概率习题及答案_第二章_第二章习题
概率论与数理统计(第三版)课后答案习题2
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
概率论与数理统计第二章测习题
第 2 章一维随机变量及其分布一、选择题1．设 F(x)是随机变量X的分布函数，则以下结论不正确的选项是（A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0（B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1（C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2（D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/22．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则（A）F(x)是偶函数（B）F(x) 是奇函数（C）F(x)+F(-x)=1（D）2F(x)-F(-x)=1 3．设随机变量 X1, X 2的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x)、f 2 (x) ，若 a>0, b>0, c>0，则以下结论中不正确的选项是（A）aF (x)+bF2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是a+b=11（B）cF1(x) F 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=1（C）af 1(x)+bf2(x)是某一随机变量概率密度的充要条件是a+b=1（D）cf 1(x) f 2(x)是某一随机变量分布函数的充要条件是c=14．设随机变量 X1, X2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f 1 (x)和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则（A）f 1 (x) +f 2 (x)必为某一随机变量的概率密度（B）f 1(x) f 2(x)必为某一随机变量的概率密度（C）F1(x)+F 2(x)必为某一随机变量的分布函数（D）F1(x)F 2 (x)必为某一随机变量的分布函数5．设随机变量 X 遵从正态分布N (1,12)，Y遵从正态分布N (2,22) ，且P(|X1| 1) P(|Y 2| 1) ，则必有（A）1 2（B）1 2（C）1 2（D）1 26．设随机变量 X 遵从正态分布N ( ,2 ) ，则随σ的增大，概率P(|X|)（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）增减不定7．设随机变量 X1,X2的分布函数分别为 F1 (x) 、F2(x) ，为使 aF1 (x) －bF2 (x)是某一随机变量分布函数，在以下给定的各组数值中应取（A）a3 , b2（B）a2 , b2（C）a1 , b3（D）a1 , b3 553322228．设 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则 f(x)必然是（A）可积函数（B）单调函数（C）连续函数（D）可导函数9．以下陈述正确的命题是（A）若P(X1) P(X 1), 则 P(X 1)12（B）若 X~b(n, p),则 P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,,n（C）若 X 遵从正态分布 , 则 F(x)=1-F(-x)（D）lim [ F (x) F ( x)]1x10．假设随机变量X遵从指数分布，则随机变量Y=min{X,2} 的分布函数（A）是连续函数（B）最少有两其中止点（C）是阶梯函数（D）恰好有一其中止点二、填空题1．一实习生用同一台机器连接独立的制造了 3 个同种零件，第i个零件不合格的概率为 p i1个零件中合格品的个数，则 P X2i 1,2,3 ，以 X 表示3i12．设随机变量X的概率密度函数为 f x2x0 x 1以 Y 表示对 X 的三次重复观察中0其他事件 X 1出现的次数，则 P Y2 23．设连续型随机变量X的分布密度为 f x axe 3x x 0，则 a，X的分布0x0函数为4．设随机变量的分布函数b , x0, 则 a =， b =，cF ( x)ax) 2(1c,x 0,=。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析
第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况，并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题！！！标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况，对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查，这种调查方式属于( )。
A普查B抽样调查【解析：抽取一部分单位进行调查；习惯上将概率抽样（根据随机原则来抽取样本）称为抽样调查】C重点调查【解析：在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了（）。
A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。
C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析：规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据，没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查，应该采用( )。
A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。
A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析：课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较，茎叶图( )。
A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析：直方图展示了总体数据的主要分布特征，但它掩盖了各组内数据的具体差异。
为了弥补这一局限，对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。
课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中，某组的向上累计次数表明( )。
A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析：向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率，各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。
课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列，第一组上限为500，第二组组中值是750，则第一组组中值为 ( )。
A. 200B. 250C. 500D. 300【解析：组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。
概率习题及答案第二章第二章习题
第二章 随机变量及其分布练习题1. 设X 为随机变量，且kk X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 （1）判断上面的式子是否为X 的概率分布； （2）若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k!)(( ,2,1=k ), 且0>λ，求常数C .3. 设一次试验成功的概率为)10(<<p p ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。
用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布。
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。
求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。
根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。
（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且21)0(==X P ，求（1）λ； （2）)1(>X P .8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。
经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； 10. 已知X 的概率分布为：X-2 -10 1 2 3 P2a101 3aaa2a试求（1）a ； （2）12-=X Y 的概率分布。
概率论与数理统计习题及答案-第二章
k0 k !
(2) P(保险公司获利不少于 10000)
P(30000 2000X 10000) P(X 10)
10 e5 5k
0.986305
k0 k !
即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上
5
分别为随机变量 X，Y 的概率分布，如果已知 P{X≥1}= ，试求 P{Y≥1}.
9
5
4
【解】因为 P( X 1) ，故 P( X 1) .
9
9
而
P( X 1) P(X 0) (1 p)2
故得
(1 p)2 4 ,
9
1
即
p .
3
从而
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 p)4 65 0.80247
3 0.512
4.（1） 设随机变量 X 的分布律为
2
k P{X=k}= a ，
k!
其中 k=0，1，2，…，λ＞0 为常数，试确定常数 a. （2） 设随机变量 X 的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 试确定常数 a. 【解】（1） 由分布律的性质知
1
P( X
习题二
1.一袋中有 5 只乒乓球，编号为 1，2，3，4，5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只
球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律.
【解】
X 3, 4, 5
故所求分布律为
1 P( X 3) 0.1
C35 3 P( X 4) 0.3 C35 P( X 5) C24 0.6 C35
概率论与数理统计-第二章习题附答案
概率论与数理统计-第二章习题附答案习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律. 解X0 1P1-p p2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为c c c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P .解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++= 所以3716c =.所求概率为P {X <1| X≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P .3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}. 解 注意p{x=k}=kk n knC p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==- 故213q p =-=. 从而{P Y≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解 由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 X 的分布律是X3 4 5 P 110 31035 习题2-3X -1 01P0.15 0.200.65求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2},P {-2≤X <1}.解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1;(4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩(2){11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242ππππ=+⋅---= 3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0, 01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.习题2-41. 选择题(1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数.(A) 13. (B) 12. (C) 1. (D) 32. 本题应选(C ).(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1. 本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它. (B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C)22()2,0,()20,0.≥x x f x x μσπσ--=<⎧⎪⎨⎪⎩ (D)e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩本题应选(D).(6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1<μ2. (D) μ1 >μ2.答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) 2u α . (B) 21α-u . (C) 1-2u α.(D)α-1u .答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ? 解X 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k kP k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?解 由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是34d 0.5ax x =⎰, 因此42a =. 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 由()()F x f x '=得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝ 2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}. 解{P X≤12201112d 2240}x x x ===⎰; 1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰.6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得1222011201111d ()d []122x x A x x x Ax x A =+-=+-=-⎰⎰, 于是 2A =； (2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得（过程简略）220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256C C +=.8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解 若方程有实根, 则 21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{22}P X =--<<21d 5x =-215=-10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解 因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--, 于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=.习题2-52. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度.解 若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,2μσ==所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z =2(5)16,4x x π---∞<<+∞. 3. 已知随机变量X 的分布律为X-1137P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25(1) 求Y ＝2－X 的分布律； (2) 求Y ＝3＋X 2分布律.解 (1)2－X-5 -1 1 2 3P 0.25 0.13 0.2 0.05 0.37 (2) 3＋X 23 4 12 52P 0.05 0.57 0.13 0.254. 已知随机变量X 的概率密度为()X f x ＝1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解 )(y F Y={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -1{2}P X y =-<-=1-2()d yX f x x--∞⎰. 于是可得Y 的概率密度为121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解 因为对于0<y <4,(){Y F y P Y=≤2}{y P X =≤}{y P y =-X y ()()XX F y F y =--.于是随机变量2Y X =的概率密度函数为()Y f y ()22X X f y f y yy=-0 4.4y y=<< 即 ()04,40,.其它f y y y=<<⎩。
概率统计习题集（含答案）
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C + C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P AB P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B = B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -= B ．()A B B A -⊃C ．()A B B A -⊂D ．()A B B A -=8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则PA B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.317掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
x 0, 0, 2 2x x F ( x ) 2 ,0 x a , ． a a x a． 1, a a 1 1 (3) P ( X a ) F (a ) F ( ) 1 (1 ) ． 2 2 4 4
12．设随机变量 X 在 [2,6] 上服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观察，试求至 少有两次观测值大于 3 的概率． 解：由题意知
1 ,2 x 6, f ( x) 4 ， 0, 其他．
记 A { X 3} ，则
P ( A) P ( X 3)
6
3
3 设 Y 为对 X 进行三次独立观测事件 { X 3} 出现的次数，则 Y ～ B (3, ) ， 4
1 3 dx ， 4 4
6．抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为 p ， 0 p 1 ，以 X 表示直至两 个面都出现时的试验次数，求 X 的分布律． 解： X 所有可能的取值为 2，3，…， 设 A { k 次试验中出现 k 1 次正面，1 次反面}，
B { k 次试验中出现 k 1 次反面，1 次正面}，
3．设离散型随机变量 X 的分布律为
X P 1 0 .2 1 0 .5 2 0 .3
1
1 求：(1) X 的分布函数；(2) P ( X ) ；(3) P (1 X 3) ． 2
概率论与数理统计习题及答案第二章.doc
习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解 注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布 函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解 由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解 由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量 的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解 答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量 服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解 答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解 因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) ＝其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1＜ X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ； (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2；(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解 随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3}；(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少？解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解 因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解 由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解 由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解 若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求 ＝2－ X 的分布律； (2) 求 ＝3＋ 2分布律 .YYX解 (1)2－X-5-1123P(2)3＋X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1， 1 x 4，f X ( x)＝2 x ln 20，其它，且 Y ＝2－ X , 试求 Y 的概率密度 .解 先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分 布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解 以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用 的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0， x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解 由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到 查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。
(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第二章 随机变量及其分布（一）一．选择题：1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ]（A ）1234111124816Xx x x x p （B ） 123411112488X x x x x p （C ）1234111123412Xx x x x p（D ） 1234111123412X x x x x p -2．设随机变量ξ的分布列为 01230.10.30.40.2X p )(x F 为其分布函数，则)2(F =[ C ]（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题：1．设随机变量X 的概率分布为0120.20.5X p a ，则a = 0.32．某产品15件，其中有次品2件。
现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35;P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/353．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k kkC -⨯10103.07.0,10,,0Λ=k 或X~B(10,0.7)三、计算题：1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X >(1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18;P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9;P{X=6}= P{X=8}=5/36;P{X=7}=1/6(2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=02．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
概率论与数理统计第二章习题与答案
概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大，写出X 随机变量的分布律.解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101习题2-2 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，失败的概率为p -1)10(<<p .（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律.（此时称X 服从以p 为参数的几何分布.）（2）将试验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律.（此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.）（3）一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ， 或记r+n=k ，则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k（3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论练习册答案第二章
习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生. 写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p . 或者2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为cc c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P . 解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++= 所以3716c =. 所求概率为 P {X <1| X 0≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P . 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p的二项分布, 若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}.解 注意p{x=k}=k k n k n C p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==-故213q p =-=. 从而{P Y ≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ. 解 由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有1035=C 种取法.{X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}=2235C C =101;{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=1033523=C C ;{X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=533524=C C .X 的分布律是1. 设解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩ 于是 11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+-11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0,01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1; 11{1},{1}84P X P X =-===; 在事件{11}X -<<出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求X 的分布函数(){F x P X =≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .解 (1) 由条件可知, 当1x <-时, ()0F x =;当1x =-时, 1(1)8F -=;当1x =时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.所以 115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--= 易见, 在X 的值属于(1,1)-的条件下, 事件{1}X x -<<的条件概率为{1P X -<≤|11}[(1)]x X k x -<<=--,取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =12. 因此 {1P X -<≤|11}12x X x -<<=+. 于是, 对于11x -<<, 有{1P X -<≤}{1x P X =-<≤,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=⨯=对于x ≥1, 有() 1.F x = 从而0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥ (2) X 取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题 (1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩ 如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数. (A)13. (B) 12. (C) 1. (D) 32. 解 由概率密度函数的性质()d 1f x x +∞-∞=⎰可得02d 1cx x =⎰, 于是1=c ,故本题应选(C ).(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C)12. (D) -1.解 因为{}{}P X c P X c =<≥, 所以1{}{}P X c P X c -<=<,即2{}1P X c <=, 从而{}0.5P X c <=,即()0.5c Φ=, 得c =0. 因此本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它.(B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C) 22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎧⎩ (D) e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩解 由概率密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰可知本题应选(D).(4) 设随机变量2~(,4)X N μ, 2~(,5)Y N μ, 1{X P P =≤4μ-}, {2P P Y =≥5μ+}, 则( ).(A) 对任意的实数12,P P μ=. (B) 对任意的实数12,P P μ<. (C) 只对实数μ的个别值, 有12P P =. (D) 对任意的实数12,P P μ>. 解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数μ, 有12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=. 因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为()f x , 且()()f x f x =-, 又F (x )为分布函数, 则对任意实数a , 有( ).(A) 0()1d ()∫aF a x f x -=-. (B) 01()d 2()∫aF a x f x -=-.(C) ()()F a F a -=. (D) ()2()1F a F a -=-. 解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2. (D) μ1 >μ2.解 对μ1＝μ2时, 答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) 2u α . (B) 21α-u. (C) 1-2u α. (D) α-1u .解 答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ?解 因为随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-. 于是 ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它, 要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?解 由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是304d 0.5ax x =⎰,因此a =. 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系()()F x f x '=, 可得 2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝ 2,01,0,x x ⎧⎨⎩≤≤ 其它,求P {X ≤12}与P {14X ＜≤2}.解 {P X ≤12201112d 2240}x x x ===⎰;1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰. 6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰,于是 2A =；(2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得当x <0时, ()0F x =; 当0≤x<1时, 201()d 2x F x x x x ==⎰;当1≤x <2时, 211()d (2)d 212x x F x x x x x x =+-=--⎰⎰;当x ≥2时, ()1F x =.所以 220,0,1()221,2.1,021,12x F x x x x x x x =-≥⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩<≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256C C +=. 8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解 随机变量X 的概率密度为105,()50,,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩≤其它,若方程有实根, 则 21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{P X =-<<1d 5x =-15=-. 9. 设随机变量)2,3(~2N X .(1) 计算{25}P X <≤, {410}P X -<≤, {||2}P X >, }3{>X P ； (2) 确定c 使得{}{};P X c P X c >=≤ (3) 设d 满足{}0.9P X d >≥, 问d 至多为多少？解 (1) 由P {a <x ≤b }=P {33333}()()22222a Xb b a ΦΦ-----<=-≤公式, 得到P {2<X ≤5}=(1)(0.5)0.5328ΦΦ--=, P {-4<X ≤10}=(3.5)( 3.5)0.9996ΦΦ--=, {||2}P X >={2}P X >+{2}P X <-=123()2Φ--+23()2Φ--=0.6977,}3{>X P =133{3}1()1(0)2P X ΦΦ-=-=-≤=0.5 . (2) 若{}{}≤P X c P X c >=,得1{}{}P X c P x c -=≤≤,所以{}0.5P X c =≤由(0)Φ=0推得30,2c -=于是c =3. (3) {}0.9≥P Xd > 即13()0.92d Φ--≥, 也就是3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥,因分布函数是一个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥ 解得 32( 1.282)0.436d +⨯-=≤.10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解 因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--,于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=.所以 {{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=. 习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则31Y X =+的分布函数()G y 为( ). (A) 11()33F y -. (B) (31)F y +.(C) 3()1F y +. (D)1133()F y -. 解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A). (2) 设()~01,X N ,令2Y X =--, 则~Y ( ).(A)(2,1)N --. (B)(0,1)N . (C)(2,1)N -. (D)(2,1)N . 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度.解 若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,μσ==所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z=2(5)16,x x ---∞<<+∞.3. 已知随机变量X 的分布律为(1) 解 (1)(2)4. ()X f x ＝1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩， ， ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解 先求Y 的分布函数)(y F Y :)(y F Y ={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -1{2}P X y =-<-=1-2()d yX f x x --∞⎰.于是可得Y 的概率密度为()(2)(2)Y X f y f y y '=---=12(2)ln 20,.,124,其它y y -⎧<-<⎪⎨⎪⎩即 121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解 由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =⎧-<<⎪⎨⎪⎩因为对于0<y <4,(){Y F y P Y =≤2}{y P X =≤}{y P =X(X X F F =-.于是随机变量2Y X =的概率密度函数为()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知~(5,0.2)X B .(1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=23358.02.0C .(2) 至多有3件次品的概率是k k k k C-=∑5358.02.0.2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻 (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,0.1),P {X =k }=kk k C -559.01.0,k =0,1, (5)(1) 所求的概率是P {X =2}=0729.09.01.03225=C ;(2) 所求的概率是P {X ≥1}=140951.0)1.01(5=--; (3) 所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4) 所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856. 3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=<⎧⎪⎨⎪⎩且已知1{1}2P X >=, 求常数k , θ.解 由概率密度的性质可知0e d 1xkx θθ-+∞=⎰得到k =1.由已知条件111e d 2xx θθ-+∞=⎰, 得1ln 2θ=.4. 某产品的某一质量指标2~(160,)X N σ, 若要求{120P ≤X ≤200}≥0.8, 问允许σ最大是多少?解 由{120P ≤X ≤}200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=404040()(1())2()1ΦΦΦσσσ--=-≥0.8,得到40()Φσ≥0.9, 查表得40σ≥1.29, 由此可得允许σ最大值为31.20.5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A ; (2) P {0<X <1}; (3) X 的分布函数.解 (1) 由于||()d e d 1,x x x A x ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰即02e d 1x A x +∞-=⎰故2A = 1,得到A =12.所以 φ(x ) =12e -|x |.(2) P {0<X <1} =111111e e d (e )0.316.0222xxx ----=-=≈⎰(3) 因为||1()e d ,2xx F x x --∞=⎰ 得到 当x <0时, 11()e d e ,22x x xF x x -∞==⎰当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222x x x xF x x x ---∞=+=-⎰⎰所以X的分布函数为1,0,2()11,0.2xxxF xx-⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ee≥。
概率论与数理统计 第二章习题附答案
习题4-11. 设随机变量求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +.解 由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=;8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E .2. 设随机变量X 的概率密度为,0,()0,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤求Xe Z X Y 22-==和的数学期望.解 0()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞-====⎰e d ,2201()()3X x x E Z E e e e dx ∞---==⋅=⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为1,060,()600,.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤因此, 6001()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞===⎰⎰()5255560525551(5)(25)(55)(65)60x dx x dx x dx x dx =-+-+-+-⎰⎰⎰⎰=11.67(分钟)..习题4-21. 选择题(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)]()E X -=.(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36.应选(D).(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).(A) 10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.应选(C).(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.(C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.选(D).(4) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若~(,),().X B n p E X np =则(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.选(B).2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ). 解 由数学期望和方差的性质有E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,(32)9()4()D X Y D X D Y -=+ })]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -⨯+-⨯= 13)45(4)45(9=-⨯+-⨯=. 5. 设随机变量]2,1[~-U X , 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1X X X Y求期望()E Y 和方差)(Y D .解 因为X 的概率密度为1,12,()30,.X x f x -=⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它于是Y 的分布率为--11{1}{0}31()d d 3X P Y P X f x x x ∞=-=<===⎰⎰, {0}{0}0P Y P X ====,+22{1}{0}31()d d 3X P Y P X f x x x ∞==>===⎰⎰. 因此121()1001333E Y =-⨯+⨯+⨯=,222212()(1)001133E Y =-⨯+⨯+⨯=.故有 2218()()[()]199D Y E Y E Y =-=-=.习题4-31. 选择题(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.选(D).(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.选(A).(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .解 (32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-)()(126449Y D X D XY ⨯⨯-⨯+⨯=ρ 727.24626.0122436≈⨯⨯⨯-+=.3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22()()2E X E Y ==, 求2[()]E X Y +.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++42420.526.XY ρ=+=+⨯⨯=4. 设随机变量(X , Y )若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解 首先由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+得=b于是 故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=.7．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X 与Y 不相关.证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的. 事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±. 因此()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ⇔=⇔=.其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.进而0XY ρ==, 即X 与Y 不相关.最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XY ρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ,B ,C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 .2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只,则取得2只白球,1只红球的概率 为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50％的住户订晚报，有60％的住户订日报，有80％的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ,则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 .8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ,则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数,{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P .11、设B A ,是两事件,则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组,且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ,=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P .14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P .17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃,且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P .18、设21)(,41)(,31)(===B A P B P A P ，则=)(B A P 。
第二章 概率论解析答案习题解答
第二章 随机变量及其分布I 教学基本要求1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；4、会求简单随机变量函数的分布.II 习题解答A 组、1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω=以X 表示两个产品中的合格品数.(1) 写出X 与样本点之间的对应关系；(2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X = 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→；(2) 12(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-.2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数(1) 021()2021x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩； (2) 21()1F x x =+ ()x -∞<<+∞. :解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=；(0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数.(2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为(1)0()00x A e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩求常数A 及(13)p X <≤解：由()1F +∞=和lim (1)xx A e A -→+∞-=得1A =；(13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-.4、设随机变量X 的分布函数为>200()0111x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩求常数A 及(0.50.8)p X <≤解：由(10)(1)F F +=得1A =；(0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=.5、设随机变量X 的分布列为()ap X k N==(1,2,,)k N =求常数a解：由11ii p+∞==∑得>11Nk a N==∑1a ⇒=.6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、5，且0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、3210905100(3)C C p X C ==、4110905100(4)C C p X C ==、5010905100(5)C C p X C ==于是X 的分布列为510905100()k kC C p X k C -== (0,1,,5)k =.7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以X 表示抽样次数，求(1) X 的分布列； (2) X 的分布函数\解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且84(1)105p X ===、288(2)10945p X ==⨯=、2181(3)109845p X ==⨯⨯=于是X(2) 由(1)可知的分布函数为014125()44234513x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.8、设随机变量X 的分布函数为010.211()0.3120.52313x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ 求X 的分布列解：X 的分布列为9、求在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率； .(3) 至多有3个设备被使用的概率解：设X 表示被同时使用的供水设备数，则~(5,0.1)X b (1) 恰有2个设备被使用的概率为2235(2)(0.1)(0.9)0.0729p X C ===；(2) 至少有3个设备被使用的概率为(3)(3)(4)(5)p X p X p X p X ≥==+=+=33244550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=；(3) 至多有3个设备被使用的概率为(3)1(4)(5)p X p X p X ≤=-=-=44550551(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.99954C C =--=.！10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少解：设X 表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则~(52,0.2)X b ，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”，于是所求概率为005211515252(1)(0)(1)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)p X p X p X C C ≤==+==+0.0001279=.11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布，求 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率； (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率解：设X 表示该城市一周内发生交通事故的次数，则~(0.3)X P (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率20.30.3(2)0.03332!p X e -===；，(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率00.30.3(1)1(0)10.2590!p X P X e -≥=-==-=.12、设X 服从泊松分布，已知(1)(2)p X p X ===，求(4)p X =解：由(1)(2)p X p X ===得22ee λλλλ--=2λ⇒=422(4)0.09024!p X e -⇒===.13、一批产品的不合格品率为，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：(1) 用二项分布作精确计算； (2) 用泊松分布作的似计算 …解：设X 表示抽取的40件产品中的不合格品数，则~(40,0.02)X b (1) 拒收的概率为(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-=0040113940401(0.02)(0.98)(0.02)(0.98)0.1905C C =--=；(2) 由于400.020.8λ=⨯=，于是拒收的概率为(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-= 0.80.810.80.1912e e --≈--=.14、设随机变量X 的密度函数为201()0x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它求X 的分布函数 *解：由()()xF x f t dt -∞=⎰得当0x <时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当01x ≤≤时2200()()02|x xxF x f t dt dt tdt t x -∞-∞==+==⎰⎰⎰当1x >时0121001()()020|1x xF x f t dt dt tdt dt t -∞-∞==++==⎰⎰⎰⎰于是所求分布函数为200()0111x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩. 15、设随机变量X 的密度函数为 ~212(1)12()0x f x x⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求X 的分布函数解：由()()xF x f t dt -∞=⎰得当1x <时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当12x ≤≤时1121111()()02(1)2()|2(2)xxx F x f t dt dt dt t x t t x-∞-∞==+-=+=+-⎰⎰⎰ 当2x >时122121211()()02(1)02()|1xx F x f t dt dt dt dt t t t-∞-∞==+-+=+=⎰⎰⎰⎰于是所求分布函数为 ·011()2(2)1212x F x x x x x <⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩.16、设随机变量X 的密度函数为cos ()220A x x f x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求(1) 常数A ；(2) X 的分布函数；(3) (0)4p X π<≤解：(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得2222220cos 0sin |21dt A xdx dt A x A ππππππ-+∞--∞-++===⎰⎰⎰12A ⇒=； (2) 当2x π<-时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当22x ππ-≤≤时]2221111()()0cos sin |sin 2222xxxF x f t dt dt tdt t x πππ---∞-∞-==+==+⎰⎰⎰当2x π>时22222211()()0cos 0sin |122xx F x f t dt dt tdt dt t ππππππ---∞-∞-==++==⎰⎰⎰⎰ 于是所求分布函数为0211()sin 222212x F x x x x ππππ⎧<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩；(3) (0)()(0)()(0)444p X p X p X F F πππ<≤=≤-≤=-1111sin sin 0242224π=+--=. 17、设随机变量X 的分布函数为1()ln 11x F x xx e x e<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求(1) (03)p X <≤、(2)p X <、(2 2.5)p X <<；(2) X 的密度函数]解：(1) (03)(3)(0)(3)(0)101p X p X p X F F <≤=≤-≤=-=-=(2)(2)(2)(2)ln 2p X p X p X F <=≤-===5(2 2.5)(2 2.5)(2.5)(2)ln 2.5ln 2ln 4p X p X F F <<=<≤=-=-=；(2) 由于在()F x 的可导点处，有()()f x F x '=，于是X 的密度函数为11()0x ef x x⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.18、设~(1,6)K U ，求方程210x Kx ++=有实根的概率 解：由~(1,6)K U 得K 的密度函数为116()5k f k ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它又由于方程210x Kx ++=有实根等价于240K -≥，即||2K ≥，于是方程有实根的概率为22(||2)(2)(2)()()p K p K p K f k dk f k dk -+∞-∞≥=≤-+≥=+⎰⎰?621455dk ==⎰. 19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间X (单位：分钟)服从参数为0.4的指数分布，求下述事件的概率(1) X 至多3分钟； (2) X 至少4分钟；(3) X 在3分钟至4分钟之间； (4) X 恰为3分钟解：(1) X 至多3分钟的概率为0.43 1.2(3)(3)11p X F e e -⨯-≤==-=-；(2) X 至少4分钟的概率为0.44 1.6(4)1(4)1(4)1(1)p X p X F e e -⨯-≥=-<=-=--=；?(3) X 在3分钟至4分钟之间的概率为(34)(4)(3)(4)(3)p X p X p X F F ≤≤=≤-<=- 0.440.43 1.2 1.6(1)(1)e e e e -⨯-⨯--=---=-；(4) X 恰为3分钟的概率为(3)0p X ==.20、设~(0,1)X N ，求下列事件的概率( 2.35)p X ≤；( 1.24)p X ≤-；(|| 1.54)p X ≤ 解：( 2.35)(2.35)0.9906p X ≤=Φ=；( 1.24)( 1.24)1(1.24)10.89250.1075p X ≤-=Φ-=-Φ=-=； (|| 1.54)( 1.54 1.54)(1.54)( 1.54)p X p X ≤=-≤≤=Φ-Φ-(1.54)[1(1.54)]2(1.54)120.938210.8764=Φ--Φ=Φ-=⨯-=.&21、设~(3,4)X N ，(1) 求(25)p X <≤、(||2)p X >、(3)p X >；(2) 确定c ，使得()()p X c p X c >=≤；(3) 若d 满足()0.9p X d >≥，则d 至多为多少解：(1) 23353(25)()222X p X p ---<≤=≤≤ (1)(0.5)(1)(0.5)10.84130.691510.5328=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=23323(||2)1(||2)1()222X p X p X p ---->=-≤=-≤≤ 1(0.5)( 2.5)1(0.5)(2.5)=-Φ-+Φ-=+Φ-Φ10.69150.99380.6977=+-= 333(3)1(3)1()22X p X p X p -->=-≤=-≤ 1(0)10.50.5=-Φ=-=；(2) 由()()p X c p X c >=≤得1()()p X c p X c -≤=≤？3330.5()()()222X c c p X c p ---⇒=≤=≤=Φ3032c c -⇒=⇒=； (3) 由()0.9p X d >≥得3330.9()1()1()1()222X d d p X d p X d p ---≤>=-≤=-≤=-Φ 33()0.11()0.122d d--⇒Φ≤⇒-Φ≤ 33()0.9 1.2820.43622d d d --⇒Φ≥⇒≥⇒≤.22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间X 服从均值为4h ，标准差为20min 的正态分布.(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率； (2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率；(3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率 *解：(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为240260240240(260)()1(1)202020X X p X p p ---≥=≥=-< 1(1)10.84130.1587=-Φ=-=；(2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率为240250240(250)()(0.5)0.69152020X p X p --≤=≤=Φ=； (3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为220240240260240(220260)()202020X p X p ---≤≤=≤≤(1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.23、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从2(72,)N σ，已知96分以上的人数占总数的%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率解：设考生的外语成绩为X ，则2~(72,)X N σ】由96分以上的人数占总数的%得0.023(96)p X =>729672240.977(96)()()X p X p σσσ--⇒=≤=≤=Φ242σ⇒=12σ⇒=于是，考生的成绩在60分至84分之间的概率为6072728472(6084)()121212X p X p ---≤≤=≤≤ (1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.24求cos Y X =的分布列解：由X于是Y25求2Y X =的分布列解：由26、设随机变量的密度函数为2311()2X xx f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它求随机变量3Y X =+的密度函数解：由题意知，当2y ≤时，有()()0Y F y p Y y =≤=当24y <<时，有()()(3)(3)(3)Y X F y p Y y p X y p X y F y =≤=+≤=≤-=-当4y ≥时，有()()1Y F y p Y y =≤=￥即Y 的分布函数02()(3)2414Y X y F y F y y y ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=(3)240XF y y '-<<⎧=⎨⎩其它23(3)2420y y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它.27、设随机变量~(0,1)X U ，求随机变量XY e =的密度函数 解：由题意知，当1y ≤时，有()()0Y F y p Y y =≤=当1y e <<时，有()()()(ln )(ln )X Y X F y p Y y p e y p X y F y =≤=≤=≤=：当y e ≥时，有()()1Y F y p Y y =≤=即Y 的分布函数1()(ln )11Y X y F y F y y e y e≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=(ln )10XF y y e'<<⎧=⎨⎩其它110y ey ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.28、随机变量X 的密度函数为()0xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 求随机变量2Y X =的密度函数~解：由于20Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=；当0y ≥时，有2()()()(Y F y p Y y p X y p X =≤=≤=≤≤0()1x X f x dx dx e -===-即Y 的分布函数10()0Y e y F y y ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩于是，Y 的密度函数0()()00Y Y y f y F y y >'==≤⎩.29、设随机变量~(0,1)X N ，试求随机变量||Y X =的密度函数 解：由于||0Y X =≥，故当0y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=；$当0y ≥时，有()()(||)()2()1Y F y p Y y p X y p y X y y =≤=≤=-≤≤=Φ-即Y 的分布函数2()10()00Y y y F y y Φ-≥⎧=⎨<⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=2()00y y y 'Φ>⎧=⎨≤⎩22000yy y ->=≤⎩.B 组1、A2、B3、D4、B5、B6、B7、C8、C9、C10、C：11、设随机变量X 的分布函数为0111()21232x a x F x a x a b x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=⎨-≤<⎪⎪+≥⎪⎩且1(2)2p X==，求常数a、b解：由()1F+∞=及()()(0)p X a F a F a==--得()121(2)(2)(20)()()32F a bp X F F a b a+∞=+=⎧⎪⎨==--=+--=⎪⎩1726a ba b+=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩1656ab⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.12求常数a解：由11 ii p+∞==∑得20.5121a a+-+=12a⇒=±|再由11202a a-≥⇒≤，可得1a=13、口袋中有5个球，编号为1、2、3、4、5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码.(1) 求X的分布列；(2) 求X的分布函数解：(1) 由题意知X是离散型随机变量，其所有可能取值为3、4、5，且22351(3)10C p X C ===、23353(4)10C p X C ===、24356(5)10C p X C ===于是X(2) 由(1)可知的分布函数为030.134()0.44515x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩.14、设随机变量X 的密度函数为||()x af x Ce -= (0)a >-求(1) 常数C ；(2) X 的分布函数；(3) (||2)p X <解：(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得||()2221x xa a f x dx C e dx C e dx aC +∞+∞+∞---∞====⎰⎰⎰12C a⇒=； (2) 当0x <时 ||111()()222t t xa a a x x x F x f t dt e dt e dt e a a --∞-∞-∞====⎰⎰⎰ 当0x ≥时||||0011()()22t t a a xx F x f t dt e dt e dt a a ---∞-∞==+⎰⎰⎰001111222t t x a a a x e dt e dt e a a ---∞=+=-⎰⎰ 于是102()1102xa x a e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩；(3) 22211(||2)(22)(2)(2)1122a a ap X p X F F e e e ---<=-<<=--=--=-.15、设随机变量X 的密度函数为201()0x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求(2)P Y =解：由题意知：事件1{}2X ≤在一次观察中出现的概率为1112222001()02|4p f x dx dt xdx x -∞-∞==+==⎰⎰⎰ 且~(3,)Y b p ，于是223139(2)()()4464P Y C ===. 16、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位：分钟)服从指数分布，其密度函数为510()5x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求(1)p Y ≥解：由题意知：顾客在窗口等待服务的时间超过10分钟的概率为5521010101()|5x x p f x dx e dx e e +∞+∞--+∞-===-=⎰⎰且~(5,)Y b p ，于是02025255(1)1(0)1()(1)1(1)0.5167P Y P Y C e e e ---≥=-==--=--=.17、设随机变量2~(2,)X N σ且(24)0.3p X <<=，求(0)p X < 解：由2~(2,)X N σ得224242(24)()()(0)0.3p X p X σσσ---<<=<<=Φ-Φ=2()0.8σ⇒Φ=0222(0)()()1()10.80.2p X p X σσσ-⇒<=<=Φ-=-Φ=-=.18、设随机变量X 的分布函数为()F x ，试求随机变量()Y F X =的密度函数 解：由于0()1F X ≤≤，故当0Y <时，有()()0Y F y p Y y =≤=； 当01y ≤≤时，有11()()(())(())(())Y F y p Y y p F X y p X F y F F y y --=≤=≤=≤==当1y >时，有()()1Y F y p Y y =≤= 即Y 的分布函数00()0111Y y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩于是，Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=101y <<⎧=⎨⎩其它即随机变量Y 服从区间(0,1)上的均匀分布.。
概率论第二章习题(答案)
A．1 e1
. 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有（C）
A． P X EX 2 1
4
C. P X EX 2 1
2
B. P X EX 2 3
4
D． P X EX 2 1
2
二．填空与计算题
1. 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X EX 2 .
C. E( X C)2 E( X )2 D. E( X C)2 E( X )2
16. 设随机变量 X 的分布函数为 F (x) ，则随机变量Y 2 X 1的分布函数为（D）
A．
F
y 2
1
B.
2F(y) 1
C. 1 F ( y) 1
2
2
D．
F
y 2
1 2
17. 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) ，则随机变量Y 3 2 X 的密度函数为（B）
度，
f (x) af1(x), bf2 (x),
x 0, (a 0,b 0)
x0
为概率密度，则 a,b 应满足（A）．
A ．2a 3b 4 ； B ．3a 2b 4 ； C ．a b 1； D ．a b 2 .
11.
设随机变量 X
服从正态分布
N
(1
,
2 1
)
，随机变量 Y
服从正态分布
解: 由 EX 2 2 ， P X EX 2 P X 2 e1 . 2
2. 设 随 机 变 量 X 概 率 分 布 为 P X k C (k 0,1, 2,) ， 则
A. a 3 5,b 2 5 ; B. a 2 3, b 2 3 ;
C. a 1 2 , b 3 2 ; D. a 1 2 ,b 3 2 .
概率论及数理统计习题及答案第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 随机变量及其分布练习题
1. 设X 为随机变量，且k k X P 2
1)(==( ,2,1=k ), 则
（1）判断上面的式子是否为X 的概率分布； （2）若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .
2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k
!)(( ,2,1=k ), 且0>λ，求
常数C .
3. 设一次试验成功的概率为)10(<<p p ，不断进行重复试验，直到首次成功为止。
用随机变量X 表示试验的次数，求X 的概率分布。
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。
求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。
根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。
（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；
（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？
7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且2
1)0(==X P ，求
（1）λ； （2）)1(>X P .
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。
经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；
（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； 10. 已知X 的概率分布为：
试求（1）a ； （2）12
-=X
Y 的概率分布。
11. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8所示.
试求:（1）t 的值； （2）X 的概率密度； （3）)22(≤<-X P . 12. 设连续型随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤≤=其他
,
00,
sin )(a
x x x f
试确定常数a 并求)6
(π>X P .
13. 乘以什么常数将使x
x e
+-2
变成概率密度函数?
14. 随机变量),(~2σμN X ，其概率密度函数为
6
4
42
61)(+--
=
x x e
x f π
(+∞<<∞-x )
试求2
,σμ；若已知⎰
⎰
∞
-+∞
=
C
C
dx x f dx x f )()(，求C .
15. 设连续型随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤≤=其他
,
01
0,
2)(x x x f
以Y 表示对X 的三次独立重复试验中“2
1≤X ”出现的次数，试求概率)2(=Y P .
16. 设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，试求)(21x X x P <<. 如果 （1）5121<<<x x ； （2）2151x x <<<.
17. 设顾客排队等待服务的时间X （以分计）服从5
1=λ的指数分布。
某顾客等待服
务，若超过10分钟，他就离开。
他一个月要去等待服务5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y 的概率分布和)1(≥Y P .
18. 已知随机变量X 的概率分布为2.0)1(==X P ，3.0)2(==X P ，5.0)3(==X P ，试求X 的分布函数；)25.0(≤≤X P ；画出)(x F 的曲线。
19. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤--<=3
31111,1,8.0,
4.0,0)(x x x x x F 试求:（1）X 的概率分布； （2）)1|2(≠<X X P .
20. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设X 为途中遇到红灯的次数，试求（1）X 的概率分布； （2） X 的分布函数。
21. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8所示.
试求X 的分布函数，并画出)(x F 的曲线。
22. 设连续型随机变量X 的分布函数为
⎩⎨
⎧≤>+=-0
0,0,
)(2x x Be A x F x
试求:（1）B A ,的值； （2）)11(<<-X P ； （3）概率密度函数)(x f . 23. 设X 为连续型随机变量，其分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧
>≤≤++<=.
,;1,
ln ;1,)(e x d e x d cx x bx x a x F 试确定)(x F 中的d c b a ,,,的值。
24. 设随机变量X 的概率密度函数为)
1()(2
x a x f +=
π，试确定a 的值并求)(x F 和
)1(<X P .
25. 假设某地在任何长为t (年)的时间间隔内发生地震的次数)(t N 服从参数为
1.0=λ的Poisson(泊松)分布，X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求: （1）证明X 服从指数分布并求出X 的分布函数；
（2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
26. 设)16,1(~-N X ，试计算（1）)44.2(<X P ； （2）)5.1(->X P ；（3）)4(<X P ； （4）)11(>-X P .
27. 某科统考成绩X 近似服从正态分布)10,70(2N ，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
28. 设随机变量X 和Y 均服从正态分布，)4,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，而)4(1-≤=μX P p ，)5(2+≥=μY P p ，试证明 21p p =.
29. 设随机变量X 服从[a,b ]上的均匀分布，令d cX Y +=()0≠c ，试求随机变量Y 的密度函数。