八年级初二数学下学期平行四边形单元测试题试题
八年级初二数学下学期平行四边形单元测试题试题
一、选择题
1．如图，菱形ABCD 的边长为4,60,A E ∠=是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，将线段EF 绕着E 逆时针旋转60，得到EG ，连接EG CG 、，则BG CG +的最小值为（ ）
A ．33
B ．27
C ．43
D ．223+
2．如图，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD ＝DE ，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①OG ＝
1
2
AB ；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）
A ．①④
B ．①③④
C ．①②③
D ．②③④
3．如图所示，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE ＝AC ，AE 交CD 于点F ，那么∠AFC 的度数为（ ）
A ．112.5°
B ．125°
C ．135°
D ．150°
4．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，E ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上．小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN ＝EF ，你认为( )
A ．仅小明对
B ．仅小亮对
C ．两人都对
D ．两人都不对
5．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且CD=3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论： ①△ABG ≌△AFG ；②BG=GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC =28.8． 其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长
AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ??≌；
②ABE ?是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ??=；⑤CEF ABE S S ??=中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=?，4=AD ，2AB =，点E 是折线
BC CD DA --上的一个动点(不与A 、B 重合)．则ABE △的面积的最大值是( )
A ．
32
B ．1
C ．32
D ．23
8．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．24
B ．36
C ．72
D ．144
9．如图，90MON ∠=?，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（ ）
A ．222-
B ．222+
C ．252-
D ．22+
10．如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则折痕MN 的长是（ ）
A ．53cm
B ．55cm
C ．46cm
D ．45cm
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC = ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、
P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积
依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
13．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．
14．如图，?ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
15．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，
M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=?则EM =______；EDM 的面积为______，
16．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，
17．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．
18．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ?沿EF 翻折，
AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
19．如图，在四边形ABCD 中， //,5,18,AD BC AD BC E ==是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动;点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，当运动时间为
t 秒时，以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形，则t 的值等于_______．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．
22．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =． （1）求证：QAB QMC ∠=∠ （2）求证：90AQM ∠=?
（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积
图1 图2 23．综合与探究
（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且
DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．
（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果
45GCE ∠=?，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=?，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且
45DCE ∠=?，4BE =，求DE 的长．
24．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=?分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点
F ．
（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；
（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由； （3）已知2,BC =
求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．
25．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．
（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）． （2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．
（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）． 26．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE =52． （1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ． ①连结BH ，BG ，求
BH
BG
的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
27．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=?翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．
（1）证明：AG BE =；
（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于53
吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．
28．（解决问题）如图1，在ABC ?中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是
BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ?的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ?中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ?内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求
PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
29．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE． （1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．
30．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处. (I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长； (II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长； (III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=23，BC=4，求EC的长.
【详解】
取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=1
2 AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt △EBC 中，
BC=4， ∴
， 故选A. 【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G 点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．
2．A
解析：A 【分析】
由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG=DG ，证出OG 是△ACD 的中位线，得出OG=
12CD=1
2
AB ，①正确；先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB=BD=AD ，因此OD=AG ，得出四边形ABDE 是菱形，④正确；由菱形的性质得得出△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，由SAS 证明△ABG ≌△DCO ，得出
△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ≌△ABG ≌△BDG ≌△DEG ，得出②不正确；证出OG 是
△ABD 的中位线，得出OG ∥AB ，OG=1
2
AB ，得出△GOD ∽△ABD ，△ABF ∽△OGF ，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形ODGF =S △ABF ；③不正确；即可得出结果． 【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ， ∴∠BAG ＝∠EDG ，△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△AOD ， ∵CD ＝DE ， ∴AB ＝DE ， 在△ABG 和△DEG 中，
BAG EDG AGB DGE AB DE ∠=∠??
∠=∠??=?
， ∴△ABG ≌△DEG （AAS ）， ∴AG ＝DG ，
∴OG 是△ACD 的中位线， ∴OG ＝
12CD ＝1
2
AB ， ∴①正确； ∵AB ∥CE ，AB ＝DE ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°， ∴△ABD 、△BCD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ＝AD ，∠ODC ＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，
④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，
OD AG
ODC BAG60 AB DC ?
=
?
?
∠=∠=
?
?=
?
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，∴②不正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG＝1
2 AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积＝1
4
△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，
∴S四边形ODGF＝S△ABF；
③不正确；
正确的是①④．
故选A．
【点睛】
本题考查菱形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握性质，能通过性质推理出图中线段、角之间的关系是解题关键.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=22.5°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：∵CE=AC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，
∴∠
E=
1
2
×45°=22.5°， 在△CEF 中，∠AFC=∠E+∠ECF=22.5°+90°=112.5°． 故答案为：A ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
4．C
解析：C 【分析】
分别过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，根据正方形的性质可得EG=MP ；对于小明的说法，先利用“HL ”证明Rt △EFG ≌Rt △MNP ，根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG ，再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP ，然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，从而得到∠MOQ=90°，根据垂直的定义即可证得MN ⊥EF ；对于小亮的说法，先推出∠EQM=∠EFG ，∠EQM=∠MNP ，然后得到∠EFG=∠MNP ，然后利用“角角边”证明△EFG ≌△MNP ，根据全等三角形对应边相等可得EF=MN ． 【详解】
如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，
∵四边形ABCD 是正方形， ∴EG=MP ， 对于小明的说法： 在Rt △EFG 和Rt △MNP 中，
MN EF
EG MP ??
?
＝＝， ∴Rt △EFG ≌Rt △MNP （HL ）， ∴∠MNP=∠EFG ， ∵MP ⊥CD ，∠C=90°， ∴MP ∥BC ，
∴∠EQM=∠EFG=∠MNP ， 又∵∠MNP+∠NMP=90°，
在△MOQ 中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP ）=180°-90°=90°， ∴MN ⊥EF ， 故甲正确． 对小亮的说法： ∵MP ⊥CD ，∠C=90°， ∴MP ∥BC ， ∴∠EQM=∠EFG ， ∵MN ⊥EF ，
∴∠NMP+∠EQM=90°， 又∵MP ⊥CD ， ∴∠NMP+∠MNP=90°， ∴∠EQM=∠MNP ， ∴∠EFG=∠MNP ， 在△EFG 和△MNP 中，
90EFG MNP EGF MPN EG MP ∠∠??
∠∠????
＝＝＝＝ ， ∴△EFG ≌△MNP （AAS ）， ∴MN=EF ，故小亮的说法正确， 综上所述，两个人的说法都正确． 故选C ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解．
5．B
解析：B 【分析】
由正方形的性质和折叠的性质得出AB =AF ，∠AFG =90°，由HL 证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；
设BG =FG =x ，则CG =12﹣x ．由勾股定理得出方程，解方程求出BG ，得出GC ，即可得出②正确；
由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AGB =∠GCF ，得出AG ∥CF ，即可得出③正确；
通过计算三角形的面积得出④错误；即可得出结果． 【详解】
①正确．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD =12，∠B =∠GCE =∠D =90°，由折叠的性质
得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF．在Rt△ABG和Rt△AFG
中，
AG AG
AB AF
=
?
?
=
?
，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．理由如下：
由题意得：EF=DE=1
3
CD=4，设BG=FG=x，则CG=12﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解
得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；
③正确．理由如下：
∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GC F=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；
④错误．理由如下：
∵S△GCE=1
2
GC?CE=
1
2
×6×8=24．
∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=3
5
×24=
72
5
≠28.8．
故④不正确，∴正确的有①②③．
故选B．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识；本题综合性强，有一定的难度．
6．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则
∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由△FCD与△ABD等底
（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），得出S△FCD=S△ABD，由△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC=S△DEC，得出S△ABE=S△CEF，⑤正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE ，
∴△ABE 是等边三角形； ②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°， ∵AB=AE ，BC=AD ， 在△ABC 和△EAD 中，
AB AE ABE EAD BC AD =??
∠=∠??=?
， ∴△ABC ≌△EAD （SAS ）； ①正确；
∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等）， ∴S △FCD =S △ABC ，
又∵△AEC 与△DEC 同底等高， ∴S △AEC =S △DEC ， ∴S △ABE =S △CEF ； ⑤正确；
若AD 与AF 相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC ， 即EC=CD=BE ， 即BC=2CD ， 题中未限定这一条件， ∴③④不一定正确； 故选C ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
7．D
解析：D 【分析】
分三种情况讨论：①当点E 在BC 上时，高一定，底边BE 最大时面积最大；②当E 在CD 上时，△ABE 的面积不变；③当E 在AD 上时，E 与D 重合时，△ABE 的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论． 【详解】 解：分三种情况：
①当点E 在BC 上时，E 与C 重合时，△ABE 的面积最大，如图1，
过A作AF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=1
2
AB=1，AF=3，
∴此时△ABE的最大面积为：1
2
×4×3=23；
②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=1
2
S?ABCD=
1
2
×4×3=23；
③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积3
综上，△ABE的面积的最大值是3
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．
8．C
解析：C
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF 是菱形， ∴AC ⊥BD ，AO ＝OC ，EO ＝OF ， 又∵点E 、F 为线段BD 的两个三等分点， ∴BE ＝FD ， ∴BO ＝OD ， ∵AO ＝OC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵AC ⊥BD ，
∴四边形ABCD 为菱形；
∵四边形AECF 为菱形，且周长为20， ∴AE ＝5，
∵BD ＝24，点E 、F 为线段BD 的两个三等分点， ∴EF ＝8，OE ＝
12EF ＝1
2
×8＝4， 由勾股定理得，AO 22AE OE -2254-3，
∴AC ＝2AO ＝2×3＝6， ∴S 四边形ABCD ＝12BD?AC ＝1
2
×24×6＝72； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
9．B
解析：B 【分析】
取DC 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解． 【详解】
取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，
90MON ∠=?，
1
22
OE AB ∴=
=． 在Rt DAE ?中，利用勾股定理可得22DE =
在ODE ?中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，
∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为2
22OE DE +=+．
故选B ． 【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．
10．D
解析：D 【分析】
连接DE ，因为点D 是中点，所以CE 等于4，根据勾股定理可以求出DE 的长，过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ，证明△MNG ≌△DEC ，可以得到DE =
MN ，即可解决本题． 【详解】
解：如图，连接DE ．
由题意，在Rt △DCE 中，CE ＝4cm ，CD ＝8cm ，
由勾股定理得：DE 22CE CD +2248+45． 过点M 作MG ⊥CD 于点G ，则由题意可知MG ＝BC ＝CD ． 连接DE ，交MG 于点I ．
由折叠可知，DE ⊥MN ，∴∠NMG +MIE ＝90°， ∵∠DIG +∠EDC ＝90°，∠MIE ＝∠DIG （对顶角相等）， ∴∠NMG ＝∠EDC ． 在△MNG 与△DEC 中，
90NMG EDC MG CD
MGN DCE ∠=∠??
=??∠=∠=??
∴△MNG ≌△DEC （ASA ）．
∴MN＝DE＝45cm．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等的条件是解决本题的关键．
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
BE AB AE543
=-=-=,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
-=-,
BE AB AE543
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．