平行四边形判定专项练习30题
平行四边形的判定含答案
平行四边形的判定一．选择题（共15小题）1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．62．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠ABD＝∠CBD 3．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，2）D．（﹣2，2）4．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则△COD的周长是（）A．8B．10C．12D．165．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CDC．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 8．满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等9．下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠CC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C10．从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选取两个，使四边形ABCD成为平行四边形，下面不能说明是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．②④D．①④11．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组邻边相等B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组对边分别平行D．对角线互相垂直12．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C 14．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠DC．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC15．下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个二．解答题（共15小题）16．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AC＝4，AD＝4，求四边形ABCE的面积．19．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．20．如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上AC＝DF，BF＝EC．求证四边形ACDF是平行四边形．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？22．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．23．如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．24．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．25．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．26．如图，AD是△ABC边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连结CE．求证：四边形ADCE是平行四边形．27．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若F A＝FC．求证：四边形ADCE是平行四边形；28．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE ＝BF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形ABCD是平行四边形．29．如图，已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF．求证：（1）△AFB≌△ADC；（2）四边形BCEF是平行四边形．30．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，BE＝FC，连接BD、AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．平行四边形的判定参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（）A．10B．8C．7D．6解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6．故选：D．2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC B．AB＝CD C．AD＝BC D．∠ABD＝∠CBD 解：A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OC，故此选项不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，故此选项不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，故此选项不符合题意；D、当四边形ABCD是菱形时，∠ABD＝∠CBD，故此选项符合题意；故选：D．3．如图，平行四边形OABC的顶点A，B坐标分别为（﹣6，0），（﹣8，2），则点C的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，2）D．（﹣2，2）解：∵A（﹣6，0），∴OA＝6，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝6，∵B（﹣8，2），∴C（﹣2，2），故选：D．4．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则△COD的周长是（）A．8B．10C．12D．16解：∵在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，∴BO＝，∴BD＝10，∴△COD的周长＝OD+OC+CD＝5+3+4＝12，故选：C．5．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD∥BC解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB＝DC，AD∥BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CDC．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB 解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD，∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．8．满足下列条件的四边形，不一定是平行四边形的是（）A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组对边平行且相等D．一组对边平行，另一组对边相等解：A、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴选项C不符合题意；D、∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，∴选项D符合题意；故选：D．9．下列四个选项中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B，∠B＝∠CC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，∠A＝∠C解：A、AB＝CD，AC＝BD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、∠A＝∠B，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、AB＝CD，AD∥BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；故选：D．10．从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD，这四个条件中选取两个，使四边形ABCD成为平行四边形，下面不能说明是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．②④D．①④解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、③④、①③、②④．故选：D．11．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（）A．两组邻边相等B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组对边分别平行D．对角线互相垂直解：A、两组邻边相等的四边形是筝形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形或平行四边形，故本选项不符合题意；C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．12．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D解：A、AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，错误；B、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；C、∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，正确；故选：A．13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．AD∥BC D．∠A＝∠C解：D、当AB∥CD，AD＝BC时，四边形ABCD可能为等腰梯形，所以不能证明四边形ABCD为平行四边形；B、AB∥CD，AB＝DC，一组对边分别平行且相等，可证明四边形ABCD为平行四边形；C、AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行，可证明四边形ABCD为平行四边形；D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故选：A．14．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠B＝∠C；∠A＝∠DC．AB＝CD，CB＝AD D．AB＝AD，CD＝BC解：A、根据AD∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选：C．15．下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个解：①AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；②AB＝CD，AD＝BC；能判定四边形ABCD为平行四边形；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；不能判定四边形ABCD为平行四边形；④AB＝AD，CB＝CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；能判定四边形ABCD为平行四边形的个数有1个，故选：A．二．解答题（共15小题）16．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．（1）证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，又∵AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，∴∠DEC＝∠BF A＝90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，AB＝CD，点E是CD的中点．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AC＝4，AD＝4，求四边形ABCE的面积．（1）证明：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∴AB∥EC，∵点E是CD的中点，∴，∵，∴AB＝EC，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝4，，∴，∵，∴AB＝2，∴S平行四边形ABCE＝AB•AC＝2×4＝8．19．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO，点E、F分别在AO，CO上，且BE∥DF，AE＝CF．求证：四边形ABCD为平行四边形．证明：∵BE∥DF，∴∠BEO＝∠DFO，在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（ASA），∴EO＝FO，∵AE＝CF，∴AE+EO＝CF+FO，即AO＝CO，∵BO＝DO，∴四边形ABCD为平行四边形．20．如图：已知∠B＝∠E＝90°，点B、C、F、E在一条直线上AC＝DF，BF＝EC．求证四边形ACDF是平行四边形．证明：∵BF＝EC，∴BF﹣CF＝EC﹣CF，即BC＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠ACB＝∠DFE，∴∠ACF＝∠DFC，∴AC∥DF，又∵AC＝DF，∴四边形ACDF是平行四边形．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？解：设点P，Q运动的时间为ts．依题意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t，PD＝9﹣t．①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形．即6﹣2t＝t，解得t＝2．②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9﹣t，解得：t＝3．所以经过2或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．22．已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O．∵AE＝DF，AE∥DF．∴四边形AEDF为平行四边形，∴EO＝FO，AO＝DO，又∵AB＝CD，∴AO﹣AB＝DO﹣CD，∴BO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形EBFC是平行四边形．23．如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°；∵将AC绕点E旋转∴ED＝CE，EF＝AE∴△EDC是等边三角形，∴DE＝CD＝CE，∠DCE＝∠EDC＝60°，∴FD＝AC＝BC，∴△ABC、△AEF、△DCE均为等边三角形，∴∠CDE＝∠ABC＝∠EF A＝60°，∴AB∥FD，BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形．24．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∴∠AED＝∠BFC＝90°，∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即：BF＝DE又∵∠1＝∠2，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AD＝BC，又∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．25．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC．连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．解：∵BE＝FC，∴BE+EC＝FC+EC，∴BC＝FE，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SSS），∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，又∵AB＝DF，∴四边形ABDF是平行四边形．26．如图，AD是△ABC边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连结CE．求证：四边形ADCE是平行四边形．证明：∵AD是△ABC边BC上的中线，F是BE的中点，∴BF＝EF，BD＝CD，∴DF∥CE，∴AD∥CE，∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．27．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若F A＝FC．求证：四边形ADCE是平行四边形；证明：∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ECA，在△DAF和△ECF中，∴△DAF≌△ECF（ASA），∴CE＝AD，∴四边形ADCE是平行四边形；28．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE ＝BF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形ABCD是平行四边形．证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFC＝90°，在Rt△DEC和Rt△BFC中，，∴Rt△DEC≌Rt△BFC（HL），∴EC＝AF，∴EC﹣EF＝AF﹣EF即AE＝FC；（2）∵Rt△DEC≌Rt△BFC，∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥DC，又∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．如图，已知△ABC是等边三角形，点D在BC边上，△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交线段AC于点E，连接BF．求证：（1）△AFB≌△ADC；（2）四边形BCEF是平行四边形．证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，∴AF＝AD，AB＝AC，∠F AD＝∠BAC＝60°，又∵∠F AB＝∠F AD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，∴∠F AB＝∠DAC，且AF＝AD，AB＝AC∴△AFB≌△ADC（SAS）；（2）∵△AFB≌△ADC，∴∠ABF＝∠C＝60°．又∵∠BAC＝∠C＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，∴FB∥AC，又∵BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；30．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DF，AC∥DE，BE＝FC，连接BD、AF．求证：四边形ABDF是平行四边形．证明：∵BE＝FC，∴BE+CE＝FC+CE，即BC＝FE，∵AB∥DF，AC∥DE，∴∠ABC＝∠DFE，∠ACB＝∠DEF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴AB＝DF，∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．。
(完整版)平行四边形练习题及答案(DOC)
20.1平行四边形的判断一、选择题1 ．四边形A BCD，从（ 1）AB∥CD；（ 2）AB=CD；（ 3）BC∥AD；（ 4） BC=AD这四个条件中任选两个，此中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A ．3种B．4种C．5种D．6种2．四边形的四条边长分别是a， b， c，d，此中 a，b 为一组对边边长， c，d?为另一组对边边长且知足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）A ．随意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形 D ．对角线垂直的四边形3．以下说法正确的选项是（）A．若一个四边形的一条对角线均分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形B．对角线相互均分的四边形必定是平行四边形C．一组对边相等的四边形是平行四边形D．有两个角相等的四边形是平行四边形二、填空题4 ．在□ ABCD中，点 E， F 分别是线段A D， BC上的两动点，点 E 从点 A 向 D 运动，点F从 C?向 B 运动，点 E 的速度边形．m与点F 的速度n 知足 _______关系时，四边形BFDE为平行四5．如图 1 所示，平行四边形ABCD中， E， F 分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增添一个条件_______，就能够推出BE=DF．图1图26 ．如图 2 所示， AO=OC，BD=16cm，则当 OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．三、解答题7．以下图，四边形 ABCD中，对角线 BD=4，一边长 AB=5，其他各边长用含有未知数 x 的代数式表示，且 AD⊥BD于点 D，BD⊥BC 于点 B．问：四边形 ABCD?是平行四边形吗？为什么？四、思虑题8．以下图，在□ABCD中， E，F 是对角线 AC上的两点，且 AF=CE，?则线段 DE?与 BF的长度相等吗？参照答案一、 1． B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（ 4）或（ 1）（ 2）或（ 3）（4）．故有 4 种选法．2． B 点拨： a2+b 2+c2+d2=2ab+2cd 即（ a-b）2+（ c-d ）2=0，即（ a-b ）2=0 且（ c-d ）2=0．所以 a=b， c=d，即两组对边分别相等，所以四边形为平行四边形．3． B 点拨：娴熟掌握平行四边形的判断定理是解答这种题目的重点．二、 4．相等点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确立．5 ．AE=CF 点拨：此题答案不唯一，只需增添的条件能使四边形EBFD?是平行四边形即可．6． 8 点拨：依据对角线相互均分的四边形为平行四边形来进行鉴别．三、 7．解：以下图，四边形ABCD是平行四边形．原因以下：在 Rt△BCD中，依据勾股定理，得BC2+BD 2=DC 2，即（ x-5 ）2+42=（ x-3 ）2，解得 x=8．所以 AD=11-8=3， BC=x-5=3， DC=x-3=8-3=5 ，所以 AD=BC， AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．点拨：此题主要告诉的是线段的长度，故只需说明AD=BC， AB=DC即可，此题也可在Rt△ABD中求 x 的值．四、 8．解：线段DE与BF 的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF， BE，以下图．在ABCD中， DO=OB， AO=OC，又因为 AF=EC，所以 AF-AO=CE-OC，即 OF=OE，所以四边形 DEBF是平行四边形，所以DE=BF．点拨：此题若用三角形全等，也能够解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．20.2矩形的判断一、选择题1．矩形拥有而一般平行四边形不拥有的性质是（）A．对角相等 B ．对边相等 C ．对角线相等 D ．对角线相互垂直2．以下表达中能判断四边形是矩形的个数是（）①对角线相互均分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线相互均分且相等的四边形．A ． 1B． 2C． 3D． 43．以下命题中，正确的选项是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．三个角是直角的多边形是矩形C．两条对角线相互垂直且相等的四边形是矩形 D ．有三个角是直角的四边形是矩形二、填空题4．如图 1 所示，矩形 ABCD中的两条对角线订交于点O，∠ AOD=120°， AB=4cm，则矩形的对角线的长为 _____．D E CF OA B图 1图 25．若四边形 ABCD的对角线 AC， BD相等，且相互均分于点 O，则四边形 ABCD?是_____ 形，若∠ AOB=60°，那么AB：AC=______．6．如图 2 所示，已知矩形ABCD周长为 24cm，对角线交于点O，OE⊥DC 于点 E，于点 F， OF-OE=2cm，则 AB=______， BC=______．三、解答题7．以下图，□ABCD的四个内角的均分线分别订交于E， F， G，H 两点，试说明四边形 EFGH是矩形．四、思虑题8．以下图，△ABC中， CE， CF分别均分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE于 E，AF⊥CF 于F，直线EF分别交AB， AC于 M， N 两点，则四边形AECF是矩形吗？为何？参照答案一、 1． C点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．2 ．B点拨：③是矩形的判断定理；④中对角线相互均分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判断矩形，应选B．3． D 点拨：选项 D 是矩形的判断定理．二、 4． 8cm5．矩； 1： 2 点拨：利用对角线相互均分来判断此四边形是平行四边形，再依据对角线相等来判断此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且相互均分，?可知△ AOB 是等腰三角形，又因为∠ AOB=60°，所以AB=AO=1AC．26 ． 8cm； 4cm三、 7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠ DAB+∠CBA=180°，又因为∠ HAB= 1∠DAB，∠ HBA=1∠CBA．22所以∠ HAB+∠HBA=90°，所以∠ H=90°．所以四边形EFGH是矩形．点拨：因为“两直线平行，同旁内角的均分线相互垂直”，所以很简单求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．四、 8．解：四边形AECF是矩形．原因：因为CE均分∠ ACB， ?CF?均分∠ ACD， ?所以∠ ACE=1∠ACB，∠ ACF=1∠ACD．所以∠ ECF=1（∠ ACB+∠ACD）=90°．222又因为 AE⊥CE，AF⊥CF， ?所以∠ AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．点拨： ?此题是经过证四边形中三个角为直角得出结论．还能够经过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．20.3菱形的判断一、选择题1．以下四边形中不必定为菱形的是（）A ．对角线相等的平行四边形B．每条对角线均分一组对角的四边形C．对角线相互垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点 A， B， C，D 在同一平面内，从① AB∥CD；② AB=CD；③ AC⊥BD；④ AD=BC；5 个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A ．1种B．2种C．3种D．4种3 ．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和 4 3 cm B．4cm和83 cm C．8cm和83 cm D．4cm和43 cm二、填空题4．如图 1 所示，已知□ABCD，AC，BD订交于点O，?增添一个条件使平行四边形为菱形，增添的条件为 ________．（只写出切合要求的一个即可）图1图25．如图 2 所示， D， E，F 分别是△ ABC 的边 BC， CA，AB 上的点，且 DE∥AB，DF∥CA，要使四边形 AFDE是菱形，则要增添的条件是 ________．（只写出切合要求的一个即可）6 ．菱形 ABCD的周长为48cm，∠ BAD：∠ ABC=1：?2，?则 BD=?_____，?菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中， AB=4， AB 边上的高DE垂直均分边AB，则 BD=_____，AC=_____．三、解答题8．以下图，在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD=BC，四边形 ABCD是菱形吗？ ?说明理由．四、思虑题9．如图，矩形 ABCD的对角线订交于点 O，PD∥AC，PC∥BD， PD，PC订交于点 P，四边形 PCOD是菱形吗？试说明原因．参照答案一、 1． A点拨：此题用清除法作答．2． D 点拨：依据菱形的判断方法判断，注意不要漏解．3． C点拨：以下图，若∠ ABC=60°，则△ ABC为等边三角形，?所以 AC=AB=1×32=8（ cm）， AO=1AC=4cm．42因为 AC⊥BD，在 Rt△AOB中，由勾股定理，得OB=2222AB OA8 4 =43（cm ?），所以 BD=2OB=8 3 cm．二、 4． AB=BC 点拨：还可增添AC⊥BD 或∠ ABD=∠CBD等．5．点 D 在∠ BAC的均分线上（或 AE=AF）26． 12cm； 723 cm点拨：以下图，过 D 作 DE⊥AB 于 E，因为 AD∥BC， ?所以∠ BAD+∠ABC=180°．又因为∠ BAD：∠A BC=1：2，所以∠ BAD=60°，因为 AB=AD，所以△ ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以 AE=6cm．在 Rt△AED 中，由勾股定理，得 AE 2+ED 2=AD 2， 62+ED 2=12 2，所以 ED 2=108 ，所以 ED=6 3 cm，所以S菱形ABCD=12×63=72 3 （cm2）．7． 4；4 3点拨：以下图，因为DE垂直均分 AB，又因为 DA=AB，所以 DA=DB=4．所以△ ABD 是等边三角形，所以∠ BAD=60°，由已知可得AE=2．在 Rt△AED中，2222222?AE +DE=AD，即 2 +DE=4，所以 DE=12，所以 DE=2 3 ，因为1AC·BD=AB·DE，即1AC·4=4×2 3 ，所以AC=4 3 ．22三、 8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中， AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以Y ABCD是菱形．点拨：依据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义能够鉴别该四边形为菱形．四、 9．解：四边形PCOD是菱形．原因以下：因为 PD∥OC，PC∥OD， ?所以四边形P COD是平行四边形．又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．20.4正方形的判断一、选择题1．以下命题正确的选项是（）A．两条对角线相互均分且相等的四边形是菱形B．两条对角线相互均分且垂直的四边形是矩形C．两条对角线相互垂直，均分且相等的四边形是正方形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2．矩形四条内角均分线能围成一个（）A．平行四边形B．矩形C．菱形 D ．正方形二、填空题3．已知点 D， E，F 分别是△ ABC 的边 AB， BC， CA的中点，连结 DE， EF， ?要使四边形ADEF是正方形，还需要增添条件_______．4．如图 1 所示，直线L 过正方形ABCD的极点 B，点 A， C 到直线 L?的距离分别是 1 和2，则正方形ABCD的边长是 _______．图1图2图35．如图 2 所示，四边形 ABCD是正方形，点 E 在 BC的延伸线上， BE=BD且 AB=2cm，则∠E的度数是 ______， BE 的长度为 ____．6．如图 3 所示，正方形 ABCD的边长为 4，E 为 BC上一点， BE=1，F?为 AB?上一点， AF=2，P 为 AC上一动点，则当 PF+PE取最小值时， PF+PE=______．三、解答题7．以下图，在 Rt△ABC中， CF为∠ ACB的均分线， FD⊥AC 于 D，FE⊥BC于点 E，试说明四边形 CDFE是正方形．BEF四、思虑题8．已知以下图，在正方形 ABCD中， E，F 分别是（1） AF 与 DE相等吗？为何？（2） AF 与 DE能否垂直？说明你的原因．C D A AB，BC边上的点，且 AE=BF，?请问：参照答案一、 1． C点拨：对角线相互均分的四边形是平行四边形，?对角线相互垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形必定是正方形，应选 C．2． D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判断．二、 3．△ ABC是等腰直角三角形且∠ BAC=90°点拨：还可增添△ ABC 是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠ BAC=90°且四边形ADEF 是菱形等条件．4．5点拨：察看图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为 2212=5．5． 67. 5°； 2 2 cm点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，所以∠ DBC=45°， AD=?AB=2cm．在 Rt△BAD中，由勾股定理得 AD 2+AB 2=BD 2，即 22+22=BD 2，所以 BD=2 2 cm，所以 BE=BD=2 2（ cm），又因为BE=BD，所以∠ E=∠EDB= 1（180°- 45°）=67. 5°．26．17点拨：以下图，作 F 对于AC的对称点G．连结EG交AC于P，则 PF+?PE=PG+PE=GE为最短．过 E 作 EH⊥AD．在 Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以 GE= 4212 = 17，?即 PF+PE= 17．三、 7．解：因为∠ FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形，因为 CF?均分∠ ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．点拨：此题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，?还能够先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．四、 8．解：（ 1）相等．原因：在△ ADE 与△ BAF 中， AD=AB，∠ DAE=∠ABF=90°， AE=BF，所以△ ADE≌△ BAF（ S． A． S．），所以 DE=AF．（ 2） AF 与 DE垂直．原因：如图，设DE与 AF 订交于点O．因为△ ADE≌△ BAF， ?所以∠ AED=∠BFA．又因为∠ BFA+∠EAF=90°，所以∠ AEO+∠EAO=90°，所以∠ EOA=90°，所以DE⊥AF．20.5等腰梯形的判断1 A C 一、选择题．以下结论中，正确的选项是（．等腰梯形的两个底角相等．一组对边平行的四边形是梯形）BD．两个底角相等的梯形是等腰梯形．两条腰相等的梯形是等腰梯形2．以下图，等腰梯形ABCD的对角线 AC，BD订交于点O，则图中全等三角形有（）A．2对B．3对C．4对D．5对3．课外活动课上， ?老师让同学们制作了一个对角线相互垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和起码为（）A． 30 2 cm B．30cm C．60cm D．60 2 cm二、填空题4．等腰梯形上底，下底和腰分别为 4，?10，?5，?则梯形的高为 _____，?对角线为 ______．5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为 12cm，一个底角为 60°，则它的腰长为____cm，周长为 ______cm．6．在四边形 ABCD中， AD∥BC，但 AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要增添的条件是__________ （填一个正确的条件即可）．三、解答题7．以下图，AD是∠ BAC的均分线， DE∥AB， DE=AC，AD≠EC．求证： ?四边形 ADCE是等腰梯形．四、思虑题8．以下图，四边形ABCD中，有 AB=DC，∠ B=∠C，且AD<BC，四边形 ABCD是等腰梯形吗？为何？参照答案一、 1． D点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，?所以在等腰梯形的性质和鉴别方法中一定重申同一底上的两个内角（?指上底上的两个内角或下底上的两个内角），不然就会出现错误，所以A， B 选项都不正确，而 C 选项中遗漏了限制条件此外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，所以应选D．2． B点拨：因为△ ABC≌△ DCB，△ BAD≌△ CDA，△ AOB≌△ DOC，所以共有 3 对全等的三角形．3． C点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线相互垂直，?所以梯形面积为122L =450，解得 L=30，所以所用竹条长度之和起码为2L=2× 30=60（cm）．二、 4． 4：65点拨：以下图，连结BD，过 A，D 分别作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E， F．易知△ BAE≌△ CDF，在四边形 AEFD为矩形，所以BE=CF=3， AD=EF=4．在 Rt△CDF 中， FC2+DF 2=CD 2，即 32+DF 2=52，所以 DF=4 ，在 Rt △BFD 中， BF2+DF 2=BD 2，即 72+42=BD 2，所以 BD=65 ．5． 7；31点拨：以下图，过点D作 DE∥AB 交 BC于 E．因为ABED是平行四边形．所以 BE=AD=5（cm）， AB=DE．又因为 AB=CD，所以 DE=?DC，又因为∠ C=60°，所以△ DEC 是等边三角形，所以 DE=DC=EC=7（ cm），所以周长为5+?12+7+7=31（cm）．6． AB=CD（或∠ A=∠D，或∠ B=∠C，或 AC=BD，或∠ A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）三、 7．证明：因为 AB∥ED，所以∠ BAD=∠ADE．又因为 AD是∠ BAC的均分线，所以∠ BAD=∠CAD，所以∠ CAD=∠ADE，所以 OA=OD．又因为AC=DE，所以 AC-OA=DE-OD即 OC=OE， ?所以∠ OCE=∠OEC，又因为∠ AOD=∠COE，所以∠ CAD=∠OCE．所以AD∥CE，而 AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．又因为∠ CAD=∠ADE， AD=DA， AC=DE，所以△ DAC≌△ ADE，所以DC=?AE，所以四边形ADCE是等腰梯形．点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形尔后再证两腰相等或同一底上的两个角相等．四、 8．解：四边形ABCD是等腰梯形．原因：延伸BA， CD，订交于点 E，以下图，由∠ B=∠C，可得EB=EC．又 AB=DC，所以 EB-AB=EC-DC，即 AE=DE，所以∠ EAD=∠EDA．因为∠ E+∠EAD+∠EDA=180°，∠ E+∠B+∠C=180°，所以∠ EAD=∠B．故 AD∥BC． ?又 AD<BC，所以四边形 ABCD是梯形．又 AB=DC，所以四边形 ABCD是等腰梯形．点拨：由题意可知，只需推出AD∥BC，再由AD<BC便可知四边形ABCD为梯形，再由AB=DC，即可求得此四边形是等腰梯形，由∠ B=∠C联想到延伸 BA，CD，即可获得等腰三角形，从而使 AD∥BC．华东师大版数学八年级（下）第 20 章平行四边形的判断测试（答卷时间： 90 分钟，全卷满分： 100 分）姓名得分 ____________一、认认真真选，沉稳应战！（每题 3 分，共 30 分）1. 正方形拥有菱形不必定拥有的性质是()（A ）对角线相互垂直（B）对角线相互均分（C）对角线相等（D）对角线均分一组对角2.如图 (1)，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB 、CD 于 E、 F，那么暗影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（）（A ）A 111（ D ）3A5（B ）（ C）1043D E FFEB C D HB C(1)(2)(3)3．在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，那么 A : B : C : D 能够等于（）（ A）4：5：6：3（B）6：5：4：3（C）6：4：5：3（D）3：4：5：64．如图 (2) ，平行四边形ABCD 中，DE ⊥ AB 于 E，DF⊥ BC 于 F，若Y ABCD的周长为48，DE ＝ 5， DF＝ 10，则Y ABCD的面积等于 ()（ A）87.5（B）80（C）75（D）72.55． A 、 B、 C、 D 在同一平面内，从① AB∥CD;② AB=CD;③ BC∥AD;④ BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）（ A）3种（B）4种（C）5种（D）6种6．如图 (3) ，D、E、F分别是VABC各边的中点，AH 是高，假如 ED5cm ，那么 HF的长为（）（ A ） 5cm（B）6cm（C）4cm（D）不可以确立7.如图（ 4）：E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE ＝ BC， P 为 CE 上随意一点， PQ⊥BC 于点 Q， PR⊥ BE 于点 R，则 PQ＋PR 的值是（）2132（ A ）2（B）2（C）2（D）38．如图（ 5），在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB CD ， C 60 ，BD均分ABC ，假如这个梯形的周长为30，则AB的长（）（ A）4（ B）5（C）6（ D）7A DA DERPB C（ 5）B（4）Q C9．右图是一个利用四边形的不稳固性制作的菱形晾衣架．A B C 已知此中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉 A 、 B 之间的距离为20 3 cm，则∠1等于()1）（ A）90°（Ｂ） 60°（Ｃ） 45°（Ｄ） 30°10．某校数学课外活动研究小组，在老师的指引下进一步研究了完整平方公式．联合实数的性质发现以下规律：对于随意正数a、 b，都有 a+b ≥ 2ab 建立．某同学在做一个面积为3600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm．则 x 的值是（）(A) 1202(B) 602(C) 120(D) 60二、仔认真细填，记录自信！( 每题 2 分，共20 分)11．一个四边形四条边按序是a、b、c、d，且a2 b 2 c 2 d 22ac 2bd，则这个四边形是 _______________ ．12．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB CD ；（2） AB∥CD ；（3）OA OC；（4）OB OD ；（5） AC ⊥ BD ；（6） AC 均分 BAD 这六个条件中，选用三个推出四边形ABCD是菱形．如（ 1）（ 2）（ 5）ABCD 是菱形，再写出切合要求的两个：ABCD 是菱形；ABCD 是菱形．13. 如图，已知直线l 把 Y ABCD 分红两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在地点需知足的条件是____________________. （只需填上一个你以为适合的条件）lA DB C(第 13 题)(第 16 题)14.梯形的上底长为 6cm ，过上底的一极点引一腰的平行线，与下底订交，所构成的三角形周长为 21cm ，那么梯形的周长为_________ cm。
专题18.2 平行四边形的判定专练(30道)-解析版
2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【华师大版】专题18.2 平行四边形的判定专练（30道）一、解答题（本卷共30道，总分120分）1．（2024·广东江门·一模）如图，ABCD ，E 、F 分别是边、AB CD 上一点，且AE CF =，直线EF 分别交AC AD 、延长线、CB 延长线于O 、H 、G ．(1)求证：AHO CGO ≌△△．(2)分别连接AG CH 、，试判断AG 与CH 的关系，并证明． 【答案】(1)见解析(2)AG CH ∥，AG CH =，理由见解析【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AH CG ∥，AO CO =，∴,CAH ACG H G ∠=∠∠=∠，∴()AAS AHO CGO ≌；（2）证明：如图，连接AG CH 、，AHO CGO ≌△△，∴AH CG =，AH CG ∥，∴四边形AGCH 是平行四边形，∴AG CH ∥，AG CH =．2．（2024·新疆昌吉·模拟预测）如图，AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线，DE AC BF AC ⊥⊥，，垂足分别是E 、F ．求证：(1)ABF CDE ≌△△(2)四边形DEBF 是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB CD AB CD ∥，，∵BAF DCE ∠=∠，∵DE AC BF AC ⊥⊥，，∵90AFB CED ∠=∠=︒，∵()AAS ABF CDE ≌△△； （2）证明：∵ABF CDE ≌△△， ∵BF DE =，∵DE AC BF AC ⊥⊥，，∵BF DE ，∵四边形DEBF 是平行四边形．3．（八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，F 为AB 上一点，DF 与AC 交于点E ，DE FE =．(1)求证：四边形AFCD 是平行四边形；(2)若CD ==6=12BC CE ，BC AC ⊥，求BF 的长． 在ECD 和△EDC ECD DE FE ∠=∠∠=∠=∵()ECD EAF AAS ≌CD AF =，CD AF ∥，CD AF =四边形AFCD 是平行四边形．（2）解：∵=6BC CE 4．（八年级下·四川成都·期末）如图，在ABCD 中，点E ，F 在对角线AC 上，且AF CE =，连接BE DE BF ，，，DF ．(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若80BAC AB AF DC DF ∠=︒==，，，求EBF ∠的度数．）证明：在ABCD 中，AB CD ，和CDE 中，DCE ，∵SAS ABF CDE ≌（）BF DE DEF =∠=，ED BF ∥，四边形BEDF 是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF BE DF =，5．（八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，在ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AE CF =．(1)求证：四边形DEBF 是平行四边形；(2)若DE 为ADC ∠的角平分线，且6AD =，4EB =，求ABCD 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)32【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB CD ，AB CD =，∵AE CF =，∵BE DF =，且BE DF ，∵四边形DEBF 是平行四边形．（2）解：∵DE 为ADC ∠的角平分线，∵ADE CDE ∠=∠，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB CD ，∵AED CDE ∠=∠，∵ADE AED ∠=∠，∵6AE AD ==，∵4BE =，∵10AB AE BE =+=，∵ABCD 的周长()()2261032AD AB =⨯+=⨯+=．6．（八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，BE DF ∥且分别交对角线AC 于点E 、F ，连接ED 、BF ．(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若DF AC ⊥，12DF =，13DC BF ==，求BC 的长．在ABE 和CDF 中，7．（八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD CB∥，E为BD中点，延长CD到点F，使DF CD=．(1)求证：AE CE=；(2)求证：四边形ABDF为平行四边形；(3)若1CD=，2AF=，2BEC F∠=∠，求四边形ABDF的面积．在ADE 和△DAC AED CEB DEBE ∠=∠∠=∠=∵()AAS ADE CBE ≌AE CE =；（2）由（1）得：AE 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∥，AB CD =8．（八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；(2)若5BD BC==，6CD=，求平行四边形AEBD的面积．在ADF和BEF中，ADF BEFAFD BFEAF BF∠=∠∠=∠=∵ADF∵AASBEF（DF EF=．又∵AF BF=，四边形AEBD是平行四边形．（2）解：如图，过点BCDS=CDDG=四边形9．（2023·辽宁沈阳·一模）如图，已知ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，连接DE 并延长至点F 时，EF AE =，连接AF 、BE 和CF ．(1)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由；(2)若6AB =，2BD DC =，求四边形ABEF 的面积． ∵ABC 是等边三角形，ABC ∠=∠CD CE =，∴DEC 是等边三角形，DEC ∴∠=∠ABC ∴∠=∠AB DF ∴∥EF AE =AEF ∴是等边三角形，60AFD ∴∠=BD AF ∴∥，∴四边形ABDF （2）四边形ABDF2BD DC =AE BD ∴=AGE ∠=AEG ∴∠=12AG ∴=∵EG =110．（2024·山西临汾·一模）如图，在ABC 中，12AB AC ==，8BC =，以点A 为圆心，任意长为半径画弧交AB 于点M ，交AC 于点N ，分别以点M 利N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点H ，作射线AH 交BC 于点D ，延长DB 到点E ，使EB BD =．过点E 作EF EC ⊥交AB 的延长线于点F ，连接AE DF ，．(1)求证：四边形ADFE 是平行四边形；(2)直接写出点E 到DF 的距离．和FBE中，=90FEBFBE︒，∵(ASAABD FBE≌AD FE=，又EF AD∥，四边形ADFE是平行四边形；（2）解：如图，过点∵ABD FBE≌，DEF S =DE EQ =11．（2024·贵州·一模）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 边上一点，且BC DC =，点E 是CD 延长线上一点，且CD DE =，点F 在AB 上，且BD DF =．(1)求证：四边形CBEF 为平行四边形；(2)若5CF CD +=，求四边形CBEF 的周长；(3)过点D 作DG CE 交BE 于点G ，判断BDG ∠和CAD ∠的大小关系并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形CBEF 的周长为10(3)BDG CAD ∠=∠，理由见解析【详解】（1）证明：CD DE =，BD DF =，∴四边形CBEF 是平行四边形；（2）四边形CBEF 是平行四边形，∴CF BE =，BC EF =，5CF CD +=，BC DC =，∴5CF BC +=，平行四边形CBEF 的周长为：()210CF BC BE EF CF BC +++=+=；（3）DG CE ，∴90GDC ∠=︒，即90BDG CDB ∠+∠=︒，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，∴90CAD CBD ∠+∠=︒，BC DC =，∴CDB CBD ∠=∠，∴BDG CAD ∠=∠．12．（八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O E F ，，为BD 上两点，连接AE AF CE CF ，，，，且BF DE =．(1)求证：四边形AECF 为平行四边形；(2)若46AB AC CD AC E F ⊥==，，，，为BD 的三等分点，求OE 的长度．13．（八年级下·全国·随堂练习）如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连结DF 并延长，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．(1)求证：四边形AEBD 是平行四边形；(2)若56BD BC CD ===，，求平行四边形AEBD 的面积．）证明：四边形点ADF DAF AF ∠⎧⎪∠⎨⎪⎩ADF ∴△AD BE ∴=∴四边形14．（八年级上·山东济宁·期末）如图，在ACFD 中，点B ，E 分别在AC ，DF 上，AB FE =，AF 分别交BD ，CE 于点M ，N ．(1)求证：四边形BCED 是平行四边形；(2)已知6DE =，连接BN ，若BN 平分DBC ∠，求CN 的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)6CN =．【详解】（1）证明：∵四边形ACFD 是平行四边形，∵AC DF =，AC DF ∥，∵AB FE =，∵AC AB DF FE -=-，即BC DE =，∵四边形BCED 是平行四边形；（2）解：∵BN 平分DBC ∠，∵DBN CBN =∠∠，由（1）得：四边形BCED 是平行四边形，∵6BC DE ==，EC DB ∥，∵CNB DBN =∠∠，∵CNB CBN ∠=∠，∵6CN BC ==．15．（八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，线段EF 分别交AD AC BC 、、于点E 、O 、F ，∵EF AC ⊥，∵AO CO =．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）爱动脑筋的小明发现： 在本题∵、∵、∵三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形AFCE 是平行四边形的结论依然成立，可以去掉的这个条件是 （直接写出这个条件的序号），并证明四边形AFCE 是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）∵，见解析【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AE CF ，∵EAO FCO ∠=∠，在AOE △和COF 中，EAO FCO OA OCAOE FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵AOE COF △≌△，∵AE CF =，∵四边形AFCE 是平行四边形；（2）在本题∵、∵、∵三个已知条件中，去掉∵条件，四边形AFCE 是平行四边形的结论依然成立，证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AE CF ，∵EAO FCO ∠=∠，在AOE △和COF 中，EAO FCO OA OCAOE FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵AOE COF △≌△，∵AE CF =，∵四边形AFCE 是平行四边形．16．（八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在AC 上，且AE CF =．(1)求证：四边形DEBF 是平行四边形；(2)过点O 作OM BD ⊥，垂足为O ，交DF 于点M ，若BFM 的周长为12，求四边形BEDF 的周长． 【答案】(1)见解析(2)24【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，AE CF =，∴OA AE OC CF -=-，∴OE OF =，又OB OD =，∴四边形DEBF 是平行四边形；（2）解：由（1）知OB OD =，又OM BD ⊥，∴OM 垂直平分BD ，∴MD MB =，BFM 的周长为12，∴12FB FM MB ++=，∴12FB FM MD FB FD ++=+=，四边形DEBF 是平行四边形，∴四边形BEDF 的周长()221224FB FD =+=⨯=．17．（八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边上的点，且ABE CDF ∠=∠．(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)连接CE ，若CE 平分DCB ∠，DF BC ⊥，4DF =，5DE =，求平行四边形ABCD 的周长． ）证明：四边形ABE ∠=(ASA ABE CDF ∴≌AE CF ∴=，AD AE BC CF ∴-=-DE BF ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）四边形BF DE ∴=四边形.AB CD ∴=CE 平分DCE ∠∴DEC ∴∠=DE CD ∴=BF DE ∴=DF BC ⊥CF ∴=BC BF ∴=∴平行四边形18．（八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在四边形ABCD 中，45BAD C ∠=∠=︒，AD BD =，90CBD ∠=︒．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若点P为线段CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP AP⊥交直线BD于点E．∵如图2，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；∵如图3，当点P在线段CD上时，求证：DEDA=．）证明：AD BD=︒，∠=CBD∴∠CBD∴∥AD∠=45C∴∠BDC∴∠BDC∴∥AB CD∴四边形1）知BDC是等腰直角三角形，当点∥AB CD ADC ∴∠ADC ∴∠PAD ∠+∠AOD ∠=PAD ∴∠=PAD ∴(AAS PED ≌AP PE ∴=；证明：过点P 作PFPF CD ⊥DPF ∴∠=DPA ∴∠=四边形C ∴∠=∠AB CD ， 又AD BD =45DAB DBA CDB ∴∠=∠=︒，ADB ∴∠=∠，45PFD ∴∠=PFD PDF ∴∠=∠PD PF =，()ASA ADP EFP ∴≌AD EF ∴=，在Rt FDP 中，PDF ∠DE DF=∴+DA219．（九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，90∠=︒，ADB-向终点C匀速运动，60∠=︒，4AAD．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AB BC=-于点Q，将线段PQ绕着点P逆时针旋转60︒得到线段PE，连结QE，连结PO并延长交折线CD DA设点P的运动时间为t（s）．(1)用含t的代数式表示PB的长．=．(2)当点P在边AB上运动时，求证：AP CQ△内部时，求t的取值范围．(3)当点E在ABD(4)当PQE与BCD△的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出t的值．∠=）解：ADB43．四边形为平行四边形，在ABCD中，AC ∴经过点O ，OA OC =，四边形ABCD 为平行四边形，AB CD ∴∥，QCO PAO ∴∠=∠．在APO △和CQO 中，AOP COQ OA OCOAP OCQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)APO CQO ≌∴，AP CQ ∴=（3）解：∵当点E 与点D 重合时，如图，由题意得：PQE 为等边三角形，60PQE QPE ∴∠=∠=︒，AB CE ∥，60QPB PQE ∴∠=∠=︒，60A QPB ∴∠=∠=︒，AD PQ ∴∥，∴四边形APQD 为平行四边形，4PQ AD ∴==，4DQ PQ AP ∴===，24t ，2t ∴=，∵当点E 落在AB 边上时，如图，由题意得：PQE 为等边三角形，60PEQ ∴∠=︒，AD EQ∥∴四边形EQ AD∴=4PE∴=．AE AP∴=(AAS)DOQ BOP≌∴DQ PB∴=，PB AE∴=，8224t t∴-=-，3t∴=，时，PQE与△QPE∠=PDQ∴∠PD DQ∴⊥AB CD∥DP AB∴⊥12AP∴=22t∴=，则，PQE与△综上，当PQE与△20．（八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE CF=．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)连接BD交AC于点O，若14BD=，AE CF EF+=，求EG的长．在AGE和CHF中，AG CHGAE HCFAE CF=∠=∠=，∵()SAS AGE CHF ≌,GE HF AEG =∠=∠GEF HFE ∠=∠，GE HF ∥，又∵GE HF =，是ABO 的中位线，1722O B =．21．（八年级上·山东济南·期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，AB EC AD +=．(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；(2)若=60B ∠︒，求证：AE CD =；(3)在（2）的条件下，连接AC 、DE ，若80AED ∠=︒，求ACE ∠的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)40ACE ∠=︒．【详解】（1）证明：∵AD BC ∥，∴DAE AEB ∠=∠,又BAE DAE ∠=∠∵，∴BAE AEB ∠=∠,∴AB BE =；AB EC AD +=，∴BE EC AD +=,∴BC AD =，∴四边形ABCD 为平行四边形；（2）证明：60ABE ∠=︒，AB BE =，∴AEB △为等边三角形，∴AB AE =，∵ABCD 中，AB CD =，∴AE CD =，（3）解：∵AEB △为等边三角形，∴18060120AEC ∠=︒-︒=︒，∵ABCD 中，AB CD ∥，∴18060120DCE ∠=︒-︒=︒，∴AEC DCE ∠=∠，又EC EC =，AE CD =，∴()SAS CEA ECD △≌△，∴ACB DEC ∠=∠，∵80AED ∠=︒∴180608040DEC ︒︒︒︒∠=--=∴40ACE ∠=︒．22．（八年级上·吉林·期末）如图，在ABCD 中，BD 为对角线，EF 垂直平分BD 分别交AD 、BC于点E 、F ，交BD 于点O ．(1)试说明：BF DE =；(2)试说明：C ABE DF ≌△△；(3)如果在ABCD 中，5AB =，10AD =，有两动点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，沿BAE 和DFC △各边运动一周，即点P 自B →A →E →B 停止，点Q 自D →F →C →D 停止，点P 运动的路程是m ，点Q 运动的路程是n ，当四边形BPDQ 是平行四边形时，求m 与n 满足的数量关系．（画出示意图） 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)15mn +=【详解】（1）解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，ODE OBF ∴∠=∠，EF 垂直平分BD ，OB OD ∴=，在OBF 和ODE 中，OBF ODE OB ODBOF DOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BOF DOE ∴≌△△（ASA ），BF DE ∴=；（2）解：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，A C ∠=∠，BF DE =，AE CF ∴=，在ABE 和CDF 中，AB CD A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE CDF ∴≌△△(SAS )；（3）解：EF 垂直平分BD ，BF DF ∴=，ABE CDF ≌△△，DF BE ∴=，AE CF =，DFC ∴的周长是DF CF CD ++BF CF CD =++BC CD =+15=，故ABE 的周长也是15，∵当P 在AB 上，Q 在CD 上，AB CD ∥，BPO DQO ∴∠=∠，在BPO △和DQO 中BPO DQO POB DOQ OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPO DQO ∴≌(AAS )，BP DQ ∴=，m n ∴+BP DF CF CQ =+++DF CF CQ DQ =+++DF CF CD =++15=∵当P 在AE 上，Q 在CF 上，AD BC ∥，PEO QFO ∴∠=∠，EOD FOB ≌，OE OF ∴=，在PEO 和QFO 中PEO QFO OE OFEOP FOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， PEO QFO ∴≌(ASA )，PE QF ∴=，AE CF =，CQ AP ∴=，m n +AB AP DF PQ =+++CD CQ DF FQ =+++DF CF CD =++15=；∵当P 在BE 上，Q 在DF 上，AD BC =，AE CF =，DE BF ∴=，DE BF ∥，∴四边形BEDF 是平行四边形，BE DF ∴=，BE DF ∥，PEO QFO ∴∠=∠，在PEO 和QFO △中PEO QFO OE OFEOP FOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， PEO QFO ∴≌(ASA )，PE FQ ∴=，m n ∴+AB AE PE DQ =+++CD CF QF DQ =+++DF CF CD =++15=；综上所述：m 与n 满足的数量关系是15m n +=．23．（2021·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平行四边形ABCD 中，AE CF 、分别平分BAD ∠和BCD ∠，AE 交BC 于点E ，CF 交AD 于点F ．(1)如图1，求证：BE DF =；(2)如图2，连接BD 分别交AE CF 、于点G 、H ，连接AH CG CF EH AH ，，，，与GF 交于点M ，EH 与GC 交于点N ，请直接写出图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD 除外）．在ABE 和CDF 中，B D AB CDBAE DCF ∠=∠=∠=∠， ∵(ASA ABE CDF ≌∵BE DF =；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD BC AD BC =∥，，由（1）得：BAE BCF BE DF ∠=∠=，，∵CE AF =，∵四边形AECF 是平行四边形，∵AE CF AE CF =∥，，∵AD BC ∥，∵ADG CBH ∠=∠，在DAG 和BCH 中，ADG CBH AD CB DAG BCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵()ASA DAG BCH ≌，∵AG CH =，又∵AG CH ∥，∵四边形AGCH 是平行四边形，∵AH CG ∥，∵AE CF =，∵AE AG CF CH -=-，即EG FH =，∵四边形EGFH 是平行四边形，∵EH GF ∥，又∵AH CG ∥，∵四边形MGNH 是平行四边形，∵图中所有的平行四边形（平行四边形ABCD 除外）为平行四边形AECF 、平行四边形AGCH 、平行四边形EGFH 、平行四边形MGNH ．24．（九年级上·北京东城·期末）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到'AP ，连接PP '，BP '．(1)用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明；(2)当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为______；②若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明． 【答案】(1)BP CP '=，详见解析(2)∵60︒；∵2AP PM =【详解】（1）解：BP CP '=，理由如下：ABC 是等边三角形，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒，2360∴∠+∠=︒，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到'AP ，AP AP '∴=，60P PA '∠=︒，1260∴∠+∠=︒，13∠∠∴=，(SAS)ABP ACP '∴≌，BP CP '∴=；（2）解：∵如图，当120BPC ∠=︒时，则8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒，ABP ACP '≌，45∴∠=∠，47P BP '∴∠=∠+∠5608=∠+︒-∠606608=︒-∠+︒-∠120(68)=︒-∠+∠12060=︒-︒60=︒；∵2AP PM =，理由如下：延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，M 为BC 的中点，BM CM ∴=，∴四边形PBNC 为平行四边形，BN CP ∴∥且BN CP =，BN BP '∴=，96∠=∠，又8660∠+∠=︒，8960∴∠+∠=︒，60PBN P BP '∴∠=︒=∠，又BP BP =，P B BN '=，∴(SAS)P BP NBP '≌，2PP PN PM '∴==，又APP '△为正三角形，PP AP '∴=，2AP PM ∴=．25．（八年级上·福建泉州·阶段练习）如图所示四边形ABCD 中，4AB BC CD DA ====，120BAD ∠=︒，AEF △为正三角形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．(1)四边形ABCD______平行四边形（是或不是）(2)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE CF=；(3)当点E、F在BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．AB CD，ADAB CD，AD60︒，DA=，4∵ABC和ACD为等边三角形，∠=︒，AC=∠=︒，46060BAC△是等边三角形，AEFEAF∠=︒，60∠+∠=︒，EAC160∠=∠，13∵(ASA ABE ACF ≌BE CF =；（3）四边形AECF 的面积不变，为定值理由如下：由（2）得ABE ACF ≌，则故AEC ACF AEC ABE ABC AECF S S S S S S =+=+=四边形，是定值，H 点， ，4AB AC ==22AH AB BH =-=26．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，AB CD =，点E 、F 在对角线AC 上，且AE CF =．(1)如图1，求证：DF BE ∥；(2)如图2，延长DF 、BE 分别交BC 、AD 于点P 、N ，连接BF 并延长交CD 于点M ，连接DE 并延长交AB 于Q ，在不添加其它线的条件下，直接写出图中所有的平行四边形．【答案】(1)见详解(2)ABCD 、DEBF 、DNBP 、DQBM【详解】（1）证明：∵ABCD ， ∵DCF BAE ∠=∠，∵AB CD =，AE CF =，∵(SAS)ABE CDF ≌△△，∵CDF ABE ∠=∠，∵CDF DCF BAE ABE ∠+∠=∠+∠即BEF DFE ∠=∠，∵DF BE ∥；（2）图中的平行四边形有：ABCD 、DEBF 、DNBP 、DQBM ，理由如下，∵AB CD ，AB CD =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD BC ∥，由（1）得(SAS)ABE CDF ≌△△∵BE DF =，又DF BE ∥，∵四边形DEBF 是平行四边形；∵DP NB ∥，DE BF ∥，∵AD BC ∥，∵四边形DNBP 是平行四边；∵DE BF ∥，AB CD∵四边形DQBM 是平行四边形，综上所述，图中的平行四边形有：ABCD 、DEBF 、DNBP 、DQBM ．27．（八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，BAD ∠的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．(1)求证：BE CD =；(2)若BF 恰好平分ABE ∠，连接AC 、DE ，求证：四边形ACED 是平行四边形；(3)若BF AE ⊥，60BEA ∠=︒，4AB =，求平行四边形ABCD 的面积．∵ABE 是等边三角形，AB AE ==BF AE ⊥AF EF =在Rt ABF 中，由勾股定理得，DAE AEB =∠ADF ECF ≌△平行四边形ABCD ABE =的面积28．（八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，=90BAC DAE AC AB AD AE AF BE ∠=∠︒==⊥，，，，FA 的延长线交CD 于H ．(1)求证：CAH ABE ∠=∠；(2)求证：点H 是CD 的中点；(3)若12BAE S =△，求ACH S ． 【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析(3)6【详解】（1）证明：∵90BAC ∠=︒，∵90BAF CAH ∠+∠=︒，∵AF BE ⊥，∵90AFB ∠=︒，∵90ABF BAF ∠+∠=︒，∵ABE CAH ∠=∠；（2）证明：过点C 作CG AD ∥交FA 的延长线于点G ，连接DG ， ∵CG AD ∥，∵=180ACG CAD ∠+∠︒，又∵180CAD BAE ∠+∠=︒，∵ACG BAE ∠=∠，由（1）可得，ABE CAH ∠=∠，在ACG 和BAE 中，GAC EBA AC ABACG BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵()ACG BAE ASA ≌，∵CG AE =，又∵AE AD =，∵CG AD =，∵四边形ACGD 是平行四边形，224ACGD BAE SS ==，1122ACD ACGD S S ==点H 是CD 的中点，162ACH ACD S S ==．29．（八年级下·吉林长春·期中）如图，ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE DF =，连接EF 交BD 于O ．(1)连接BF 、DE ，判断四边形DEBF 的形状并说明理由．(2)若6AE =，2BE =，BOF 的面积为2，求ABCD 的面积．(3)若BD AD ⊥，45A ∠=︒，EF AB ⊥，延长EF 交AD 的延长线于G ，当1FG =时，则AB 的长为______． 【答案】(1)四边形DEBF 是平行四边形，理由见解析；(2)16；(3)4；【详解】（1）解：四边形DEBF 是平行四边形； 证明：由题意，在ABCD 中，DF EB ∥，∵BE DF =，∵四边形DEBF 是平行四边形；（2）解：∵四边形DEBF 是平行四边形，2DOE BOF SS ==，4DBE EFBS S ==，6AE =，2BE =82ADEEDBSAB S EB ===ADB S=∵ABCD 的面积为16ADB S =（3）解：∵，90ADB ∠=45A ∠=︒，DBA ∠=∠EF AB ⊥，∵ODG 是等腰直角三角形，AB CD ，EF DF OG ⊥，OF FG =，DFG 是等腰直角三角形，四边形DEBF 是平行四边形，OE OF =，BE DF =1OE =，∵DFG 是等腰直角三角形，DF FG =GE OE =AE GE =AB AE =30．（八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，AB AD ⊥，AB AD =，AC AE ⊥，AC AE =．(1)如图1，BAC ∠、ADE ∠、AED ∠之间的数量关系为______；(2)如图2，点F 为DE 的中点，连接AF ．∵求证：2BC AF =．∵判断BC 与AF 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)BAC ADE AED ∠=∠+∠(2)∵见详解；∵BC AF ⊥，理由见详解【详解】（1）解：∵AB AD ⊥，AC AE ⊥，∵90BAD CAE ∠=∠=︒，，故90BDA ABD ∠+∠=︒，90ECA AEC ∠+∠=︒，在四边形BCED 中，360180180ADE AED ABC ACB ∠+∠+∠+∠=︒-︒=︒， 故()180ADE AED ABC ACB ∠+∠=︒-∠+∠，∵在三角形ABC 中，()180ABC ABC ACB ∠=︒-∠+∠，∵BAC ADE AED ∠=∠+∠，所以BAC ∠、ADE ∠、AED ∠之间的数量关系为BAC ADE AED ∠=∠+∠； （2）解：∵延长AF 至点P ，使PF AF =，连接DP ，EP ，如图所示：∵点F 为DE 的中点，∵DF EF =，∵PF AF =，∵四边形AEPD 是平行四边形，∵DP AE =，AED PDE ∠=∠，则ADP ADE PDE ∠=∠+∠，由（1）知，BAC ADE AED ∠=∠+∠，故ADP BAC ∠=∠，∵AC AE =，∵PD AC =，∵AD AB =，∵ABC DAP ≌∵BC AP =， ∵2AP AF =， 即2BC AF =； ∵BC AF ⊥，理由如下： 延长FA 交BC 于点N ，如图所示：∵AB AD ⊥，AC AE ⊥， ∵90BAD CAE ∠=∠=︒， ∵90BAN DAF ∠+∠=︒， 由∵知ABC DAP ≌， ∵ABN DAF ∠=∠， ∵90BAN ABN ∠+∠=︒ ∵在ABN 中，()18090ANB BAN ABN ∠=︒-∠+∠=︒， 即BC AF ⊥．。
(完整版)平行四边形的性质判定练习题
第一部分 平行四边形的性质练习题 例题1、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,求各边长。
变题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________. 变题2.四边形ABCD 是平行四边形，∠BAC=90°,AB=3,AC=4,求AD 的长。
例题2.平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°,求平行四边形各内角的度数。
变题3.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=_________,∠B_________. 变题4.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAC=34°, ∠ACB=26°，求∠DAC 与∠D 的度数。
例题3.如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AD,CF ⊥BA 交BA 的延长线于F ，∠FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,求平行四边形ABCD 的周长。
变题5.如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______,∠D=_______,∠A=______,∠C=_______.2、平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2：3，则AB=_______,BC=________.3、平行四边形得周长为50cm ，两邻边之差为5cm,则长边是________ ，短边是__________.4、平行四边形ABCD 中，∠A-∠B=20°, 则∠A=_______ ∠B=________5、.平行四边形ABCD 中，AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=____,∠B_____.6、平行四边形 ABCD 中，∠A+∠C=200°.则：∠A= _______，∠B= _________ .7、如图，平行四边形ABCD 的周长为50，其中AB=15，∠ABC=60°，求平行四边形面积。
平行四边形的判定练习题(含答案)
平行四边形的判定练习题(含答案)（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交AD．于点N，求证：MN∥AD且MN=1213．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F 分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•（BC-AC）．试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF．212．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12AC．同理，GH//12AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形．16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．=cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。
平行四边形的判定常考题(含详细解析)
一、选择题<共14小题）1、<2003•广西）如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是< ）A、5B、10C、15D、202、在四边形ABCD中，AB∥CD，若ABCD不是梯形，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为< ）A、2：3：6：7B、3：4：5：6C、3：5：7：9D、4：5：4：53、<2006•佛山）如图，平面上两颗不同高度、笔直的小树，同一时刻在太阳光线照射下形成的影子分别是AB、DC，则< ）b5E2RGbCAPA、四边形ABCD是平行四边形B、四边形ABCD是梯形C、线段AB与线段CD相交D、以上三个选项均有可能4、<2005•柳州）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是< ）A、AB=CD，AD=BCB、AB=CD，AB∥CDC、AB=CD，AD∥BCD、AB∥CD，AD∥BC5、<2004•聊城）如图，有两块全等的含30°角的三角板拼成形状不同的平行四边形，最多可以拼成< ）p1EanqFDPwA、1个B、2个C、3个D、4个6、<2002•山西）A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD这四个中任选两个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有< ）DXDiTa9E3dA、6种B、5种C、4种D、3种7、<1998•内江）能判定四边形是平行四边形的条件是< ）A、一组对边平行，另一组对边相等B、一组对边相等，一组邻角相等C、一组对边平行，一组邻角相等D、一组对边平行，一组对角相等8、已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下四种说法正确的是< ）RTCrpUDGiT①如果再加上条件BC=AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件∠BAD=∠BCD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件AO=CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件∠DBA=∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形．A、①②B、①③④C、②③D、②③④9、已知四边形ABCD的对角线相交于O，给出下列5个条件①AB∥CD；②AD∥BC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB．从以上4个条件中任选2个条件为一组，能推出四边形ABCD为平行四边形的有< ）5PCzVD7HxAA、6组B、5组C、4组D、3组10、在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有jLBHrnAILg< ）A、3B、4C、5D、611、四边形ABCD中，AD∥BC，当满足下列< ）条件时，四边形ABCD是平行四边形．A、∠A+∠C=180°B、∠B+∠D=180°C、∠A+∠B=180°D、∠A+∠D=180°12、以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作< ）A、4个B、3个C、2个D、1个13、在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是< ）A、AB=BC，CD=DAB、AB∥CD，AD=BCC、AB∥CD，∠A=∠CD、∠A=∠B，∠C=∠D14、下列哪组条件能判别四边形ABCD是平行四边形< ）A、AB∥CD，AD=BCB、AB=CD，AD=BCC、∠A=∠B，∠C=∠DD、AB=AD，CB=CD二、填空题<共4小题）15、<2018•常德）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是_________．<添加一个条件即可，不添加其它的点和线）．xHAQX74J0X16、<2009•郴州）如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，再添加一个条件_________ <写出一个即可），则四边形ABCD是平行四边形．<图形中不再添加辅助线）LDAYtRyKfE17、如图，△ABC、△ACE、△ECD都是等边三角形，则图中的平行四边形有哪些_________ _________ ．Zzz6ZB2Ltk18、把边长为3，5，7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成_________ 种不同的四边形，其中有_________ 个平行四边形．dvzfvkwMI1三、解答题<共8小题）19、<2018•贵阳）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．rqyn14ZNXI求证：<1）△AFD≌△CEB；<2）四边形ABCD是平行四边形．20、<2018•本溪）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：EmxvxOtOco<1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；<2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．SixE2yXPq521、<2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．6ewMyirQFL求证：四边形ABCD是平行四边形．22、<2004•万州区）已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于，若MA=MC，求证：CD=AN．kavU42VRUs23、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．<1）求证：△BDE≌△CDF；<2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．24、如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF=DC，连接AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形．y6v3ALoS8925、<2006•泰安）已知：如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．M2ub6vSTnP<1）BC与⊙O是否相切？请说明理由；<2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．26、<2007•南宁）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE．0YujCfmUCw<1）请指出图中哪些线段与线段CF相等；<2）试判断四边形DBCF是怎样的四边形，证明你的结论．答案与评分标准一、选择题<共14小题）1、<2003•广西）如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是< ）eUts8ZQVRdA、5B、10C、15D、20考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定。
平行四边形判定专项练习30题
平行四边形的判定专项练习30题（有答案）求证：四边形ABCD 为平行四边形.I __ D ZX73 .已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点0,现给出四个条件： ①0A=0C ;②AB=CD ;③/BAD= ZDCB ;④AD //BC •请你从中选择两个，推出四边形ABCD 为平行四边形，并写出你的推理过程.（1 ）从以上4个条件中任意选取 2个条件，能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有（用序号表示） __________________ . （2 ）从（1 ）中选出一种情况，写出你的推理过程.4 .如图，已知：点 B 、E 、F 、D 在一条直线上，DF=BE , AE=CF .请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添 加到已知条件中，使四边形 ABCD 是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：2 .如图，四边形 ABCD 中，/ BAC=90,AB=11 ABCD 是平行四边形.-x , BC=5 , CD=x - 5 , AD=x - 3, AC=4.AD //BC , ED //BF , AF=CE ，求证:①AB=DC :② BC=AD ;③/AED= /CFB .5 .如图，在？ ABCD中，AC交BD于点0,点E,点F分别是OA , OC的中点，请判断线段BE,7 .如图，已知BE丄AD , CF丄AD，且BE=CF .求证：(1 ) AD是△ABC的中线；(2)请连接BF、CE,试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.DF的位置关6.如图所示, 以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形厶ABD、ABCE、△XCF ,猜想: 四边形ADEFA8 .如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O, E、F是BD上的两点，且/ AEB= /CFD .求证：四边形AECF是平行四边形.9 .如图：在四边形ABCD 中，AD //BC, AB=CD , E 是BC 上一点，DE=AB .10 .如图，已知AB //DC, E是BC的中点，AE , DC的延长线交于点F;(1 )求证：△ ABE 也£CE;11 .等边△ ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD=BE ，以AD 为边作等边△ ADF ，如图.求证：四边形 CDFE 是平行四边形.足为F ,连结DF . 求证：(1 )MBC 也△AF ; (2)四边形ADFE 是平行四边形.别从A 、C 同时出发，点 P 以2cm/秒的速度由A 向D 运动，点Q 以3cm/秒的速度由C 向B 运动.12 •如图，分别以 Rt △ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD 、等边△ ABE .若/BAC=30,EF 丄 AB ，垂13 .已知：如图，在△ ABC 中，中线BE , CD 交于点O , F , G 分别是OB , OC 的中点.求证：四边形 DFGE 是平14 •如图所示：在四边形ABCD 中，AD //BC 、BC=18cm , CD=15cm , AD=10cm , AB=12cm ，动点P 、Q 分行四边形.实用标准文案(1 )几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长PDCQ的周长.15 •求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.16 .△ABC中，中线BE、CF相交于0 , M是BO的中点，N是CO的中点, 求证：四边形MNEF是平行四边形.17 .如图，AD=DB , AE=EC , FG //AB, AG //BC.(1 )证明：△ AGE ^/CFE;(2)说明四边形ABFG是平行四边形;(3)研究图中的线段DE, BF, FC之间有怎样的位置关系和数量关系.18 .如图，△ ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F,且BF=DC，连接EF、EB.(1 )求证：△ ABE 也△CD ;19 .已知在△ ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE ,图中有几个平行四边形? 请说明你的理由.20 .如图，在△ ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,连接BF. 求证：四边形AFBD是平行四边形.21 .如图：在四边形ABCD中，AD //BC, E是BC的中点，BC=2AD .找出图中所有的平行四边形，并选择一个22 •求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.23 .已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD , AE //DF , AE=DF .求证：四边形 EBFC 是平行四边形.24 .如图，在△ ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在 AD 及其延长线上，CE//BF ,连接BE 、CF .形BFCE 是平行四边形吗？为什么?25 .已知点E 、F 、G 、H 分别为四边形 ABCD 四边的中点，试问四边形 EFGH 的形状并说明理由.26 .如图，已知四边形 ABCD 中AD=BC ，点A 、B 、E 在同一条直线上，且/ B= /EAD ，试说明四边形平行四边形.图中的四边ABCD 是28 .已知：△ ABC 的中线BD 、CE 交于点O , F 、G 分别是OB 、OC 的中点.求证：四边形 29 .如图，△ ACD 、MBE>ABCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形.当 AB 丰AC 时，求证: 边形.30 .已知：在四边形 ABCD 中，AD //BC ,且 AB=DC=5 , AC=4 , BC=3 .求证：四边形ABCD 为平行四边形.ABCD 是平行四边形.DEFG 是平行四边形.四边形 ADFE 为平行四平行四边形的判定30题参考答案：1.TAD //BC,•••/DAE= ZBCF,TED //BF,•••/DEF= ZBFE,•••厶ED= ZCFB,又T AF=CE ,•••AE=CF ,在△ADE和ACBF中：T/DAE= ZBCF,ZAED= ZCFB,AE=CF ,.•.念DE 也zCBF (AAS ),•••AD=CB ,即：AD //CB , AD=CB ,•四边形ABCD是平行四边形，2.T/BAC=90° , AB=11 - x , BC=5 , AC=4 . •••(11 - x) 2+4 2=5 2,解得：x i =8 , X2=14 > 11 (舍去)，当x=8 时，BC=AD=5 , AB=CD=3 ,•四边形ABCD为平行四边形.3. (1 )解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；(2 )以①④为例进行证明.如图，在四边形ABCD中，OA=OC , AD //BC .证明：T AD //BC, •••/DAO= ZBCO .•••在△KOD 与△COB 中，r ZDA0-ZBC0{DA=0CZAOD-ZDOB (对顶角相等)•••ZAOD 也ZCOB (ASA ),•••AD=BC ,•••在四边形ABCD中，AD二BC, •四边形ABCD为平行四边形.4.选择①，VDF=BE , AE=CF, AB=CD ,•ZABE也/CDF ( sss),•ZABE= /CDF ,•••AB //CD,又TAB=CD ,•四边形ABCD是平行四边形.5. BE=DF , BE //DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC , OB=OD ,因为E, F分别是OA, OC的中点，所以OE=OF ,36 •四边形ADEF是平行四边形.连接ED、EF,•••念BD 'ABCE'^ACF分别是等边三角形, •••AB=BD，BC=BE，/DBA= /EBC=60 °•••/DBE= /ABC ••••念BC 也QBE.同理可证厶ABC也/EEC,•••AB=EF , AC=DE .VAB=AD , AC=AF ,•••AD=EF , DE=AF .•••/BED= ZCFD .VZBDE= /CDF , BE=CF ,•••/BED也EFD .•••BD=CD .•••AD是EABC的中线.(2)四边形BECF是平行四边形,由(1)得：BD=CD , ED=FD .•四边形BECF是平行四边形8 •四边形ABCD是矩形•••AB //CD , AB=CD , •••/ABE= /CDF ,又v/AEB= ZCFD , /•ZABE也EDF ,•••BE=DF ,又•••四边形ABCD是矩形，•••OA=OC , OB=OD , •••OB - BE=OD - DF , •••OE=OF ,•四边形AECF是平行四边形9.TAD //BC, AB=CD , •四边形ABCD是等腰梯形，•••/B= ZC ,VDE=AB ,•••DE=CD ,•ZDEC= ZC ,•ZDEC= ZB ,•••AB //DE,•四边形ABED是平行四边形.10. (1 )证明：T AB //DC, •/= Z , ZFCE= ZEBA , •••E为BC中点，•••CE=BE, 所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF , BE//DFT在ZABE 和AFCE 中，Z1= Z , ZFCE= ZEBA , CE=BE ,(2)四边形ABFC是平行四边形;理由：由(1 )知：AABE^△CE,•••EF=AE ,VCE=BE,•四边形ABFC是平行四边形11 •连接BF,•••念DF和AABC是等边三角形，/FAD=60 • /FAD -Z EAD= /CAB -ZEAD , •••/FAB= /CAD , 在AFAB和ADAC中；AF=AD彳ZFAB=ZCAD ,I AB=AC• △AB BAAC (SAS), •••BF=DC , ZABF= ZACD=60 VBE=CD ,•••BF=BE ,•ZBFE是等边三角形,•••ZACD BABE ( SAS),•••AD=CE=DF ,VEF=CD ,•四边形CDFE是平行四边形.5 D C12• (1 )vAABE为等边三角形，EF±AB ,•••EF 为ZBEA 的平分线，Z AEB=60 °,AE=AB , •••ZFEA=30。
八年级数学平行四边形30道经典题(含答案和解析)
八年级数学平行四边形30道经典题（含答案和解析）1.如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）．A.1B.2C.3D.4答案：B.解析：∵平行四边形ABCD，AE平分∠BAD交BC于点E.∴∠BAE＝∠EAD,∠EAD＝∠AEB.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝3.∴EC＝2.所以答案为B．考点：三角形——全等三角形——角平分线的性质定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AB的长为（）．A.13B.14C.15D.16答案：D解析：∵平行四边形ABCD，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.∴四边形ABEF为平行四边形.∴∠FAB＋∠ABE＝180°，∠FAE＝∠EAB，∠ABF＝∠FBE. ∴∠BAE＋∠ABF＝90°，AE⊥BF.∴四边形ABEF为菱形.设AE，BF交点为点O，则点O平分线段AE，BF.在△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，(12AE)2+(12BF)2=AB2.∵BF＝12，AB＝10.解得AE＝16.所以答案为D．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.四边形——菱形——菱形的判定.3.如图，已知平行四边形纸片ABCD的周长为20，将纸片沿某条直线折叠，使点D与点B重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接BE，则△ABE的周长为．答案：10.解析：依题可知，翻折轴对称BE＝DE,△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝10．考点：四边形——平行四边形.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.4.下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（）．A. AB∥CD，AD∥BCB. AB＝CD，AD∥BCC. AB∥CD，AB＝CDD. ∠A＝∠C，∠B＝∠D答案：B.解析：如图：A选项，∵AB∥CD，AD∥BC .∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.B选项，根据AB＝CD和AD∥BC 可以是等腰梯形，错误，故本选项正确.C选项，∵AB∥CD，AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.D选项，∵∠A＝∠C，∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误.故选B．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.5.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点C.（2）分别以A，C为圆心，以BC，AB的长为半径作弧，两弧相交于点D.（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线. 解析：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.尺规作图——过一点作已知直线的平行线.6.如图所示，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC，CF＝√3．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）求AB的长．答案：（1）证明见解析．（2）AB＝√3.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD.∴四边形ABDE是平行四边形．（2）由（1）知，AB＝DE＝CD．即D为CE中点．∵EF⊥BC.∴∠EFC＝90°．∵AB∥CD.∴∠DCF＝∠ABC＝60°．∴∠CEF＝30°．∴CE＝2CF＝2√3.∴AB＝CD＝√3．考点：三角形——直角三角形——含30°角的直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.7.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，沿直线AE翻折△ABE，使B点落在点F处，连结CF并延长交AD于G点．（1）依题意补全图形．（2）连接BF 交AE 于点O ，判断四边形AECG 的形状并证明．（3）若BC ＝10，AB ＝203，求CF 的长．答案：（1）画图见解析． （2）四边形AECG 是平行四边形，证明见解析．（3）CF ＝6．解析：（1）依题意补全图形，如图：（2）依翻折的性质可知，点O 是BF 中点.∵E 是BC 边的中点. ∴EO ∥CG. ∵AG ∥CE.∴四边形AECG 是平行四边形．（3）在Rt △ABE 中.∵BE ＝12BC ＝5，AB ＝203.∴AE ＝253.∵S △BAE ＝12AB×BE ＝12AE×BO.∴BO ＝4. ∴BF ＝2BO ＝8. ∵BF ⊥AE ，AE ∥CG. ∴∠BFC ＝90°. ∴CF ＝6．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.几何变换——图形的对称——作图：轴对称变换.8.如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB为（）．A.20B.15C.10D.5答案：D.解析：∵平行四边形的周长为40.∴AB＋BC＝20.又∵△BOC的周长比△AOB的周长多10.∴BC－AB＝10.解得：AB＝5，BC＝15．故答案为：D．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质.9.如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′和B C′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为．答案：25.8解析：由折叠得，∠CBD＝∠EBD.由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB.∴∠EDB＝∠EBD.∴DE＝BE.设DE＝BE＝x，则AE＝4－x.在Rt△ABE中.AE2+AB2=BE2.(4−x)2+32=x2..解得x＝258∴DE的长为25．8考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.10.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E，点F在BC上，BF＝BO，且AE＝6，AD＝8．（1）求BF的长．（2）求四边形OFCD的面积．答案:（1）BF＝5．．（2）S四边形OFCD＝332解析：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴∠BAD＝90°.∴∠EAD＝180°－∠BAD＝90°.∵在Rt△EAD中，AE＝6，AD＝8.∴DE＝√AE2+AD2=10.∵DE∥AC，AB∥CD.∴四边形ACDE 是平行四边形． ∴AC ＝DE ＝6．在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°. ∵OA ＝OC. ∴BO ＝12AC ＝5．∵BF ＝BO. ∴BF ＝5． （2）取BC 中点为O.∴BG ＝CG.∵四边形ABCD 是矩形.∴OB ＝OD ，∠BCD ＝90°，CD ⊥BC ． ∴OG 是△BCD 的中位线． ∴OG ∥CD ．由（1）知，四边形ACDE 是平行四边形，AE ＝6. ∴CD ＝AE ＝6． ∴OG ＝12CD ＝3．∵AD ＝8. ∴BC ＝AD ＝8．∴S △BCD ＝12BC×CD ＝24，S △BOF ＝12BF×OG ＝152． ∴S 四边形OFCD ＝S △BCD －S △BOF ＝332．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——勾股定理.四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定. 矩形——矩形的性质. 四边形基础——四边形面积.11. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，延长CD 到点F ，使DF ＝CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF ．（1）求证：四边形ACEF是矩形．（2）求四边形ACEF的周长．答案：（1）证明见解析．（2）四边形ACEF的周长为：2＋2√3．解析：（1）∵DE＝AD，DF＝CD.∴四边形ACEF是平行四边形.∵四边形ABCD为菱形.∴AD＝CD.∴AE＝CF.∴四边形ACEF是矩形．（2）∵△ACD是等边三角形.∴AC＝1.∴EF＝AC＝1.过点D作DG⊥AF于点G，则AG＝FG＝AD×cos30°=√3.2∴AF＝CE＝2AG＝√3.∴四边形ACEF的周长为：AC＋CE＋EF＋AF＝1＋√3＋1＋√3＝2＋2√3．考点：三角形——等腰三角形——等边三角形的判定.锐角三角函数——解直角三角形.四边形——平行四边形——平行四边形的判定.矩形——矩形的判定.菱形——菱形的性质.四边形基础——四边形周长.12.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC,OD的中点，连接EF，FM，MN，NE．（1）依题意，补全图形． （2）求证：四边形EFMN 是矩形．（3）连接DM ，若DM ⊥AC 于点M ，ON ＝3，求矩形ABCD 的面积．答案：（1）答案见解析． （2）证明见解析．（3）36√3．解析：（1）（2）∵点 E ，F 分别为OA ，OB 的中点.∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ．同理，NM ∥DC ，NM ＝12DC ．∵四边形ABCD 是矩形. ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ，AC ＝BD. ∴EF ∥NM ，EF ＝NM.∴四边形EFMN 是平行四边形．∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点. ∴OE ＝12OA ，OM ＝12OC ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD.∴EM ＝OE ＋OM ＝12AC ． 同理可证FN ＝12BD ． ∴EM ＝FN ．∴四边形EFMN 是矩形．（3）∵DM ⊥AC 于点M.由（2）可知，OM ＝12OC. ∴OD ＝CD ． 在矩形ABCD 中.OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD. ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD. ∴△COD 是等边三角形. ∴∠ODC ＝60°. ∵NM ∥DC.∴∠FNM ＝∠ODC ＝60°. 在矩形EFMN 中，∠FMN ＝90°. ∴∠NFM ＝90°－∠FNM ＝30°. ∵ON ＝3.∴FN ＝2ON ＝6，FM ＝3√3，MN ＝3. ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点. ∴BC ＝2FM ＝6√3.∴矩形ABCD 的面积为BC×CD ＝36√3.考点：直线、射线、线段——直线、射线、线段的基本概念——线段中点、等分点.三角形——三角形基础——三角形中位线定理. 直角三角形——含30°角的直角三角形——勾股定理. 四边形——矩形——矩形的性质——矩形的判定.13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(-3，0) ，(2，0)，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是 ．答案：（5,4）.解析：由题意及菱形性质，得：AO＝3，AD＝AB＝DC＝5.根据勾股定理，得DO＝√AD2−AO2=√52−32=4.∴点C的坐标是（5,4）.考点：三角形——直角三角形——勾股定理的应用.四边形——菱形——菱形的性质.14.如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BFDE是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为（）．√3A. 2√3B.3√3C. 6√3D.92答案：B.解析：∵四边形ABCD是矩形.∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3．∵四边形BEDF是菱形.∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF，ED＝BE＝BF.∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF．∵EF＝AE＋FC，EO＝FO.∴AE＝EO＝CF＝FO.∴△ABE≌△OBE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO.∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°.∴在Rt△BCD中，BD＝2DC＝6.∴BC＝√BD2−DC2=3√3．考点：三角形——直角三角形——勾股定理.四边形——矩形——矩形的性质.菱形——菱形的性质.15.如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM 是菱形．则小米的依据是．答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．解析：根据平行四边形定义可知，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；根据菱形的定义可知对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的判定.菱形——菱形的判定.16.在数学课上，老师提出如下问题：如图1：将锐角三角形纸片ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2:（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D．（2）c点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠得到菱形的依据是．答案：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）.解析：如图，连接DF、DE.根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF.则四边形DECF恰为菱形．考点：四边形——菱形——菱形的判定.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）.17.如图，在平行四边形ABCD中，点E，M分别在边AB，CD上，且AE＝CM．点F，N分别在边BC，AD上，且DN＝BF．（1）求证：△AEN≌△CMF．（2）连接EM，FN，若EM⊥FN，求证：四边形EFMN是菱形．答案：（1）证明见解析．（2）证明见解析．解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，∠A＝∠C.∵ND＝BF.∴AD－ND＝BC－BF.即AN＝CF.在△AEN和△CMF中.{AN=CM ∠A=∠C AN=CF.∴△AEN ≌△CMF．（2）由（1）△AEN ≌△CMF．∴EN＝FM.同理可证：△EBF ≌△MDB．∴EF＝MN.∵EN＝FM，EF＝MN.∴四边形EFMN是平行四边形.∵EM⊥FN.∴四边形EFMN是菱形．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的判定.四边形——平行四边形——平行四边形的性质.菱形——菱形的判定.18.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，分别过点A，C作AE∥DC和CE∥AB，两线交于点E．（1）求证：四边形AECD是菱形．（2）若∠B＝60°，BC＝2，求四边形AECD的面积．答案：（1）证明见解析．（2）S菱形AECD＝2√3．解析：（1）∵AE∥DC，CE∥AB.∴四边形AECD是平行四边形.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.∴CD＝AD．∴四边形AECD是菱形．（2）连结DE．∵∠ACB＝90°，∠B＝60°.∴∠BAC＝30°.∴AB＝4，AC＝2√3．∵四边形AECD是菱形.∴EC＝AD＝DB.又∵CE∥DB.∴四边形ECBD是平行四边形. ∴ED＝CB＝2.∴S菱形AECD＝AC×ED2=2√3×22＝2√3．考点：四边形——平行四边形——平行四边形的性质——平行四边形的判定.菱形——菱形的性质——菱形的判定.四边形基础——四边形面积.19.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE＋PF的最小值等于．答案：√2.解析：∵线段AC是正方形ABCD的对角线.∴F对线段AC的对称点永远落在线段DC上.如图所示，做F对线段AC的对称点于F’，连接EF’，EF’的长就是PE＋PF的值.根据两平行线的距离定义，从一条平行线上的任意一点到另外一条直线做垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．∴PE＋PF的最小值等于垂线段EH的长度.根据平行线间的距离处处相等，可知EH＝AD.∵正方形ABCD的面积是2.∴AD＝EH＝√2.所以答案为√2.考点：几何变换——图形的对称——轴对称与几何最值.20.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上，四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（）．A. S＝2B. S＝2.4C. S＝4D. S随BE长度的变化而变化答案：A.解析：法一：∵AC∥BF.∴S△AFC＝S△ABC＝2.法二：∵S△AFC＝S正方形ABCD＋S正方形EFGB＋S△AEF－S△FGC－S△ADC.∴设正方形EFGB的边长为a.∴S△AFC＝2×2+a2+12a(2−a)−12(2+a)a−12×2×2.＝4+a2+a−12a2−a−12a2−2.＝2．考点：三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——正方形.21.将正方形A的一个顶点与正方形的对角线交点重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的18，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的．（几分之几）答案：12.解析：在图1中，∠GBF ＋∠DBF ＝∠CBD ＋∠DBF ＝90°.∴∠GBF ＝∠CBD ，∠BGF ＝∠CDB ＝45°，BD ＝BG. ∴ △FBG ≌△CBD.∴阴影部分的面积等于△DGB 的面积，且是小正方形的面积的14，是大正方形面积的18．设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y. 则有14X 2=18y 2. ∴y =√2x ．同上，在图2中，阴影部分的面积是大正方形的面积的14，为14y 2=12x 2.∴阴影部分的面积是正方形B 面积的12．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.四边形——正方形——正方形的性质.22. 如图，正方形 的对角线交于O ，OE ⊥AB ，EF ⊥OB ，FG ⊥EB ．若△BGF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为 ．答案：32.解析：∵两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.且OE ⊥AB 于点E ，EF ⊥OB 于点F ，FG ⊥EB 于点G. ∴E 为AB 的中点，F 为BO 的中点，G 为EB 的中点. ∴AB ＝EB ＝EO ＝12AB ，EF ＝BF ＝FO ，GF ＝BG ＝EG ＝12EB .∴BGAB =14.∴S△BGFS△BAD =(BGAB)2=116.∴S△BAD＝16.∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝32．故答案为32．考点：三角形——相似三角形——相似三角形的性质.四边形——正方形——正方形的性质.23.在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积．答案：（1）证明见解析．（2）1+12√14．解析：（1）如图1，延长EB交DG于点H.∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形.∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE.∴△ABC≌△ABE(SAS).∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE.∵△ADG中，∠AGD＋∠ADG＝90°.∴∠AEB＋∠ADG＝90°.∴△DEH中，∠AEB＋∠ADG＋∠DHE＝180°.∴∠DHE＝90°.∴DG⊥BE．（2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M.∴∠AMD＝∠AMG＝90°.∵BD是正方形ABCD的对角线.∴∠MDA＝45°.在Rt△AMD中.∵∠MDA＝45°，AD＝2.∴AM＝DM＝√2．在Rt△AMG中.∵AM2+GM2=AG2.∴GM=√7.∵DG=DM+GM=√2+√7.∴S△ADG=12×DG×AM=12×(√2+√7)×√2=1+12√14．考点：三角形——全等三角形——全等三角形的性质——全等三角形的判定.直角三角形——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.24.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°.若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．答案：32.解析：∵DE 为△ABC 的中位线.∴DE ＝12BC =4，点D 是线段AB 的中点. 又∵∠AFB ＝90°. ∴DF =12AB =52. ∴EF =DE −DF =32.所以答案为32.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.25. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为（ ）．A. 14B. 12C. 24D.48 答案：B解析：∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点．∴EF =HG =12AC ＝4，FG =EH =12BD ＝3，EF ∥HG ，FG ∥EH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC⊥BD.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积为3×4＝12．考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.四边形——矩形——矩形的判定.四边形基础——四边形面积.26.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝6cm，则EF＝cm ．答案：6.解析：由题意，得：EFAB ＝12.在Rt△ABC中，D是AB的中点.∴CD＝EF＝12AB.又∵CD＝6.∴EF＝CD＝6cm.考点：三角形——三角形基础——三角形中位线定理.直角三角形——直角三角形斜边上的中线.27.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点.那么CH的长是．答案：√5.解析：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°.延长AD交EF于M，连接AC、CF.则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－AB＝3－1＝2.∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形.∴∠ACD＝∠GCF＝45°.∴∠ACF＝90°.∵H为AF的中点.AF.∴CH＝12在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=√AM2+FM2=√42+22=2√5.∴CH＝√5.故答案为：√5.考点：三角形——直角三角形——直角三角形斜边上的中线——勾股定理.四边形——正方形——正方形的性质.28.用两个全等的直角三角形无缝隙不重叠地拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④等腰三角形；⑤等边三角形.一定能够拼成的图形是（填序号）．答案：①④.解析：由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不一定能拼成菱形和正方形．由于等边三角形三个角均为60°，而直角三角形不一定含60°角，故个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形．两个全等的直角三角形一定能拼成矩形和等腰三角形，如图．考点：三角形——等腰三角形——等腰三角形的判定——等边三角形的判定.四边形——矩形——矩形的判定.菱形——菱形的判定——正方形——正方形的判定.29. 边长为a 的菱形是由边长为a 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h ，则称ah 为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ． （2）如图，A 、B 、C 为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为98）中的格点，则△ABC 的面积为 ．答案：（1）1:3.（2）12. 解析：（1）如图所示．∵“形变度”为3. ∴ah ＝3，即h ＝13a .∴一个“形变度”为3的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为aℎa 2=ℎa =13． （2）在正方形网格中，△ABC 的面积为：6×6−12×3×3－12×3×6−12×3×6=272.由（1）可得，在菱形网格中，△ABC的面积为89×272=12．考点：式——探究规律——定义新运算.三角形——三角形基础——三角形面积及等积变换.四边形——菱形——菱形的性质.30.有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.求证：___________________________．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：．（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明：如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．答案：（1）求证：∠B＝∠D．证明见解析．（2）筝形的两条对角线互相垂直.（3）不成立．解析：（1）求证：∠B ＝∠D ．已知：如图，筝形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ．求证：∠B ＝∠D ． 证明：连接AC ，如图． 在△ABC 和△ADC 中.{AB =AD CB =CD AC =AC.∴△ABC ≌△ADC ． ∴∠B ＝∠D ．（2）筝形的其他性质．①筝形的两条对角线互相垂直． ②筝形的一条对角线平分一组对角． ③筝形是轴对称图形．（3）不成立．反例如图2所示．在平行四边形ABCD 中，AB≠AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ．由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC ＝∠ADC ，AC 平分BD ，但该四边形不是筝形．考点：四边形——平行四边形.。
(完整版)平行四边形的性质习题(有答案)
平行四边形的性质测试题一、选择题（每题 3 分共 30 分）1．下边的性质中，平行四边形不必定具备的是（）A．对角互补B．邻角互补C．对角相等D．内角和为 360°2．在中，∠ A：∠ B：∠ C：∠ D 的值能够是（）A ．1：2：3：4B ．1：2：1：2C ．1：1：2：2 D．1： 2：2：13．平行四边形的对角线和它的边能够构成全等三角形（）A．3对B．4 对 C ．5对D． 6 对A D 4．以下图，在中，对角线 AC、BD交于点 O，?以下式子中一O 定建立的是（）B CA．AC⊥ BD B ． OA=OC C． AC=BD D ．AO=OD5．以下图，在中， AD=5，AB=3，AE均分∠ BAD交BC A D边于点 E，则线段 BE、 EC的长度分别为（）BE C A ．2和3 B．3和2 C ．4和1 D ．1和46．的两条对角线订交于点 O，已知 AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是 18cm，那么△ AOD的周长是（）A ．14cmB ．15cmC ．16cmD ．17cm7．平行四边形的一边等于14，它的对角线可能的取值是（）A ．8cm和 16cmB ．10cm和 16cmC ． 12cm和 16cmD ． 20cm和 22cm 8．如图，在中，以下各式不必定正确的选项是（）A．∠ 1+∠ 2=180° B ．∠ 2+∠ 3=180C．∠ 3+∠ 4=180°D．∠ 2+∠4=180°9．如图，在中，∠ ACD=70°，AE⊥ BD于点E，则∠ ABE等于（）A、20°B、25° C 、 30° D 、35°10．如图，在△ MBN中， BM=6，点 A、C、D 分别在 MB、NB、MN上，四边形 ABCD为平行四边形，∠NDC=∠ MDA，那么的周长是（）二、填空题（每题 3 分共 18 分）11．在中，∠ A：∠ B=4：5，则∠ C=______．12．在中， AB：BC=1：2，周长为 18cm，则 AB=______cm，AD=_______cm．13．在中，∠A=30°，则∠ B=______，∠C=______，∠D=________．14．如图，已知：点 O是的对角线的交点， ?AC=?48mm，?BD=18mm，AD=16mm，那么△ OBC的周长等于 _______mm．15．如图，在中，E、F是对角线BD上两点，要使△ ADF≌△ CBE，还需增添一个条件是 ________．16．如图，在中，EF∥ AD，MN∥ AB，那么图中共有_______?个平行四边形．三、解答题17．已知：如图，在中，E、F是对角线AC?上的两点，AE=CF．BE与DF的大小有什么关系，并说明原因。
1--(正式)平行四边形的判断题
平行四边形的判断题
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（√）
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（√）
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（√）
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（√）
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（√）
6、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
（X）
7、一组对边平行，对角线的交点平分一条对角线的四边形是平行四边形。
（√）
*8、一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。
（X ）
9、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
（√）
10、一组对边相等，对角线的交点平分一条对角线的四边形是平行四边形。
（X）
*11、一组对角相等，连接这组对角顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。
（√）
12、一组对角相等，连接这组对角顶点的对角线被另一条对角线的平分四边形是平行四边形。
（X ）
13、如是一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形是平行四边形。
（√）
14、有两组邻角互补的四边形是平行四边形。
（X ）
15、任意四边形的中点四边形是平行四边形。
（√）
16、矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点是矩形，正方形的中点四边形是正方形。
（√）。
平行四边形专题证明题33道-含答案
图1 平行四边形专题练习1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm ．2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．3.若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 是菱形．4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝5．以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为 .6．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB ＝PD ＝2那么AP 的长为 ．7．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5)，B(－3，－1)，C(1，－1)，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是 ．二、选择题（每题3分，共30分）8．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( )A ．110°B ．30°C ．50°D ．70°图2 图3 图49．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )A ．对角相等B ．四边相等C ．对角线互相平分D ．四角相等10．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm11．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．3E AF D C B H G12．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( )A．①③⑤B．②③⑤C．①②③D．①③④⑤13．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm)，则该主板的周长是( )A．88 mm B．96 mm C．80 mm D．84 mm图5 图614、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=，∠=（）则AEFA．110° B．115°C．120° D．130°15、四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）AB∥CD BC∥AD AB=CD BC=ADA.2组B.3组C.4组D.6组16、下列说法错误的是（）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题17、如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm ,BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长。
平行四边形的判定练习题(含答案)
平行四边形的【2 】剖断及中位线知能点1 平行四边形的剖断办法1．可以或许剖断四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．A．AB∥CD,AD=BC B．∠A=∠B,∠C=∠DC．AB=CD,AD=BC D．AB=AD,CB=CD2．具备下列前提的四边形中,不能肯定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补 B．两组对角分离相等C．一组对边平行,另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点3．如下左图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD订交于点O,下列断定准确的是（）．A．若AO=OC,则ABCD是平行四边形;B．若AC=BD,则ABCD是平行四边形;C．若AO=BO,CO=DO,则ABCD是平行四边形;D．若AO=OC,BO=OD,则ABCD是平行四边形4．如上右图所示,对四边形ABCD是平行四边形的下列断定,准确的打“∨”,错误的打“×”．（1）因为AD∥BC,AB=CD,所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD,AD=BC,所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC,AD=BC,所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD,AD∥BC,所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD,AD=BC,所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD,AB=AC,所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,须要增长前提________．6．如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,E,F为对角线AC上的点,且AE=CF,求证：BE=DF．8．如图所示,D为△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,且AE=CE,FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,在AB的延伸线上截取BE=•AB,BF=BD,衔接CE,DF,订交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示,在四边形ABCD中,DC∥AB,以AD,AC为边作□ACED,延伸DC•交EB于F,求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示,已知E为□ABCD中DC边的延伸线上的一点,且CE=DC,衔接AE,分离交BC,BD于点F,G,衔接AC交BD于点O,衔接OF,求证：AB=2OF．12．如图所示,在ABCD中,EF∥AB且交BC于点E,交AD于点F,衔接AE,BF•交于点M,衔接CF,DE交于点N,求证：MN∥AD且MN=12 AD．13．如图所示,DE是△ABC的中位线,BC=8,则DE=_______．14．如图所示,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OE∥BC交CD•于E,•若OE=3cm,则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm15．如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分离是AB,BC,CD,AD的中点,•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示,在△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F分离是AB,BC,CA的中点,求△DEF的面积．纪律办法运用17．如图所示,A,B两点被池塘离隔,在A,B外选一点C,衔接AC和BC,•并分离找出AC和BC的中点M,N,假如测得MN=20m,那么A,B两点间的距离是若干？18．如图所示,在□ABCD中,AB=2AD,∠A=60°,E,F分离为AB,CD的中点,EF=1cm,那么对角线BD的长度是若干？你是如何得到的？19．如图所示,在△ABC中,E为AB的中点,CD等分∠ACB,AD⊥CD于点D．•试解释：（1）DE∥BC．（2）DE=12（BC-AC）．凋谢摸索创新20．如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE等分∠ABC交AD•于E,EF∥BC交AC于F,那么AE 与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD•为平行四边形,则应添加的前提是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示,已知E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点,•则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示,在ABCD中,E,F分离是AB,CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）× 5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2,∴AD∥BC．又∵∠3=∠4,∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证实：∵AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE,∴△ABE≌△CDF（SAS）,∴BE=EF．8．证实：∵FC∥AB,∴∠DAC=∠ACF,∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE,∴△ADE≌△CFE（AAS）,∴DE=EF．∵AE=CE,∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证实：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB,∴BE//DC,∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF,∴∠CDF=∠F．同理,∠BDM=∠DMC．∵BD=BF,∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD,∴CD=CM．10．证实：过点B作BG∥AD,交DC的延伸线于G,衔接EG．∵DC∥AB,∴ABGD是平行四边形,∴BG// AD．在□ACED中,AD//CE,∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形,∴EF=FB．11．证实：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AD=BC．∵CE=CD,∴AB//CE,∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC,∴OF//12AB,即AB=2OF．12．证实：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC．又∵EF∥AB,∴EF∥CD．∴四边形ABEF,ECDF均为平行四边形．又∵M,N分离为ABEF和ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点,N为DE的中点,即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12 AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形,衔接AC,在△ABC中,∵EF是中位线,∴EF//12 AC．同理,GH//12 AC．∴EF//GH,∴四边形EFGH为平行四边形． 16．解：∵EF,DE,DF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,DE=12AC,DF=12BC．又∵AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,∴EF=5cm,DE=3cm,DF=4cm,而32+42=25=52,即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF=12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M,N分离是AC,BC的中点．∴MN是△ABC的中位线,∴MN=12 AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A,B两点间的距离是40m．18．解：衔接DE．∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB//CD．∵DF=12CD,AE=12AB,∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD,∴AB=2cm．∵AB=2AD,∴AB=2AE,∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°,∠1+∠4+∠A=180°,∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形,∴DE=AE．∵AE=BE,∴DE=BE,∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3,∠1=60°,∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．222221AB AD-=-3cm）． 19．解：延伸AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD,∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD等分∠ACB,∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中,∠ADC=∠FDC,DC=DC,∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD,∴AC=FC,AD=DF．又∵E为AB的中点,∴DE∥BF,即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC,DE=12 BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．来由：过E作EG∥CF交BC于G,∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠ABC+∠C=90°,∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD,∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2,BE=BE,∴△ABE≌△GBE（AAS）,∴AE=GE．∵EF∥BC,EG∥CF,∴四边形EGCF是平行四边形,∴GE=CF,∴AE=CF．21．答案不独一,如AB=CD或AD∥BC．22．1 223．解：（1）在□ABCD中,AD=CB,AB=CD,∠D=∠B．∵E,F分离为AB,CD的中点,∴DF=12CD,BE=12AB,∴DF=BE,∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中,AB=CD,AB∥CD．由（1）得BE=DF,∴AE=CE,∴四边形AECF是平行四边形．第11页，－共11页。
平行四边形性质和判定综合习题精选30题(内含答案)
平行四边形性质和判定综合习题精选30例一．解答题（共30小题）1．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．（2011•昭通）如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．（2011•铜仁地区）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．（2011•泸州）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．（2010•恩施州）如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．7．（2009•永州）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．（2009•来宾）在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．（2006•黄冈）如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．10．（2006•巴中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？11．（2002•三明）如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．12．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．求证：EF和GH互相平分．14．如图：▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长．19．（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．20．（2010•滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？21．（2008•佛山）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．23．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．24．（2006•大连）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．25．（2005•贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_________组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．27．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，，求平行四边形ABCD的面积．29．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣3，），B（﹣2，3），C（2，3），点D在第一象限．（1）求D点的坐标；（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。
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20.1平行四边形的判定一、选择题1 ．四边形ABCD，从（ 1）AB∥CD；（ 2）AB=CD；（ 3）BC∥AD；（ 4） BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A ． 3 种B．4种C．5种D．6种2．四边形的四条边长分别是a， b， c，d，其中 a，b 为一组对边边长， c，d?为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（）A ．任意四边形B．平行四边形C．对角线相等的四边形 D ．对角线垂直的四边形3．下列说法正确的是（）A．若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形B．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形C．一组对边相等的四边形是平行四边形D．有两个角相等的四边形是平行四边形二、填空题4 ．在□ ABCD中，点 E， F 分别是线段A D， BC上的两动点，点 E 从点 A 向 D 运动，点 F从 C?向 B 运动，点 E 的速度边形．m与点F 的速度n 满足 _______关系时，四边形BFDE为平行四5．如图 1 所示，平行四边形ABCD中， E， F 分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_______，就可以推出BE=DF．图 1图 26 ．如图 2 所示， AO=OC，BD=16cm，则当 OB=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．三、解答题7．如图所示，四边形 ABCD中，对角线 BD=4，一边长 AB=5，其余各边长用含有未知数 x的代数式表示，且 AD⊥BD于点 D，BD⊥BC 于点 B．问：四边形 ABCD?是平行四边形吗？为什么？四、思考题8．如图所示，在□ABCD中， E，F 是对角线 AC上的两点，且 AF=CE，?则线段 DE?与 BF的长度相等吗？参考答案一、 1． B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（ 4）或（ 1）（ 2）或（ 3）（4）．故有 4 种选法．2． B 点拨： a2+b 2+c2+d2=2ab+2cd 即（ a-b）2+（ c-d ）2=0，即（ a-b ）2=0 且（ c-d ）2=0．所以 a=b， c=d，即两组对边分别相等，所以四边形为平行四边形．3． B 点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键．二、 4．相等点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定．5 ．AE=CF 点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD?是平行四边形即可．6． 8 点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别．三、 7．解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形．理由如下：在 Rt△BCD 中，根据勾股定理，得BC2+BD 2=DC 2，即（ x-5 ）2+42=（ x-3 ）2，解得 x=8．所以 AD=11-8=3， BC=x-5=3， DC=x-3=8-3=5 ，所以 AD=BC， AB=DC．所以四边形ABCD是平行四边形．点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC， AB=DC即可，本题也可在Rt△ABD中求 x 的值．四、 8．解：线段DE与BF 的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF， BE，如图所示．在ABCD中， DO=OB， AO=OC，又因为 AF=EC，所以 AF-AO=CE-OC，即 OF=OE，所以四边形 DEBF是平行四边形，所以DE=BF．点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用．20.2 矩形的判定一、选择题1 ．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直2 ．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43．下列命题中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形二、填空题4．如图 1 所示，矩形 ABCD中的两条对角线相交于点O，∠ AOD=120°， AB=4cm，则矩形的对角线的长为 _____．D E CF OA B图 1 图 25．若四边形 ABCD的对角线 AC， BD相等，且互相平分于点 O，则四边形 ABCD?是_____ 形，若∠ AOB=60°，那么AB：AC=______．6．如图 2 所示，已知矩形ABCD周长为 24cm，对角线交于点O，OE⊥DC 于点 E，于点 F， OF-OE=2cm，则 AB=______， BC=______．三、解答题7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E， F， G，H 两点，试说明四边形EFGH是矩形．四、思考题8．如图所示，△ABC 中， CE， CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE⊥CE 于 E，AF⊥CF 于F，直线EF分别交AB， AC于 M， N 两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？参考答案一、 1． C点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．2 ．B点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．3． D 点拨：选项 D 是矩形的判定定理．二、 4． 8cm5．矩； 1： 2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，?可知△ AOB 是等腰三角形，又因为∠ AOB=60°，所以AB=AO=1AC．26 ． 8cm； 4cm三、 7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠ DAB+∠CBA=180°，又因为∠ HAB= 1∠DAB，∠ HBA=1∠CBA．2 2所以∠ HAB+∠HBA=90°，所以∠ H=90°．所以四边形EFGH是矩形．点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．四、 8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为CE平分∠ ACB， ?CF?平分∠ ACD， ?所以∠ ACE=1∠ACB，∠ ACF=1∠ACD．所以∠ ECF=1（∠ ACB+∠ACD）=90°．22 2又因为 AE⊥CE，AF⊥CF， ?所以∠ AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．点拨： ?本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．20.3菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A ．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点 A， B， C，D 在同一平面内，从① AB∥CD；② AB=CD；③ AC⊥BD；④ AD=BC；5 个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A ． 1 种B．2种C．3种D．4种3 ．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和 4 3 cm B．4cm和83 cm C．8cm和83 cm D．4cm和43 cm二、填空题4．如图 1 所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为 ________．（只写出符合要求的一个即可）图 1图 25．如图 2 所示， D， E，F 分别是△ ABC 的边 BC， CA，AB 上的点，且 DE∥AB，DF∥CA，要使四边形 AFDE是菱形，则要增加的条件是 ________．（只写出符合要求的一个即可）6 ．菱形 ABCD的周长为48cm，∠ BAD：∠ ABC=1：?2，?则 BD=?_____，?菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中， AB=4， AB 边上的高DE垂直平分边AB，则 BD=_____，AC=_____．三、解答题8．如图所示，在四边形ABCD中， AB∥CD， AB=CD=BC，四边形 ABCD是菱形吗？ ?说明理由．四、思考题9．如图，矩形 ABCD的对角线相交于点 O，PD∥AC，PC∥BD， PD，PC相交于点 P，四边形 PCOD是菱形吗？试说明理由．参考答案一、 1． A点拨：本题用排除法作答．2． D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解．3． C点拨：如图所示，若∠ ABC=60°，则△ABC为等边三角形，?所以 AC=AB=1×32=8（ cm）， AO=1AC=4cm．4 2因为 AC⊥BD，在 Rt△AOB中，由勾股定理，得OB= 2 2 2 2AB OA 8 4 =43 （cm ? ），所以 BD=2OB=8 3 cm．二、 4． AB=BC 点拨：还可添加AC⊥BD 或∠ ABD=∠CBD等．5．点 D 在∠ BAC的平分线上（或 AE=AF）26． 12cm； 723 cm点拨：如图所示，过 D 作 DE⊥AB 于 E，因为 AD∥BC， ?所以∠ BAD+∠ABC=180°．又因为∠ BAD：∠A BC=1：2，所以∠ BAD=60°，因为 AB=AD，所以△ ABD 是等边三角形，所以BD=AD=12cm．所以 AE=6cm．在Rt△AED 中，由勾股定理，得 AE 2+ED 2=AD 2， 62+ED 2=12 2，所以 ED 2=108 ，所以 ED=6 3 cm，所以S菱形ABCD=12×63=72 3 （cm2）．7． 4；4 3 点拨：如图所示，因为DE垂直平分 AB，又因为 DA=AB，所以 DA=DB=4．所以△ ABD 是等边三角形，所以∠ BAD=60°，由已知可得AE=2．在 Rt△AED中，2 2 2 2 2 2 2?AE +DE=AD，即 2 +DE=4 ，所以 DE=12，所以 DE=2 3 ，因为1AC·BD=AB·DE，即1AC·4=4×2 3 ，所以AC=4 3 ．2 2三、 8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中， AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以Y ABCD是菱形．点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形．四、 9．解：四边形PCOD是菱形．理由如下：因为 PD∥OC，PC∥OD， ?所以四边形P COD是平行四边形．又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形．20.4正方形的判定一、选择题1．下列命题正确的是（）A．两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形B．两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2．矩形四条内角平分线能围成一个（）A．平行四边形B．矩形C．菱形 D ．正方形二、填空题3．已知点 D， E，F 分别是△ ABC 的边 AB， BC， CA的中点，连结 DE， EF， ?要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_______．4．如图 1 所示，直线L 过正方形ABCD的顶点 B，点 A， C 到直线 L?的距离分别是 1 和2，则正方形ABCD的边长是 _______．图 1图2图 35．如图 2 所示，四边形 ABCD是正方形，点 E 在 BC的延长线上， BE=BD且 AB=2cm，则∠E的度数是 ______， BE 的长度为 ____．6．如图 3 所示，正方形 ABCD的边长为 4，E 为 BC上一点， BE=1，F?为 AB?上一点，AF=2， P 为 AC上一动点，则当 PF+PE取最小值时， PF+PE=______．三、解答题7．如图所示，在 Rt△ABC中， CF为∠ ACB的平分线， FD⊥AC 于 D，FE⊥BC于点 E，试说明四边形 CDFE是正方形．BEF四、思考题8．已知如图所示，在正方形 ABCD中， E，F 分别是（1） AF 与 DE相等吗？为什么？（2） AF 与 DE是否垂直？说明你的理由．C D A AB，BC边上的点，且 AE=BF，?请问：参考答案一、 1． C点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，?对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选 C．2． D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定．二、 3．△ ABC是等腰直角三角形且∠ BAC=90°点拨：还可添加△ ABC 是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或∠ BAC=90°且四边形ADEF 是菱形等条件．4．5点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为 22 12 = 5．5． 67. 5°； 2 2 cm点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，所以∠ DBC=45°， AD=?AB=2cm．在Rt△BAD中，由勾股定理得 AD 2+AB 2=BD 2，即 22+22=BD 2，所以 BD=2 2 cm，所以 BE=BD=2 2（ cm），又因为BE=BD，所以∠ E=∠EDB= 1（180°- 45°）=67. 5°．26．17 点拨：如图所示，作 F 关于AC的对称点G．连结EG交AC于P，则PF+?PE=PG+PE=GE为最短．过 E 作 EH⊥AD．在Rt△GHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以 GE= 4212 = 17，?即 PF+PE= 17．三、 7．解：因为∠ FDC=∠FEC=∠BCD=90°，所以四边形CDFE是矩形，因为 CF?平分∠ ACB，FE⊥BC，FD⊥AC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形．点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，?还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90°．四、 8．解：（ 1）相等．理由：在△ ADE 与△ BAF 中， AD=AB，∠ DAE=∠ABF=90°， AE=BF，所以△ ADE≌△ BAF（ S． A． S．），所以 DE=AF．（ 2） AF 与 DE垂直．理由：如图，设DE与 AF 相交于点O．因为△ ADE≌△ BAF， ?所以∠ AED=∠BFA．又因为∠ BFA+∠EAF=90°，所以∠ AEO+∠EAO=90°，所以∠ EOA=90°，所以DE⊥AF．20.5等腰梯形的判定1 A C 一、选择题．下列结论中，正确的是（．等腰梯形的两个底角相等．一组对边平行的四边形是梯形）BD．两个底角相等的梯形是等腰梯形．两条腰相等的梯形是等腰梯形2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有（）A． 2 对B．3对C．4对D．5对3．课外活动课上， ?老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）A ． 30 2 cm B．30cm C．60cm D．60 2 cm二、填空题4．等腰梯形上底，下底和腰分别为 4，?10，?5，?则梯形的高为 _____，?对角线为 ______．5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为 12cm，一个底角为 60°，则它的腰长为____cm，周长为 ______cm．6．在四边形 ABCD中， AD∥BC，但 AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________ （填一个正确的条件即可）．三、解答题7．如图所示，AD是∠ BAC的平分线， DE∥AB， DE=AC，AD≠EC．求证： ?四边形 ADCE是等腰梯形．四、思考题8．如图所示，四边形ABCD中，有 AB=DC，∠ B=∠C，且AD<BC，四边形 ABCD是等腰梯形吗？为什么？参考答案一、 1． D点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，?因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（?指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A， B 选项都不正确，而 C 选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D．2． B点拨：因为△ ABC≌△DCB，△ BAD≌△CDA，△ AOB≌△DOC，所以共有 3 对全等的三角形．3． C点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，?所以梯形面积为122L =450，解得 L=30，所以所用竹条长度之和至少为2L=2× 30=60（cm）．二、 4． 4：65点拨：如图所示，连结BD，过 A，D 分别作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E， F．易知△ BAE≌△ CDF，在四边形 AEFD为矩形，所以BE=CF=3， AD=EF=4．在Rt△CDF 中， FC2+DF 2=CD 2，即 32+DF 2=52，所以 DF=4 ，在 Rt △BFD 中， BF2+DF 2=BD 2，即 72+42=BD 2，所以 BD=65 ．5． 7；31点拨：如图所示，过点D作 DE∥AB 交 BC于 E．因为ABED是平行四边形．所以 BE=AD=5（cm）， AB=DE．又因为 AB=CD，所以 DE=?DC，又因为∠ C=60°，所以△ DEC 是等边三角形，所以 DE=DC=EC=7（ cm），所以周长为5+?12+7+7=31（cm）．6． AB=CD（或∠ A=∠D，或∠ B=∠C，或 AC=BD，或∠ A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）三、 7．证明：因为 AB∥ED，所以∠ BAD=∠ADE．又因为 AD是∠ BAC的平分线，所以∠ BAD=∠CAD，所以∠ CAD=∠ADE，所以 OA=OD．又因为AC=DE，所以 AC-OA=DE-OD即 OC=OE， ?所以∠ OCE=∠OEC，又因为∠ AOD=∠COE，所以∠ CAD=∠OCE．所以AD∥CE，而 AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．又因为∠ CAD=∠ADE， AD=DA， AC=DE，所以△ DAC≌△ ADE，所以DC=?AE，所以四边形ADCE是等腰梯形．点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等．四、 8．解：四边形ABCD是等腰梯形．理由：延长BA， CD，相交于点 E，如图所示，由∠ B=∠C，可得EB=EC．又AB=DC，所以 EB-AB=EC-DC，即 AE=DE，所以∠ EAD=∠EDA．因为∠ E+∠EAD+∠EDA=180°，∠ E+∠B+∠C=180°，所以∠ EAD=∠B．故 AD∥BC． ?又 AD<BC，所以四边形 ABCD是梯形．又AB=DC，所以四边形 ABCD是等腰梯形．点拨：由题意可知，只要推出 AD∥BC，再由 AD<BC就可知四边形 ABCD为梯形，再由AB=DC，即可求得此四边形是等腰梯形，由∠ B=∠C联想到延长 BA，CD，即可得到等腰三角形，从而使AD∥BC．华东师大版数学八年级（下）第 20 章平行四边形的判定测试（答卷时间： 90 分钟，全卷满分： 100 分）姓名得分 ____________一、认认真真选，沉着应战！（每小题 3 分，共 30 分）1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是()（A ）对角线互相垂直（B）对角线互相平分（C）对角线相等（D）对角线平分一组对角2.如图 (1)，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB 、CD 于 E、 F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（）（A ）A 1 1 1（ D ）3A5（B ）（ C）104 3D E FFEB C D HB C(1)(2)(3)3．在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，那么 A : B : C : D 可以等于（）（ A ）4：5：6：3（B）6：5：4：3（C）6：4：5：3（D）3：4：5：64．如图 (2) ，平行四边形ABCD 中，DE ⊥ AB 于 E，DF⊥ BC 于 F，若Y ABCD的周长为48，DE ＝ 5， DF＝ 10，则Y ABCD的面积等于 ()（ A ）87.5（B）80（C）75（D）72.55． A 、 B、 C、 D 在同一平面内，从① AB∥CD;② AB=CD;③ BC∥AD;④ BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）（ A ）3种（B）4种（C）5种（D）6种6．如图 (3) ，D、E、F分别是VABC各边的中点，AH 是高，如果 ED5cm ，那么 HF的长为（）（ A ） 5cm（B）6cm（C）4cm（D）不能确定7.如图（ 4）：E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE ＝ BC， P 为 CE 上任意一点， PQ⊥BC 于点 Q， PR⊥ BE 于点 R，则 PQ＋PR 的值是（）2 13 2（ A ）2 （ B）2 （ C）2 （ D）38．如图（ 5），在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB CD ， C 60 ， BD 平分ABC ，如果这个梯形的周长为30，则AB的长（）（ A ）4 （ B ）5 （ C ）6 （ D ）7A DA DERPB C（ 5）B（ 4）Q C9．右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．A B C 已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉 A 、 B 之间的距离为20 3 cm，则∠1等于()1）（ A ） 90°（Ｂ） 60°（Ｃ） 45°（Ｄ） 30°10．某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、 b，都有 a+b ≥ 2 ab 成立．某同学在做一个面积为3600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm．则 x 的值是（）(A) 1202(B) 602(C) 120(D) 60二、仔仔填，自信！( 每小 2 分，共20 分)11．一个四形四条次是a、b、c、d，且a2 b 2 c 2 d 2 2ac 2bd，个四形是 _______________ ．12．在四形ABCD中，角AC、BD交于点O，从（1）AB CD ；（2） AB ∥CD ；（3）OA OC；（4）OB OD ；（5） AC ⊥ BD ；（6） AC 平分 BAD 六个条件中，取三个推出四形ABCD 是菱形．如（ 1）（ 2）（ 5）ABCD 是菱形，再写出符合要求的两个：ABCD 是菱形；ABCD 是菱形．13. 如，已知直l 把 Y ABCD 分成两部分，要使两部分的面相等，直l 所在位置需足的条件是____________________. （只需填上一个你合适的条件）lA DB C(第 13 )(第 16 )14.梯形的上底 6cm ，上底的一点引一腰的平行，与下底相交，所构成的三角形周 21cm ，那么梯形的周_________ cm。
(完整版)平行四边形的判定练习题
行四边形的判定习题精选一、你能填对吗1．在四边形ABCD 中，若AB=CD ，再添加一个条件为_____________ ，就可以判定四边形ABCD 为平行四边形。
2. 延长△ ABC的中线AD至E,使DE=AD，连接BE, CE,贝U AB ____________ C E ,AC ________ BE 。
3. 若四边形ABCD中，AC , BD相交于点O,要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足___________ ,从对角线的关系看应满足___________________ 。
4. 已知E、F、G、H 分别为Y ABCD 各边的中点, 贝四边形EFGH 为 __________________ 。
二、选一选5. 能识别四边形ABCD 是平行四边形的题设是（）A . AB // CD , AD=BCB. Z A= / B ,Z C= / DC．AB=CD , AD=BCD．AB=AD , CB=CD6. 点A , B, C, D 在同一平面内，从① AB // CD，② AB=CD，③ BC // AD，④ BC=AD 这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种7. 下列结论正确的是（）A .对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B •一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D .对角线相等的四边形是平行四边形8. 不能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是（）A. AB=CD , AD=BCB. AB / CD, AB=CDC. AB=CD , AD / BCD. AB / CD , AD / BC9. 如图19- 1 —26,在Y ABCD中，E, F分别在BC , AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（）。
平行四边形的判定测试题
第十八章平行四边形18.1.2平行四边形的判定一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，DE是△ABC的中位线，且△ADE的周长为20，则△ABC的周长为A．30 B．40C．50 D．无法计算【答案】B2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠D=120°，则∠C的度数为A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】A【解析】∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠D=180°，∵∠D=120°，∴∠C=60°．故选A．3．四边形ABCD中，从∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3【答案】B【解析】根据对角相等的四边形是平行四边形，A．1∶2∶3∶4，对角不相等，不能；B．2∶3∶2∶3，对角相等，能；C．2∶2∶3∶3，对角不相等，不能；D．1∶2∶2∶3，对角不相等，不能，故选B．4．依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形，则这个图形一定是A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】A【解析】如图，连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC，∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．故选A．5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C6．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为A．20 B．16 C．12 D．8【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE =12BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选B．7．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形A．AE=CF B．DE=BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【答案】BD选项：∵∠AED=∠CFB，∴∠DEO=∠BFO ，∴DE∥BF，在△DOE和△BOF中，DOE BOF DEO BFO OD OB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOE≌△BOF，∴DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确．故选B．8．如图，E，F分别是□ABCD的边AB，CD的中点，则图中平行四边形的个数共有A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF=FC=12DC，AE=EB=12AB，∵DC=AB，∴DF=FC=AE=EB，∴四边形DFBE和CFAE都是平行四边形，∴DE∥FB，AF∥CE，∴四边形FHEG是平行四边形，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE=a，则AB=2a，它的根据是__________．【答案】三角形的中位线等于第三边的一半10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点．已知AB=4，∠F=∠CDE，则BF的长为__________．【答案】4【解析】因为∠F=∠CDE，所以AB∥CD，因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，因为点E是BC边的中点，所以ED=EF，又因为∠F=∠CDE，∠DEC=∠FEB，所以△ECD≌△EBF，所以BF=CD，所以BF=AB，因为AB=4，所以BF=4，故答案为：4．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF，BD，请你只添加一个条件：__________，使得四边形BDFC为平行四边形．【答案】DE=EC（答案不唯一）【解析】答案不唯一，比如：BD∥CF，构成两组对边分别平行的四边形是平行四边形；DF=BC，构成一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；DE=EC，可以证明BE=EF，构成对角线相互平分的四边形是平行四边形，等等．故答案：DE=EC（答案不唯一）．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点O，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足__________的条件时，四边形DEBF是平行四边形．【答案】AE=CF（答案不唯一）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．【解析】∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形，故AE与DF互相平分．14．如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵AE=CF，∴FD=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE∥FB，DE=FB．∵M、N分别是DE、BF的中点，∴EM=FN．∵DE∥FB，∴四边形MENF是平行四边形．15．如图，点M，N在线段AC上，AM=CN，AB∥CD，AB=CD．求证：∠1=∠2．16．如图1，平行四边形ABCD中，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．（1）在旋转过程中，线段AF与CE的数量关系是__________．⊥，当旋转角至少为__________︒时，四边形ABEF是平行四边形，并证明（2）如图2，若AB AC此时的四边形是ABEF是平行四边形．【解析】（1）相等，理由如下： 如图，在ABCD 中，AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠1=∠2，在△AOF 和△COE 中，1234OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOF ≌△COE （ASA ）， ∴AF =CE ．（2）当旋转角为90︒时，90COE ∠=︒，如图，又∵AB ⊥AC ， ∴∠BAO =90°， ∠AOF =90°， ∴∠BAO =∠AOF ， ∴AB ∥EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， 即：AF ∥BE ， ∵AB ∥EF ，AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为() A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是()A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD ＝n，则AB的长是()A．m－n B．m＋nC ．2m －nD ．2m ＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解； ③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0； ④若|a |>|b |，则a －ba ＋b >0.其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________． 14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个． 16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1. 22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOE ＝2∠EOF ＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE ＝2∠COF .(2)∠BOE ＝2∠COF 仍成立．理由：设∠AOC ＝β，则∠AOE ＝90°－β，又因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOF ＝90°－β2.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF ＝∠AOF ＋∠AOC ＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE ＝2∠COF .25．解：(1)0.5x ；(0.65x －15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a 度．根据题意，得0.65a －15＝0.55a ，解得a ＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C 在原点右边，则点C 表示的数为100÷(3＋1)＝25； 若点C 在原点左边，则点C 表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50. 故点C 表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D 经过的时间为t s ，则6t －4t ＝130， 解得t ＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D 表示的数为－290.(4)ON －AQ 的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
中考数学复习《平行四边形》专项练习题-附带有答案
中考数学复习《平行四边形》专项练习题-附带有答案一、单选题1．平行四边形ABCD中，对角线AC=12，BD=8，交点为点O，则边AB的取值范围为（）A．1＜AB＜2 B．2＜AB＜10 C．4＜AB＜10 D．4＜AB＜202．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形3．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（）A．75°B．70°C．65°D．60°4．如图是由七巧板拼成的正方形，则小正方形和大正方形的面积之比是（）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：95．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC6．如图，在菱形ABCD中∠A=60°，AB=4 O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则下列说法错误的是（）A．点O为菱形ABCD的对称中心B．OE=2C．ΔCDB为等边三角形D．BD=47．如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若DF=2，BG=4则AE的长为( )A．4√7B．3√10C．10 D．128．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+EB=7，则S△CFP−S△AEP的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7二、填空题9．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为cm．10．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=3，则菱形ABCD的边长是．11．如图，平行四边形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD垂足分别为E、F，∠EAF=60°，DF=3cm则AD= cm．12．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD上一点，且BE＝BC，则∠ECD的度数是．13．如图，正方形ABCD的边长为2，将它绕着中心O顺时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，与原正方形AD、AB边交于点M′，N，则M′N的长度是.三、解答题14．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F．求证：△BEF≌△CDF．15．如图，在四边形ABCD中E，F分别为CD，AB上的点，且DE=BF，连接AE，CF若四边形AECF是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．16．如图，矩形ABCD中，点P是BC中点，线段AP的延长线与DC的延长线交于点E．（1）求证：△ABP≌△ECP；（2）连接AC，BE，求证：四边形ABEC是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.（1）求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．18．如图，在□ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心， BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF.大于12（1）根据以上尺规作图的过程，证明四边形 ABEF 是菱形；（2）若菱形 ABEF 的边长为 2，AE＝ 2 √3，求菱形 ABEF 的面积.答案1．B2．C3．A4．C5．D6．B7．B8．B9．410．611．612．15°13．2√2−214．证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD∴∠C=∠FBE∵BE=AB∴BE=CD在△BEF和△CDF中∴△BEF≌△CDF（AAS）15．解：∵四边形AECF是平行四边形∴AF=CE，AF//CE∵E，F分别为CD，AB上的点∴AB//CD∵DE=BF∴AF+BF=CE+DE，即AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形．16．（1）证明：∵四边形ABCD矩形∴∠ABP=∠ECP=90°，AB//DC∴∠BAP=∠CEP∵点P是BC中点∴BP =CP∴△ABP ≌△ECP(AAS)（2）解：由△ABP ≌△ECP 可得AP =EP ∵点P 是BC 中点∴BP =CP∴四边形ABEC 是平行四边形．17．（1）证明：在△ABC 和△ADC 中{AB =AD CB =CD AC =AC∴△ABC ≌△ADC(SSS)∴∠BAC=∠DAC在△ABF 和△ADF 中{AB =AD∠BAF =∠DAF AF =AF∴△ABF ≌△ADF(SAS)∴∠AFB=∠AFD∵∠CFE=∠AFB∴∠AFD=∠CFE∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；（2）证明：∵AB ∥CD∴∠BAC=∠ACD∵∠BAC=∠DAC∴∠BAC=∠ACD∴∠DAC=∠ACD∴AD=CD∵AB=AD ，CB=CD∴AB=CB=CD=AD∴四边形ABCD 是菱形；（3）解：BE ⊥CD 时，∠BCD=∠EFD ；理由如下： ∵四边形ABCD 是菱形∴BC=CD ，∠BCF=∠DCF∵CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵BE⊥CD∴∠BEC=∠DEF=90°∴∠BCD=∠EFD.18．（1）解：根据题意由作法可知，AP平分∠BAF∴∠EAB=∠EAF∵AD∥BC∴∠EAF=∠AEB=∠EAB∴BE=AB=AF.∵AF∥BE∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=BE∴四边形ABEF是菱形；（2）解：如图，连结BF，交AE于G.∵菱形ABEF的边长为2，AE= 2√3AE= √3，AE⊥BF ∴AB=BE=EF=AF=2，AG= 12∴∠AGF=90°，GF= √22−(√3)2=1∴BF=2GF=2×2√3×2=2√3∴菱形的面积为：S=12。
(完整版)平行四边形专项练习题
平行四边形专项练习题一．选择题（共12小题）1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线2．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S34．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④5．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．147．如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．8．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 9．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）A．66°B．104°C．114°D．124°10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO 的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．2211．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．3种 B．4种C．5种D．6种12．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④ D．④⑤二．填空题（共6小题）13．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=．14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．15．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．16．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．三．解答题（共8小题）19．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．20．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．21．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．22．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC 上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．23．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．24．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．25．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．26．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．参考答案与解析一．选择题1．【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．故选C．2．【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．解：∵四边形的内角和等于a，∴a=（4﹣2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．3．【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，∴S2=S1﹣S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．4．【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，∴AC==5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．5．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．6．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，解得：AD=10；故选：B．7．【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=BF=2，在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG===2，故选：C．8．【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，∵AG平分∠DAB，∴∠DAH=∠BAH，∵CD∥AB，∴∠DHA=∠BAH，∴∠DAH=∠DHA，∴AD=DH，∴BC=DH，故选D．9．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B 即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．10．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选：B．11．【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选：B．12．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN 的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．二．填空题13．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．14．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，在△APB中，∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24；故答案为：24．15．【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．故答案是：AD∥BC．16．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．17．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．18．【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．三．解答题19．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．20．【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线合一，证得结论．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．21．【分析】利用平行线的性质得出∠BAE=∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE=EF，再利用平行四边形的判定得出即可．解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE=EF，又∵BE=CE∴四边形ABFC是平行四边形．22．【分析】（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO即可；（2）根据△BEO≌△DFO可得EO=FO，BO=DO，再根据等式的性质可得AO=CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．23．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF 即可．解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．24．【分析】（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．（2）先证明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在RT△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．25．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．26．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE=FC；（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DE=FC；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．。
平行四边形的判定习题精选(答案)
行四边形的判定习题精选一、你能填对吗1．用边长分别为2cm，3cm，4cm的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成_________个四边形，______________个为平行四边形。
2．在四边形ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为__________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形。
3．延长△ABC的中线AD至E，使DE=AD，连接BE，CE，则AB_________CE，AC_________BE。
4．若四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足___________，从对角线的关系看应满足_______________。
5．已知E、F、G、H分别为 ABCD各边的中点，则四边形EFGH为_______________。
二、选一选6．能识别四边形ABCD是平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BCD．AB=AD，CB=CD7．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种8．下列结论正确的是（）A．对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形B．一边长为5cm，两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是平行四边形9．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．AB=CD，AD=BCB．AB∥CD，AB=CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC10．如图19－1－26，在 ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE 为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（）。
①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE。
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平行四边形的判定专项练习３0题（有答案)1．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,ED∥BF,AF=CE，求证：AＢCD是平行四边形．2.如图，四边形ＡBＣD中，∠ＢAC＝90°，ＡB＝１1﹣x,BC=５，CD=x﹣5，AＤ＝ｘ﹣3，AＣ=4．求证:四边形ABCD为平行四边形.3.已知四边形ＡＢCD的对角线ＡC与BD交于点O，现给出四个条件:①ＯA=ＯC;②AB=ＣD;③∠BAD=∠DCB;④ＡD∥BＣ.请你从中选择两个，推出四边形AＢＣＤ为平行四边形,并写出你的推理过程．（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有(用序号表示）___＿_____ ．(2）从(1）中选出一种情况，写出你的推理过程．4．如图,已知：点Ｂ、E、Ｆ、D在一条直线上，DＦ＝BE,ＡE=ＣF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中,使四边形AＢＣD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个)：①AB=DC;②BC＝AD；③∠AＥD=∠CFB.5．如图，在▱ABCD中，AＣ交ＢD于点O,点E,点F分别是OＡ，ＯC的中点，请判断线段BE,ＤＦ的位置关系和数量关系，并说明你的结论．6.如图所示,以△ABC的三边为边在ＢC的同侧分别作三个等边三角形△AＢＤ、△BCE、△ＡCF,猜想：四边形A ＤEF是什么四边形，试证明你的结论．7．如图,已知BE⊥AＤ,CF⊥AD，且BE=CF.求证：(1）AD是△ABC的中线；(2)请连接ＢF、CＥ，试判断四边形BＥCF是何种特殊四边形，并说明理由．8．如图,矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O,E、F是BD上的两点,且∠AEB＝∠CFＤ．求证:四边形AECF是平行四边形.9．如图：在四边形ＡBCD中，ＡD∥BC,AB=CD,Ｅ是ＢC上一点，DE＝AB.求证:四边形ABEＤ是平行四边形.10.如图，已知ＡB∥DC，E是BＣ的中点,ＡE，DＣ的延长线交于点F;（1）求证：△ABＥ≌△FCE;(2)连接AC，ＢF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形?请说明理由．１1.等边△ABＣ中，点Ｄ在BC上,点E在AB上，且ＣD=ＢE，以AD为边作等边△ADF,如图．求证:四边形CDＦE是平行四边形．１2．如图，分别以Rt△ＡBＣ的直角边AC及斜边AB向外作等边△ＡCD、等边△ABE.若∠BＡC＝3０°，EF⊥ＡB,垂足为F，连结DF．求证:（1)△ＡBC≌△ＥAＦ;(２）四边形AＤＦE是平行四边形.13.已知：如图,在△ＡBC中,中线BE,ＣＤ交于点O,Ｆ，G分别是OB,ＯＣ的中点.求证：四边形ＤFGE是平行四边形.１4.如图所示：在四边形ABCD中,AD∥BC、BC=18cm,ＣD=15cm，AD=10cｍ,AB=１2cm，动点Ｐ、Q分别从A、C同时出发,点P以2cm/秒的速度由A向D运动,点Q以3ｃm／秒的速度由Ｃ向B运动．(1)几秒钟后，四边形ＡBQP为平行四边形?并求出此时四边形AＢＱP的周长（２）几秒钟后,四边形PDＣＱ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长.15.求证:顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.１６．△ＡBC中,中线BE、CF相交于O,Ｍ是ＢＯ的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNＥF是平行四边形.17.如图，AD=DB,AE＝EＣ，ＦＧ∥AB,AG∥ＢＣ．（１）证明：△AGE≌△CFE；(２）说明四边形AＢFG是平行四边形;（3)研究图中的线段ＤＥ，ＢF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系.1８.如图，△AＢC和△AＤＥ都是等边三角形,点D在BＣ边上，AB边上有一点Ｆ，且BF=DＣ，连接EF、EB. （1)求证:△AＢE≌△ACD;（2)求证：四边形EFCD是平行四边形.19．已知在△AＢC中,D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上,且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由.20．如图，在△AＢC中，ＡＤ是中线，点E是AD的中点,过Ａ点作BC的平行线交CＥ的延长线于点Ｆ,连接BF．求证:四边形AＦBＤ是平行四边形．21．如图：在四边形ABCD中，AＤ∥BC，E是ＢＣ的中点,BＣ=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由.22．求证:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.２3.已知：如图,A、B、C、D在同一条直线上，且AB=ＣD，AE∥DF,AE=ＤF.求证：四边形ＥBFＣ是平行四边形.２4.如图,在△ABC中,D是ＢC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上,CＥ∥ＢＦ，连接BE、CＦ．图中的四边形BFCＥ是平行四边形吗?为什么?２5.已知点E、F、Ｇ、H分别为四边形ＡBCＤ四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由.26.如图，已知四边形AＢCD中AD=ＢＣ，点A、Ｂ、E在同一条直线上,且∠B＝∠EAD,试说明四边形ＡBCD是平行四边形.27.如图,ＡD∥ＢＣ，ED∥ＢF,且AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.28．已知：△ABC的中线BD、CE交于点Ｏ,F、Ｇ分别是OＢ、OC的中点.求证:四边形DEＦG是平行四边形．29．如图,△AＣＤ、△ABE、△BCＦ均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形AＤＦE为平行四边形．３０．已知：在四边形ABＣD中,AＤ∥BC,且AB=ＤC=５,AC=４，BC=３．求证:四边形ＡBCD为平行四边形．１.∵AD∥BC，∴∠ＤＡE=∠ＢCF,∵ED∥BＦ,∴∠DＥF=∠BFＥ,∴∠AED＝∠CFＢ,又∵AＦ=ＣＥ，∴AE=CF,在△AＤE和△ＣＢF中:∵∠DAE=∠BCF,∠AEＤ=∠CFB，ＡE=ＣF,∴△ADE≌△CBF（AＡＳ）,∴ＡＤ=CB,即：AD∥CB，AＤ＝CB,∴四边形ＡBCＤ是平行四边形，２．∵∠BAC=90°，AＢ＝11﹣x，BC=5,AC=４. ∴（11﹣x）２+42＝52,解得:x1=8,x２=１４＞11（舍去），当x=8时,BC＝ＡD＝５,AB=CD=3，∴四边形ＡBＣD为平行四边形.3.（1)解：能推出四边形AＢCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是:①④、③④;（２）以①④为例进行证明.如图,在四边形ＡBCD中，OA=OＣ,AD∥BC.证明:∵AD∥ＢC，∴∠ＤAO=∠BCＯ.∴在△ＡOD与△COB中,，∴△ＡOD≌△COＢ（ＡSA),∴AD=BC，∴在四边形ABCD中,ＡD BC,∴四边形AＢCD为平行四边形.4．选择①，∵DＦ=BＥ,AE=CF，AB=CD，∴△ABE≌△CDＦ(ｓss),∴∠ABＥ=∠CDF，∴AB∥CD,又∵AＢ=CD，因为ＡBCD是平行四边形，所以OA＝OC,ＯB=ＯD，因为E，F分别是OA,OC的中点,所以ＯE=OF,所以ＢFDＥ是平行四边形,所以BE=ＤＦ，BE∥DF 6．四边形AＤＥF是平行四边形．连接ED、ＥＦ,∵△ABD、△BCＥ、△ＡCF分别是等边三角形，∴ＡB＝BD,BC=BＥ,∠DＢA=∠EBC=60°.∴∠DBE＝∠ABC.∴△AＢＣ≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC,∴ＡB=ＥF，ＡC=DE．∵AB=AD，AC=ＡF，∴AD=ＥF，DE=AF.∴四边形AＤＥF是平行四边形7．（１）∵BE⊥AD,CＦ⊥AD，∴∠BED＝∠ＣFＤ.∵∠BDE＝∠CDF，BE＝ＣＦ，∴△BED≌△CFD．∴BD=ＣＤ．∴ＡＤ是△ABC的中线．(2)四边形BECＦ是平行四边形,由(1）得：ＢD=CD,ED＝FD.∴四边形BEＣＦ是平行四边形8.∵四边形ABＣD是矩形∴ＡＢ∥CD，AB＝CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠AEＢ=∠CFＤ，∴△ABE≌△CＤＦ，∴ＢＥ=DF,又∵四边形ABＣD是矩形，∴OＡ=OC，OB＝OD，∴OB﹣BE=OD﹣ＤF,∴OE=OF，∴四边形ＡＥCF是平行四边形９．∵AD∥BＣ，AB=CD,∴四边形ABＣＤ是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵DE=AB，∴DＥ=CD,∴∠ＤＥC＝∠Ｃ，∴∠DEC=∠B，∴AB∥DE,∴∠1=∠２，∠ＦＣE=∠EBA，∵Ｅ为ＢC中点,∴CE=BＥ，∵在△ＡBE和△FＣE中，∠1=∠2,∠FCE=∠EBA,ＣE=ＢE，∴△AＢE≌△ＦCE；（2）四边形ABFC是平行四边形;理由:由（1)知：△ＡBE≌△FCE,∴ＥＦ=ＡＥ,∵CＥ=BE，∴四边形AＢＦC是平行四边形11．连接BF，∵△AＤＦ和△ABC是等边三角形,∴AＦ＝AＤ＝DF,AＢ=AC=BC，∠ＡBC=∠AＣD=∠CAB=∠FＡD=6０°，∴∠ＦＡD﹣∠EAD＝∠CAB﹣∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△ＤAC中,∴△FAB≌△ＤAC（SAＳ)，∴BF=DＣ,∠AＢF=∠ACＤ=6０°，∵BE=CＤ,∴BＦ=BＥ,∴△BFE是等边三角形,∴EF＝BE＝CD,在△AＣD和△CBＥ中∵,∴△AＣD≌△CBＥ(SAS),∴AD=CＥ=ＤF,∵EF＝ＣD，∴四边形ＣDＦE是平行四边形.１2.（1）∵△ABE为等边三角形，ＥF⊥ＡB,∴EF为∠BEＡ的平分线,∠AEB=６０°,AE＝AＢ,∴∠ＦEA=3０°，又∠BＡＣ=3０°，∴∠ＦＥA=∠ＢAC，在△ABC和△EＡF中，，∴△AＢC≌△EAＦ(AAＳ）；（2)∵∠BAC＝30°，∠ＤAC＝60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵ＥF⊥ＡB,∴AD∥EＦ，∵△ABC≌△EAF,∴EＦ＝AＣ=ＡＤ,∴四边形ADFE是平行四边形１3.在△ABC中，∵AD=BD，ＡE＝CE，∴DE∥BC且ＤE=BC．在△OBC中，∵OF=FB,ＯＧ=GＣ,∴FG∥BC且ＦG=BC．∴DE∥FG,DE=FＧ.∴四边形DFGE为平行四边形14.(１)x秒后,四边形ABQP为平行四边形．则２x=18﹣３ｘ,解得ｘ=３.6.3.６秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2＋１2×2＝38.４cm．（2)y秒后,四边形PDCQ为平行四边形.10﹣2y=3y,解得y=2.2秒钟后,四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形ＰDＣＱ的周长是3.6×2×2+15×２＝４3.2cｍ.１５．：连接BD，∵E、F为ＡD,AB中点，∴FEＢD.又∵G、Ｈ为ＢC,CＤ中点，∴G ＨＢD,故G ＨFE.同理可证,EH FＧ.∴四边形FGHE是平行四边形16.∵BE,CF是△ＡBC的中线，∴EF∥BC且ＥＦ=BＣ,∵M是BO的中点,Ｎ是CO的中点,∴四边形MＮEF是平行四边形．17.（１）证明：∵AG∥ＢＣ(已知)∴∠G＝∠ＥFC(两直线平行,内错角相等）∵∠AEG＝∠FＥC（对顶角相等），又ＡE＝ＥＣ(已知）∴△AGE≌△CFＥ(ＡＡＳ)；(2)说明:∵FG∥AB,AG∥BＣ（已知)∴四边形AＢＦG是平行四边形(平行四边形的定义）;（３)解：线段DE，ＢF,FC之间的位置关系是DＥ∥BF,D Ｅ∥ＦC,数量关系是DE＝ＢF=ＦＣ，理由:由(1）可知△ＡGE≌△CＦE∴AG=FC,FＥ=EG(全等三角形的对应边相等)，∴E是FG的中点,又∵AＤ＝DB（已知)∴ＤＥ为三角形AＢC的中位线,∴DE=BC,DE∥BＣ，即DE∥ＢF,DE∥FC，由（2)可知四边形ＡBFＧ是平行四边形∴AG＝BF，∴BF＝FC=BＣ，∴DE=BF=FC，即线段DＥ，BF，FC之间的位置关系是ＤE∥BF，DE∥FC，数量关系是DＥ＝BＦ＝ＦC.18.(1）∵△AＢC和△AＤE都是等边三角形,∴AＥ=AD，AB=AＣ，∠EAD=∠BAC=60°,∴∠EAＤ﹣∠ＢAD=∠BＡＣ﹣∠ＢＡＤ,即：∠EAB=∠DAC,∴△AＢE≌△ACD(SAS);(2)证明:∵△ABＥ≌△ACD,∴BE=DC，∠EBＡ＝∠DCA，又∵BF=DC,∴BE=BＦ.∵△ＡBC是等边三角形，∴∠ＤCA=60°，∴△BEF为等边三角形.∴∠EFB=6０°，EF=BF∵△ABC是等边三角形,∴∠AＢC=60°，∴∠ABＣ=∠EFB,∴EF∥BC，即EF∥ＤＣ，∵EF=BＦ,BF=ＤC，19.平行四边形AＤＣF和平行四边形DBCF.理由: （1）∵D、Ｅ分别是AB、AC边的中点，∴ＤＥ∥BC ，．又∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DＢＣF是平行四边形；(２)在四边形AＤＣＦ中,∵EF=ＤE,又∵E是AＣ边的中点，∴EA=ＥC，∴四边形ADＣＦ是平行四边形20.∵E为AD中点,∴AE=DE,∵AF∥BＣ,∴∠AFE=∠DＣE，在△ＡEF和△ＣED中∵，∴△AEＦ≌△CED（AAS)，∴AF=DＣ，∵AD是△ＡBC的中线,∴BＤ=ＤＣ，∴AF＝BＤ，即ＡF∥ＢD，AF=BD，故四边形AＦBD是平行四边形21.图中有两个平行四边形:▱ＡBＥＤ、▱AECD．∵，∴AD＝BE,∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形．22．已知：四边形ABCD,∠A=∠Ｃ,∠B=∠Ｄ,求证：四边形ABCD是平行四边形,证明:∵∠A=∠Ｃ,∠B=∠D，∠A+∠B＋∠Ｃ+∠Ｄ＝3６0°，∴2∠A+2∠B=３60°,∴∠Ａ＋∠Ｂ=180°，∴AD∥ＢC,同理AB∥CD，∴四边形ABCＤ是平行四边形．23．∵ＡＥ∥DF，∴△AＢE≌△DCF（SAＳ)，∴EB=FC，∠AＢE=∠DＣF,∵∠ABE＋∠EBC=１80°,∠DCＦ+∠ＦCB＝１80°，∴∠EBC=∠FCB,∴BE∥FC,∵BＥ＝ＦC，∴四边形EBFC是平行四边形2４.∵ＣＥ∥ＢF,BD＝CD，∴△ＢDF≌△CDE，∴BＦ=CＥ,∴四边形BFCE是平行四边形.25．四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC、BＤ∵E、Ｆ、G、H分别为四边形AＢCD四边的中点∴EH=ＢD，ＦG=BD,HG=AC，EF=AC∴EH=FG，EＦ=ＨG∴四边形ＥFGH是平行四边形.26．∵∠B＝∠EAD,∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCＤ是平行四边形.27．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FＣB，又ED∥BF，∴∠ＦED=∠EFB,∠AEＤ=1８0°﹣∠FED，∠CFB=18０°﹣∠EFB，∴∠AEＤ=∠CＦB,又已知AＥ＝CF，∴△AEＤ≌△CFB，∴AＤ=ＢC，∴四边形ABCD是平行四边形．2８．∵AD∥BC,∴∠ＥＡD＝∠FＣB，又ED∥BF,∴∠FEＤ=∠ＥFB，∠AＥD=180°﹣∠ＦED,∠CFB=1８０°﹣∠EＦB，∴∠AED=∠CFB,又已知AE＝CＦ，∴△AＥD≌△CFB，∴AＤ＝BC,∴四边形ABCD是平行四边形.29．∵△ABE、△ＢCF为等边三角形,∴AB=BE＝AE，ＢC=CF=ＦB，∠AＢE=∠CＢＦ=6０°．∴∠ＦBＥ＝∠CBA，在△ＦBE和△CBA中,,∴△FBＥ≌△CBA（SAＳ).∴EF=ＡC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=ＡＤ=AC.∴ＥＦ=AD．同理可得ＡE=DF.∴四边形ＡＥFＤ是平行四边形3０．∵AB=５,AC＝４,BC＝3∴AB２=AC2+BC2∴∠ＢＣA=90°∵AD∥BＣ∴∠DAC=∠BCA＝９0°∵DC=5,AC=4，∴AD2＝DC2﹣AC２＝9∴AD=ＢC=3∴四边形ＡＢCD为平行四边形.。