圆的方程练习及答案

考点四十 圆的方程

知识梳理

1．圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．

2. 圆的标准方程

(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程

方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22

＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22

＝D 2＋E 2

－4F

4

. (1) 当D 2

＋E 2

－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2

为半径的圆；

(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 点与圆的位置关系

点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2

(1) 形如μ＝y －b

x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

(2) 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3) 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

典例剖析

题型一 求圆的方程

例1 若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为 ． 答案 (x －2)2＋(y ±3)2＝4

解析 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3．

变式训练 (1)圆心在y 轴上且经过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是 ．

(2) 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 答案 (1) x 2＋y 2－10y ＝0 (2) (x －2)2＋y 2＝10

解析 (1)设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3，1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.

(2) 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2， 解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.

解题要点 求圆的方程一般用待定系数法，根据题意，可以选择标准方程或一般方程求解． 题型二 点与圆的位置关系

例2 已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3，2)满足 ． 答案 在圆内

解析 因为(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，故点P (3，2)在圆内．

变式训练 点P (1，－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________. 答案 在圆C 外部

解析 将点P (1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0， ∴点P 在圆C 外部．

题型三 二次方程表示圆的条件

例3 方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件的是 ． 答案 m <1

4

或m >1

解析 由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <1

4

或m >1.

变式训练 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是 ． 答案 一个点

解析 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0， 即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，

∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1，－2)．

解题要点 1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是D 2＋E 2－4F ＞0． 2.二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪

⎧

B ＝0，A ＝

C ≠0，

D 2＋

E 2－4A

F >0.

，

即方程中不含xy 项， x 2，y 2前系数相同，且D 2＋E 2－4AF ＞0． 题型四 与圆有关的最值问题

例4 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)y

x 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；

(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．

解析 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．

设y

x

＝k ，即y ＝kx ， 则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1

＝3，解得k 2＝3，

∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，得OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)

(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2

＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.

(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.

解题要点 (1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．

(2)①形如u ＝y －b

x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形

式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

当堂练习