瞬态和非线性问题的有限元方法及其FEPG实现
有限元分析FEA
广州有道计算机科技有限公司有限元分析FEA有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
大型通用有限元商业软件：如ANSYS可以分析多学科的问题，例如：机械、电磁、热力学等；电机有限元分析软件NASTRAN等。
还有三维结构设计方面的UG、CATIA、Proe等都是比较强大的。
国产有限元软件：FEPG、SciFEA、,JiFEX、KMAS等有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。
有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。
第八章几何非线性问题的有限元法
第八章 几何非线性问题的有限元法8.1 引言前面各章所讨论的问题都是在小变形假设的前提下进行的，即假定物体所发生的位移远小于物体自身的几何尺寸，应变远小于1。
在此前提下，建立物体或微元体的平衡条件时可以不考虑物体的位置和形状（简称位形）的变化，因此在分析中不必区别变形前后位形的差别，且应变可用一阶无穷小的线性应变表达。
实际上，上述假设有时是不成立的。
即使实际应变可能是小的，且不超过材料的弹性极限，但如果需要精确地确定位移，就必须考虑几何非线性，即平衡方程应该相对于变形后的位置得出，而几何关系应该计及二次项。
例如平板大挠度理论中，由于考虑了中面内的薄膜应力，求得的挠度比小挠度理论的结果有显著的减低。
再如在结构稳定性问题中，当载荷达到一定数值后，挠度比线性解答予示的结果更剧烈地增加，并且确实存在承载能力随继续变形而减低的现象。
在冷却塔、薄壁结构及其它比较细长的结构中，几何非线性分析都显得十分重要。
几何非线性问题可以分为以下几种类型：（1）大位移小应变问题。
一般工程结构所遇到的几何非线性问题大多属于这一类。
例如高层建筑或高耸构筑物以及大跨度网壳等结构的分析常需要考虑到结构大位移的影响。
（2）大位移大应变问题，如金属压力加工中所遇到的问题就属于这一类型。
（3）结构的变形引起外载荷大小、方向或边界支承条件的变化等。
结构的平衡实际上是在结构发生变形之后达到的，对于几何非线性问题来说，平衡方程必须建立在结构变形之后的状态上。
为了描述结构的变形需要设置一定的参考系统。
一种做法是让单元的局部坐标系始终固定在结构发生变形之前的位置，以结构变形前的原始位形作为基本的参考位形，这种分析方法称作总体的拉格朗日（Ｌagrange ）列式法；另一种做法是让单元的局部坐标系跟随结构一起发生变位，分析过程中参考位形是不断被更新的，这种分析方法称作更新的拉格朗日列式法。
本章首先对几何非线性问题作一般性讨论，从中导出经典的线性屈曲问题的公式；然后建立平板大挠度问题和壳体的大位移（及大转动）分析的有限方法公式；接着还给出了大应变及大位移的一般公式，最后还详细讨论了杆系结构几何非线性问题的有关公式。
有限元瞬态分析
有限元与热分析数值仿真大作业课程：有限元与热分析数值仿真授课老师：钱作勤（老师）学院：能动学院班级：动力工程152班姓名：董理学号： 10497316023242017年1月13日目录基于ANSYS对法兰的瞬态/稳态传热过程错误!未定义书签。
一、问题描述 (3)二、问题分析 (3)三、求解步骤 (4)第一步：模型绘图定型 (4)第二步：定义材料的属性...... 错误!未定义书签。
第三步：建立几何模型 (5)第四步：参数设置 (6)第五步：网格划分............ 错误!未定义书签。
第六步：导热参数设置........ 错误!未定义书签。
四.结果显示.................... 错误!未定义书签。
基于ANSYS的法兰的热分析一、问题描述(稳态)法兰（Flange），又叫法兰凸缘盘或突缘。
法兰轴与轴之间相互连接的零件，用于管端之间的连接；也有用在设备进出口上的法兰，用于两个设备之间的连接，如减速机法兰。
法兰上有孔眼，螺栓使两法兰紧连，法兰间用衬垫密封。
水泵和阀门，在和管道连接时，这些器材设备的局部，也制成相对应的法兰形状，也称为法兰连接。
凡是在两个平面周边使用螺栓连接同时封闭的连接零件，一般都称为“法兰”，如通风管道的连接，这一类零件可以称为“法兰类零件”。
法兰是使一种常见产品，为保证法兰的散热性能达到设计要求，从而避免产品因过热造成损坏，需对其进行热分析，计算在实际工况下的温度分布，校核其散热性能。
在Ansys的Workbench环境下使用Geometry模块和Steady-Thermal模块法兰的基础部分参数为大直径D为92mm，小直径R为15mm，高为30mm，厚度为30mm。
二、问题分析该问题属于稳态热传导问题。
根据问题的轴对称性（几何结构轴对称、载荷轴对称及边界条件轴对称），可以选择过圆柱体纵剖面的一半建立平面有限元模型，并选择相应的平面热分析单元进行求解；也可选择四分之一个圆柱体建立体有限元模型并选择相应的体单元进行求解。
FEPG-有限元的自动生成与应用
m cos , n sin
其中
1 / E1 v12 / E 1 v13 / E1 [ D] 0 0 0 v12 / E1 1 / E2 v 23 / E2 0 0 0 v13 / E1 0 0 0 v 23 / E2 0 0 0 1 / E3 0 0 0 0 1 / G23 0 0 0 0 1 / G23 0 0 0 0 1 / G23
1
需填写的FEPG公式文件
GCN文件 GIO文件 VDE文件
GCN文件
defi a ell & b str a startsin a solvsin a stress b
Gio文件
disp strs #elemtype w4 3dxyz
Disp.fde文件
disp u v w coor x y z func gex gey gez geyz gexz gexy shap %1 %2 gaus %3 array de(6,6) mate e1 e2 e3 v12 v13 v23 g23 g13 g12 cita fx fy fz \ 127.6d3;10.3d3;10.3d3;0.32;0.32;0.32;6.0d3;6.0d3;6.0d3;4 5;0.0;0.0;5.e3; $c6 pi=3.14159 $c6 s=sin(cita*pi/180.0) $c6 c=cos(cita*pi/180.0) $c6 c2=cos(2.0*cita*pi/180.0) $c6 s2=sin(2.0*cita*pi/180.0) fvect le 6 fvect ge 6 vect gev gex gey gez geyz gexz gexy vect u u v w vect fu fx fy fz
瞬态和非线性问题的有限元方法及其FEPG实现
瞬态和非线性问题的有限 元方法及其FEPG实现
中科院研究生院 2006年6月
主要内容
应用FEPG求解问题回顾 线性椭圆问题的算法文件 瞬态问题及其处理 NFE文件的基本结构 NFE文件的编写方法 非线性问题及其处理 PDE文件的COEF功能 NFE文件的COEF功能 FEPG的有限元文件与元件程序的关系 一些调试命令
END
非线性问题的种类
材料非线性
非线性本构关系 某些材料参数的非线性
几何非线性
大变形
边界非线性
接触和碰撞
非线性问题的求解
非线性问题 线性化
设定初值 否 求解线性问题
是否收敛 是
求解结束
非线性热传导问题
非线性热传导问题的线性化
采用简单迭代法进行线性化，即
求解过程
给定初值u0 求解 求解 …… 求解
判断
书写线性化后的微分方程表达式
PDE文件的COEF功能
disp u
coor x y
shap q 4 coef un
?
gaus q
mate eq 0.0
stif $c6 ek=1.44d0+1.236d-3*un-4.63d-7*un*un dist=+[u/x;u/x]*ek+[u/y;u/y]*ek
solution U WRITE(S,unod) U
end
不完备！
U0哪里来？
NFE文件的变量定义和 赋值语句（vect, read 语句）
Equation vect u0 read(s,unod) u0 matrix = [S]*dt+[M] FORC=[F]*dt+[M]*[U0]
第9章-非线性问题的有限单元法
第9章非线性问题的有限单元法9.1 非线性问题概述前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。
非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。
1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变)材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。
它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化)几何非线性是有结构变形的大位移引起的。
例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。
随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。
3. 状态非线性(接触, 单元死活)状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。
例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。
这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。
9.2 非线性有限元问题的求解方法对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。
以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。
1.迭代法迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。
与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。
它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。
以平面问题为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。
在求解非线性方程组时，一般采用迭代法。
2. 牛顿—拉斐逊方法ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。
非线性波动方程的有限元解法
散性和非线性的统一，具有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性，
t ? ? （或 x ? ? ）时的解的某种衰减性，散射性，对于它的解法和性质
的理论研究早已超出了传统的研究方法。 纵观非线性波动方程解法的发展，始终围绕着作为非线性耗散波的代表
—Buger 方程，作为非线性色散波的代表—Kdv 方程，非线性调制波的代表 —Schrodinger 方程展开的[11]。以研究发展先后为主线着重介绍如下：
第
二
节
有
限
元
方
法································································２７
第三节
有限元解的收敛性及误差估
计··········································３０
第四章 各向同性固体弹性介质中的一维
础····································１０ 第一节 应变矩阵和运动方
有限元第七章材料非线性问题的有限元
第七章 材料非线性问题的有限元法7.1 引 言前面各章所讲述的问题，都属于线性变形体系。
所谓线性变形体系是指位移与载荷呈线性关系的体系，而且当载荷全部撤除后，体系将完全恢复原始状态。
这种体系也称为线性弹性体系，它需满足下列条件：（1）材料的应力与应变关系满足虎克定律：（2）位移是微小的；（3）所有约束均为理想约束。
在分析线性弹性体系时，可以按照体系变形前的几何位置和形状建立平衡方程，并且可以应用叠加原理。
根据这种理论建立起来的方程是线性的，对于小应变和小位移的情形这种分析是适用的。
实际结构的位移与载荷可以不呈线性关系，这样的体系称为非线性变形体系。
如果体系的非线性是由于材料应力与应变关系的非线性引起的，则称为材料非线性，如材料的弹塑性性质、松驰、徐变等。
如果结构的变位使体系的受力发生了显著的变化，以至不能采用线性体系的分析方法时就称为几何非线性，如结构的大变形、大挠度的问题等。
还有一类非线性问题是边界条件非线性，或状态非线性，如各种接触问题等。
但本书只讨论前两类非线性问题的有限元解法，即材料非线性和几何非线性问题的有限元解法，对接触问题的有限元解法，读者可参考其它书籍。
材料非线性问题的处理相对比较简单，通常不必修改整个问题的表达式，而只需将应力—应变关系线性化，求解一系列的线性问题，并通过某种校正方法，最终将材料特性调整到满足给定的木构关系，从而获得了问题的解。
对于几何非线性问题，那就需要对公式进行根本的修改，这个问题将在后面详细讨论，不过应该指出，用于求解材料非线性问题的基本迭代方法也同样适用于几何非线性问题的求解。
事实上，有些工程结构问题同时具有这两类非线性性质，它们可以统一地加以处理。
本章将首先介绍用有限元方法处理非线问题的一般方法，然后讨论这些方法在非线性弹性、弹塑性和蠕变问题中的应用。
在介绍弹塑性问题的处理方法前，为便于讨论，需扼要叙述一下Mises 屈服准则和Prandtl-Reuss 塑性流动理论，并据此写出弹塑性矩阵表达式。
材料非线性问题的有限元
一、材料非线性问题的有限单元法1．1 引言以前各章所讨论的均是线性问题。
线弹性力学基本方程的特点是1．几何方程的应变和位移的关系是线性的。
2．物性方程的应力和应变的关系是线性的。
3．建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。
但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物性方程所能描述的。
上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。
工程实际中还存在另一类所谓几何非线性问题。
例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响。
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。
随着有限单元法在线性分析中的成功应用，它在非线性分析中的应用也取得了很大的进展，已经获得了很多不同类型实际问题的求解方案。
材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。
一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。
几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变，这将在下一章专门讨论。
这两类非线性问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组，所以在本章开始对非线性代数方程组的求解作—一般性的讨论。
这对下一章也是必要的准备。
正如在前面已指出的，材料非线性问题可以分为两类。
ANSYS培训教程：瞬态动力学分析的基本步骤
ANSYS培训教程：瞬态动力学分析的基本步骤用不同的瞬态动力学方法进行分析时，进行瞬态动力学分析的过程不尽相同。
下面我们首先描述如何用完全法进行瞬态动力学分析的基本步骤，然后在列出用缩减法和模态叠加法时的不同地方。
完全法瞬态动力学分析过程由三个主要步骤组成：1．建模2．加载及求解3．结果后处理模型的建立建模过程和其它类型的分析类似，但应注意以下几点：1．可以用线性和非线性单元。
2．必须指定弹性模量EX(或某种形式的刚度)和密度DENS(或某种形式的质量)，材料特性可以是线性的或非线性的，各向同性的或各向异性的，恒定的或和温度有关的。
在划分网格时需要记住以下几点：1. 有限元网格需要足够精度以求解所关心的高阶模态；2. 感兴趣的应力应变区域的网格密度要比只关系位移的区域相对加密一些；3．如果想包含非线性，网格应当细到能够扑捉到非线性效果。
例如，对于塑性分析来说，它要求在较大塑性变形梯度的平面内有一定的积分点密度，所以网格必须加密；4．如果对波传播效果感兴趣，网格应当细到足以解算出波。
基本准则是沿波的传播方向每一波长至少有20个单元。
加载并求解在这一步中，要定义分析类型及选项，加载，指定载荷步选项，并开始有限元求解。
具体步骤如下：1．进ANSYS求解器命令：/SOLUGUI：Main Menu | Solution2．指定分析类型和分析选项（1）指定分析类型(ANTYPE)选择开始一个新的分析。
如果已经完成了静力学预应力或完全法瞬态动力学分析并准备对时间历程进行延伸，或者想重新启动一次失败的非线性分析，则可用Restart。
(Restart要求初始求解过程中生成的文件Jobname.EMAT，Jobname.ESAV及Jobname.DB存在。
新得到的解结果将被附加在初始结果文件Jobname.RST中)。
从弹出的对话框中选择瞬态动力学分析(Transient)，并指定位完全法(Full)。
对于质量阵形成方法(Mass Matrix Formulation)建议在大多数分析应用中采用缺省的质量阵形成方式。
郑州大学《有限元原理》课件：第五章非线性有限元法
satisfies
the
κ an isotropic hardening parameter.
This yield condition can be visualized as a surface in an n-dimensional space of stress with the position and size of the surface dependent on the instantaneous value of the parameters k.
sx
sx y
sx
z
J3 syx
sy
sy
z
s1
s2 s3
sz x
sz y
sz
(1,2,3)
2
3p
Q r 1 等压线
O’ 偏平面
纯剪应力
Q’
qe
1 2
1
2
2 2 3
2 3 1
2 1/2
1
O
3
3J2
OO’通过原点与三个坐标轴夹角相等的线---等压线。
与OO’垂直的平面称为偏平面，方程 123 3r
9
5.1.3 Modified Newton’s method
the variable jacobian matrix KT by a constant approximation
[k]Tn [k]0T
1. KT can be chosen as the
u n [k ]0 T 1 (u n )
12
5.2 Stress and strain theory
i j m i j i jm i j m i j s ij
m sij ij
16第9章非线性问题有限元
pt { A e ( Fi u cu p iui ds i i )ui }d
Sp
（9-2-7）
由极值条件 pt 0 ，可证明它等价于大位移弹性动力问题的基本公式，就得到瞬时最小势能原理。 因为
pt { A e ( Fi u cu ui }d pi ui ds i i )
A ij eij
（ d）
则式（b ） 、 （c）就可化为平衡方程式（ 9-2-2 ）和力边界条件式（ 9-2-3） 。这就证明了满足 0 ，就 等于满足了平衡方程式（ 9-2-2）和力边界条件式（9-2-3 ） ，这样就可以肯定，用 取极值的方法求出 的位移 ui 就是真实的解。 下面要进一步证明这个极值是最小值。 设 ui 满足几何方程、位移边界条件并使 取最小值。设 u * i 也满足几何方程、位移边界条件，除此 以外， ui* 任意。并设
i
0
（在 V 内）
（9-2-2）
在小位移时，略去了 u i,k 中的 ui ,k 就还原为小位移应力平衡方程。 ik
207
外力已知的表面边界条件（在 S p 上）可以写成
u n
ik i, k kj
j
p i
（ 9-2-3）
如果把它和小位移条件相比，也是增添了可以在小位移中略去的 u i,k 。 位移已知的边界条件（在 S u 上）可以写成
Sp
（ e）
根据式（ 9-2-1）的应变位移关系
210
A 1 A A(e) eij ui , j u j ,i uk ,i uk , j uk , j u k ,i eij 2 eij A u k ,i uk, j ki eij
第一讲：FEPG V6.0的基础知识
FEPG 6.0主要特征：HPC
友好的图形用户界面 最本质的多物理场耦合 支持OpenMP标准的多线程并行功能
双核、多核计算机 SMP并行机
飞箭培训
支持MPI标准的分布式并行功能
SMP并行机 Clusters
FEPG 6.0的产品介绍
飞箭培训
FEPG并行版本pFEPG简介
复杂区域热传导问题例
冷空气通道的热传导问题：
飞箭培训
FEPG详细演示，并重点讲述前后处理过程
FEPG使用思考
FEPG如何生成一套FORTRAN程序？
调用领域库的基本有限元文件 调用算例库的基本有限元文件
飞箭培训
生成一套FORTRAN程序都需要哪些基本的有限 元文件？
……（第二讲内容）
飞箭培训
生成FORTRAN计算程序
生成代码 编译代码 有限元计算
调用前、后处理（Gid模型建立、计算结果）
FEPG 求解问题的基本步骤
1.
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编写或调用系统有限元基本文件，生成 FORTRAN源代码 前处理—模型的建立、初边值条件、计算 网格生成 有限元数值计算
2.
3.
4.
后处理—计算结果图形描述
1.对热传导问题例子练习
飞箭培训
简单几何区域 复杂几何区域
2.Gid界面熟悉及使用 3.使用领域库和算例库，根据Tutorial中的热 固耦合问题的提示，练习此问题
飞箭培训
谢谢大家 多提宝贵意见
FEPG算例库求解例
飞箭培训
前处理—建立模型、处理边界条件 1. 根据求解区域创建几何模型 2. Data Problem types FEPG 3. 赋材料属性和添加边界条件 Data Conditions 4. 生成四边形（或三角形）网格 有限元计算（.bat批处理） 后处理 选择后处理，查看等值线（或云图）
第五讲：应用pFEPG进行并行计算
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’05 FEPG用户培训 05 FEPG用户培训
应用pFEPG进行并行计算 应用pFEPG进行并行计算 pFEPG
(中外合作)北京飞箭软件有限公司
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内容提要
高性能计算和并行计算 pFEPG的使用模式 pFEPG的使用方法 应用pFEPG的几个重要说明 应用pFEPG应注意的若干问题
然后重新生成程序. 这里是修改成了 1000M
几个重要文件的说明: partition.dat
41 221
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此文件用来记录分区方法以及分区的数目 ………………… M N ………………… Mx My Mz
M： 总的分区数 (>=2) ： N： 分区方法，只可取 1, 2，分别表示按图论的分块方法 ： 分区方法， 2， 和按区域的分块方法 Mx My Mz: 三个坐标轴方向的分区数，仅当N=2时有效 N=2时有效 : 三个坐标轴方向的分区数，仅当N=2
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服务器端生成程序 并返回到客户端 网格剖分 及条件施加
应用pFEPG进行并行计算 II： 客户端是并行机的一个节点
开始 登录FEPG客户端， 创建FEPG文件 上传到服务器 结束 计算结果显示 并行机上编译 并运行程序计算 网格剖分 及条件施加
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服务器端生成程序 并返回到客户端
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Hosts文件用来指定执行并行计算的机器名， 每一行一个机器名，允许重复 P1 P1 P2 P3 ……
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几个重要的说明：gpgsys 文件
gpgsys在进入客户端操作界面并设定好 工作目录后自动产生。主要用来指定用 于计算所需要的内存空间 如果需要修改，请在命令行执行下面的 命令
chgpgsys 1000
有限元分析软件平台FEPG
有限元分析软件平台FEPG梁国平;唐菊珍【摘要】多数有限元软件一般只适用于某些特定领域和类型的问题,不能满足其他领域尤其是科研和教学领域工作者的需要,因此开发借助有限元语言等技术自动生成有限元程序的有限元分析软件平台FEPG.介绍用于描述有限元问题的有限元语言:该语言分为两部分,一部分用于描述偏微分方程表达式,另一部分用于描述求解微分方程的有限元算法；用户只需通过有限元语言输入所需的各种表达式和公式即可用FEPG自动产生所需的全部有限元计算源程序；用5个算例说明通过有限元语言编写偏微分方程及其算法的方法.介绍FEPG的生成器技术、组件化技术及其独有的公式库技术；与传统有限元软件采用的程序库技术相比,公式库技术便于用户阅读、修改和维护,能降低软件的复杂度、提高软件的可扩展性.与国内外主流通用有限元软件相比,利用FEPG进行开发还具有程序代码精炼以及投资少等优点,但存在界面不够友好、对用户的起点要求较高等缺点.【期刊名称】《计算机辅助工程》【年(卷),期】2011(020)003【总页数】5页(P92-96)【关键词】FEPG;有限元;有限元语言;软件开发;软件平台;生成器;组件化;公式库【作者】梁国平;唐菊珍【作者单位】中国科学院数学与系统科学研究院,北京100190;北京飞箭软件有限公司,北京100190【正文语种】中文【中图分类】TB115随着科学技术和生产力的迅速发展，有限元法的应用越来越广泛，各工矿企业及设计、科研部门已普遍采用有限元法进行生产过程的数值模拟、科研的数值试验和产品的优化设计，有限元法和有限元软件已成为许多高新学科和技术的基本工具和手段，是现代高科技大厦不可缺少的重要支柱之一．目前国内外许多有限元软件，包括通用有限元程序系统，一般只适用于解决某些特定领域和特定类型的有限元问题，大多根据结构力学的需要设计，对于其他领域的工作者，尤其对于从事科研和教学的工作者，远远不能满足需要．有限元分析软件平台FEPG的设计思想主要采用组件化的程序设计方法和人工智能技术，根据有限元法的统一数学原理［1］及其内在规律，类似于数学公式的推理方法，根据物理模型和有限元算法，由计算机自动产生有限元程序．在FEPG中采用有限元语言［2］求解有限元问题，编写有限元程序的主要工作就是书写有限元问题所需的各种数学表达式，如微分方程表达式、形函数表达式和算法表达式等①北京飞箭软件有限公司2003年发布的“FEPG参考手册:基于FEPG 的有限元方法”．;然后，通过FEPG由计算机产生所需的FORTRAN源程序(或其他高级语言的源程序)．因此，有限元语言比目前的高级语言更高一个层次，用它来编写有限元软件能提高效率，并且易于阅读和修改．有限元语言和FEPG从根本上改变有限元软件技术，把广大工程师和科学家从繁琐、重复的有限元编程劳动中彻底解放出来，也十分有利于有限元法在各个领域的推广和应用．有限元语言作为一种描述性的脚本模型语言主要用于描述有限元问题，非常接近于有限元书刊论述有限元法和有限元问题时所采用的专业表述语言，简练清晰．有限元语言分为两部分:一部分用于描述偏微分方程表达式，为此FEPG要求用户按照虚位移原理的形式(弱形式)写一个Partial Differential Equations(PDE)文件，可以采用张量形式，非常符合有限元专业人员的习惯;另一部分用于描述求解微分方程的有限元算法，即描述如何将一个非线性的偏微分方程线性化，如何针对时间依赖问题进行时间离散以及如何控制计算流程和迭代．为此，FEPG要求用户填写两种类型文件:第一种类型文件主要给出线性代数方程组的矩阵和右端项表达式以及迭代步的控制等内容;第二种类型文件给出多物理场采用的算法、耦合方式和有限元计算的流程等．有限元语言既适用于线性和非线性问题，又适用于稳态和非稳态问题，耦合场的数目可有任意多个，每个场也可有任意多个自由度(即偏微分方程的数目)，适用于各种领域和各种工程和学科的有限元问题．以下通过5个算例说明如何通过有限元语言书写偏微分方程及其算法．算例1 考虑稳态二维热传导问题泊松方程为边界条件为其有限元弱形式为将上面方程的体积分项写成PDE文件如下:算例2 线弹性小变形的PDE文件描述平衡方程为几何方程为本构方程为第一类边界条件为第二类边界条件为第三类边界条件为运用迦辽金有限元法求位移，由平衡方程得将其转化为弱形式，得将本构关系代入上式即可得以位移为基本未知量的虚功方程．将上述方程的体积分项写成PDE文件①北京飞箭软件有限公司2003年发布的“FEPG参考手册:基于FEPG的有限元方法”．如下:算例3 对流项采用有限体积法求解流体力学N-S方程为对流项采用迎风有限体积法，其他项采用有限元法，其PDE文件如下:算例4 土坝的三维无压渗流式中:φ为水头;K为渗透因数，K=1．0;Q为源汇，Q=0．由于自由渗流面未知，这是一个非线性问题．采用死活节点法求解方程PDE文件如下:计算结果见图1．算例5 三维电磁场A－φ方法的PDE文件FEPG采用生成器技术(见图2)、组件化技术［3］和公式库技术等三项软件技术．采用有限元语言编程就是书写微分方程表达式和算法，很容易阅读、理解、修改和再用，并且需要书写的代码量与由它产生的FORTRAN语言有限元程序相比减少90%以上，但灵活性却相同．由此可见，FEPG可为用户节省大量的编程时间，让用户将主要精力集中在最有创造性的工作、物理模型建立(即偏微分方程表达式)和算法研究上．组件化是当今许多软件公司为提高软件的再用性而普遍采用的一项软件技术．这项技术的关键是组件之间接口的统一规定，FEPG采用文件名作为组件之间的接口．以文件名为接口书写简单，内容丰富、灵活．众所周知，许多软件系统(包括通用有限元软件和平台软件)为使功能更加完善、求解的问题更加广泛，都开发出由各种子程序组成的庞大的程序库，但FEPG不同，它主要依靠的不是程序库而是公式库，由各种各样的有限元公式组成的公式库包括形函数库、微分算子库、PDE模型库、有限元算法库以及各学科领域的专业公式库，包括结构力学的杆、梁、板和壳等，固体力学的线弹性、大变形、弹塑性和黏弹性等，流体力学的N-S方程、Dacy流和非牛顿流等，电磁场的A-φ方法和棱单元法等．公式库技术是FEPG独有的技术，与程序库技术相比，它不会因为库功能的扩大而增加软件的复杂性，而且更容易阅读、修改和维护，其可重用性显而易见，并且通过公式库技术，用户更容易参与软件的发展．为把分别适用于固体力学的有限元法、流体力学的有限体积法和电磁场计算的棱单元等有机地融为一体，并集成到统一的数值仿真程序中，FEPG对这些方法的软件实现进行独创性的改造．目前，国内外已出现许多功能强大的通用有限元软件，如 ADINA，ANSYS，Abaqus，MSC Marc 和COMSOL等软件．对于一般的科研人员，这些通用程序仅能解决某一类型或某几种类型的问题，而FEPG可以生成解决任何有限元问题的程序，编程人员可以拥有生成程序的自主版权．相对于通用有限元软件，FEPG亦存在不足之处，如界面不够友好、对用户的起点要求较高以及难学难用等．因而，有待进一步改善FEPG的用户界面、完善公式库等，使其能兼具通用有限元软件易学易用的优点．FEPG与通用有限元软件的比较见表1．FEPG采用有限元语言编程，代码量比生成器产生的FORTRAN语言的代码量减少90%以上．采用张量形式表示弱形式的PDE符合有限元专业人员的习惯，易阅读、理解、修改和维护．有限元语言是一种超平台语言，它既不依赖操作系统，也不依赖计算机;既适用于单CPU的串行机，也适用于多CPU的并行机;适用于各学科领域及各种有限元问题;为科学家和工程师提供求解偏微分方程的有力工具．组件化技术与公式库技术的应用，使得人人都可以在有限元分析软件平台上增加、修改和更换组件程序和公式库．FEPG是第一个能通过互联网使用的有限元软件平台．通过互联网使用，服务器只需生成FORTRAN程序，速度快、代码少、网络传输量少．生成的代码可在任何一台串行或并行的计算机上编译运行．【相关文献】［1］ZIENKIEWICZ Q C，TAYLOR R L，ZHU J Z．The finite element method:its basis and fundamentals［M］．6th ed．Oxford:Butterworth-Heinemann，2008:733．［2］梁国平．有限元语言［M］．北京:科学出版社，2009:1-80．［3］梁国平，傅子智．程序元件化方法及元件程序组装语言［J］．计算结构力学及其应用，1985，2(2):121-125．LIANG Guoping，FU Zizhi．The component programming method and its language ［J］．Comput Struct Mech ＆ Applications，1985，2(2):121-125．。
FEPG系统简介
FEPG 系统简介系统主要思想和做法计算机发展至今，在带动社会不断发展和变化的同时，其本身也在不断的发展与进步，从机器代码到高级语言（FORTRAN/C ）再到面向对象的程序设计方法的发展，已经引领社会发生了巨大的变革，目前人们都在期待着更为方便的新一代语言的出现。
针对有限元研究领域，FEPG 为各专业的研究人员创造了一门独特的有限元语言，为各学科领域的数值计算提供了极大的方便，这种语言可以节省90%以上的软件编写代码量。
例如针对一个三维稳态热传导问题，采用FEPG 提供的有限元语言，用户只需填写以下VDE/PDE 、GCN 、GIO 等几个简单的文件即可生成全部生成有限元计算源代码。
稳态热传导控制方程：假设求解边界条件为：按照有限元方法，转化为虚功方程的弱形式：（*）对应的偏微分方程PDE 文件书写如下：disp u u 代表未知函数（温度）名coor x y z 给出总体坐标系下的坐标变量X ，Y ，Z shap c 8 c 表示六面体单元，8表示八节点单元，也可相应替换为w 4 （四面体四节点单元）等gaus 2 给出每个方向上积分点的个数 \mate ek q ek,eq 为材料参数名，后面可给定相应值 空一行stif 给出刚度矩阵dist=+[u/x;u/x]*ek +[u/y;u/y]*ek +[u/z;u/z]*ek 对应于方程（*）中的左端项 空一行load=+[u]*q 给出载荷向量，对应于方程（*）中的右端项 空一行end 结束符计算流程由以下几行语言规定：Defi 定义物理场a ell a 场采用椭圆方程求解 空一行STARTC a 初始化a 场 SOLVC a 求解a 场Ω=∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂- )zuek (z u )()(in eq y u ek y x u ek x Γ= 0in u ⎰⎰ΩΩΩ=Ω∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂ud eq d y u y u x u x u ek δδδδ)zu z u (连接GCN和PDE的GIO文件：PDE文件名# elemtype c 8 单元类型3dxyz 坐标系以上为采用FEPG独特的有限元语言来求解一个三维稳态热传导问题所需要的文件，它的书写形式接近于通常习惯的写法，采用有限元语言描述有限元方程的代码量远远低于直接采用FRORTRAN/C编程，因此可以把我们从庞大复杂的编程劳动中解脱出来，将更多精力投入到寻找合理的物理模型与更准确的算法中。
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M: 质量矩阵 C: 阻尼矩阵 S: 刚度矩阵
波动方程的时间导数离散
令 V=Ut，那么， Vt=Utt
波动方程的时间 可以给出如下形式的线性代数方程组
其左端矩阵A和右端项b的计算方法
A= b=
瞬态问题的NFE文件: 波动问题
应用FEPG求解问题回顾
用户编写有限元文件
PDE 文件 FBC 文件(可选) NFE 文件 GIO 文件 GCN 文件
使用公式库生成程序
PDE文件简单回顾
DEFI 段落
变量名、函数名声明
MASS段落
坐标变量名称声明
参数名声明及其赋值
形函数和积分方法选择
可以给出如下形式的线性代数方程组
其左端矩阵A和右端项b的计算方法
A=M+S*M t b=F*M t+M*U0
瞬态问题的NFE文件(抛物问题)
defi stif S mass M load F type p mdty l step 0
equation matrix = [S]*dt+[M] FORC=[F]*dt+[M]*[U0]
defi stif S mass M load F type p mdty l step 0
equation vect u0 read(s,unod) u0 matrix = [S]*dt+[M] FORC=[F]*dt+[M]*[U0]
solution U WRITE(S,unod) U
end
有限元离散后的方程组(用自由度表示)
飞箭软件
瞬态和非线性问题的有限 元方法及其FEPG实现
中科院研究生院 2006年6月
主要内容
应用FEPG求解问题回顾 线性椭圆问题的算法文件 瞬态问题及其处理 NFE文件的基本结构 NFE文件的编写方法 非线性问题及其处理 PDE文件的COEF功能 NFE文件的COEF功能 FEPG的有限元文件与元件程序的关系 一些调试命令
FUNC 段落
DAMP段落
用户定义函数的函数体
STIF 段落
刚度矩阵计算表达式(微分方程弱形式)
LOAD 段落
载荷向量的计算表达式
END
线性椭圆问题的算法文件
defi stif S mass M load F type e mdty l step 0
equation matrix = [S] FORC=[F]
solution U WRITE(S,unod) U
end
defi disp u coor x y shap q 4 gaus q mate ek eq rhoc 0.044 0.0 1.0d0
stif dist=+[u/x;u/x]*ek+[u/y;u/y]*ek
stif dist=+[u/x;u/x]*ek+[u/y;u/y]*ek
load=+[u]*ef
end
瞬态问题弱解形式举例
波动方程
瞬态问题的PDE文件
defi disp u coor x y shap q 4 gaus q mate ek ef rho ec 0.044 0.0 1.0d0 1.0d0 mass q rho damp q ec
solution U WRITE(S,unod) U
end
不完备！
U0哪里来？
NFE文件的变量定义和 赋值语句（vect, read 语句）
Equation vect u0 read(s,unod) u0 matrix = [S]*dt+[M] FORC=[F]*dt+[M]*[U0]
……
瞬态问题的NFE文件(抛物问题)
load=+[u]*eq
end
线性椭圆问题的算法文件
DEFI 段落
给出变量的符号
EQUATION 段落
给出线性代数方程组的结构
SOLUTION 段落
END 段落
NFE文件的DEFI段落
定义代数方程组左右端表达式中用到的一些 变量的含义，以及开数组大小的控制信息。
STIF MASS DAMP LOAD TYPE
MDTY
STEP
给出刚度矩阵所用符号 给出质量矩阵所用符号 给出阻尼矩阵所用符号 给出荷载向量所用符号 给出方程类型 （椭圆型为E、抛物型为P、波动为W） 给出质量矩阵和阻尼矩阵的类型 （集中矩阵为L、分布矩阵为D） 给出要保存刚度矩阵、质量矩阵的步数 （非负整数）
瞬态问题
抛物问题
双曲问题
defi stif S mass M damp C load F type w mdty l step 0
equation VECT U0,V0 READ(S,unod) U0 v0 matrix = [S]*(DT/2)**2+[C]*DT/2+[M] FORC=[F]*DT*DT/2+[M*U0]+[M*V0]*DT
一阶 二阶
时间导数的离散
瞬态问题弱形式的描述
抛物方程
波动方程
瞬态问题弱解形式举例
非定常热传导问题
瞬态问题的PDE文件
defi disp u coor x y shap q 4 gaus q mate ek ef rho 0.044 0.0 1.0d0 mass q rho
+[C*U0]*DT/2- [S*U0]*DT*DT/4
不完备！
V0 哪里来？
equation matrix = [S] FORC=[F]
SOLUTION U write(s,unod) U
end
一些声明
如何由刚度矩阵计算线 性代数方程组矩阵
如何计算方程 组的右端项
结果文件的读写
稳态热传导问题的NFE文件
defi stif S mass M load F type p mdty l step 0
stif dist=+[u/x;u/x]*ek+[u/y;u/y]*ek
load=+[u]*ef
end
有限元离散后的方程组(用自由度表示)
抛物方程 波动方程
M: 质量矩阵 C: 阻尼矩阵 S: 刚度矩阵
时间导数的离散(向后差分) U0 为上一时刻问题的解
时间导数的离散(向后差分)
瞬态问题的NFE文件: 抛物问题