三角及反三角函数

三角、反三角函数
一、考纲要求
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arcotx 表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。

二、知识结构
1.角的概念的推广：
(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+2
π
,k ∈Z 第二象限角：2k π+
2
π
＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+2
3π
,k ∈Z
第四象限角：2k π+2
3π
＜α＜2k π+2π,k ∈Z
(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：
终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝
2
π
k ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π
，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π
，k ∈Z ｝
终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4
π
，k ∈Z ｝
2.弧度制：
(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

(2)角度与弧度的互化：
1°＝
180
π
弧度，1弧度＝(
π
180
)°
(3)两个公式：(R 为圆弧半径，α为圆心角弧度数)。

弧长公式：l=｜α｜R 扇形面积公式：S=
21lR=2
1｜α｜R 2
3.周期函数：
(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T 叫做这个函数的一个周期，如果T 中存在一个最小的正数，则这个最小正
数叫做这个函数的最小正周期。

(2)几个常见结论：
①如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(k ∈Z ，且k ≠0)也是y=f(x)的周期。

(1)
②如果T 是函数y=f(x)的一个周期，那么
ω
T
也是y=f(wx)(w ≠0)的周期。

③一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c 。

4.三角函数定义： (1)定义：设α是一个任意大小的角，P(x ，y)是角α终边上任意一点，它与原点的距离｜PO ｜=r,那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin α=
r
y ,cos α=r x
,tan
α=
y r ,cot α=y
x
,Sec α=r x ,csc α=r y (如图(1))。

(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2))
(3)同角三角函数的基本关系式：
倒数关系：sin α²csc α=1,cos α²sec α=1,tan α²cot α=1 商数关系：tan α=
ααcos sin ,cot α=α
α
sin cos 平方关系：sin 2
α+cos 2
α=1,1+tan 2
α=sec 2
α,1+cot 2
α=csc 2
α
5.已知三角函数值求角
6.三角函数的图象和性质： (1)三角函数线：
如图(3)，sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT,cot α=BS
(2)三角函数的图像和性质：
函数y=Asin(wx+ϕ)的图像可以通过下列两种方式得到： ϕ＞0，图像左移ϕ
(1)y=sinx y=sin(x+ϕ) ϕ＜0，图像右移｜ϕ｜ w ＞1，横坐标缩短为原来的
w
1倍
y=sin(wx+ϕ)
0＜w ＜1，横坐标伸长为原来的
w
1倍 A ＞1，纵坐标伸长为原来的A 倍
y=Asin(wx+ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来的A 倍 w ＞1,横坐标缩短为原来的
w 1倍 (2)y=sinx 0＜w ＜1,横坐标伸长为原来的
w
1倍 ϕ＞0，图像左移w
ϕ y=sin(wx)
ϕ＜0,图像右移w
ϕ
A ＞1，纵坐标伸长为原来A 倍
y=sin(wx+ϕ) y=Asin(wx+ϕ) 0＜A ＜1，纵坐标缩短为原来A 倍 8.两角和与差的三角函数： (1)常用公式：
两角和与差的公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β， cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β， tan(α±β)=
β
αβ
αtg tg tg tg 1±
倍角公式：
sin2α=2sin αcos α，
cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2
α， tan2α=
α
α
2
12tg tg -. 半角公式： sin
2α=±2cos 1α-, cos
2α=±2
cos 1α+, tan
2α=±ααcos 1cos 1+-=α
αcos 1sin +=ααsin cos 1-.
积化和差公式：
sin αcos β=21
〔sin(α+β)+sin(α-β)〕, cos αsin β=21
〔sin(α+β)-sin(α-β)〕
cos αcos β=21
〔cos(α+β)+cos(α-β)〕,
sin αsin β=-2
1
〔cos(α+β)-cos(α-β)〕
和差化积公式： sin α+sin β=2sin
2β
α+cos
2β
α-,
sin α-sin β=2cos 2βα+sin 2β
α-
cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2β
α- ,
cos α-cos β=-2sin 2βα+sin 2
β
α-
万能公式：
sin α=
2
12
22
α
α
tg tg
+，cos α=
2
12122
α
αtg tg +-,tan α=2
12
22
α
α
tg tg
-
(2)各公式间的内在联系：
(3)应注意的几个问题：
①凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。

②灵活理解各公式间的和差倍半的关系。

③在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。

④常具的变形公式有：cos α=
ααsin 22sin ,sin 2α=22cos 1α-,cos 2
α=2
2cos 1α+,tan α+tan
β＝tan(α+β)(1-tan αtan β).
⑤asin α+bcos α=22b a +sin(α+ϕ).(其中ϕ所在位置由a ，b 的符号确定，ϕ的值由tan ϕ=
a
b
确定)。

9.解斜三角形：
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
10.反三角函数：
［-1，1］ ［-1，1］ (-∞，+∞) (-∞，+∞) ［-
2π，2π］ ［0，π］ (-
2π，2
π) (0，π) 在(-∞，+∞)上是增
11.三角方程：
(1) (2)三、知识点、能力点提示
三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三
部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。

在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。