简支梁固有频率及振型函数
08-固有频率与振型
多自由度系统
固有频率 主振型
k k k 2 6 9 4 9 2 0 m m m
12 0.1267 ,
k m
2 2 1.2726 ,
2
3
解方程得到
k m
32 3.1007
k m
求出系统的三个固有频率为
1 0.3559
k , m
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Theory of Vibration with Applications
多自由度系统
固有频率 主振型
对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率 和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
A(i)为对应于ωi的特征矢量。它表示系统在以ωi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也 称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
归一化后，得到三个主振型
A1 . 10000 10000 . . 10000 , A 2 . 10000 0.2808 0.6404 , A1 . 10000 17808 . 0.3904
(i ) 令 An 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
梁的基础知识
l
解出响应
y( x, t )
j 1
j ( x)q j (t )
欧拉梁 铁木辛柯梁
考虑剪切变形时，截面法线与 梁轴线之间有一夹角 忽略剪切变形时，微段为虚线所 示，截面法线与梁轴线的切线重 合。
y x
kQ AG 1 y Q ( ) AG k x y Q k ( ) AG x
将方程的解写作振型函数的线性组合：
y( x, t )
j 1
j ( x)q j (t )
将之代入动力学方程可得：
( x)
l j 1
l
j ( x)q j (t )
[EI ( x) ( x)]q
j j 1
l
j (t )
f ( x, t )
将上式各项与φi(x)相乘后沿梁的全长积分：
（2）不同固有频率的振型函数关于刚度的正交性：
l
0
j ( x)[ EI ( x)i( x)]dx EI ( x) ( x)i( x)dx 0 (i j) j
0
l
正则化
l
0
EI ( x) i ( x) j ( x)dx i2 ij
(i, j 1 , 2 , )
梁的基础知识
为什么研究梁？联系与区别
离散系统（有限自由度）——三要素 （质量、弹簧、阻尼）——常微分方程 连续系统（无限自由度）——弹性体原 件（杆、梁、轴、板等）——偏微分方 程
常微分方程（个数与自由度数相同、自 变量是t）
偏微分方程（自变量有时间t、位置x）
研究梁的什么？
钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算
∑ （ ｃ ｗｔ 曰ｓｔｆ ｍ ） Ａ ｏ ｍ＋ ｎ ｙ（ ｍｓ ｉ ） ｏ
申 函 ， 数‘ 日 无 而 定 振 特 ， 寸 关确的型性 间 方 ，基 组， 理 的 础 推 了动力试筋， 土 固 为 ， 各 振 可得 ： 应 频 ，ｙ ，： ｃ 曰 ｙ 程在 于 合 论 基 上 导 完 钢验 凝 梁 有 （求 （型 对 的 率取 （ ）（ｏ ｓ ） 梁 整 混 实 了相关 ）告 ４ Ａｓ ｉ ∞ ｎ 频 率的计算公式 通过对 实 际简支 梁进行 证 代入式 ）
・
５ ・ ２
第３ ７卷 第 ２ ８期 ２０１１年 １０月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣ Ｉ Ｈｒ ＥＣＩ ＇ ＵＲＥ
Ｖ０ ＿ ７ Ｎ ． ８ ｌ３ ｏ ２ Ｏｃ ． ２ １ ｔ ０１
文章编 号 ：０ ９ ６ ２ （０ ）８ ０ ５ —２ １０ — ８ ５ ２ １ ２ —０ ２０ １，Fra bibliotek， ，
由于 （ 和 （ 在任何截面都相等 则式 （ ） 四阶常 系 ） ） ６为 距 无限小的 ｄ ｘ两横 向截面截取一微 段 ， ｙ ，） （ ｆ ， ｘ 数齐次线性微分方程 求 出其通解 后根据 边界条件 得 出积 分常数 设 （ ｆ ， ，） Ｍ（ ， ｔ 和 Ｑ（ ，） ） ｘ ｔ分别表示梁的 截面处在 ｔ 时刻 的挠度 、 角 、 转 弯矩和 的关系 从而可求 出固有频率 ∞。
剪力。它们必须满足 以下微分关系 ： ：
ｒ
： ）ｌ ，， （ｔＥ
：（ｔ ） ，
令 √
，由 （可 出 通 为 则 式６ 求 其 解 ： ）
｛ －） － Ｑ， ＿ （ ｐ Ａ
简支梁自由振动加速度时间历程曲线
简支梁自由振动加速度时间历程曲线一、简支梁自由振动的基本概念简支梁是一种常见的结构形式，其自由振动是指在没有外力作用下，梁体在初始位移或初速度的情况下，按照固有频率进行振动。
简支梁自由振动加速度时间历程曲线可以反映出简支梁的振动特性。
二、简支梁自由振动的计算方法1. 求解固有频率固有频率是指在没有外力作用下，结构体系按照某种方式进行自由振荡时的频率。
对于简支梁来说，其固有频率公式为：f = 1/2π * √(E*I/(m*L^3))其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩，m为单位长度质量，L为梁长。
2. 求解振型函数振型函数描述了结构体系在某个特定频率下的运动状态。
对于简支梁来说，其一阶弯曲模态（最常见的模态）的振型函数为：y(x,t) = A*sin(ωt)sin(kx)其中，A为幅值，ω为角频率（等于2πf），k为波数（等于2π/λ），λ为波长。
3. 求解振动加速度振动加速度是指结构体系在某个时刻的加速度大小，可以通过对振型函数进行二阶导数求解。
对于简支梁来说，其一阶弯曲模态的振动加速度公式为：a(x,t) = -ω^2 A*sin(ωt)sin(kx)三、简支梁自由振动加速度时间历程曲线的绘制方法1. 确定梁长、截面形状和材料参数在绘制简支梁自由振动加速度时间历程曲线之前，需要确定梁长、截面形状和材料参数。
这些参数将直接影响到固有频率和振型函数的计算结果。
2. 计算固有频率和振型函数根据上述公式，可以计算出简支梁的固有频率和一阶弯曲模态的振型函数。
其中，固有频率可以通过改变材料参数、截面形状或梁长等方式进行调整。
3. 绘制加速度时间历程曲线将一阶弯曲模态的振型函数带入到上述公式中，即可得到任意时刻任意位置处的振动加速度大小。
将这些数据按照时间顺序绘制成曲线，即可得到简支梁自由振动加速度时间历程曲线。
四、简支梁自由振动加速度时间历程曲线的分析通过观察简支梁自由振动加速度时间历程曲线，可以得到以下结论：1. 振动加速度大小随时间呈正弦变化，其周期等于固有周期。
简支梁固有频率及振型函数
简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导一．等截面细直梁的横向振动取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。
梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为y=y(x,t) (1)除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。
故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。
根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：22yEI M x ∂=∂(2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯矩。
挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。
关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。
至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。
在这些规定下，有：M QQ q x x ∂∂==∂∂， (3)于是，对方程（2）求偏导，可得：222222(EI )(EI )y M y Q Q q xx x x x x ∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂，(4)考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：3434y yEI Q EI q x x ∂∂==∂∂，(5)方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为22y q t ρ∂=-∂(6)其中ρ代表梁单位长度的质量。
假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。
将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：4242y yEI x t ρ∂∂=--∂∂ (7)其中2/a EI ρ=。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。
假设方程的解为：y(x,t)=X(x)Y(t)(8)将式（8）代入（7），得：224241Y a d XY t X dx ∂=-∂ (9) 上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x ，因此要使对于任何x,t 上式均成立，必须二者均等于一个常数。
固支梁各阶固有频率及振型测量
固支梁各阶固有频率及振型测量
一、实验目的：
1. 熟悉梁的固有频率测量原理及振型形状；
2. 用共振法确定固支梁的各阶固有频率和振型。
二、实验仪器设备及安装示意图：
1. 计算机
2. YE6230T3动态数据采集系统
3. 功率函数发生器
4. 机械振动实验台
5. 加速度传感器激光位移传感器电涡流传感器自选
6. 激振器
三、实验过程：
四、实验结果及分析：
1、前三阶固有频率测量结果
2、各测点实测振幅（单位：）1，175；
3、各测点振幅换算值
4、绘出固支梁前三阶振型图一阶振型图
二阶振型图三阶振型图
多自由度系统各阶固有频率及主振型的测量一、实验目的
二、实验设备及安装示意图
三、实验结果与分析
1、不同张力下各阶固有频率的理论计算值与实测值
2、绘出观察到的三自由度系统振型曲线。
3、将理论计算出的各阶固有频率、理论振型与实测固有频率、实测振型相比较，是否一致? 产生误差的原因在哪里?。
简支梁振动模态分析与频率响应优化
简支梁振动模态分析与频率响应优化简支梁是一种常见的结构形式，广泛应用于桥梁、楼板等工程领域。
对于简支梁的振动模态分析与频率响应优化，具有重要的工程价值和理论意义。
本文将从理论分析和实际工程角度出发，探讨简支梁振动模态分析的方法以及频率响应优化的实践。
首先，简支梁振动模态分析的方法显得尤为重要。
振动模态是指结构在自由振动过程中的振动形态和频率分布。
对于简支梁而言，振动模态的分析可以帮助工程师了解结构的振动特性，从而为结构设计和改进提供指导。
一般而言，简支梁的振动模态分析可以通过数学模型和有限元分析两种常见方法实现。
数学模型方法主要通过数学方程和边界条件推导结构的振动模态。
以简支梁为例，可以利用波动方程等偏微分方程来描述梁的振动过程。
然后，通过求解这些方程，可以得到梁的振动模态和频率。
这种方法具有计算量小、理论基础强等优点，适合用于简单的梁结构。
然而，数学模型方法常常忽略了结构的复杂性，无法准确描述实际工程中的各种边界条件和材料非线性等因素。
有限元分析方法是近年来发展起来的一种结构振动分析方法，能够更好地模拟实际工程中的各种复杂条件。
该方法将结构离散成许多小元素，然后通过有限元法计算结构的振动模态。
对于简支梁而言，可以将整个梁划分成多个小单元，然后求解结构的特征值和特征向量。
通过有限元分析，可以全面考虑结构的几何形状、材料力学性能、边界条件等因素，准确预测简支梁的振动模态。
然而，有限元分析的计算量较大，且需要对模型进行合理的离散化处理，对于复杂的简支梁结构，仍然存在一定的挑战。
简支梁振动模态分析的结果对于结构的优化设计和改进具有指导意义。
通过分析振动模态，工程师可以了解结构的固有频率和振动形态，从而可以评估结构的稳定性和安全性。
在实际工程中，如果简支梁的某一振动模态频率接近材料的固有频率，那么就需要调整结构的几何形状或者材料性能，以避免共振的产生。
此外，振动模态分析还可以用于判断结构的缺陷和损伤，通过观察特定模态的变化，可以识别出可能存在的结构问题。
简支梁固有频率与固有振型的实验室测量与理论分析
Ａｂ ｔａ ｔ ｉ ｌ ｂ ａ ｗｈ ｃ ｉ ｈ ｒ ｓ —ｅ ｔ ｎ ａ ｄ ｃ ｎ ｉｕ ｕ ｔｕ ｔ ｒ ｓ ｕ ｕ ｌ ｓ ｄ ａ ｎ ａ ａｙ ｉ ｔｏ ｆ ｈ ｉ ｒｔ ｎ ｐ ｅ ｓ ｒ ｃ ：Ｓ ｍｐ ｅ ｅ ｍ ｉｈ ｗ ｔ ｔ ｅ ｃ ｏ ｓ ｓ ｃｉ ｎ ｏ ｔ ｏ ｓｓｒ ｃｕ ｅ，ｉ ｓ ａｌ ｕ ｅ ｓａ ｎ ｌ ｓｓ ｏ ｌ ｅ ｖｂ ａｉ ｈ － ｈ ｏ ｎ ｙ ｏｔ ｏ ｎ ｍｅ ｏ ．Ｄ ｎ ｍｉ ａ ａ ｙ ｉ ｏ ｉ ｌ ｅ ｍ ｔ ｈ ｐ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｅ ｒ ｔ ａ ｎ ｌｓｓａ ｄ ｅ ｐ ｒ ｎ ａ ｓｉ ｇ ｍｅｈ ｄ ，ｃ ｎ ｇ ｔ ａｕ ｏ ｎｎ ｙ ａ ｃ ｎ ｌ ｓｓ ｆｓｍｐ ｅｂ ａ ｗｉ ｔｅ ａ ｐ ｉ ｔ ｆ ｈ ｏ ｅ ｉ ｌ ａｙ ｉ ｎ ｘ ｅ ｍｅ ｔ ｌ ｅ ｔ ｔ ｏ ｓ ａ ｅ ｔ — ｈ ｃ ｏ ｔ ｃ ａ ｉ ｔ ｎ ｎ ｒｌ ｒ ｑ ｅ ｃ ｖ ｂ ａｉｎ ａ ｌ ｕ ｅａ ｄ ｃ ｔ ａ ｄ ｍｐ ｎ ｆｔｅ ｃ ｎ ｉｕ ｕ ｔ ｃｕ ｅ ｏ ａ ａｙ ｅｔ ｅｎ ｔ ｒｌ ｒ ｑ ｅ ｃ ｖ ｂ ａｉｎ，ａ ｌ ａ ｅ ｕ ｎ ｙ， ｉ ｒ ｔ ｍｐｉ ｄ ｎ ｒ ｉ ｌ ａ ｉ ｇ ｏ ｏ ｔ ｏ ｓｓ ｕ ｔｒ ．Ｔ ｎ ｚ ｈ ａｕ ａ ｅ ｕ ｎ ｙ， ｉ ｒｔ ｆ ｏ ｔ ｉ ｃ ｈ ｎ ｒ ｌ ｆ ｏ ｍｐｉ — ｔ ｄ ｎ ｒｔ ａ ａ ｉ ｇｃ ｎ ａ ｏｄ ｓ ｍｐ ｔ ｅｉ ｉｒ ｔ ｎ ｗｈｃ ｅ ｄ ｅ ｆ ｒ ｅ ｔ ａ ｇ ｏｔ ｅ ｆ ｍｅ ｏ ｋ ｔｃ ｎ ａ ｓ ｅ ｃ ｅｉ — ｕ ｅ ａ ｄ ｃ ｉ ｌｄ ｍｐ ｎ ａ ｖ ｉ ｙ ａｈ ｔ ｖｂ ａｉ ， ｉｈ ｌ ａ ｓｔ ｔ ｕｔ ｓ ｍａ ｅ ｔ ａ ｗ ｒ ．Ｉ ａ ｌｏｒ ａ ｈ ｔ ｉ ｃ ｃ ｏ ｏｈ ｈ ｄ ｈ ｒ ｈ ｎ ｔ ｎｉｎ ｔ ｖ ｉ ｉ ｒｔ ｎ ｔｒ ｗｉ ｈ ａ ｕ ａ ｅ ｕ ｎ ｙ ａ ｄ ｉｈ ｒ ｎ ｉｒ ｔ ｎ ｏ ｅ ｓｍｐ ｅ ｂ ａ ｗｉ ｒ ｓ －ｅ ｔ ｎ，ｗ ｉ ｈ ｏｆｒ ｄ ａ ｅ ｔ ｏ ａ ｏｄ ｖ ｂ ａｉ ．Ｓａ ｔ ｔ ｔｅ ｎ ｔ ｒ ｆ ｑ ｅ ｃ ｎ ｎ ｅｅ ｔ ｂ ａｉ ｆｔ ｉ ｌ ｅ ｍ ｔ ｃｏ ｓｓ ｃｉ ｏ ｏ ｈ ｌ ｒ ｖ ｏ ｈ ｈ ｏ ｈ ｃ ｆ ｅ ｅ ｕ ｅｕ ｔ ｏ ｏ ｓ ｒ ｏ ｒｒ ｓ ａ ｃ ｉ ｒ ｔ ｎ ｏ ｏ ｌ ａｅ ｒ ｍｅ ｏ ｋ ｓ ｆｌｍｅ ｈ ｄ ｔ ｔｔ ｕ ｅ ｅ ｒ ｈ ｏ ｖ ｂ ａｉ ｆ ｍｐ ｉ ｔｄ ｆ ａ ｆ ｏ ｃ ｃ ａ ｗ ｒ． Ｋｅ ｒ ｓ：ｓｍｐｅ ｂ ａ ｗ ｔ ｒ ｓ —ｅ ｔ ｎ ｉ ｒ ｔ ｎ ａｕ ａ ￣ｅ ｕ ｎ ｙ；ｉ ｈ ｒ ｎ ｉ ｒ ｔ ｎ ｍｏ ｅ；ｄ ｍｐ ｎ ａ ｉ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｌ ｅ ｍ ｉ ｃｏ ｓ ｓ ｃｉ ；ｖ ｂ ａｉ ；ｎ ｔ ｒ ｌ ｑ ｅ ｃ ｈ ｏ ｏ ｎ ｅ ｅ ｔ ｂ ａｉ ｄ ｖ ｏ ａ ｉｇ ｒｔ ｏ
振动力学(梁的横向振动)
l l
sinh l cos l
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
2u
x2
A
2u t 2
EI (C1 3 cos l C2 3 sin l C3 3 ch l C4 3 sh l)
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
EI ,
A
C sin
机械振动学中的固有频率与振型分析
机械振动学中的固有频率与振型分析机械振动学是研究机械系统在受到外界激励作用下产生振动现象的一门学科。
在机械系统中，固有频率与振型分析是非常重要的内容，可以用来描述系统的动态特性和振动行为。
本文将介绍机械振动学中固有频率与振型分析的基本概念和应用。
一、固有频率固有频率是指机械系统在没有外界激励下自由振动的频率。
对于一个简单的振动系统，其固有频率可以通过运动方程的解析解求得。
固有频率是系统的固有特性之一，可以用来描述系统的动态响应特性和结构的刚度、质量、阻尼等参数。
在实际工程应用中，固有频率的计算对于系统结构设计和振动控制至关重要。
通过对系统的固有频率进行分析，可以避免共振现象的发生，减小系统动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。
二、振型分析振型分析是指对机械系统的振动模式和振动幅值进行分析和描述。
振型是指系统在特定频率下的振动模式，可以通过振动实验和有限元分析等方法得到。
振型分析可以提供系统的模态形式和振动幅值信息，有助于分析系统的受力情况和结构设计。
振型分析在工程实践中具有广泛的应用，可以用于评估系统的结构健康状况、辅助设计优化和振动控制。
通过对系统的振型进行分析，可以找到系统的薄弱环节和潜在问题，及时进行改进和优化，提高系统的性能和可靠性。
三、结语固有频率与振型分析是机械振动学中重要的内容，对于机械系统的设计和性能评估具有重要意义。
通过对系统的固有频率和振型进行分析，可以优化系统的结构设计，降低系统的动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解机械振动学中固有频率与振型分析的相关知识。
RayLeigh-Ritz 瑞立法 课件解析
d (x ) dx
2 j
2
) dx M i ( x i )
2
2
l 2 m ( x ) （ x） d x 0
i 1
特例：等截面、没有集中质量的梁：设m(x)=m EI(x)=EI 由最大动能 T m ax
2
EI 2
2
m （ x ） d x
0
l
2
频率近似值。
(3)若假定的振型接近基谐调振型，则由上式求出的基频将高于精确 值，因为这种假定相当于引入了附加约束。
1.3Rayleigh法--例题分析
求一阶固有频率的 1 步骤： (1) 求体系的最大动能 V m a x = ？ (2) 求体系的最大动能 T m a x = ？
(3) 由 V = T m ax m ax
1.瑞利商
R ( u )
M
对应广义坐标解： 体系最大动能为： 最大动能为： 由机械能守恒定律：
x 2 t
2
无阻尼体系振动微分方程：
K x
t )
0
x = u s in (
T
V
max
1
u M u 2
于精确解 。
(2) 基本思想：假设一振型，代入到R ( u )
2
u K u u M u
T T
求得的瑞利商作为基本频率平方的近似值。 分析:假设的振型与系统的真实振型越接近，得到的频率近似值就越接 精确解。 因为基本固有频率平方的精确值是瑞利商的最小值， 所以瑞利法算出的固有频率总是大于精确值。
m(x)=m， EI(x)=EI。 其中
钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算
钢筋混凝土简支梁固有频率的数值计算杨斌谷淡平【摘要】摘要:通过振型函数导出了求解梁横向振动固有频率的微分方程，在组合梁理论的基础上推导了完整钢筋混凝土梁固有频率的计算公式，对实际简支梁进行了动力试验，验证了固有频率理论计算公式的准确性。
【期刊名称】山西建筑【年(卷),期】2011(037)028【总页数】2【关键词】关键词:钢筋混凝土，简支梁，固有频率，数值计算0 引言钢筋混凝土承弯梁是实际工程中常见的重要构件，其损伤的识别、监测对于确保整个构筑物的安全，评估其服役状态，都具有重要的意义。
深入了解钢筋混凝土梁的振动特性，是采用动力破损评估法对其损伤进行辨识、监测的前提和基础[1］。
本文通过振型函数导出了求解梁横向振动固有频率的微分方程，在基于组合梁理论的基础上推导了完整钢筋混凝土梁固有频率的计算公式，通过对实际简支梁进行动力试验，证实了相关理论和计算公式的正确性，能较好的满足工程需要。
1 简支梁固有频率的计算梁在横向荷载作用下，在长为l的梁的轴向(x方向)处用相距无限小的dx两横向截面截取一微段，设y(x，t)，θ(x，t)，M(x，t)和Q(x，t)分别表示梁的x 截面处在t时刻的挠度、转角、弯矩和剪力。
它们必须满足以下微分关系[2］:其中，EI(x)，ρl(x)分别为所取微段处的截面抗弯刚度和单位长度的质量。
从式(1)可以得出:由于梁在任一点、任一时刻的挠度可表示为无数简谐振动下挠度的叠加，利用分离变量法[3］，设第m阶简谐振动的频率是ωm，再设Tm(t)，Ym(x)分别为振幅函数和振型函数，则在一定边界条件下式(4)的解可表示为[4］:由于挠度函数y(x，t)具有与时间无关而确定的振型特性[5］，为求出各种振型函数对应的频率，取y(x，t)=(Acosωt+Bsinωt)Y(x)，代入式(4)可得:式(6)即为求解梁横向振动固有频率的微分方程。
由于EI(x)和ρl(x)在任何截面都相等，则式(6)为四阶常系数齐次线性微分方程，求出其通解后根据边界条件得出积分常数的关系，从而可求出固有频率ω。
双简支梁固有频率与振型测量
7 □ 7-1 双简支梁固有频率与振型测量加速度传感器加速度传感器图7－1 双简支梁固有频率与振型测量实验原理图图7－2 双简支梁固有频率与振型测量实验操作界面双简支梁固有频率与振型测量实验操作界面说明主菜单存 盘 ：将测试数据存盘。
按提示输入学号作为文件名。
实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。
退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2）虚拟仪器量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号过载。
设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。
示波器 ：选择“显示选择”中的某一选项（共7个），可使示波器显示相应的内容。
电压表 ：选择“参考点”，显示参考点传感器的输出电压。
选择“测量点”，显示测量点传感器的输出电压。
频率计 ：显示加速度响应信号的频率。
李萨玉图 ：观察参考点加速度信号和激振信号的李萨玉图。
信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。
用“On/Off”开启或关闭信号发生器。
振型数据：“测量点/参考点”:当前测量点与参考点传感器输出电压之比。
振 型 图 : 将振型数据表格中的振型数据绘成振型图（图7－3）。
图7－3 振型图振型动画 : 动画显示测试数据表格中的振型或理论振型。
缺省状态显示测试振型，选择“显示理论振型”并确定相应的振型“阶数”，可以同时显示理论振型和测试振型（图7－4）。
图7－4 振型动画一、实验目的• 测量双简支梁的固有频率和振型。
• 理解多自由度系统振型的物理概念。
• 掌握多自由度系统固有频率和振型的简单测量方法。
二、实验仪器• 双简支梁试件 1件• 激振器及功率放大器 1套• 加速度传感器（ICP式） 1只• ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台• 信号发生器 1台• 频率计 1台• 电压表 1台• 示波器 1台其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。
三、实验方法及步骤1、装配实验系统• 按图7－1将综合实验台装配成双简支梁结构。
实验二 简支梁固有频率测试实验
实验二简支梁固有频率测试实验1、知识要点：机械在运动时，由于旋转件的不平衡、负载的不均匀、结构刚度的各向异性、间隙、润滑不良、支撑松动等因素，总是伴随着各种振动。
机械振动在大多数情况下是有害的，振动往往会降低机器性能，破坏其正常工作，缩短使用寿命，甚至导致事故。
机械振动还伴随着同频率的噪声，恶化环境，危害健康。
另一方面，振动也被利用来完成有益的工作，如运输、夯实、清洗、粉碎、脱水等。
这时必须正确选择振动参数，充分发挥振动机械的性能。
振动的幅值、频率和相位是振动的三个基本参数，称为振动三要素。
幅值是振动强度的标志，它可以用峰值、有效值、平均值等不同的方法表示。
不同的频率成分反映系统内不同的振源，通过频谱分析可以确定主要频率成分及其幅值大小，从而寻找振源，采取相应的措施。
振动信号的相位信息十分重要，如利用相位关系确定共振点、测量振型、旋转件动平衡、有源振动控制、降噪等。
对于复杂振动的波形分析，各谐波的相位关系是不可缺少的。
简谐振动是单一频率的振动形式，各种周期运动都可以用不同频率的简谐运动的组合来表示。
简谐振动的运动规律可用位移函数y(t)描述：1-1式中：A为位移的幅值，mm；φ为初始相位角，r；ω为—振动角频率，1/s,ω＝2π/T＝2πf；其中T为振动周期，s；f为振动频率，Hz。
对应于该简谐振动的速度v和加速度a分别为：1-21-3比较式1-1至1-3可见，速度的最大值比位移的最大值超前90°，加速度的最大值要比位移最大值超前180°。
在位移、速度和加速度三个参量中，测出其中之一即可利用积分或微分求出另两个参量。
在振动测量时，应合理选择测量参数，如振动位移是研究强度和变形的重要依据；振动加速度与作用力或载荷成正比，是研究动力强度和疲劳的重要依据；振动速度决定了噪声的高低，人对机械振动的敏感程度在很大频率范围内是由速度决定的。
速度又与能量和功率有关，并决定动量的大小。
2、实验目的：了解激振器、加速度传感器、电荷放大器的工作原理，掌握上述设备的使用方法，掌握简谐振动振幅与频率最简单直观的测量方法，对机械振动有一定的感性认识，形成机械振动的工程概念。
简支梁固有频率分析
简支梁固有频率分析
假设有一钢制简支梁，密度为 7800Kg/m3 弹性模量 E 为 210MPa，泊
松比μ 为 0.3,长度 L 为 10m,横截面为一个 1m*1m 的正方形。
6 阶 847.021
7 阶 1152.889
8 阶 1505.815
352.836
Ansys 做出的 10 阶振形曲线前五阶为： 1 阶：
2.阶 3 阶； 4 阶：
5 阶：
LOAD STEP 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
SUBSTEP CUMULATIVE
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
而通过理论计算所得的 10 阶固有频率为（取 fi=ωi/2π）：
1 阶 23.528
2 阶 94.113
3 阶 211.755
4 阶 376.454
5 阶 588.209
利用 Ansys 对盖梁进行有限元分析，采用单元类型为 Beam,得到的固有 频率表为：
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE *****
SET TIME/FREQ 1 23.432 2 92.603 3 129.72 4 204.33 5 353.89 6 389.30 7 535.71 8 649.26 9 744.02 10 909.86
对应于 i 大于等于 2 的各个特征值可取为：
实验五简支梁固有频率测试实验1
实验五 简支梁固有频率测试实验一、 实验目的：1、 掌握固有频率测试的工程意义及测试方法。
2、 掌握用共振法、李萨育图形法测量振动系统的固有频率的方法及步骤。
3、 加深了解常用简单振动测试仪器的使用方法。
二、实验设备和工具1.机械振动综合实验装置（安装简支梁） 1套2.激振器及功率放大器 1套3.加速度传感器 1台4.电荷放大器 1台5.数据采集仪 1台6.信号分析软件 1套三、实验内容1．用共振法测量简支梁固有频率共振法测量振动系统的固有频率是比较常用的方法之一。
共振是指当激振频率达到某一特定值时，振动量的振动幅值达到极大值的现象。
由弹性体振动理论可知，计算简支梁固有频率理论解为：APEJ L f 20115.49 式中，L 为简支梁长度（cm ）；E 为材料弹性系数（kg/cm 2）;A 为梁横截面积（cm 2）；P 为材料比重（kg/cm 3）；J 为梁截面弯曲惯性矩（cm 4）。
用共振法测量简支梁固有频率的仪器连接如图1所示图1测量双简支梁固有频率框图2．用李萨育图形法测量简支梁固有频率李萨育图形是由运动方向相互垂直的两个简谐振动的合成运动轨迹。
李萨育图形可以通过示波器或数据采集软件的X-Y轨迹图观察到。
在图的X、Y 轴上同时输入简谐振动两个信号，这两个信号不同的相位差合成不同的李萨育图形如图2所示。
振动的位移、速度及加速度的幅值其各自达到极大值时频率是不同的，只有在无阻尼的情况下，它们频率才相等，并且等于振动系统的固有频率。
但在弱阻尼的情况下，三种共振频率接近系统的固有频率。
只有速度共振频率真正和固有频率相等，所以用速度共振的相位差判别共振。
判别依据是系统发生速度共振时，激振力和速度响应之间的相位差为90°，依据位移、速度、加速度响应判断速度共振的李萨育图形如图3~5所示。
θ=00 θ=450 θ=900 θ=1350 θ=1800图2 不同相位差信号合成的李萨育图形n ωω< n ωω= n ωω>图3用位移响应判断速度共振n ωω< n ωω= n ωω>图4用速度响应判断速度共振n ωω< n ωω= n ωω>图5用加速度响应判断速度共振四、实验原理固有频率是振动系统的一项重要参数。
测试梁的各阶固有频率试验
21
梁的横向振动微分方程
图中的直梁在xy平面内作横向振动。假定梁的各截面 的中心惯性主轴在同一平面Oxy内，外载荷也作用在该平 面，并且略去剪切变形的影响及截面绕中性轴转动惯量的 影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧 拉-伯努利梁的模型。
22
•
在梁上x处取长为dx的微元段。在任意瞬时t，此微元 段的横向位移用y(x, t)表示；单位长度梁上分布的外力用 p (x, t)表示；单位长度梁上分布的外力矩用m (x, t)表示。记 梁的密度为 ，横截面积为A，材料弹性模量为E，截面 对中性轴的惯性矩为J。由牛顿第二定律写出微段沿y向的 运动微分方程
如果函数f(t)的周期T无限增大，则f(t)成为非周期函 数。傅氏积分和傅氏变换是研究非周期函数的有力手段。 与周期函数不同，非周期函数的频谱是连续曲线。 由数学知，若非周期函数f(t)满足条件：(1) 在任一 有限区间满足狄氏条件；(2) 在区间 （-，+) 上绝对 可积，则在f(t)的连续点处有 1 jt jt f (t ) [ f ( t ) e dt ] e d (4) 2 上式称函数 f (t ) 的傅氏积分公式。如令
k
fn
F
1 2 k m
3
4-1-5 用“三线摆”法验证均质圆盘转动惯量理论公式 实验目的 1. 了解并掌握用“三线摆”方法测取物体转动惯量的方 法。 2. 分析“三线摆”摆长对测量的误差。 “三线摆”是测取转动惯量的一种常用方 法。给摆一个微小偏转，然后自然释放，摆 就会产生扭振。同样的摆线长，不同的转动 惯量，摆动的周期是不相同的；而同样的转 动惯量，不同的摆长，摆动的周期也不相同。 因此，“三线摆”的摆动周期不仅与物体的 转动惯量有关，而且与摆线的长度也有关。 根据摆的线长和摆动周期，可以推算出三线 o 摆在线性振动范围内圆盘转动惯量计算公式 为 mgr 2T 2 Jc 4 三线摆示意图 4 2l
机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l x x y -==）（223max43x l lx y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
固有频率与振型
An(n)
令
A(i) n
1
，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i)
A2(i)
T
1
在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
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多自由度系统
固有频率 主振型
主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。
0 1 2 n
其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后
依次称为二阶、三阶固有频率等。
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多自由度系统
固有频率 主振型
(K 2M)A 0
对应于ωi可以求得A(i)，它满足 (K i2M)A(i) 0
设n自由度系统运动微分方程的解为
xi Ai sin(t )
i 1,2,3, n
即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为
x Asin(t )
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多自由度系统
固有频率 主振型
Mx Kx 0
x Asin(t )
固有频率 主振型
K 2M 0
下面对其取值情况进行讨论。
KA 2MA
前乘以 AT
可得到
ATKA 2ATMA
由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正
定的，因此有
2
ATKA ATMA
0
于是，得到 ATMA 0 AT KA 0
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连续系统振动b梁弯曲振动
略去高阶小量得：
Fs
Mm(x,t) x
材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系： M(x,t)EI2yx(x2,t)
变截面梁的动力学方程：
2连0续21系年统3月振x212动3[日bE梁I弯曲2振y动x( x2 , t) ]
S
2 y(x,t) t 2
f (x,t) m(x,t) x
4
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
2021年3月13日 连续系统振动b梁弯曲振动
4
2
a02
a02
EI
S
18
(0) 0 (0) 0 (l) 0 (l) 0
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
y
x
0
l
(x) C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
(0) 0 (0) 0
C1 C3 0 C2 C4 0
第 i 阶主振动： y(i)(x ,t) a i i(x )siin t(i)
a i 和 i 由系统的初始条件确定
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
y(x,t) aii(x)si nit(i)
2021年3月13日
i1
7
连续系统振动b梁弯曲振动
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
常见的约束状况与边界条件
Fs M
f (x,t)dx
m(x,t)dx
M M dx x
Fs x
f(x,t)S2 t2y
Sdx
2y t 2
Fs
Fs x
dx
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：
dx
（ M M x d ) M x F s d fx ( x ,t ) d d 2 x x S 2 t d 2 y d 2 x m x ( x ,t ) d 0 x
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简支梁横向振动的固有频率及振型函数的推导
一．等截面细直梁的横向振动
取梁未变形是的轴线方向为X 轴（向右为正），取对称面内与x 轴垂直的方向为y 轴（向上为正）。
梁在横向振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为
y=y(x,t) (1)
除了理想弹性体与微幅振动的假设外，我们还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的（大于10）。
故可以采用材料力学中的梁弯曲的简化理论。
根据这一理论，在我们采用的坐标系中，梁挠曲线的微分方程可以表示为：
22y EI M x ∂=∂
(2) 其中，E 是弹性模量，I 是截面惯性矩，EI 为梁的弯曲刚度，M 代表x 截面处的弯
矩。
挂怒弯矩的正负，规定为左截面上顺时针方向为正，右截面逆时针方向为正。
关于剪力Q 的正负，规定为左截面向上为正，右截面向下为正。
至于分布载荷集度q 的正向则规定与y 轴相同。
在这些规定下，有：
M Q
Q q x x ∂∂==∂∂， (3)
于是，对方程（2）求偏导，可得：
222222(EI )(EI )y M y Q Q q x x x x x x ∂∂∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂， (4)
考虑到等截面细直梁的EI 是常量，就有：
3434y y
EI Q EI q x x ∂∂==∂∂， (5)
方程（5）就是在等截面梁在集度为q 的分部李作用下的挠曲微分方程。
应用达朗贝尔原理，在梁上加以分布得惯性力，其集度为
22y
q t ρ∂=-∂ (6)
其中ρ代表梁单位长度的质量。
假设阻尼的影响可以忽略不计，那么梁在自由振动中的载荷就仅仅是分布的惯性力。
将式（6）代入（5），即得到等截面梁自由弯曲振动微分方程：
4242y y
EI x t ρ∂∂=--∂∂ (7)
其中2
/a EI ρ=。
为求解上述偏微分方程（7），采用分离变量法。
假设方程的解为：
y(x,t)=X(x)Y(t)
(8)
将式（8）代入（7），得：
22424
1Y a d X
Y t
X dx ∂=-∂ (9) 上式左端仅依赖于t,而右端仅依赖于x ，因此要使对于任何x,t 上式均成立，必须二者均等于一个常数。
将这一常数记为-p 2
.
于是有：
222
0Y
p Y t
∂+=∂ (10)
442
4
0,/d X X p a dx ββ-== (11) 方程（10）的通解为：
Y （t ）=Asinpt+Bcospt (12) 其中，A,B 为积分常数。
方程（11） 的通解为：
1234(x)cos sin X C ch x C sh x C x C x ββββ=+++
(13)
二．简支梁的固有振型和固有频率
简支梁的边界条件为：
X （0）=0，X ’’(0)=0.
X （l ）=0，X ’’(l)=0 所以有：1230C C C === 特征方程为:
sin 0l β=
由此得特征值为：,1,2,i i l l
π
β==⋅⋅⋅ 与此相应的固有频率为
(i )1,2,i p l π==⋅⋅⋅ 而对应的振型函数为
(x)sin sin
,1,2,i i i X x x l l π
β===⋅⋅⋅
王舒雅，25。