

3434y y

EI Q EI q x x ∂∂==∂∂， (5)

方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。

应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为

22

y

q t ρ∂=-∂ (6)

其中ρ代表梁单位长度的质量。假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：

4242y y

EI x t ρ∂∂=--∂∂ (7)

其中2

/a EI ρ=。

为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。假设方程的解为：

y(x,t)=X(x)Y(t)

(8)

将式（8）代入（7），得：

22424

1Y a d X Y t

X dx ∂=-∂ (9)

上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x ，因此要使对于任何x,t 上式均成立，必须二者均等于一个常数。将这一常数记为-p 2.

于是有：

22

2

0Y p Y t

∂+=∂ (10)

442

4

0,/d X X p a dx

ββ-== (11)

方程（10）的通解为：

Y （t ）=Asinpt+Bcospt (12) 其中，A,B 为积分常数。

方程（11） 的通解为：

1234(x)cos sin X C ch x C sh x C x C x ββββ=+++

(13)

二．简支梁的固有振型和固有频率

简支梁的边界条件为：

X （0）=0，X ’’(0)=0.

X （l ）=0，X ’’(l)=0

所以有：1230C C C ===

特征方程为:

sin 0l β=

由此得特征值为：,1,2,i i l l

π

β=

=⋅⋅⋅ 与此相应的固有频率为

(i )1,2,i p l π==⋅⋅⋅ 而对应的振型函数为

(x)sin sin

,1,2,i i i X x x l l π

β===⋅⋅⋅

王舒雅，25