《正比例函数与一次函数》知识点归纳

《正比例函数与一次函数》知识点归纳

《正比例函数》知识点

表达式：y=kx （心0的常数）

图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线;

说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”；

性质特征：

1、图像经过的象限：

k>0时，直线过原点，在一、三象限；

k<0时，直线过原点，在二、四象限；

k>0 k<0

2、增减性及图像走向：

k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低;

k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高;

四、成正比例关系的几种表达形式：

1、y与x成正比例：y=kx （k工0）;

2、y 与 x+ a 成正比例：y=k（x + a）（k 工 0）;

3、y + a与x成正比例：y + a=kx （k工0）;

4、y + a 与 x+ b 成正比例：y + a= k（x + b）（k 工 0）;

《一次函数》知识点

一、表达式：y=kx+b （心0, k, b为常数）

注意：（1） k M0,自变量x的最高次项的系数为1 ；

（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

、图像:

一次函数y=kx+b (k工0, b工0)的图像是：一条经过 (」’,0)和k (0, b)的直线。

说明：(1) 一次函数y=kx+b (k工0, b工0)的图像也叫做“直线y=kx+b” ;

(2)直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：(丄,0);

Jt

直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：(0, b).

三、性质特征：

1、图像经过的象限:

(1) 、k>0, b>0时，直线经过一、二、三象限;

(2) 、k>0, b< 0时，直线经过一、三、四象限;

(3) 、k< 0,b>0时，直线经过一、二、四象限；

2、增减性及图像走向:

k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；

k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；

3、一次函数y=kx+b (k工0, b工0)中“ k和b的作用”：

(1)k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向

k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；

k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；

(2)I k I的作用：l k I决定直线的倾斜程度

I k I越大，直线越陡，直线越靠近 y轴，与x轴的夹角越大;

I k I越小，直线越平缓，直线越远离 y轴，与x轴的夹角越小；

(3)b的作用：b决定直线与y轴的交点位置

b>0时，直线与y轴正半轴相交(或与y轴的交点在x轴的上方)；

b <0时，直线与y轴负半轴相交(或与y轴的交点在x轴的下方)；

(4)k和b的共同作用：k和b共同决定直线所经过的象限

四、直线的平移规律：直线y=kx+b可以由直线y=kx平移得到

当b>0时，将直线y=kx:向上平移b个单位得到直线y=kx+b;

当b< 0时，将直线y=kx:向下平移I b I个单位得到直线y=kx+b;

五、两条直线平行和垂直：直线 m y=ax+b;直线n: y=cx+d

(1)当a=c， b M d时，直线m//直线n,反之也成立；

例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

(2)当ac=-1时，直线ml直线n。反之也成立；

例如：直线y= " x+2与直线y=-2x+3互相垂直

2

六、直线y=kx+b与坐标轴围成的三角形的面积公式：S=''

2lkl

七、求一次函数解析式的方法：求函数解析式的方法主要有三种

(1) 由已知函数推导或推证；

(2) 由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系；

(3) 用待定系数法求函数解析式：

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程(组)来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

衣的指数

①利用一次函数的定义构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b 来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

八、例题举例: 例1.已知二，其中，=—(k工0的常数)，丫辽与厂成正比例，

求证：y与x也成正比例。

证明：th与「成正比例，

设亡=a： (a工0的常数)，

••• y=n±,厂=一(k工0的常数)，

X

二 y= • a「=akx,

其中ak M0的常数，

••• y与x也成正比

例。

例2.直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例y=2x,y=2x+3

的图象平行。

解：T y=kx+b 与 y=5-4x 平行，

•k=-4,

T y=kx+b 与 y=-3(x-6)=-3x+18 相交于 y 轴，

•b=18，

•y=-4x+18。

说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线 y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b o