材料力学总结Ⅱ(乱序,建议最后阶段复习)
材料力学期末总结
材料力学期末总结材料力学是研究材料受力、变形和破坏行为的一门学科，它是材料科学与工程中的基础学科之一，在工程材料的选用、设计和制造过程中起着重要的作用。
通过学习材料力学，我对材料的力学性能和应用有了更深入的了解，同时也掌握了一些重要的力学分析方法和计算技巧。
在本学期的学习中，我首先学习了材料的基本力学性质，包括拉伸、压缩、剪切、扭转等力学现象的描述和分析方法。
我了解了材料在受力作用下发生的变形行为和力学性能的定义，比如杨氏模量、屈服强度、延伸率等。
在学习这些理论知识的同时，我也进行了一些实验来验证这些性质的实际表现，加深了对材料力学的理解。
接着，我学习了材料的破坏行为和破坏机理。
了解了常见的破坏模式，如拉伸断裂、压缩破碎、剪切失稳等，以及破坏过程中的变形和能量吸收情况。
通过学习材料的破坏行为，我可以针对不同情况下的工程应用，选择更合适的材料和加工工艺，提高产品的可靠性和安全性。
进一步地，我学习了应变能与材料的应力-应变关系，在这方面我学到了弹性模量、屈服强度、抗拉极限等与材料本身力学性能相关的重要物理量。
我学习了应力-应变曲线的绘制和分析方法，以及材料的变形机制和形变过程。
除了这些基础知识，我还学习了一些力学分析的方法和计算技巧，包括静力学平衡条件、动力学平衡条件等，可以用来分析复杂的力学问题。
我学习了弹性力学、塑性力学等基本的力学理论，并通过习题的练习巩固了这些知识。
通过这门课程的学习，我深切体会到了材料力学作为工程材料领域的一门基础学科的重要性。
掌握材料力学对于材料科学与工程的学习和研究具有很强的指导作用，可以帮助工程师选用合适的材料、设计合理的结构，提高产品的性能和可靠性，减少工程事故的发生。
在学习的过程中，我也遇到了一些困难和挑战。
比如，某些概念的理解较为抽象，需要通过大量的实例来加深理解；某些计算方法和公式的推导过程繁琐，需要耐心和细心去处理。
但是，我通过课堂的学习和课后的练习，逐渐克服了这些困难，提高了自己的学习能力和分析问题的能力。
(完整版)材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F Aσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F A σσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F A σσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l lδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
(完整版)材料力学重点总结(2)
(完整版)材料力学重点总结(2)材料力学阶段总结一。
材料力学的一些基本概念 1. 材料力学的任务：解决安全可靠与经济适用的矛盾. 研究对象：杆件强度：抵抗破坏的能力 刚度：抵抗变形的能力稳定性：细长压杆不失稳。
2。
材料力学中的物性假设连续性：物体内部的各物理量可用连续函数表示。
均匀性:构件内各处的力学性能相同。
各向同性:物体内各方向力学性能相同。
3. 材力与理力的关系, 内力、应力、位移、变形、应变的概念材力与理力：平衡问题，两者相同； 理力：刚体，材力：变形体。
内力：附加内力.应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。
应力：正应力、剪应力、一点处的应力。
应了解作用截面、作用位置（点）、作用方向、和符号规定.正应力⎩⎨⎧拉应力压应力应变：反映杆件的变形程度⎩⎨⎧角应变线应变变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
4。
物理关系、本构关系 虎克定律；剪切虎克定律：⎪⎩⎪⎨⎧==∆=Gr EA Pl l E τεσ夹角的变化。
剪切虎克定律：两线段——拉伸或压缩。
拉压虎克定律：线段的适用条件:应力~应变是线性关系：材料比例极限以内。
5。
材料的力学性能(拉压）： 一张σ-ε图，两个塑性指标δ、ψ,三个应力特征点：b s pσσσ、、，四个变化阶段:弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。
拉压弹性模量E ,剪切弹性模量G ，泊松比v ，）（V EG +=12(2)6。
安全系数、 许用应力、工作应力、应力集中系数安全系数:大于1的系数，使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。
过小，使构件安全性下降；过大，浪费材料。
许用应力:极限应力除以安全系数。
塑性材料[]ssn σσ=s σσ=0脆性材料[]bbn σσ=b σσ=07。
材料力学的研究方法1) 所用材料的力学性能：通过实验获得。
2) 对构件的力学要求：以实验为基础，运用力学及数学分析方法建立理论，预测理论应用的未来状态。
3) 截面法：将内力转化成“外力".运用力学原理分析计算。
材料力学复习总结
M x
EI
dxdx
Cx
D
（）
式中，C,D 为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边
界条件外，还需要利用连续条件。
3，梁的刚度条件
限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值，就得到梁的刚度条件，即
，
max
max
（）
3，轴向拉伸或压缩杆件的应变能
切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为
Q Izb
B
8
H 2 h2
b 2
h2 4
y2
(3-23)
F 近似计算腹板上的最大切应力： max
s d 为腹板宽度 h1 为上下两翼缘内侧距
dh1
3.3.3 圆形截面梁
横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。
挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力
bs
P Abs
bs
（3-30）
1， 变形计算
圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为 l 的两个横截面的相对扭转角为
l T dx (rad)
0GI P
若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为
Tl (rad) GI P
(3-16)
式中， 是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量； IE 是横截面对中性轴 Z 轴的惯性矩。
3.1.2 横截面上各点弯曲正应力计算公式 M y IZ
(3-17)
式中，M 是横截面上的弯矩； IZ 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离
最大正应力出现在距中性轴最远点处
（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；
材料力学知识点总结免费版
材料力学知识点总结材料力学是研究物质内部力学行为以及材料的变形和破坏的学科。
它是工程领域中非常重要的基础学科，涉及材料的结构、性能和应用等方面。
本文将从基本概念、力学性质、变形与破坏等方面对材料力学的知识点进行总结。
1.弹性力学弹性力学是材料力学的基础，研究材料在外力作用下的变形与恢复过程。
弹性力学主要关注材料的弹性性质，即材料在外力作用下是否能够发生恢复性变形。
弹性力学的基本理论包括胡克定律、泊松比等。
2.塑性力学塑性力学研究材料的塑性行为，即材料在外力作用下会发生永久性变形的能力。
塑性力学主要关注材料的塑性应变、塑性流动规律等。
常见的塑性变形方式包括屈服、硬化、流变等。
3.破裂力学破裂力学研究材料的破裂行为，即材料在外力作用下发生破裂的过程。
破裂力学主要关注材料的断裂韧性、断口形貌等。
常见的破裂失效方式包括断裂、断裂韧性减小、疲劳等。
4.疲劳力学疲劳力学研究材料在交变应力作用下的疲劳失效行为。
疲劳力学主要关注材料的疲劳寿命、疲劳强度等。
材料在交变应力作用下会逐渐积累微小损伤，最终导致疲劳失效。
5.断裂力学断裂力学研究材料在应力集中区域的破裂行为。
断裂力学主要关注材料的应力集中系数、应力集中因子等。
在材料中存在裂纹等缺陷时，应力集中会导致裂纹扩展，最终引发断裂失效。
6.成形加工力学成形加工力学研究材料在加工过程中的变形行为。
成形加工力学主要关注材料的流变性质、加工硬化等。
常见的成形加工方式包括挤压、拉伸、压缩等。
7.热力学力学热力学力学研究材料在高温条件下的力学行为。
热力学力学主要关注材料的热膨胀、热应力等。
材料在高温条件下，由于热膨胀不均匀等因素，会产生热应力，从而影响材料的力学性能。
通过以上对材料力学的知识点的总结，我们可以了解到材料力学对工程领域的重要性。
在工程实践中，需要根据材料的力学性质来设计和制造材料的结构，以保证其性能和安全性。
因此，掌握材料力学的基本概念和原理对于工程师和科研人员来说是至关重要的。
材料力学小结
。
目录
第七章 小 结
1.压杆的稳定性 保持原有直线平衡状态的能力。 压杆临界稳定时所承受的压力。 2.压杆的临界压力 FCr
欧拉公式
μ：长度系数
Fcr
EI
2
( l )
2
压杆两端固定 0.5 压杆两端铰支
压杆一端铰支，一端固定 0.7 压杆一端固定，一端自由 惯性半径 i
b
2. 塑性材料的弹性范围
σ≤σe
3. 塑性材料的塑性指标 断后伸长率 ；断面收缩率 。 4.脆性材料的强度特征值 抗拉强度 b；抗压强度 b c 。 5. 极限应力的确定 塑性材料
0
s p 0.2 。
0
0 脆性材料拉伸 b ；脆性材料压缩
bc 。
建立补充方程
11 21 ... n1
12 22 n2
...
... ... ... ...
1n X 1 2n X 2
1F 2 F ... ... 0 ... nn X n nF
I A
1
2
3. 柔度（长细比） 4.临界应力
l
i
大柔度杆 P 中柔度杆 P s 小柔度杆 s
cr
E
2
cr a b
欧拉公式 直线公式 强度问题
目录
2
cr s
第八章 小结
一、强度条件 最大应力小于或等于许用值 强度校核； 截面设计； 确定许用载荷。 三类强度计算问题： （一）基本变形 1.拉压
材料力学知识点总结
材料力学总结一、基本变形二、还有：（1）外力偶矩：)(9549m N nNm ∙= N —千瓦；n —转/分 （2）薄壁圆管扭转剪应力：tr T22πτ=（3）矩形截面杆扭转剪应力：hb G Th b T 32max ;βϕατ==三、截面几何性质（1）平行移轴公式：;2A a I I ZC Z += a b A I I c c Y Z YZ += （2）组合截面： 1．形 心：∑∑===ni ini cii c AyA y 11； ∑∑===ni ini cii c AzA z 112．静 矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )(四、应力分析：（1）二向应力状态（解析法、图解法）a ． 解析法： b.应力圆：：拉为“+”，压为“-” ：使单元体顺时针转动为“+”：从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+”ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2x yx +-=yx xtg σστα--=220 22minmax 22x y x yx τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±+=c ：适用条件：平衡状态(2)三向应力圆：1m a x σσ=； 3min σσ=；231max σστ-=x（3）广义虎克定律：[])(13211σσνσε+-=E [])(1z y x x E σσνσε+-=[])(11322σσνσε+-=E [])(1x z y y E σσνσε+-=[])(12133σσνσε+-=E [])(1y x z z E σσνσε+-=*适用条件：各向同性材料；材料服从虎克定律（4）常用的二向应力状态 1．纯剪切应力状态：τσ=1 ，02=σ，τσ-=32．一种常见的二向应力状态：223122τσσσ+⎪⎭⎫⎝⎛±=2234τσσ+=r2243τσσ+=r五、强度理论*相当应力：r σ11σσ=r ，313σσσ-=r ，()()()][212132322214σσσσσσσ-+-+-=r xσ六、材料的力学性质脆性材料 δ＜5% 塑性材料 δ≥5%低碳钢四阶段： （1）弹性阶段（2）屈服阶段 （3）强化阶段 （4）局部收缩阶段 强度指标 σσb s ,塑性指标 δψ, E tg ==σα七．组合变形ε滑移线与轴线45，剪只有s ，无八、压杆稳定欧拉公式：2min2)(l EI P cr μπ=，22λπσE cr =，应用范围：线弹性范围，cr <σp ，>p柔度：iul =λ；ρρσπλE=；ba s σλ-=0，柔度是一个与杆件长度、约束、截面尺寸、 形状有关的数据，λ↑P cr ↓σcr ↓>p ——大柔度杆：22λπσE cr=o <<p ——中柔度杆：cr=a-b<0——小柔度杆：cr =σs稳定校核：安全系数法：w I cr n P P n ≥=，折减系数法：][σϕσ≤=AP提高杆件稳定性的措施有：1、减少长度2、选择合理截面3、加强约束4、合理选择材料九、交变应力金属疲劳破坏特点：应力特征：破坏应力小于静荷强度； 断裂特征：断裂前无显著塑性变形； 断口特征：断口成光滑区和粗糙区。
完整版材料力学各章重点内容总结
完整版材料力学各章重点内容总结材料力学各章重点内容总结第一章绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章轴向拉压、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式： F N注意正应力有正负号，A拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式:注意角度是指斜截面与横截面的夹角七、线应变一-没有量纲、泊松比一没有量纲且只与材料有关、l胡克定律的两种表达形式： E ， I 出注意当杆件伸长时I 为正,EA缩短时I 为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力一应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p，弹性极限e ）、屈服阶段（屈服极限s ）、强化阶段（强度极限 b ）和局部变形阶段会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力一应变曲线cos 2 ，sin2五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件F N,maxmaxA六、利用正应力强度条件可解决的三种问题: 1?强度校核maxF N ,maxA定要有结论 2.设计截面A F N,max3.确定许可荷载F^max A180八、圆轴在扭转时的刚度条件maxT maxGI p（注意单位：给出的许用单九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率耳100 及断面收缩率 A-A 1100，工程上把 5 的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
对没有明显屈服极限的塑性材料，如何来确定其屈服指标？见课本第24页。
最新材料力学知识点归纳总结(完整版)
材料力学知识点归纳总结(完整版)------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx材料力学知识点归纳总结(完整版)1.材料力学:研究构件(杆件)在外力作用下内力、变形、以及破坏或失效一般规律的科学，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性等分析的基本理论和方法.2.理论力学:研究物体（刚体）受力和机械运动一般规律的科学。
3.构件的承载能力：为保证构件正常工作，构件应具有足够的能力负担所承受的载荷。
构4．件应当满足以下要求:强度要求、刚度要求、稳定性要求5。
变形固体的基本假设：材料力学所研究的构件,由各种材料所制成,材料的物质结构和性质虽然各不相同，但都为固体。
任何固体在外力作用下都会发生形状和尺寸的改变-—即变形。
因此,这些材料统称为变形固体.第二章:内力、截面法和应力概念１．内力的概念:材料力学的研究对象是构件，对于所取的研究对象来说,周围的其他物体作用于其上的力均为外力，这些外力包括荷载、约束力、重力等。
按照外力作用方式的不同,外力又可分为分布力和集中力。
2．截面法:截面法是材料力学中求内力的基本方法，是已知构件外力确定内力的普遍方法。
已知杆件在外力作用下处于平衡,求m-m截面上的内力，即求ｍ-ｍ截面左、右两部分的相互作用力。
首先假想地用一截面ｍ－m截面处把杆件裁成两部分,然后取任一部分为研究对象,另一部分对它的作用力,即为m-m截面上的内力N。
因为整个杆件是平衡的,所以每一部分也都平衡,那么,m－ｍ截面上的内力必和相应部分上的外力平衡.由平衡条件就可以确定内力.例如在左段杆上由平衡方程Ｎ－F=0 可得Ｎ＝F3.综上所述，截面法可归纳为以下三个步骤：1、假想截开在需求内力的截面处，假想用一截面把构件截成两部分。
２、任意留取任取一部分为究研对象,将弃去部分对留下部分的作用以截面上的内力Ｎ来代替。
材料力学复习材料学习总结
当功率P 单位为千瓦（kW ），转速为n （r/min ）时，外力偶矩为m).(N 9549e nPM =当功率P 单位为马力（PS ），转速为n （r/min ）时，外力偶矩为m).(N 7024e nPM =拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式为 N FAσ= (3-1)式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。
正负号规定 拉应力为正，压应力为负。
公式（3-1）的适用条件：（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角020α≤时 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力cos p ασα= (3-2)正应力 2cos ασσα=（3-3）切应力1sin 22ατα=（3-4） 式中σ为横截面上的应力。
正负号规定：α 由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。
ασ 拉应力为正，压应力为负。
ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。
两点结论：（1）当00α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()maxασσ=。
当α=090时，即纵截面上，ασ=090=0。
（2）当045α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即max()2αατ=1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。
如图3-2。
图3-2轴向变形1l l l∆=-轴向线应变llε∆=横向变形1b b b∆=-横向线应变bbε∆'=正负号规定伸长为正，缩短为负。
（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。
即Eσε=（3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为NF llEA∆=(3-6)式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。
材料力学期末复习总结
材料力学期末复习总结材料力学是研究材料在外力作用下的变形与破坏行为的学科。
它是工程力学的一个重要分支，是工程技术领域中不可或缺的一门专业课程。
期末考试作为对学生掌握教材知识的一次综合性评估，理解材料力学的基本原理和方法是非常重要的。
以下是材料力学期末复习的总结，希望对大家复习备考有所帮助。
第一部分：弹性力学1.弹性力学基本概念弹性力学是研究物体在外力作用下发生弹性变形的学问。
弹性变形是指物体在受力作用下会发生形变，但在去除外力后又能恢复到原来的形状和大小。
（比如弹簧的拉伸和恢复、弹性材料的压缩和回弹等）2.基本假设弹性力学的基本假设有两个：胡克定律和平面应力假设。
胡克定律：弹性变形与应力成正比，即应力应变具有直线关系。
胡克定律可以用Hooke's Law表示：σ=Eε，其中σ为应力，E为弹性模量，ε为应变。
平面应力假设：在材料中，只发生一个平面上的应力。
3.弹性常数弹性常数是用来描述材料对外力作用下的响应情况的参数。
弹性常数有三个：弹性模量（Young's modulus），剪切模量（Shear modulus）和泊松比（Poisson's ratio）。
弹性模量描述材料受拉伸或压缩力作用下的应力应变关系，即E=σ/ε。
剪切模量描述材料受剪切力作用下的应力应变关系，即G=τ/γ。
泊松比描述材料在拉伸或压缩时沿垂直方向的应变与沿拉伸或压缩方向的应变之比，即ν=-ε_z/ε_x。
4.弹性体力学方程弹性体力学方程包括平衡方程、应力-应变关系和互斥条件。
平衡方程：ΣFx=0，ΣFy=0，ΣFz=0，ΣMx=0，ΣMy=0，ΣMz=0。
应力-应变关系：σ_xx=E(ε_xx - νε_yy - νε_zz)，σ_yy=E(ε_yy - νε_xx - νε_zz)，σ_zz=E(ε_zz - νε_xx -νε_yy)。
互斥条件：γ_xy=Gγ_xy，γ_yx=Gγ_yx，γ_xz=Gγ_xz，γ_zx=Gγ_zx，γ_yz=Gγ_yz，γ_zy=Gγ_zy。
材料力学整理和小结
胡克定律问题（位移问题） 解题步骤：1.静力平衡，计算杆的轴力 2.物理关系，计算杆的变形 3.几何相容， 求结点的位移 方法：切线代替圆弧法（书 P23 例题 2-5）
2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
材料的拉伸和压缩试验 试样的工作段：标距： 常用的标准比例： （对圆截面试样） （对矩形截面试样） 压缩试样常用的标准比例： 万能试验机：变形仪器： 拉伸图：F-Δl图 σ-ε曲线图（代表材料的力学性能） 1.弹性阶段： ε = ������ 比例极限������������ 弹性极限������������ 2.屈服阶段： （失去抵抗变形的能力，塑形变形） 、滑移线（45°） 屈服极限������������ 3.强化阶段： （恢复抵抗变形的能力） 强度极限（抗拉强度）������������ 4.局部变形阶段： 卸载定律： 冷作硬化： （材料的比例极限增大，延伸率降低） 冷作时效： 塑性材料（延伸率δ > 5%） ：抗冲击性，耐拉，塑性指标（断后伸长率和断面收 缩率）较高， 脆性材料（延伸率δ < 5%） ： 材料 延伸率δ 塑性指 特点 标 （断后 伸长率 和断面 收缩率） 较高 抗拉 强度指 在拉伸 变形 标 和压缩 时的强 度 屈服强 屈服强 在断 度������������ 度相同 裂前 的变 形较 大 强度极 拉伸强 在断 限������������ 度远低 裂前 于压缩 的变 强度 形较 抗冲 击性 常见 的材 料
������
塑性材 料
δ > 5%
低碳 钢
脆性材 料
δ < 5%
较低
耐压
应力 集中 敏感
铸铁
小 非金属材料的力学性能：混凝土、木材、玻璃钢
2-7 强度条件·安全因素·许用应力 材料的需用应力 ������������ [������] = ������ ������������ 极限应力 安全因素 n＜1 [σ]材料的许用应力 强度计算的三种类型 1. 强度校核σ 2. 截面选择 A 3. 许可荷载计算 F
材料力学总结
一、在一定外力作用下，构件发生不能保持其原有平衡形式的现象，成为失稳。
针对构件设计提出一下要求1、构件应具备足够的强度（既抵抗破坏的能力）以保证在规定的使用条件下不发生破坏2、构件应具备足够的刚度（即抵抗变形的能力）以保证在规定的使用条件下不产生过分的变形3、构件应具备足够的温度性（即保持原有平衡形式的能力）以保证在规定的使用条件下不产生失稳现象。
二、轴类零件的变形形式有三种：1、轴向拉伸或压缩2、扭转3、弯曲正应力δ=N/A（MPa）（N为轴力，A为截面面积）三、低碳钢在拉伸时的力学性能1、线性阶段2、屈服阶段3、强化阶段4、颈缩阶段eg：Q235A钢为例线性阶段（弹性阶段）的比例极限σp=200Mpa（低碳钢中线性阶段与弹性阶段非常接近，虽然两者不相同）屈服阶段：在此阶段，应力几乎不变，而应变却急剧增加，材料失去继续抵抗变形的能力，屈服应力（屈服极限）σs=240MPa:强化阶段：经过屈服阶段后，材料又增加了抵抗变形的能力，此时要是材料变形需要继续增加应力，此现象成为强化。
σb=380Mpa 强度极限是材料所能承受的最大极限。
缩颈阶段：当应力增大到强化阶段后，试件的某一局部显著收缩，产生缩颈现象。
综上所述：在整个拉伸过程中，材料经历了线性，屈服，强化与缩颈四个阶段，并存在三个特征点，相应的应力依次为比例极限，屈服应力与强度极限，对于低碳钢，屈服应力与强度极限为衡量其强度的主要指标。
（将材料加载到强化一阶段，卸载，再施加载荷，材料的比例极限与弹性极限得到了提高，而断裂时的残余变形则缩小，这种由于预加塑形变形，而使材料的比例极限与弹性极限提高的现象，称做冷作硬化）工程中常用冷作硬化来提高材料在弹性阶段内的承载能力对于脆性材料，强度极限为其唯一强度指标，故以强度极限σb作为极限应力；对于塑性材料，由于σs<σb，故通常以屈服极限σs作为极限应力。
一定材料制成的具体构件，工件应力的最大允许值，称为材料的许用应力，并用（σ）表示，许用应力与极限应力的关系为[σ]= σ0/n，式中n为大于1的系数，称为安全系数。
材料力学知识点总结
一 强度问题
1. 静载荷强度
基本思路
简单模型
组合变形
基本程序
外力分析
内力分析
应力分析
应力状态分析
强度条件
变形几何 静不定
静荷载强度
基本技能
建立力学模型
画受力图
掌握基本变形应力分布规律
掌握应力状态分析
掌握强度条件
画内力图
掌握叠加原理和方法
q
a
2a
A
B
C
六． 14分 重量为P的重物从高度为H处自由下落,冲击到外伸梁的A端,试求梁的最大动应力，EI、W为已知量，
2a
a
A
P
H
B
七．简答题 每小题4分,共16分
b
h
z
y
一． 15分 矩形截面梁受到移动载荷作用,P=30kN， 材料的许用应力 =10MPa, =2MPa,h/b=1.5, 试确定梁截面尺寸b、h，
两个条件
1m
F
h
b
问题：F位于何处 σ ,τ 取最大值 也就是F 位于何处 M,FS 取最大值
1m
F
x
M
F(1－x)x
FS
Fx
F(1－x)
注意： FSmax ,Mmax可能位于不同截面, 它们取极值时 F可能位于不同位置，
Mmax= F/4
FSmax= F
M
Pa
2. 求△st ,st
M
a
2a/3
2a/3
P
2a
a
A
P
H
B
2分
1. 动荷因数
3. 最大静应力
材料力学复习总结
• 主平面剪：应力为零的面.
主单元体:各侧面上只有正应力作用,而无剪应 力作用的单元体.
平面应力状态:两个主应力不等于零的应力状态. 三向应力状态:三个主应力不等于零的应力状态.
梁上的力既有外力也有内力（ Fs 、M），利
用平衡条件即可求得截面上的剪力和弯矩。
2．内力的正负号是根据变形规定的：使梁产生 顺时针转动的剪力规定为正，反之为负；使梁 下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正， 反之为负。
3．画剪力、弯矩图的方法可以分为二种：根据
剪力、弯矩方程作图和利用q、Fs、M间的微分
• 叠加法的主要步骤为： 1）将组合变形按基本变形的加载条件或
相应内力分量分解为几种基本变形；
2）根据各基本变形情况下的内力分布， 确定可能危险面；根据危险面上相应内力分 量画出应力分布图，由此找出可能的危险点； 根据叠加原理，得出危险点应力状态；
3）根据构件的材料选取强度理论，由危 险点的应力状态，写出构件在组合变形情况 下的强度条件，进而进行强度计算。
若梁的弯矩分了n段，每段积分有两个常数，共有 2n个常数；而梁有2个边界条件；n段，(n-1)个内 点，每一内点有两个光滑连续条件，又有2(n-1) 个光滑连续条件，这样一共有2n定常数的条件。
由以上运算可以看出，梁的挠度曲线取决于两个 因素：受力（弯矩）和边界条件。
3．在小变形和弹性范围内，梁的位移与载荷为 线性关系，可以用叠加法求梁的位移：将梁 的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各简 单载荷的位移，将它们叠加起来即为原载荷 产生的位移。
(第一强度理论) (第二强度理论) (第三强度理论) (第四强度理论)
材料力学笔记(材力II)
材料力学笔记(材力II)材料力学（土）笔记第一章弯曲问题的进一步研究1．非对称纯弯曲梁的正应力当梁不具有纵向对称平面或者梁虽然具有纵向对称平面，但外力不作用在该平面内时梁将发生非对称弯曲这时对称弯曲的正应力公式将不再适用1.1 非对称纯弯曲梁正应力的普遍公式若梁的任意横截面上只有弯矩M （其值等于外力偶M e ）取x 轴为梁的轴线，y ，z 轴为横截面上任意一对相互垂直的形心轴弯矩M 及其在y ，z 轴上的分量M y 和M z 均用矢量表示对于非对称弯曲，平面假设依然成立非对称弯曲梁横截面上任一点处正应力的普遍表达式为σ=M y (zI z -yI yz ) -M z (yI y -zI yz )I y I z -I 2yz上式称为广义弯曲正应力公式式中I y 、I z 和I yz 依次为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩及对y ，z 轴的惯性积y 和z 代表横截面上任一点的坐标可解出中性轴与y 轴间的夹角θ为tan θ=M z I y +M y I yzM y I z +M z I yz横截面上的最大拉应力和最大压应力将分别发生在距中性轴最远的点处对于具有棱角的横截面，其最大拉、压应力必发生在距中性轴最远的截面棱角处对于周边为光滑曲线的横截面，可平行于中性轴作两直线分别与横截面周边相切于两点该两点即为横截面上的最大拉、压应力点将其坐标(y , z ) 分别代入广义弯曲正应力公式，即可得横截面上的最大拉应力（压应力）由于梁危险截面上的最大拉应力σt ,max 和最大压应力σc ,max 点均处于单轴应力状态于是根据最大拉、压应力不得超过材料许用拉、压应力的强度条件即可进行非对称纯弯曲梁的强度计算1.2 广义弯曲正应力公式的讨论不论梁是否有纵向对称平面，外力是否作用在纵向对称平面内，广义弯曲正应力公式都适用即广义弯曲正应力公式包含了对称弯曲情况下的正应力计算公式①梁具有纵向对称平面，且外力作用在该对称平面内将M y =0、M z =M 、I yz =0代入广义弯曲正应力公式，即得σ=-M y I z上式即为对称弯曲情况下横截面上任一点处的正应力公式在对称弯曲中已知，梁的挠曲线必定是外力作用平面内的一条平面曲线这一类弯曲也称为平面弯曲②梁不具有纵向对称平面但外力作用在（或平行于）由梁的轴线与形心主惯性轴组成的形心主惯性平面内将M y =0，M z =M 、I yz =0代入广义弯曲整理公式，同样可得上面的公式上式表明，只要外力作用在（或平行于）梁的形心主惯性平面内对称弯曲时的正应力哦给你时仍然适用可得tan θ=∞，θ=90，说明中性轴垂直于弯矩（即外力）所在平面即梁弯曲变形后的挠曲线也将是外力作用平面内的平面曲线，属于平面弯曲范畴③梁具有纵向对称平面，但外力的作用平面与纵向对称平面间有一夹角弯矩M 的矢量与y 轴间的夹角为ϕ，将M y =M cos ϕ、M z =M sin ϕ、I yz =0代入︒σ=M cos ϕM sin ϕz -y I y I z此时横截面上任一点处的正应力，可视作两相互垂直平面内对称弯曲情况下正应力的叠加在此情况下，确定中性轴与y 轴间夹角的公式化简为M z I y I y tan θ=⨯=tan ϕ M y I z I z对于I y ≠I z ，因而θ≠ϕ即中性轴不再垂直于弯矩（即外力）所在的平面梁弯曲变形后，其挠曲线不再外力作用的平面内，这类弯曲也称为斜弯曲2．两种材料的组合梁设梁由材料1与材料2组成其弹性模量分别为E 1和E 2，且E 1梁在纵对称平面内承受纯弯曲，横截面上的弯矩为M 当梁的两种材料的接触部分紧密结合，在弯曲变形过程中无相对错动时，视作整体平面假设与单轴应力状态假设依然成立取截面的对称轴和中性轴分别为y 轴和z 轴由平面假设可知，横截面上各点处的纵向线应变沿截面高度呈线性规律变化任一点y 处的纵向线应变为ε=yρ式中，ρ为中性层的曲率半径当梁的材料均处于线弹性范围，由单轴应力状态下的胡克定律可得横截面上材料1与2部分的弯曲正应力分别为y ⎫ρ⎪⎪⎬ y σ2=E 2⎪ρ⎪⎭σ1=E 1由横截面上正应力所构成的法向分布内力系的合成等于内力的静力学关系，即得⎰σdA +⎰σdA =F =0⎰y σdA +⎰y σdA =M A 111A 222N A 111A 222与同一材料梁在对称弯曲时的推导相仿若将组合梁的截面变换为仅由材料1构成的截面，则仅需将横截面上材料2的宽度换为b ' =E 2b E 1于是两种材料的组合梁可变换为同一材料的均质梁进行计算同一材料的截面相当于两种材料的实际截面，称为相当截面应用相当截面，按同一材料梁算出的横截面上的正应力σ于材料1部分，即为实际的应力材料2部分（变换宽度部分），必须将其乘以两材料弹性模量之比值E 2/E 1，才是实际应力上述按相当截面的计算方法，对于其他形状截面的两种材料组合梁也完全适用只需将截面高度维持不变，将其宽度折算，即可得到相当于一种材料的相当截面在计算相当截面时，将原来的截面折算为哪一种材料的相当接面，对计算结果无影响3．开口薄壁截面梁的切应力·弯曲中心3.1 开口薄壁截面梁的切应力对于横向力作用下的非对称开口薄壁截面梁横向力必须作用在平行于形心主惯性平面的某一特定平面内才能保证梁只发生平面弯曲而不扭转这以一特定平面，就是梁在形心主惯性平面内发生弯曲时横截面上剪力F s 所在的纵向平面若横向力作用在平行于该特定平面的另一纵向平面内则梁不仅发生平面弯曲，还将发生扭转3.2开口薄壁截面的弯曲中心非对称薄壁截面梁，其横截面上剪力F Sy 和F Sz 的作用线教育A 点为使梁只发生弯曲而不扭转，梁很说那个横向外力所在的纵向平面就必须通过该交点A 这一交点称为截面的弯曲中心，或剪切中心对于具有一根对称轴的截面，其弯曲中心都在截面的对称轴上则仅需确定其垂直于对称轴的剪力作用线，剪力作用线与对称轴的交点即为截面的弯曲中心若截面具有两根对称轴，则两根对称轴的交点（即截面形心）即是弯曲中心对于由两个狭长矩形组成的截面，由于狭长矩形上的切应力方向平行于长边且数值沿厚度不变，故剪力作用线必与狭长矩形的中线重合，其弯曲中心应位于梁狭长矩形中心的交点弯曲中心的位置仅与横截面的几何特征有关因为弯曲中心仅决定于剪力作用线的位置，而与其方位及剪力的数值无关4．开口薄壁截面梁约束扭转的概念5．平面大曲率杆纯弯曲时的正应力第二章考虑材料塑性的极限分析1．塑性变形·塑性极限分析的假设1.1塑性变形的特征塑性变形主要特征①塑性变形时不可逆的永久变形，一旦产生后，即使荷载卸除也不会消失产生塑性变形后再卸除荷载，往往会导致受力构件内的残余应力②应力超过弹性范围后，应力-应变呈非线性关系③塑性变形与加载的历程有关应力超过弹性范围后，卸载时的应力-应变关系基本上按平行于弹性阶段的直线呈线性关系直至达到材料在反向时的屈服极限，这就是材料的卸载规律在考虑材料的塑性变形时，对于同一应力水平，不同加载过程对应的应变值不同只有明确了加载过程，才能得到应力、应变间的对应关系④金属材料的塑性变形远大于弹性变形量当应力超过弹性范围后，其总应变包含弹性应变和塑性应变通常所说的塑性变形，是指在常温下、与时间无关的不会消失的永久变形在高温下随承载持续时间而引起的塑性变形，称为蠕变1.2 塑性极限分析假设实际工程中，为简化计算，通常作如下假设①荷载为单调增加的静荷载，若多个荷载同时作用，则各个荷载按比例同时由零增至最终值满足上述加载方式的荷载称为简单加载②结构（或构件）虽局部产生塑性变形，但其总体的变形仍然足够小因而其变形的几何相容条件仍保持为线性结构（或构件）由于大的塑性变形变为几何可变机构时，称结构（或构件）达到了极限状态③结构（或构件）达到极限状态之前，应始终保持为几何不变体系④材料具有屈服阶段，在塑性变形较小时，材料的应力-应变关系可理想化为理想塑性模型其中，一种是不考虑弹性变形的影响，即材料在达到屈服极限之前，应变为零而在达到屈服极限之后，应力保持不变，应变持续增长，称为刚性-理想塑性模型另一种是考虑弹性变形的影响，即材料在屈服极限前，应力-应变关系保持为线性，并服从胡克定律，在达到屈服极限后，应力保持不变而应变可继续增长，称为弹性-理想塑性模型2．拉、压杆系的极限荷载对于静定的拉、压杆系，当其中受力最大的一杆的应力达到材料的屈服极限时结构就将产生大的塑性变形而达到极限状态因此，结构的极限荷载与弹性分析中最大应力达到屈服极限，使杆件开始屈服时荷载相同对于一次超静定结构，当其中受力最大的杆件的应力达到材料的屈服极限而使该杆开始屈服时，由于超静定结构存在多余约束，结构并不会产生大的塑性变形若继续增加荷载，则开始屈服的杆件，其应力保持不变（保持为屈服极限）其他杆的应力持续增长，直至其他某一杆内的应力也达到屈服极限时结构开始大的塑性变形变成几何可变机构，而使结构达到极限状态结构（或构件）开始出现塑性变形时的荷载，称为屈服荷载，记为F s使结构（或构件）处于极限状态的荷载，称为极限荷载，记为F u按弹性设计时，结构的破坏荷载为屈服荷载考虑材料塑性的极限分析时，结构的破坏荷载为极限荷载3．等直圆杆扭转时的极限扭矩设直径为d ，长度为l 的等直圆杆承受扭转外力偶矩M e 的作用圆杆的材料为弹性-理性塑性，其切应力τ与切应变γ的关系如正应力与应变的弹塑性关系材料的弹性模量为G弹性阶段，最大切应力和相对扭转角分别为τmax =T 16M e =W p πd 32τl Tl ϕ==max GI p Gd杆件开始产生塑性变形，横截面上的扭矩为屈服扭矩，其值为T s =W p τs =πd 316τs当几面各点处的切应力均达到τs 时，则横截面上各点处均将发生塑性变形整个截面进入完全塑性状态，这时不需要再增大外力偶矩，杆件将继续扭转变形引起大的塑性变形，即杆件达到极限状态极限状态的极限扭矩为T u =⎰ρτs dA AT u =⎰ρτs dA =2πτs ⎰A d /20ρd ρ=2πd 312τs考虑材料的塑性时，增加了圆杆的承载能力若等直圆杆在达到极限扭矩T u 后，卸除荷载，即反向施加外力偶矩M e =T u则圆杆的横截面将有残余应力存在，残余应力有以下特征①卸载后圆杆横截面上的残余应力必自相平衡②残余应力的最大值为τs ，如在卸载后，继续翻向增大外力偶矩 23若继续增大外力偶矩，τ-γ关系将不再保持线性关系，不能用简单的线性叠加当外力偶矩增大到M e =-T s 时，横截面周边处的切应力将达到τs4．梁的极限弯矩·塑性铰4.1 纯弯曲梁的极限弯矩设一承受纯弯曲的矩形截面梁，材料可理想化为弹性-理想塑性模型且在拉伸和压缩时的弹性模量E 和屈服极限σs 均相同在线弹性范围内，梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比其中性轴为横截面的水平对称轴当梁横截面上的最大正应力达到材料的屈服极限时，梁开始发生塑性变形横截面上的弯矩为bh 2M s =W σs =⨯σs 6梁的曲率为⎛1⎫σs 2 ⎪=⨯⎝ρ⎭s E h若继续增大外力偶矩，则截面上的弯矩也随之增大并随着显影的增大，横截面上正应力达到σs 的区域将由其上、下边缘逐渐向中轴扩展即线应变ε=εs 的点处的正应力达到σs ，而ε>εs 各点处的正应力均保持为σs这时梁处于弹性-塑性阶段，梁虽已产生塑性变形，但其值不大，是有限的当整个横截面上各点处的正应力均达到σs ，则整个截面进入完全塑性状态梁将发生明显的塑性变形而达到极限状态梁横截面上受拉部分的面积为A t ，受压部分面积为A c ，A t =A c横截面上轴力F N 是确定中性轴的条件当梁达到极限状态时，中性轴将横截面分为两个面积相等的部分对于具有水平对称轴的横截面，其中性轴与该对称轴重合对于无水平对称轴的横截面，其中性轴将与线弹性范围内工作时的中性轴位置不同中性或走将随塑性区的增加而不断移动在极限状态下，横截面上法向内力元素所组成的力偶矩就是梁的极限弯矩M uM u =σs W sW s =S t +S cS t 和S c 分别为受拉部分的面积A t ，受压部分面积A c 对中性轴的静矩，均取正值式中，W s 称为塑性弯曲截面系数，对于由水平对称轴的横截面S t =S c ，M u /M s =W s /W4.2 横力弯曲梁的极限荷载·塑性铰对于在横向外力作用下的静定梁，考虑材料塑性时梁的极限荷载可根据最大弯矩所在截面的极限进行计算梁材料可理想化为弹性-理想塑性模型当梁上的最大弯矩小于屈服弯矩时，梁处于弹性状态当最大弯矩达到屈服弯矩时，危险截面上的最大正应力达到材料的屈服极限当荷载继续增加，跨中截面上的弯矩M 处于M s梁处于弹性-塑性状态，跨中截面上的塑性区逐渐向中性轴扩展最大正应力达到屈服极限的截面，则从跨中截面逐渐向两侧延伸当荷载增大到梁跨中截面上的弯矩达到极限弯矩时，截面全部进入塑性状态，弹性区消失这时跨中截面两侧的两段梁，在极限弯矩不变的条件下，将绕截面的中性轴发生相对转动由于截面达到完全塑性而引起的转动效应，犹如在该截面处安置了一个铰链，称为塑性铰塑性铰时由于截面达到完全塑性所引起的铰链效应这时，截面上承受的弯矩即为极限弯矩塑性铰所在截面两侧两段梁的转动方向，恒与极限弯矩方向一致当梁卸载，即截面上的弯矩小于极限弯矩，塑性铰的效应随之消失第三章能量法1．概述可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将做功对于弹性体，由于变形的可逆性，外力在相应的位以上所作的功在数值上就等于积蓄在物体内的应变能当外力撤除时，这种应变能将全部转换为其他形式的能量利用功和能的概念求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法，统称能量法2．应变能·余能2.1 应变能当杆件发生组合变形时，在线弹性、小变形条件下每一基本变形的内力对其他的节本变形并不做功故组合变形杆的应变能等于各基本变形应变能的总和若组合变形杆横截面上的内力包括轴力、扭矩和弯矩且三者均可表达为截面位置x 的函数，不计剪力影响，则组合变形等直圆杆应变能2F N (x ) dx T 2(x ) dx M 2(x ) dx V ε=⎰+⎰+⎰l l l 2EA 2GI p 2EI式中积分应遍及全杆，若为非圆截面杆，则I p 应改为I t由于材料是弹性体，略去加载和卸载过程中的能量损耗外力所作的功在数值上就等于积蓄在杆内的应变能，即V ε=W =⎰Fd ∆ 0∆1在拉杆加载过程中，单元体上外力所作的功等于积蓄在单元体内的应变能v ε=W =⎰σd ε 0ε1V ε=⎰dV ε=⎰v εdV =v εV =v εAL V对于杆件内各点处的应变能密度v ε随该点的坐标而改变的情况，应先求出应变能密度，再积分计算整个梁内所积蓄的应变能在扭转时，整个轴内所积蓄的应变能同理计算，但σ和ε要换成τ和γ应变能具有如下特征①应变能恒为正的标量，与坐标系的选取无关在杆系的不同杆件或不同杆段，可独立选取坐标②应变能仅与荷载的最终值有关，与加载顺序无关③在线弹性范围内，应变能为内力（或位移）的二次齐次函数，力的叠加原理不再适用2.2 余能另一个能量参数称为余能，是仿照外力功的表达式计算另一积分积分是F -∆曲线与纵坐标轴间的面积，与外力功之和正好等于矩形面积F 1∆1，称为余功用W c 表示，即W c =⎰∆dF 0F 1将余功相应的能称为余能，并用V c 表示，余功和余能在数值上相等，即V c =W c =⎰∆dF 0F 1几何线性问题中，同样可仿照应变能密度来计算应变能的方式V c =⎰v c dV ，v c =⎰ε d σ V σ10余能有以下特征①余能（或余能密度）仅具有与应变能（或应变能密度）相同的量纲，并无具体的物理意义②线弹性材料的几何线性问题中，由于荷载与位移（或应力与应变）间的线性关系因而余能（或余能密度）在数值上等于应变能（或应变能密度），但两者迥然不同3．卡氏定理3.1 卡氏第一定理卡斯蒂利亚诺导出了计算弹性杆件的力和位移的两个定理通常称为卡氏第一定理和卡氏第二定理设梁的材料为非线性弹性，梁上有n 个集中荷载作用与这些集中荷载相对应的最后位移分别为∆1、∆2、... 、∆n假定这些荷载咱比例同时由零增至其最终值F 1、F 2、... 、F n （即为简单加载）于是外力所作的总功就等于每个集中荷载在加载过程中所作功的总和，则V ε=W =∑⎰f i d δii =10n ∆i式中，f i 和δi 为加载过程中荷载以及位移的瞬时值，右端每一积分均为位移∆i 的函数设与第i 个荷载相应的位移有一微小增量d ∆i ，则梁内应变能的变化dV εdV ε=其中，∂V ε d ∆i ∂∆i ∂V ε代表应变能对于位移∆i 的变化率∂∆i因为仅与第i 个荷载相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移均保持不变因此对于位移的微小增量d ∆i ，仅F i 作了外力功，则外力功的变化为dW =Fd i ∆i由于外力功在数值上等于应变能，故有dV ε=dW整理可以得到F i =∂V ε∂∆i上式表明：弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移之变化率，等于改为以相应的荷载称为卡氏第一定理卡氏第一定理适用于一切受力状态下线性或非线性的弹性杆件式中，F i 代表作用在杆件上的广义力，可以代表一个力、一个力偶、一对力或一对力偶∆i 则为与之相应的广义位移，可以是一个线位移、一个角位移、相对线位移或相对角位移在运用卡氏第一定理时，必须将应变能表达成给定位移的函数形式这样才可能求其对给定位移的变化率3.2 卡氏第二定理受n 个集中荷载F 1、F 2、... 、F n 作用的梁，材料为非线弹性与各荷载相应的最终位移分别为∆1、∆2、... 、∆n ，按简单方式加载外力的总余功等于每一集中荷载的余功之总和，梁内的余能为V c =W c =∑⎰δi df ii =10n F i式中, f i 和δi 分别为加载过程中荷载及位移的瞬时值上式表明, 梁内的余能时作用在梁上一系列荷载F i 的函数同卡氏第一定理，可得∆i =∂V c ∂F i上式表明：弹性杆件的余能V c 对于杆件上某一荷载之变化率，等于与该荷载相应的位移称为余能定理，余能定理适用于一切受力状态下线性或非线性弹性杆件式中，F i 代表广义力，而∆i 代表与之相应的广义位移在弹性杆件或杆系中，由于力与位移成正比，杆内得应变能在数值上等于余能因此对于线弹性杆件或杆系，可用应变能代替余能，从而得到∆i =∂V ε∂F i上式表明：线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一荷载值变化率，等于该荷载相应的位移，称为卡氏第二定理卡氏第二定理时余能定理在线弹性情况下的特例，仍然适用于任意受力形式下的线弹性杆卡氏第一定理和余能定理适用于线弹性或非线弹性体，而卡氏第二定理仅适用于线弹性体4．用能量法解超静定系统利用能量法所得力-位移间的物理关系，就可求解超静定问题的范围扩展到任意荷载作用下、线弹性杆系、刚架或曲杆等超静定问题5．虚位移原理及单位力法第五章应变分析·电阻应变计法基础1．概述在实际工程中，有一些构件或由于形状不规则，或由于受情况、工作条件比较复杂按其计算简图进行的理论计算结果，往往与实际情况有较大出入有时也用试验的方法来检验按计算简图进行理论分析所得结果的精确度通过实验来研究和了解结构或构件应力的方法，称为实验应力分析实验应力分析方法很多，较为常用的有电阻应变计法等方法是以电阻应变片为传感元件，将其粘贴在被测构件的测点处，使其随同构件变形将构件测点的应变转换为电阻应变片的电阻变化，便可确定测点处的应变并进而按胡克定律的得到其应力电阻应变计的特点是传感元件小，适应性强，测试精度高该方法有其局限性，即只能测量受力构件表面上各点处的应变在实际应变测量中，往往先测定测点处沿几个方向的线应变，然后确定该点处的最大线应变进而确定该点处的最大正应力2．平面应力状态下的应变分析2.1 任意方向的应变推导平面应力状态下一点处在该平面内沿任意方向线应变和切应变的表达式规定α角逆时针转动为正先分别算出由各应变分量εx 、εy 、γxy 单独存在时的线应变εα和切应变γα然后按照叠加原理求得同时存在时的线应变εα和切应变γα，得到εα=(εx +εy ) +(εx -εy )cos 2α+γxy sin 2α-121212γαγ1=(εx -εy )sin 2α-xy cos 2α 2222.2 应变圆将线应变ε作为横坐标，将-γ/2作为纵坐标，即将纵坐标的正向取为铅垂向下便可绘出表示平面应力状态下一点处不同方向的应变变化规律的应变圆受力物体内一点处各方向应变的集合，称为一点处的应变状态在已知一点处的三个应变分量εx 、εy 、γxy 后，就可依照应力圆的作法作出应变圆注意应边圆的纵坐标时γ/2，且正值的切应变在横坐标下方2.3 主应变的数值与方向平面应力状态下，在平面内一点处也存在着两个相互垂直的主应变其相应的切应变均等于零，由应变圆可得两主应变的表达式为121ε2=[(εx +εy ) - 2ε1=[(εx +εy )主应变ε1的方向与x 轴间所夹角度为γxy /2γxy α0 2α0=arctan =arctan (εx -εy ) /2(εx -εy )3．电阻应变计法的基本原理3.1 转换原理及电阻应变片导体在一定应变范围内，其电阻改变率∆R /R 与导体的弹性线应变∆l /l 成正比，即∆R /R =K s ∆l /l式中，常数K s 称为材料的灵敏系数因此可选取合适的导体制造成电阻应变片，粘贴在构件表面测点处使其随同构件变形，从而测定构件测点处的应变金属丝制造成应变片后，因金属丝回绕形状，基体和胶层等因素影响，应变片的灵敏因数为K =∆R /R式中，ε为沿应变片长度方向的线应变应变片的灵敏因数K 与制造应变片材料的灵敏因数K s 值不尽相同应变片的灵敏因数K 一般通过实验测定，常用应变片K 值为1.7~3.6 电阻应变片的基本参数为灵敏因数K 、电阻值R 、标距l 和宽度a由应变片测得的应变实际上式标距和宽度范围内的平均应变当需要测量一点处的应变时，应选取尽可能小的应变片当要测量不均匀材料的应变时，则须选用足够大的应变片，以得到测量范围内的平均应变值3.2 测量原理及电阻应变仪应变片随同构件变形而引起的电阻变化，可用四臂电桥（惠斯顿电桥）来测量电桥的四个桥臂的电阻分别为R 1、R 2、R 3和R 4当对交结点A 、C 接上电压为U AC 的直流电源时，另一对角结点B 、D 的输出电压为εU BD =U AB -U AD =I 1R 1-I 4R 4由于I 1=故得到 U AC U AC ，I 4= R 1+R 2R 3+R 4R 1R 3-R 2R 4 (R 1+R 2)(R 3+R 4) U BD =U AC当电桥的输出电压U BD =0，即电桥平衡时，得R 1R 3=R 2R 4若电桥的四个桥臂均为粘贴在构件上的电阻应变片，且其初始电阻相等。
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材料力学阶段总结一.材料力学的一些基本概念 1. 材料力学的任务：解决安全可靠与经济适用的矛盾。
研究对象：杆件强度：抵抗破坏的能力 刚度：抵抗变形的能力 稳定性：细长压杆不失稳。
2. 材料力学中的物性假设连续性：物体内部的各物理量可用连续函数表示。
均匀性：构件内各处的力学性能相同。
各向同性：物体内各方向力学性能相同。
3. 材力与理力的关系，内力、应力、位移、变形、应变的概念材力与理力：平衡问题，两者相同； 理力：刚体，材力：变形体。
内力：附加内力。
应指明作用位置、作用截面、作用方向、和符号规定。
应力：正应力、剪应力、一点处的应力。
应了解作用截面、作用位置（点）、 作用方向、和符号规定。
变形基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。
4. 物理关系、本构关系 虎克定律；剪切虎克定律：拉压虎克定律：线段的拉伸或压缩。
E ——I 巴EA剪切虎克定律：两线段 夹角的变化。
Gr适用条件：应力〜应变是线性关系：材料比例极限以内。
5. 材料的力学性能（拉压）：一张C - &图，两个塑性指标3、书,三个应力特征点：p、 s 、 b ，四个变化阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、颈缩阶段。
拉压弹性模量E ,剪切弹性模量G,泊松比v， GE 2(1 V )正应力压应力拉应力应变：反映杆件的变形程度线应变角应变6. 安全系数、 许用应力、工作应力、应力集中系数安全系数：大于1的系数，使用材料时确定安全性与经济性矛盾的关键。
过小，使构件安全性下降；过大，浪费材料。
许用应力：极限应力除以安全系数。
脆性材料7. 材料力学的研究方法1） 所用材料的力学性能：通过实验获得。
2） 对构件的力学要求：以实验为基础，运用力学及数学分析方法建立理 论，预测理论应用的未来状态。
3） 截面法：将内力转化成“外力”。
运用力学原理分析计算。
8. 材料力学中的平面假设寻找应力的分布规律，通过对变形实验的观察、分析、推论确定理论根据。
1） 拉（压）杆的平面假设实验：横截面各点变形相同，则内力均匀分布，即应力处处相等。
2） 圆轴扭转的平面假设实验：圆轴横截面始终保持平面，但刚性地绕轴线转过一个角度。
横截面 上正应力为零。
3） 纯弯曲梁的平面假设实验：梁横截面在变形后仍然保持为平面且垂直于梁的纵向纤维； 正应力成线性分布规律。
9小变形和叠加原理 小变形：① 梁绕曲线的近似微分方程 ② 杆件变形前的平衡 ③ 切线位移近似表示曲线 ④ 力的独立作用原理叠加原理：① 叠加法求内力 ② 叠加法求变形。
10材料力学中引入和使用的的工程名称及其意义（概念）1） 荷载：恒载、活载、分布荷载、体积力，面布力，线布力，集中力, 集中力偶，极限荷载。
2） 单元体，应力单元体，主应力单元体。
3） 名义剪应力，名义挤压力，单剪切，双剪切。
4） 自由扭转，约束扭转，抗扭截面模量，剪力流。
塑性材料n sn b5）纯弯曲，平面弯曲，中性层，剪切中心（弯曲中心），主应力迹线，刚架，跨度，斜弯曲，截面核心，折算弯矩，抗弯截面模量。
6）相当应力，广义虎克定律，应力圆，极限应力圆。
7）欧拉临界力，稳定性，压杆稳定性。
8）动荷载，交变应力，疲劳破坏。
杆件四种基本变形的公式及应用2.四种基本变形的刚度，都可以写成：刚度=材料的物理常数X截面的几何性质1）物理常数：某种变形引起的正应力：抗拉（压）弹性模量E；某种变形引起的剪应力：抗剪（扭）弹性模量Gb 2）截面几何性质：拉压和剪切：变形是截面的平移：取截面面积A ; 扭转：各圆截面相对转动一角度或截面绕其形心转动:取极惯性矩I ;梁弯曲：各截面绕轴转动一角度：取对轴的惯性矩I Z3.四种基本变形应力公式都可写成:、内力应力=截面几何性质I对扭转的最大应力：截面几何性质取抗扭截面模量W p -----------------------------max对弯曲的最大应力：截面几何性质取抗弯截面模量W Zy max4.四种基本变形的变形公式，都可写成：内力长度变形=—刚刚度—因剪切变形为实用计算方法，不考虑计算变形。
驚，一段长为l的纯弯曲梁有:弯曲变形的曲率l M x l（x）El z补充与说明：1、关于“拉伸与压缩”指简单拉伸与简单压缩，即拉力或压力与杆的轴线重合；若外荷载作用线不与轴线重合，就成为拉（压）与弯曲的组合变形问题；杆的压缩问题，要注意它的长细比（柔度）。
这里的简单压缩是指“小柔度压缩问题”。
2.关于“剪切”实用性的强度计算法，作了剪应力在受剪截面上均匀分布的假设。
要注意有不同的受剪截面：a.单面受剪：受剪面积是铆钉杆的横截面积；b.双面受剪：受剪面积有两个：考虑整体结构，受剪面积为2倍销钉截面积；运用截面法, 外力一分为二，受剪面积为销钉截面积。
c.圆柱面受剪：受剪面积以冲头直径d为直径，冲板厚度t为高的圆柱面面积。
3.关于扭转表中公式只实用于圆形截面的直杆和空心圆轴。
等直圆杆扭转的应力和变形计算公式可近似分析螺旋弹簧的应力和变形问题是应用杆件基本变形理论解决实际问题的很好例子。
4.关于纯弯曲纯弯曲，在梁某段剪力Q=0时才发生，平面假设成立。
横力弯曲（剪切弯曲）可以视作剪切与纯弯曲的组合，因剪应力平行于截面，弯曲正应力垂直于截面，两者正交无直接联系，所以由纯弯曲推导出的正应力公式可以在剪切弯曲中使用。
5.关于横力弯曲时梁截面上剪应力的计算问题为计算剪应力，作为初等理论的材料力学方法作了一些巧妙的假设和处理，在理解矩形截面梁剪应力公式时，要注意以下几点：1）无论作用于梁上的是集中力还是分布力，在梁的宽度上都是均匀分布的。
故剪应力在宽度上不变，方向与荷载（剪力）平行。
2）分析剪应力沿梁截面高度分布变化规律时，若仅在截面内，有n（h ）bdh Q ，因（h ）的函数形式未知，无法积分。
但由剪应力互等定理，考虑微梁段左、右内力的平衡，可以得出：*QS Z I z b剪应力公式及其假设：a.矩形截面假设1：横截面上剪应力T 与矩形截面边界平行，与剪应力 Q 勺方向一致;方向与剪力的方向 假设2：同一层上的剪应力在剪力C 方向上的分量 y 相等。
剪应力公式:*QS z (y) b(y)i zS ；(y) |(R 2 y 2)2假设2：横截面上同一层高上的剪应力相等。
剪应力公式：(y)* QS z (y) I z bs ；(y )b( y )2 2 2 2y3 Q3max2 bh2平均b.非矩形截面积剪应力在横截面上沿高度的变化规律就体现在静矩S z 上, S z 总是正的作用线通过这层两端边界的切线交点，剪应力的 y(y)由: dMdxdQ辰qdM dx 设坐标原点在左端，则有：Q (x)Eld4ydx4q (x)q: EI d ydx4q，q为常值EI d3yAQ :dx3qxM : EI d2y q x2 Ax Bdx22••EI dy q 3 x A 2 x Bxdx62y: EIq 4 A 3By x4x—2462x2 Cx D 平均c.薄壁截面假设1:剪应力与边界平行，与剪应力谐调。
假设2:沿薄壁t , 均匀分布。
剪应力公式:*QS ztI学会运用“剪应力流”概念确定截面上剪应力的方向。
三.梁的内力方程，内力图，挠度，转角遵守材料力学中对剪力Q和弯矩M的符号规定。
在梁的横截面上，总是假定内力方向与规定方向一致，从统一的坐标原点出发划分梁的区间，且把梁的坐标原点放在梁的左端（或右端）使后一段的弯矩方程中总包括前面各段。
均布荷载q、剪力Q弯矩M转角B、挠度y间的关系：max4其中A 、B 、C 、D 四个积分常数由边界条件确定 例如，如图示悬臂梁：则边界条件为:Q l x 0 0A 0M l x 00 B 0l x 1 0 C 詈 I 3 yl x i 0 D qi 4 8ql4 8EI截面法求内力方程： 内力是梁截面位置的函数，内力方程是分段函数，它们以集中力偶的作用点， 分布的起始、终止点为分段点；1） 在集中力作用处，剪力发生突变，变化值即集中力值，而弯矩不变； 2） 在集中力偶作用处，剪力不变，弯矩发生突变，变化值即集中力偶值；3） 剪力等于脱离梁段上外力的代数和。
脱离体截面以外另一端，外力的符号同 剪力符号规定，其他外力与其同向则同号，反向则异号；4） 弯矩等于脱离体上的外力、外力偶对截面形心截面形心的力矩的代数和。
外 力矩及外力偶的符号依弯矩符号规则确定。
梁内力及内力图的解题步骤： 1） 建立坐标，求约束反力； 2） 划分内力方程区段；3） 依内力方程规律写出内力方程；4） 运用分布荷载q 、剪力Q 弯矩M 的关系作内力图；d 2M dQdM 小2q x ， Q xdx 2 dx dx关系：d d Q D Q C q x d xM D M CQ x d xcc规定：①荷载的符号规定：分布荷载集度 q 向上为正；② 坐标轴指向规定：梁左端为原点，x 轴向右为正剪力图和弯矩图的规定：剪力图的 Q 轴向上为正，弯矩图的 M 轴向下为正 5）作剪力图和弯矩图：El y— 24①无分布荷载的梁段，剪力为常数，弯矩为斜直线；Q>0, M图有正斜率（\）; C K0,有负斜率（/）;②有分布荷载的梁段（设为常数），剪力图为一斜直线，弯矩图为抛物线；q v0, C图有负斜率（\），M图下凹（V ; q>0, C图有正斜率（/），M图上凸（J ;③Q=0的截面，弯矩可为极值；④集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中力之值，此处弯矩图的斜率也突变，弯矩图有尖角；⑤集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值为力偶之矩；⑥在剪力为零，剪力改变符号，和集中力偶作用的截面（包括梁固定端截面），确定最大弯矩（M max）;⑦指定截面上的剪力等于前一截面的剪力与该两截面间分布荷载图面积值的和；指定截面积上的弯矩等于前一截面的弯矩与该两截面间剪力图面积值的和共轭梁法求梁的转角和挠度：要领和注意事项：1）首先根据实梁的支承情况，确定虚梁的支承情况2）绘出实梁的弯矩图，作为虚梁的分布荷载图。
特别注意：实梁的弯矩为正时，虚分布荷载方向向上；反之，则向下。
3）虚分布荷载qx 的单位与实梁弯矩Mx 单位相同若为KN m，虚剪力的单位则为KN m2，虚弯矩的单位是KN m34）由于实梁弯矩图多为三角形、矩形、二次抛物线和三次抛物线等。
计算时需要这些图形的面积和形心位置。
叠加法求梁的转角和挠度：各荷载对梁的变形的影响是独立的。
当梁同时受n种荷载作用时，任一截面的转角和挠度可根据线性关系的叠加原理，等于荷载单独作用时该截面的转角或挠度的代数和。
四•应力状态分析 1.单向拉伸和压缩应力状态划分为单向、二向和三向应力状态。
是根据一点的三个主应力的情 况而确定的。