圆,二次函数

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2023年中考数学难点突破----二次函数专题研究之二次函数图象中的圆

PC 1 PA 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
2
【例3】（2019•日照）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
解：（1）直线y=-5x+5,x=0时，y=5 ，∴C(0,5) ；当y=-5x+5=0时，x=1; ∴A(1,0)
【例2】（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与x轴交于A （﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝，求点P的坐标；
（2）如图甲中，连接OP．设P（m， m2﹣m﹣4）．由题意，A（﹣2，0），C（0，﹣4）， ∵S△PAC＝S△AOC+S△OPC﹣S△AOP， ∴ ＝ ×2×4+×4×m﹣ ×2×（﹣ m2+m+4），整理得， m2+2m﹣15＝0，解得m＝3或﹣5（舍弃）， ∴P（3，﹣ ）．
∴设抛物线表达式为：y=a(x+4)(x﹣2)
把C（0，4）带入得:4=a(0+4)(0﹣2)
∴a=﹣0.5
∴抛物线表达式为：y=﹣0.5(x+4)(x﹣2)=﹣0.5x2﹣x+4
【例4】（2018威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣4，0)，
B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于
【例4】（2018威海市）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-4，0)， B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．

圆、二次函数、相似

第二十四章圆一．知识框架二．知识概念1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

2.圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

3.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

5.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

6.圆锥侧面展开图是一个扇形。

这个扇形的半径称为圆锥的母线。

7.圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

8.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

9.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。

两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

10.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

11.切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

12.垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

13.有关定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14.圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=n πr/18015.扇形面积S=π（R^2-r^2） 5.圆锥侧面积S=πrl 九年级数学（下）知识点人教版九年级数学下册主要包括了二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图四个章节的内容。

圆与二次函数知识点

圆和二次函数知识点《圆》一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆；1、点在圆⇒d r=⇒点B在圆上；2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外；3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

(圆、二次函数)综合题、压轴题的解法

圆：提示：圆作为初中数学中重要的知识点，在历年中考题中都出现在重要的得分点高的部分，尤其是压轴题中，有些同学往往认为压轴题一定是很难很难得到分数的部分，其实在题目中往往前一到两个小题都是考察大家的基础知识，只要正确列出公式就能得到相应的分数。

要学好圆的部分，不仅要靠平时的练习，最重要的还是回归课本，把基础知识参透，只有基础牢固了，才能进一步对圆的认识进行延伸和扩展。

函数：提示：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右．一次函数与一次方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右．反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3—6分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中压轴题：提示：新课程下中考压轴试题的新走势;以直角坐标系和函数为载体,融代数､几何为一体,在几何图形的操作变换过程中感悟数学知识,体验数学规律,突出对考生的发散思维能力､探究能力､创新能力､综合运用能力等方面的考查,由此也给我们的教学带来一些新的启示｡1､认真学习并贯彻新课程标准,进一步厘清新教材中重点知识之间的内在联系｡纵观这两年的中考试题,新增添的“图形与变换”､“统计与概率”､“视图与投影”等教学内容,都已成为中考的新贵,命题的热点｡所以,我们在教学过程中一定要加强对新课程标准的学习,对删减､增添的内容及教学要求做到胸有成竹,构建一套科学实用的新课程下的知识结构体系,这样,我们的教学就能做到有的放矢,减轻学生负担,提高教学效益｡2､深化对基础知识的理解,重视知识间的内在联系,加强对学生知识整合能力的培养,提高综合应用知识解决问题能力｡我们要立足课本,以基本知识､基本方法､基本技能为主,多层次､多角度､立体化地处理教材,应用教材,对支撑学科知识的重点问题,要多引导学生学会融会贯通､举一反三｡同时,我们要培养学生及时反思和总结的良好习惯,学完每一节课,每一章内容后都要及时反思:问题的解决是否存在漏洞,是否还有其他路径,能否进行变式､类比,能否推广等,并及时进行归纳总结,把知识穿成线,织成网,横向联系,纵向发展,在理性思维中培养学生综合运用知识的能力｡3､教学过程中注意对学生动手实践能力和空间想象能力的培养｡新课标下的中考加强了对学生动手实践能力､空间想象能力的考查,图形的运动变换思想是近年中考的热点｡因此,我们平时教学中要多为学生创设动手实验,操作演练的机会,让学生多做几何模型,进行展开､折叠､平移､旋转等教学实践活动,从中培养学生的图形识别能力､动手操作能力､空间想象能力,加强对图形性质､内涵的深入认识,掌握图形变换､动静结合､变与不变的规律,培养学生“透过现象看本质”的洞察能力,提高对中考综合性试题的解题信心和解题能力｡这种“动点与坐标几何相结合”的综合性试题,将几何图形置于一个美丽的轴对称图形中,让动点带动图形的运动,从中探究图形的位置和性质特征,运用函数与几何知识进行探究数学问题,具有开放性､探索性､实践性､创造性,是一道平中见奇､奇而不偏､独具匠心的压轴佳题｡。

二次函数与圆知识点总结

初三数学二次函数和圆的知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121B几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形. 2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ；直线与圆相切 ⇔ d=r ；直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ；两圆外切 ⇔ d=R+r ；两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ；两圆内切 ⇔ d=R-r ；两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：。

二次函数辅助圆求最值问题

二次函数辅助圆求最值问题在学习二次函数时，我们经常会遇到求二次函数的最值问题。

这个问题对于很多学生来说是比较难的，特别是涉及到辅助圆的时候，更是让很多人感到头疼。

本文将讲解什么是二次函数辅助圆、如何利用二次函数辅助圆求最值以及一些需要注意的细节问题。

一、什么是二次函数辅助圆二次函数辅助圆，指的是二次函数图像与以函数自变量为横坐标，因变量为纵坐标的圆的交点。

在求最值问题中，通过分析二次函数与辅助圆的位置关系，我们可以方便地得到二次函数的最值。

因此，二次函数辅助圆也被称为“最值辅助圆”。

通常情况下，对于一般的二次函数y=ax2+bx+c，我们可以将其标准化为y=a(x-h)2+k的形式，其中h=-b/2a，k=c-ah2。

利用这个标准形式，我们可以将二次函数的最值问题转化为求解辅助圆与坐标轴和直线x=h的交点，从而求解得到最值。

二、如何利用二次函数辅助圆求最值下面以一个具体的例子来说明如何利用二次函数辅助圆求最值：求函数y=2x2-4x+1的最小值。

1.标准化二次函数首先将二次函数y=2x2-4x+1标准化为y=2(x-1)2-1的形式，这里h=1，k=-1。

2.画出辅助圆以点(h,k)为圆心，k的绝对值为半径，画出辅助圆。

3.求解交点将辅助圆与x轴、y轴和直线x=1求交点：与x轴交点为(0，1)，(2，1)；与y轴交点为(1，0)；与直线x=1交点为(1，-1)。

4.分析位置关系将二次函数图像与辅助圆的位置关系分为以下两种情况：情况一：二次函数与辅助圆的交点在y轴上，即h=0。

情况二：二次函数与辅助圆的交点在x轴上，即k=0。

对于这个例子，由于h=1不等于0且k=-1小于0，因此属于情况一。

在这种情况下，二次函数的最小值为辅助圆和二次函数的交点中y 值最小的点的纵坐标。

根据上面求出的交点，得到交点(2，1)和(0，1)处的函数值分别为5和1。

因此，二次函数y=2x2-4x+1的最小值为1，此时x=0。

中考数学压轴题二次函数与圆

中考数(Shu)学压轴题二次函数与圆一(Yi)、二次函数与圆(Yuan)综合【例1】已知(Zhi)：抛物线与(Yu)轴(Zhou)相交于两(Liang)点，且(Qie)．（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（Ⅱ）若，求的取值范围；（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，．解得，．为正整数，∴．∴．解法二：由题意知，当时，．（以下同解法一）解法三：，．又．∴．（以下同解法一．）解法四：令，即，∴．（以下同解法三．）（Ⅱ）解法一：．，即．，∴．解得：．∴的取值范围是．解法二：由题意知，当时，．解得：．∴的取值范围是．解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，．∴∴．∴的(De)取值范围是．（Ⅲ）存(Cun)在．解法一(Yi)：因为过两点的(De)圆与轴(Zhou)相切于点，所(Suo)以两点(Dian)在轴的同(Tong)侧，∴．由切割线定理知，，即．∴，∴∴．解法二：连接．圆心所在直线，设直线与轴交于点，圆心为，则．，∴在中，．即．解得．（Ⅳ）设，则．过分别向轴引垂线，垂足分别为．则．所以由平行线分线段成比例定理知，．因此，，即．过分别向轴引垂线，垂足分别为，则．所以．．．．，或．当时，点．直线过，解得当时，点．直线过，解得故所求直线的解析式为：，或．【例2】已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物(Wu)线与x轴有(You)两个交点A（X1 ，0）、B（X2，0），且(Qie)点A在(Zai)B的左侧，求线(Xian)段AB的(De)长。

（3）若(Ruo)以AB为(Wei)直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2），所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以，解得或若，点C、M重合，不合题意，舍去，所以．即M过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在所以，，解得，。

专题30 圆与二次函数结合(解析版)

专题30 圆与二次函数结合1．一动点P 在二次函数2111424y x x =-+的图像上自由滑动，若以点P 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点P 的坐标为______．【答案】(1,1)-或(3,1)或(1,0)【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则可得点P 的坐标，综上即可求解．【详解】解：如图所示：则可分两种情况：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，令21111424x x -+=，解得11x =-，23x =，此时点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)，②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则此时点P 的坐标为：(1,1)-或(1,0)，综上所述：点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)，故答案为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．2．如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为 ____________．【答案】y=x 2-4x +3【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式．【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2，3）， ∴CH=3， ∵半径为2， ∴AH=BH=()2223-＝1，∵A （1，0），B （3，0），∴二次函数的解析式为y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x +3，故答案为：y=x 2-4x +3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用垂径定理求出点A 和点B 的坐标． 3．如图，抛物线2143115y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．【答案】26【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可. 【详解】令214311515y x x =--中y=0，得x 1=-3，x 2=53， ∴直线AC 的解析式为313y x =--，设P （x ，313x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1 ∴PQ 2=PB 2-BQ 2， =(x-53)2+（313x ）2-1， =242837533x x ， ∵43a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ 的最小值是26，故答案为：26，【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.二、解答题4．如图，在平面直角坐标系中，以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点，且6AB =．(1)求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为F ，证明直线FA 与D 相切；(3)在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使CBN 面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标．【答案】(1)215442y x x =-+ (2)证明见解析 (3)存在．当4n =时，BCNS 最大，最大值为16，此时()4,2N -．【分析】（1）连接CD ，由y 轴是D 的切线，可得DC y ⊥轴，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据垂径定理可得3AE BE ==，连接AD ，在Rt ADE △中可求出AD ，即圆的半径，然后利用矩形的判定证明四边形OCDE 是矩形，得到4CO =，2OA =，8OB =，从而得到C 、A 、B 三点的坐标，再利用待定系数法即可确定经过点C 、A 、B 三点的抛物线的解析式；（2）因为点D 为圆心，点A 在圆周上，5r AD ==，利用勾股定理的逆定理证明90DAF ∠=︒即可；（3）设存在点N ，过点N 作NPy 轴，交BC 于点P ，求出直线BC 的解析式，设点N 的坐标215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则可得点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+⎪⎝⎭，从而根据BCN PNC PNB S S S =+△△△，表示出BCN △的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N 的坐标． (1)解：如图，连接CD ，AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∴90DEO ∠=︒，∵以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，且6AB =，90COB ∠=︒，∴DC y ⊥轴，1AE BE AB 32===，4DE =，∴90DCO ∠=︒，2222435DA DE AE A =+=+=， ∴四边形OCDE 是矩形， ∴4CO DE ==，5==OE CD ，∴2OA OE AE =-=，8OB OA AB =+=， ∴()0,4C ，()2,0A ，()8,0B ，设经过点C 、A 、B 三点的抛物线解析式为：2y ax bx c =++，将点C 、A 、B 三点的坐标代入可得：42064804a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：14524a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式为：215442y x x =-+．(2)证明：∵点D 为圆心，点A 在圆周上，由（1）知，5r DA ==，抛物线解析式为：215442y x x =-+，且顶点F 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，又∵()5,4D ，与D 相切．N ，使CBN 面积最大，N 作NP y 轴，交()8,0B ，的解析式为：y kx =NPy 轴，交的坐标为142n =-+BCN PNC S =△当4n =时，BCNS最大，最大值为16，此时()4,2N -．【点睛】本题考查了二次函数及圆的综合应用，涉及垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定与性质，勾股定理及勾股定理逆定理，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识．由BCN PNC PNB S S S =+△△△得到BCNS与n 的函数关系是解题的关键．5．定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P （2，2），以P 5P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图像的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值； (3)已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图像交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连接PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值．【答案】(1)⊙P 是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，理由见解析 (2)△POA 周长的最小值为6 (3)43312a +=【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，5为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+P A+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得P A=PC=2m，CE=3m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝5，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD ，P A ，设二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 与CD 交于点E ，与x 轴交于点F ，由对称性知，对称轴l 经过点P ，且l ⊥CD ， ∵AB ＝161641a aa a--=， ∴AF ＝BF ＝21aa-， ∵∠CPD ＝120°，PC ＝PD ，C （0，4）， ∴∠PCD ＝∠PDC ＝30°，设PE ＝m ，则P A ＝PC ＝2m ，CE ＝3m ，PF ＝4﹣m ， ∵二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 为2x a=， ∴23m a=，即23a m =，在Rt △P AF 中，P A 2＝PF 2+AF 2， ∴222214(4)()a m m a-=-+，即22224(1)34(4)43mm m m -=-+，化简，得(823)16m +=，解得843m =+， ∴2433123a m+==．【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．6．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）经过A （3，0）、B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积是△BDA 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求面积的最小值及E 点坐标．【答案】（1）215322y x x =-+；（2）存在，点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）；（3）面积的最小值为94，E 点坐标（32，32）【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式求出点D 的坐标，取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，得到直线EP 为y ＝x ﹣1，联立方程组求解即可；（3）作BD ⊥OA 于D ，得到OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1，证明EF 是△AEO 的外接圆的直径，得到△EOF 是等腰直角三角形，当OE 最小时，△EOF 的面积最小，计算即可；【详解】（1）将点A （3，0），B （4，1）代入可得： 933014431a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得：1252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故函数解析式为215322y x x =-+；（2）∵抛物线与x 轴的交点的纵坐标为0， ∴2153022x x -+=，解得：x 1＝3，x 2＝2， ∴点D 的坐标为（2，0），取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，∵ED ＝AD ＝1，∴此时△P AB 的面积是△DAB 的面积的两倍， ∵直线AB 解析式为y ＝x ﹣3， ∴直线EP 为y ＝x ﹣1，由2115322y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得71725172x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或71725172x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）．（3）如图2中，作BD ⊥OA 于D ．∵A （3，0），C （0，3），B （4，1）， ∴OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1， ∴∠OAC ＝∠BAD ＝45°， ∵∠OAF ＝∠BAD ＝45°， ∴∠EAF ＝90°，∴EF 是△AEO 的外接圆的直径， ∴∠EOF ＝90°，∴∠EFO ＝∠EAO ＝45°， ∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴当OE 最小时，△EOF 的面积最小， ∵OE ⊥AC 时，OE 最小，OC ＝OA ，∴CE ＝AE ，OE ＝12AC ＝322， ∴E （32，32），S △EOF ＝1323292224⨯⨯=．∴当△OEF 的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E 点坐标（32，32）．【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A (－3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D ，使得△ABD 的面积等于△ABC 的面积的53倍？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点，点F 是AE 的中点，请直接写出线段OF 的最大值和最小值．【答案】（1）224x 233y x =+-；（2）存在，理由见解析；D (－4, 103)或（2，103）；（3）最大值13122+；最小值13122- 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入函数解析式计算即可得到；（2）点D 应在x 轴的上方或下方，在下方时通过计算得∴△ABD 的面积是△ABC 面积的43倍，判断点D 应在x 轴的上方，设设D (m ,n )，根据面积关系求出m 、n 的值即可得到点D 的坐标；（3）设E(x,y)，由点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E 的坐标为E 2(,12)x x,再根据点F 是AE 中点表示出点F 的坐标2312(,)22x x ，再设设F(m,n),再利用m 、n 、与x 的关系得到n=21(23)22m ，通过计算整理得出22231(1)()()22n m ，由此得出F 点的轨）时，02C （，-）4533<，所以设D (m ,n ), △∴n ＝103∴223m +y=212x ,2,12)x x ,是AE 的中点, 的坐标2312(,)22x x ,,n=2122x ,n=21(23)22m ,∴2n+2=21(23)m ,∴(2n+2)2=1-(2m+3)2, ∴4(n+1)2+4(32m)2=1, ∴22231(1)()()22n m, ∴F 点的轨迹是以3(,1)2--为圆心，以12为半径的圆，∴最大值：2231131(0)12222，最小值：2231131(0)12222最大值13122+；最小值13122- 【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x 轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.8．如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线y ＝16x 2+bx+c 过点A 和B ，与y 轴交于点C ．(1)求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A 、B 、C ，开口方向、顶点和对称轴相对准确）(2)点Q （8，m ）在抛物线y ＝16x 2+bx+c 上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB 的最小值；(3)CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【答案】（1）C （0，2），图象见解析；（2）PQ+PB 的最小值210；（3）OE 的解析式为y=12x -．【详解】试题分析：（1）根据题意可知点A ，B 的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C 的坐标；（2）根据图象可得PQ+PB 的最小值即是AQ 的长，所以抛物线对称轴l 是x=4．所以Q （8，m ）抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6，求的AQ 的值即可；（3）此题首先要证得OE ∥CM ，利用待定系数法求得CM 的解析式，即可求得OE 的解析式．试题解析：（1）由已知，得A （2，0），B （6，0），∵抛物线y=16x 2+bx+c 过点A 和B ，则2212206{16606b c b c ⨯++⨯++＝＝解得4{32b c -＝＝则抛物线的解析式为y=16x 2-43x+2．故C （0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）如图①，抛物线对称轴l 是x=4． ∵Q （8，m ）在抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6， ∴AQ=22=210AK QK +．又∵B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴PQ+PB 的最小值=AQ=210．（3）如图②，连接EM 和CM ．由已知，得EM=OC=2．∵CE是⊙M的切线，∴∠DEM=90°，则∠DEM=∠DOC．又∵∠ODC=∠EDM．故△DEM≌△DOC．∴OD=DE，CD=MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．则OE∥CM．设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴40 {2k bb+＝＝解得1 {22 kb-＝＝直线CM的解析式为y＝−12x+2．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，∴OE的解析式为y=−12x或y=0.5x．9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为．（直接写出答案）【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）当x=32时，CD 最大=94；（3）x=±12或x=±2；（4）1．【详解】分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先确定出直线AB 解析式，进而得出点D ，C 的坐标，即可得出CD 的函数关系式，即可得出结论；（3）先确定出CD=|-x2+3x|，DP=|-x+3|，再分两种情况解绝对值方程即可；（4）利用四个点在同一个圆上，得出过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上，建立方程即可．本题解析：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴正半轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，3），∴﹣9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）∵A （3，0），B （0，3），∴直线AB 解析式为y=﹣x+3， ∵P （x ，0）．∴D （x ，﹣x+3），C （x ，﹣x 2+2x+3）， ∵0＜x ＜3，∴CD=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x=﹣（x ﹣32）2+94，当x=32时，CD 最大=94；（3）由（2）知，CD=|﹣x 2+3x|，DP=|﹣x+3|①当S △PDB =2S △CDB 时，∴PD=2CD ，即：2|﹣x 2+3x|=|﹣x+3|，∴x=±12或x=3（舍），②当2S △PDB =S △CDB 时，∴2PD=CD ，即：|﹣x 2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍），即：综上所述，x=±12或x=±2；（4）直线AB 解析式为y=﹣x+3，∴线段AB 的垂直平分线l 的解析式为y=x ， ∵过点B ，C ，P 的外接圆恰好经过点A ，∴过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上， ∴2232x x x -++=，∴x=±3，故答案为3± 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线l ：4,x =且与x 轴交于点(2,0),A 与y 轴交于点C (0,2).（1）求抛物线的解析式；（2）试探究在此抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP CP +的值最小？若存在，求AP CP +的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB 为直径作⊙M ,过点C 作直线CE 与⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式．【答案】解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：2y a x 4a 0k =-+≠（）（）∵抛物线经过(2,0)A 、C (0,2).∴24)204)2(0{(2a k a k --+=∴+= 解得：a=16，23k =-.∴212(4)63y x =--，即：214263y x x =-+. （2）存在.令0y =，得28120,x x -+=即(2)(6)0x x --=，122, 6.x x ∴== ∴抛物线与x 轴的另－交点(6,0)B .如本题图2，连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点.因为A B 、关于l 对称，则AP BP =,AP CP CB ∴+=,即AP CP +的最小值为BC . ∵6,2OB OC ==,226240210.BC ∴=+==AP CP ∴+的最小值为210；（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线,∴90ME CE CEM ，⊥∠=︒,由题意，得2.OC ME ODC MDE ==∠=∠， ∵在COD MED ∆∆与中,{COD MED ODC EDM OC EM∠=∠∠=∠=， ∴AAS COD MED ∆∆≌（）， OD DE DC DM ∴==，,设OD x =，则4CD DM OM OD x ==-=-, 则在Rt △COD 中，又222OD OC CD +=，∴2224(4)x x +=-,解得32x =，∴D （32，0）设直线CE 的解析式为y mx b =+，∵直线CE 过C （0，2）、D （32，0）两点， ∴3{22m b b +==，解方程组得：4{32m b =-=. ∴直线CE 的解析式为y 423x =-+.【详解】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为2y a x 4a 0k =-+≠（）（），将(2,0)A 、C (0,2)代入解析式，即可求出a ，k 的值，得出抛物线的解析式，令0y =，即可求出抛物线与x 轴另－交点(6,0)B ；（2）连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点. 则AP CP +的最小值为BC ，在Rt △OBC 中，根据勾股定理即可求出BC 的值；（3）连接ME ，根据已知条件可得COD MED ∆∆≌，根据全等三角形的对应边相等可得OD DE DC DM ==，，在Rt △COD 中，根据勾股定理求出OD ，即可得出D 点坐标，设直线CE 的解析式为y mx b =+，代入C ，D 两点坐标，即可解得直线CE 的解析式. 考点：二次函数的综合题.点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，也考查了二次函数与圆的综合，本题综合性强，有一定难度.11．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3-，0），与y 轴的正半轴交于点C ．(1)求二次函数23y ax bx =++的表达式；(2)点D 是线段OB 上一动点，过点D 作y 轴的平行线，与BC 交于点E ，与抛物线交于点F ，连接CF ，探究是否存在点D 使得△CEF 为直角三角形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．y x．3∥OB关于抛物线对称轴直线x=）②当∠ECF =90°时，作FG ⊥y 轴于G ，由OB =OC ，∠BOC =90°，可知∠BCO =45° ∵CF ⊥CB ， ∴∠FCG =45°，∴△CFG 是等腰直角三角形，设CG =a ，则点F 坐标为(-a ,a +3)，代入223y x x =--+得：23()2()3a a a +=----+ 解得11a =，20a =（舍去）点F （-1，4），此时点D 坐标为（-1，0）．综上所述：存在这样的点D ，点D 坐标为（-2，0）或（-1，0）（3）解：①当点P 在BC 上方时，过点P 作PG ⊥BC 于点G ，作PM ⊥x 轴，交BC 于点N ，过点P 作直线PH ∥BC ．则PNG 是等腰直角三角形，∵PG =2， ∴PN =2， ∵PM ⊥x 轴，∴直线PH 由直线BC 向上平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为5y x =+．联立直线PH 和抛物线的解析式，得：2235y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩，解得：14x y =-⎧⎨=⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．∴点P 坐标为(-1，4)或(-2，3) ．②当点P 在BC 下方时，同理可得直线PH 由直线BC 向下平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为1y x =+．2231y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩，解得：31721172x y ⎧-+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩或31721172x y ⎧--=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．∴点P 坐标为(31711722，-+-+)或(31711722----，)．综上所述：点P 坐标为(-1，4)或(-2，3)或(31711722，-+-+)或(31711722----，)．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中．12．已知二次函数的图象交x 轴于点A （3，0），B （－1，0），交y 轴于点C （0，－3），P 这抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式：(2)当△P AC 是以AC 为直角边的直角三角形时，求点P 的坐标：(3)抛物线上是否存在点P ，使得以点P 为圆心，2为半径的圆既与x 轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P 的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程）【答案】(1)223y x x =--(2)点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分当∠P AC =90°时，当∠PCA =90°时，两种情况讨论求解即可；（3）由圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切，可得点P 的纵坐标为-2，由此求出点P 的坐标即可；过点P 作PE ⊥MN 于E ，由垂径定理可得MN =2ME ，利用勾股定理求出ME 即可得到答案．(1)解：设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，把点C （0，-3）代入得，()()01033a +-=-，∴1a =，∴抛物线解析式为()()21323y x x x x =+-=--；(2)解：如图所示，当∠P AC =90°时，设P A 与y 轴交点为D ， ∵点A 坐标为（3，0），点C 坐标为（0，-3）， ∴OA =OC =3， ∵∠AOC =90°， ∴∠CAO =45°， ∴∠DAO =45°， ∴OA =OD =3，∴点D 的坐标为（0，3），设直线AD 的解析式为y kx b =+，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AD 的解析式为3y x =-+，联立2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩，解得25x y =-⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点P 的坐标为（-2，5）；当∠PCA =90°，设直线PC 与x 轴的交点为E ，同理可证∠ECO =45°，即OE =OC ， ∴点E 的坐标为（-3，0），同理可以求出直线PC 的解析式为3y x =--，联立2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩或03x y =⎧⎨=-⎩（舍去），∴点P 的坐标为（1，-4），综上所述，点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)解：∵抛物线解析式为()222314y x x x =--=--， ∴抛物线对称轴为直线1x =，∴点A 和点B 到抛物线的对称轴的距离都为2，∵圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切， ∴点P 的纵坐标为-2，当2y =-时，2232x x --=-，解得121212x x =-=+，，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，，过点P 作PE ⊥ME 交抛物线对称轴于E ，∴1212PE =+-=或()112=2--，2MN ME =， ∴222ME MP PE =-=， ∴22MN =，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键．13．如图，二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA=OC(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O 为圆心的圆与直线AC 相切于点D ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P 使得以P 、A 、D 、O 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2144y x =-+(2)点D 的坐标为()2,2-(3)存在，点1P 的坐标为()8,12-，点2P 的坐标为()225,225----【分析】（1）由题意可知C 坐标，根据题意得到三角形AOC 为等腰直角三角形，确定出A 坐标，代入二次函数解析式求出a 的值，即可确定出解析式；（2）由题意连接OD ，作DE ∥y 轴，交x 轴于点E ，DF ∥x 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，由圆O 与直线AC 相切于点D ，得到OD 垂直于AC ，由OA =OC ，利用三线合一得到D 为AC 中点，进而求出DE 与DF 的长，确定出D 坐标即可；（3）根据题意分两种情况考虑：经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y =-x -4，与抛物线解析式联立求出P 坐标；经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y =x ，与抛物线解析式联立求出P 坐标即可． (1)解：∵二次函数24y ax =+的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为()0,4，∵二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A ，tan ∠OAC ＝1， ∴∠CAO ＝45°， ∴OA ＝OC ＝4， ∴点A 的坐标为()4,0-， ∴()2044a =-+，∴14a =-，∴二次函数的解析式为2144y x =-+；(2)连接OD ，作DE 轴，交x 轴于点E ，DF 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，∵⊙O 与直线AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ， ∵OA ＝OC ＝4， ∴点D 是AC 的中点，∴122DE OC ==，122DF OA ==，∴点D 的坐标为()2,2-； (3)直线OD 的解析式为y ＝－x ，如图2所示，则经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y ＝－x －4，解方程组24144y x y x =--⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得24320x x --=，即()()840x x -+=， ∴18x =，24x =-（舍去）， ∴y ＝－12，∴点1P 的坐标为()8,12-；直线AC 的解析式为y ＝x ＋4，则经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y ＝x ，解方程组2144y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得24160x x +-=，即225x =-+， ∴1225x =--，2225x =-+（舍去）， ∴225y =--，∴点2P 的坐标为()225,225----．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．14．如图，已知二次函数213442y x x =-++的图像与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ；(1)求顶点D 的坐标； (2)求直线BC 的解析式；(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE ，CE ，求△BCE 面积的最大值； (4)以AB 为直径，M 为圆心作圆M ，试判断直线CD 与圆M 的位置关系，并说明理由【答案】(1)25(3,)4(2)142y x =-+(3)16(4)直线与圆M 相交，理由见解析【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；（2）先解得(2,0),(8,0)A B -，(0,4)C ，再利用待定系数法，代入点B 、C 的坐标即可解答；（3）根据中点公式解得点M 的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM ，MD 的长，比较MD <CM ，得到直线与圆M 有两个交点，据此解答． (1)解：222213114612264=()4()445949(3)44y x x x x x x x --=-++-+=-+--+=+-即顶点D 的坐标25(3,)4； (2)由（1）知(0,4)C 令0y =得201(3)254=4x -+- 解得128,2x x ==-(2,0),(8,0)A B ∴-设直线BC 的解析式：y kx b =+，代入点B 、C480b k b =⎧⎨+=⎩124k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 142y x ∴=-+ (3)如图，设21(,)3442E x x x ++-（0<x <8），过点E 作EH x ⊥于H ， BCE BOC COBE S S S=-四边形 BHE BOC COHE SS S =+-梯形 1()1222EH CO OH BH EH BO CO +⋅=⋅+-⋅223432421(4)1114(8)()842422x x x x x x -+⋅=-⋅-+-++⨯+⨯+ 2=8x x -+2(4)16=x --+即当x =4时，△BCE 面积的最大值为16；(4)直线与圆M 的位置是相交，理由如下，如图，M 为BC 的中点，0804(,)22M ++∴ 即(4,2)M222225305(04)(42)25,(34)(2)44CM MD ∴=-+-==-+-= 32030532025,444=< MD MC ∴<∴直线CD 与圆M 有两个交点，即直线与圆M 的位置是相交．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）二次函数的表达式为；（2）点M 在直线BC 上，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）若点E 在二次函数的图象上，以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65，请直接写出点E 的坐标．【答案】（1）239344y x x =-++；（2）点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）；（3）点E 的坐标为3626,4⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3626,4⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据A 、B 两点的坐标，应用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）首先通过BC 两点坐标，求出直线BC 的解析式，再根据三角形△ABM 是等腰三角形，分3种情况考虑，得到关于M 点横坐标x 的方程，解之即可得到x 的值，进而得到M 点坐标；（3）利用面积法求出O 到直线BC 的距离，结合EF 的长度可知P 1为线段OC 中点，可得P 1的坐标，进而可得P 2坐标，结合直线BC 的表达式，可求出直线EP 的表达式，联立直线EP 和抛物线的函数表达式，组成方程组，即可解得点E 的坐标．【详解】解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3得：3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴a ＝34-，b ＝94， ∴239344y x x =-++，故二次函数表达式为：239344y x x =-++；（2）当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），设直线BC 的表达式为：y ＝kx ＋c （k ≠0），将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx ＋c 得：4303k c +=⎧⎨=⎩， ∴343k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为：334y x =-+，使得△ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 1作M 1D ⊥AB ，∵A （﹣1，0），B （4，0），∴AD ＝12AB ＝52， ∴OD ＝32，设M 1（x ，﹣34x ＋3）， ∴M 1（32，158）， ∵△ABM 为等腰三角形，∴AB ＝BM 2＝5或AB ＝BM 3＝5，设M 2（x 1，﹣34x 1＋3）， ∴BM 2＝()22113434x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝5，解得x 1＝8或0，当x 1＝0时，y ＝3，当x 1＝8时，y ＝﹣3，∴点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）；（3）过点E 作EP ∥BC ，交y 轴于点P ，这样的点有两个，分别记为P 1，P 2，如图所示：∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝22OB OC +＝5，∴点O 到直线BC 的距离为：125OB OC BC ⋅=， ∵以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65， ∴点E 到直线BC 的距离是65， ∴点P 1为线段OC 的中点，∴CP 1＝CP 2，∴P 2（0，92）， ∵直线BC 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋3， ∴直线EP 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋32或y ＝﹣34x ＋92，联立直线EP 和抛物线的表达式方程组，得：2334239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩或2394239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，得1126364x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或2226364x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或33223234x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或44223234x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， ∴点E 的坐标为36264⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，或36264⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合应用．解题的关键要熟练掌握代入法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、两点间的距离公式及勾股定理等．。

2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型

综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。

圆、概率和二次函数的基本知识

圆、概率、二次函数和相似三角形的基本知识一、圆的基本知识：1）与圆有关的概念：1. 圆上各点到圆心的距离都等于半径.2. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4.圆心角、弧和弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两个弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两个弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。

5.圆周角定理和推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半.推论1：直径或半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.推论2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等2）与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系1. 点与圆的位置关系共有三种：①点在圆上，②点在圆内，③点在圆外；2.设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，①点P在《=》 d r，②点P在《=》 d r，③点P在《=》d r.（注：从左到右是性质，从右到左是判定）（2）直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系共有三种：①相离，②相切，③相交.2．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l与⊙O 相《=》d r，②直线l与⊙O 相《=》d r，③直线l与⊙O 相《=》 d r. （注：从左到右是性质，从右到左是判定）（3）圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系共有五种：①外离，②外切，③相交，④内切，⑤内含；2．设两圆的圆心距d和两圆的半径分别是R、r（R﹥r）①两圆《=》d＞R+r，②两圆《=》d=R+r，③两圆《=》R－r＜d＜R＋r，④两圆《=》d＝R－r，⑤两圆《=》d＜R－r. （注：从左到右是性质，从右到左是判定）3)切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径；(直线l切⊙O于点A,通常作的辅助线是连接，得)简称：连半径得垂直切线的判定定理经过半径的的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（直线l 经过⊙O 上的一点A ，求证直线l 是⊙O 的切线，通常作的辅助线是连接证明）简称：连半径证垂直切线长定理从圆外一点可以向圆引两条切线，它们的切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.4）三角形的外接圆和内切圆1.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点.2.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的内心 .（如果三角形的周长为l ，面积为S ，它的内切圆的半径为r ,则S= 。

二次函数背景下的与圆有关的问题(解析版)

备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。

而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。

以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。

解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。

【典例示范】类型一圆的基本性质应用例1：如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m 的图象经过点P （4，5），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，且S △P AB ＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q 使得△P AQ 和△PBQ 的面积相等？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A 、P 、C 三点的圆与抛物线交于另一点D ，求出D 点坐标及四边形P ACD 的周长．【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）点Q 的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）．【思路引导】（1）因为抛物线y ＝ax 2﹣2ax +m ，函数的对称轴为：x ＝1，S △P AB ＝10＝12×AB ×y P ＝12AB ×5，解得AB=4，即可求解；（2）分A 、B 在点Q （Q′）的同侧；点A 、B 在点Q 的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P 作PO′⊥x 轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A 、P 、C 三点的圆，即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax+m，函数的对称轴为：x＝1，S△P AB＝10＝12×AB×y P＝12AB×5，解得：AB＝4，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点P的坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）①当A、B在点Q（Q′）的同侧时，如图1，△P AQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称，故点Q′（﹣2，5）；②当A、B在点Q的两侧时，如图1，设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，△P AQ和△PBQ的面积相等，则AM＝BN，而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，∴△AME≌△BNE（AAS），∴AE＝BE，即点E是AB的中点，则点E（1，0），将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PQ的表达式为：y＝53x﹣53…②，联立①②并解得：x＝﹣13或4（舍去4），故点Q（﹣13，﹣209），综上，点Q的坐标为：（﹣2，5）或（﹣13，﹣209）；（3）过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，故圆O′是过A、P、C三点的圆，设点D（m，m2﹣2m﹣3），点O′（4，0），则DO′＝5，即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，化简得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），故：m＝1，故点D（1，﹣4）；四边形P ACD的周长＝P A+AC+CD+PD＝【方法总结】本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函数的知识是解题的关键.针对训练1．如图，一次函数y=2x与反比例函数y=kx(k＞0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若k的值；（2）若OQ长的最大值为32，求k的值；（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．【答案】（1）2；（2）3225；（3）a的值为-3或2或-4或1．【解析】（1）设A(m，n)，∵∴m2+n2=5，∵一次函数y=2x的图象经过A点，∴n=2m，∴m2+(2m)2=5，解得m=±1，∵A在第一象限，∴m=1，∴A(1，2)，∵点A在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=1×2=2；（2）如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=12 BP，∵OQ长的最大值为32，∴BP长的最大值为32×2=3，如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP=1，∴BC=2，∵B在直线y=2x上，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，∴22=(t+2)2+(-2t)2，t=0(舍)或-45，∴B(-45，-85)，∵点B在反比例函数y=kx(k＞0)的图象上，∴k=-45×(-85)=3225；（3）∵抛物线经过点C(-2，0)，∴4a-2b+c=0，又∵a+b+c=0，∴b=a，c=-2a，∴y=ax2+ax-2a=a(x+12)2-94a，∵-12＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-12，当x=a时，取得最大值4a，则a•a2+a•a-2a=4a，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a，则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，解得a=-4或1，综上所述所求a的值为-3或2或-4或1．2．对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．（1）请写出反比例函数y＝6的图象上的一对关联点的坐标：；x（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c 的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．【答案】（1）（2，3），（3，2）．（2）A，B两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）1＜m≤1+3√2．【解析】解：（1）∵2×3＝3×2＝6，∴点（2，3），（3，2）是反比例函数y＝6的图象上的一对关联点．x故答案为：（2，3），（3，2）．（2）∵抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，＝1，∴﹣b2解得：b＝﹣2．∵抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，﹣1），∴c＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1．由关联点定义，可知：点A，B关于直线y＝x对称．又∵直线AB与x轴交于点D（1，0），∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x ＋1．联立直线AB 及抛物线解析式成方程组，得：{y ＝﹣x ＋1y ＝x 2﹣2x ﹣1，解得：{x 1=−1y 1=2 ，{x 2=−1y 2=2， ∴A ，B 两点坐标为（﹣1，2）和（2，﹣1）．（3）由关联点定义，可知：点M ，N 关于直线y ＝x 对称，∴⊙T 的圆心在直线y ＝x 上．∵⊙T 的半径为3，∴M 1M 2＝√22×2×3＝3√2，∴m 的取值范围为1＜m≤1＋3√2． .3．已知：直线y=-x -4分别交x 、y 轴于A 、C 两点，点B 为线段AC 的中点，抛物线y=ax 2+bx 经过A 、B 两点，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B 关于x 轴的对称点D 为圆心，以OD 为半径作⊙D ，连结AD 、CD ，问在抛物线上是否存在点P ，使S △ACP =2S △ACD ？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E 为⊙D 上一动点(不与A 、O 重合)，连结AE 、OE ，问在x 轴上是否存在点Q ，使∠ACQ ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x2+2x；（2）P坐标为(-3)或(-3+，7)；（3）Q坐标为8，0)、(--8，0)、(4，0)．【解析】解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，∴A(-4，0)，C(0，-4)，∵点B为AC中点，∴B(-2，-2)，∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，∴1640 422a ba b-=⎧⎨-=-⎩，解得：122ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数关系式为y=12x2+2x．（2）在抛物线上存在点P使S△ACP=2S△ACD．如图1，连接AD并延长交y轴于点F，∵y=12x2+2x=12(x-2)2-2，∴点B为抛物线的顶点，∵点D为点B关于x轴的对称点，∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，∴DA=DO，∠DAO=∠DOA=45°，∵OA=OC=4，∠AOC=90°，∴∠OAC=45°，∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，∴S △ACD =12AC•AD ， ∵∠AOF=90°，∴AF 为⊙D 直径，即点F 在⊙D 上，∴AF=2AD ，OF=OA=4即F(0，4)，∵S △ACP =2S △ACD =2•12AC•AD=12AC•2AD=12AC•AF ， ∴点P 在过点F 且平行于直线y=-x -4的直线上，∴直线PF 解析式为y=-x+4， ∵24122y x y x x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：1137x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩；2237x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩∴点P 坐标为(-3)或(-7；（3）在x 轴上存在点Q 使∠ACQ ：∠AEO=2：3． ∵∠OAD=∠ODA=45°，∴∠ADO=90°，∵点E 在⊙D 上且不与A 、O 重合，∠ACQ ：∠AEO=2：3． ①如图2，当点E 在优弧AO 上时，∠AEO=12∠ADO=45°， ∴∠ACQ=23∠AEO=30°，过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，．∴∠GAQ=∠OAC=45°，∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，t．i)若点Q在线段AO上时，如图2：则，解得：-，∴(4=，∴x Q=-8；ii)若点Q在线段OA延长上时，如图3：则AC=CG-t-t=4，解得：t=，∴(4=，∴x Q=-4--8，②当点E在劣弧AO上时，∠AEO=12(360°-∠ADO)=135°，∴∠ACQ=23∠AEO=90°．∵∠CAO=45°，△ACO是等腰直角三角形，∴Q点与A点对称，A (-4，0)∴x Q=4．综上所述：满足条件的点Q有三个，坐标分别为8，0)、(--8，0)、(4，0)4．已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=−m的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P2的值．的半径记为r，求lr【答案】（1）证明见解析；（2）①定点F的坐标为（0，1）；②10+6√5．5【解析】（1）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴△＞0，∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，则y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通过定点（0，1）理由：如图，∵点A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB=OBOC =m+22（m+2）=12，在Rt△AOF中，tan∠OAF=OFOA =OF2=12，∴OF＝1，∴点F的坐标为（0，1）；②如图1，由①知，点F（0，1）．∵D（0，1），∴点D在⊙P上，∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，∴∠DCE＝90°，∴DE是⊙P的直径，∴∠DBE＝90°，∵∠BED ＝∠OCB ，∴tan ∠BED =12，设BD ＝n ，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD BE =n BE =12， ∴BE ＝2n ，根据勾股定理得：DE =√BD 2+BE 2=√5n ，∴l ＝BD+BE+DE ＝（3+√5）n ，r =12DE =√52n ， ∴l r =√5）√52n =10+6√55． 5．．如图①，已知抛物线2139424y x x =-+的顶点为点P ，与y 轴交于点B ．点A 坐标为（3，2）．点M 为抛物线上一动点，以点M 为圆心，MA 为半径的圆交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）．（1）如图②，当点M 与点B 重合时，求CD 的长；（2）当点M 在抛物线上运动时，CD 的长度是否发生变化？若变化，求出CD 关于点M 横坐标x 的函数关系式；若不发生变化，求出CD 的长；（3）当△ACP 与△ADP 相似时，求出点C 的坐标．【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C 坐标为：（1,0），()1-，()1+ 【解析】（1）如图：连结BC ，BD ，由题意得：904B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，（3，2），∴AB =∴2OC ==，∴CD=2OC=4；（2）如图：作MH ⊥x 轴，连结MA ，MC ，设()M x y ，，则半径AM =∴CH ====2=， ∵MH ⊥CD ，∴CD=2CH=4，（3）①当△APC ∽△APD ，即全等时，∴PC=PD ，P 与M 重合，∵P （3，0），CD=4，∴C （1，0）②如图，点M 在点P 的左侧，△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x -4）=4，解得2x =±，∴()1C -， ③如图，点M 在点P 的右侧△APC ∽△DPA ，2PA PD PC =⨯，设PC=x ，x （x+4）=4，解得2x =-±，∴()C ，综上所述，点C 坐标为：C （1，0）；()1C -；()C ； 6．已知抛物线 C 1：y ＝ax 2 过点（2，2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C 1 上，且边 AC 所在的直线解析式为y ＝x +b ，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求AC 2BD 的值；(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C 1 上一动点，以 PQ 为直径作⊙M ，直线 y ＝t 与⊙M 相交于 H 、K 两点是否存在实数 t ，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=12x 2 ;(2)16;(3)见解析.【解析】（1）把点（2，2）坐标代入y ＝ax2，解得：a ＝12，∴抛物线的解析式为y ＝x2；（2）把y ＝x+b 和y ＝12x2得：x2﹣2x ﹣2b ＝0，设A 、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2b ，点D 坐标为（x 1+x 22，y 1+y 22），即D （1，﹣b ），B 坐标为（1，12）， AC2＝[√2（x2﹣x1）]2＝16b+8，BD ＝12+b ， ∴AC 2BD ＝16；(3)设点Q 坐标为（a ，12a2），点P 的坐标为（0，2），由 P 、Q 坐标得点M 的坐标为（a 2，14a2+1），设圆的半径为 r ，由P （0，2）、M 两点坐标可得r2＝a 24+（14a2﹣1）2＝116a4﹣14a2+1，设点M 到直线y ＝t 的距离为d ，则d2＝（a2+1﹣t ）＝116a4+12a2+1+t2﹣2t ﹣12a2t ，则 HK ＝2√r 2−d 2＝2√(12t −34)a 2+2t −t 2，当12t −34＝0 时，HK 为常数，t ＝32， HK ＝√3．7．（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，如图1，直角三角板△MON 中，OM=ON=√3，OQ=1，直线l 过点N 和点N ，抛物线y=ax 2+2√33x+c 过点Q 和点N ．（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P 是抛物线y=ax 2+2√33x+c 上的一个动点．①初步尝试若点P 在y 轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，问：是否存在点P ，使得以N 、P 、A 为顶点的三角形与△ONQ 相似．若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；②深入探究若点P 在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ ，与直线MN 交于点G ，以QG 为直径的圆交QN 于点H ，交x 轴于点R ，连结HR ，求线段HR 的最小值．【答案】（1）y=﹣√33x2+2√33x+√3（2）①（1，4√33）、（3，0）、（5，﹣4√3）②3√2+64【解析】（1）由题意可知，Q （﹣1，0），N （0，√3），∴c=√3，即y=ax2+2√33x+√3，将Q （﹣1，0）代入解析式得0=a ﹣2√33+√3，解得a=﹣√33， ∴抛物线解析式是y=﹣√33x2+2√33x+√3；（2）①分三种情况，如图2，情况一：点P 在第一象限时，△APN ∽△ONQ ，设AN=m ，则AP=√3m ，则P 的坐标（√3m ，m+√3），而点P 在抛物线上，代入可得m+√3=﹣√33（√3m ）2++2√33（√3m ）+√3，解得m=√33，∴P1（1，4√33）；情况二：点P 恰好在x 轴上，P2（3，0），情况三：P 在第四象限内，同情况一方法可解得P3（5，﹣4√3），②连结CH 和CR ，如图3，∵∠NQ0=60°，∴∠HCR=120°，∵CH=CR ，∴HR=√3CH ，∴HR 最小时，只需要半径最小，即直径最小即可，∴过Q作NM的垂线，垂直时，QG最小，∴用面积法求出，QG=√6+√22，HR最小值=3√2+64．8．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(−8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．【答案】（1）14x2+32x−4；（2）直线MC与⊙P相切，理由见解析【解析】解：（1）连接AC、BC；∵AB是⊙P的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，∵∠BCO+∠CBO=90°，∴∠CBO=∠ACO，∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴AOOC =OC OB，∴OC2=OA·OB=16，∴OC=4，故C(0，﹣4)，设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x ﹣2)，代入C 点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=14，故抛物线的解析式为：y=14(x+8)(x ﹣2)=14x 2+32x ﹣4；(2)由(1)知：y=14x 2+32x ﹣4=14(x +3)2﹣254；则M(﹣3，﹣254)，又∵C(0， ﹣4)，P(﹣3， 0)，∴MP=254，PC=5，MC=154，∴MP 2=MC 2+PC 2，即△MPC 是直角三角形，且∠PCM=90°，故直线MC 与⊙P 相切．9．已知抛物线y=ax 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，在x 轴上有一点D （4，0），连接CD ．（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q ，使得CD 平分∠ACQ ，请求出点Q 的坐标；（3）在直线CD 的下方的抛物线上取一点N ，过点N 作NG ∥y 轴交CD 于点G ，以NG 为直径画圆在直线CD 上截得弦GH ，问弦GH 的最大值是多少？（4）一动点P 从C 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C ﹣A ﹣D 运动，在线段CD 上还有一动点M ，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43；（2）点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）；（3）弦GH 的最大值81√580；（4）存在，t 的值为3或7【解析】解：（1）∵抛物线y=a x 2+bx 过点A （1，4）、B （﹣3，0），∴{a +b ＝49a −3b ＝0，解得：a=1,b=3, ∴抛物线的表达式为y=x 2+3x ．（2）当y=4时，有x 2+3x=4，解得：x 1=﹣4，x 2=1，∴点C 的坐标为（﹣4，4），∴AC=1﹣（﹣4）=5．∵A （1，4），D （4，0），∴AD=5．取点E （﹣1，0），连接CE 交抛物线于点Q ，如图1所示．∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC ∥DE ，∴四边形ACED 为平行四边形，∵AC=AD ，∴四边形ACED 为菱形，∴CD 平分∠ACQ ．设直线CE 的表达式为y=mx+n （m≠0），将C （﹣4，4）、E （﹣1，0）代入y=mx+n ，得：{−4m +n ＝4−m +n ＝0 ，解得：{m =−43n =−43， ∴直线CE 的表达式为y=﹣43x ﹣43．联立直线CE 与抛物线表达式成方程组，得：{y =−43x −43y =x 2+3x，解得：{x 1=−4y 1=4 ,{x 2=−13y 2=−89 ， ∴点Q 的坐标为（﹣13，﹣89）．（3）设直线CD 的表达式为y=kx+c （k≠0），将C （﹣4，4）、D （4，0）代入y=kx+c ，得：{−4k +c ＝44k +c ＝0 ，解得：{k =−12c =2 ， ∴直线CD 的表达式为y=﹣12x+2．设点N 的坐标为（x ，x2+3x ），则点G 的坐标为（x ，﹣12x+2），∴NG=﹣12x+2﹣（x2+3x ）=﹣x2﹣72x+2=﹣（x+74）2+8116，∵﹣1＜0，∴当x=﹣74时，NG 取最大值，最大值为8116．以NG 为直径画⊙O′，取GH 的中点F ，连接O′F ，则O′F ⊥BC ，如图2所示．∵直线CD 的表达式为y=﹣12x+2，NG ∥y 轴，O′F ⊥BC ， ∴tan ∠GO′F=GF O′F =12， ∴GF O′G =√12+22=√55， ∴GH=2GF=2√55 O′G=√55NG ，∴弦GH 的最大值为√55×8116=81√580．（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD 于点P2，交CD于点M2，如图3所示．∵四边形ACED为菱形，∴点A、E关于CD对称，∴AM=EM．∵AC∥x轴，点A的坐标为（1，4），∴EP1=4．由菱形的对称性可知EP2=4．∵点E的坐标为（﹣1，0），∴点P1的坐标为（﹣1，4），∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，又∵AC=AD=5，∴t的值为3或7．10．如图，在平面直角坐标系中，点A(10, 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB 并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．(1)∠OBA=________°．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】(1)90;(2)y=−18x2+54x;(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．【解析】解：(1)90；(2)连接OC，如图1所示，∵由(1)知OB⊥AC，又AB=BC，∴OB是AC的垂直平分线，∴OC=OA=10，在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，∴C(6, 8)，B(8, 4)∴OB所在直线的函数关系为y=12x，又∵E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6, 3)，抛物线过O(0, 0)，E(6, 3)，A(10, 0)，∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x−10)，把E点坐标代入得：3=6a(6−10)，解得a=−18．∴此抛物线的函数关系式为y=−18x(x−10)，即y=−18x2+54x；(3)设点P(p, −18p2+54p)，①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP 所在直线函数关系式为：y =(−18p +54)x∴当x =6时，y =−34p +152，即Q 点纵坐标为−34p +152， ∴QE =−34p +152−3=−34p +92，S 四边形POAE =S △OAE +S △OPE =S △OAE +S △OQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12QE ⋅OD −12⋅QE ⋅P x •=12×10×3+12×(−34p +92)×6−12•(−34p +92)⋅(6−p )， =−38p 2+94p +15， ②若点P 在CD 的右侧，延长AP 交CD 于Q ，如右图3，P(p, −18p 2+54p)，A(10, 0) ∴设AP 所在直线方程为：y =kx +b ，把P 和A 坐标代入得，{10k +b =0pk +b =−18p 2+54p，解得{k =−18p b =54p． ∴AP 所在直线方程为：y =−18px +54p ，∴当x =6时，y =−18p ⋅6+54p =12P ，即Q 点纵坐标为12P ，∴QE =12P −3，∴S 四边形POAE=S △OAE +S △APE =S △OAE +S △AQE −S △PQE =12⋅OA ⋅DE +12⋅QE ⋅DA −12⋅QE •(P x −6)=12×10×3+12⋅QE •(DA −P x +6)=15+12•(12p −3)⋅(10−p) =−14p 2+4p =−14(p −8)2+16，∴当P 在CD 右侧时，四边形POAE 的面积最大值为16，此时点P 的位置就一个，令−38p 2+94p +15=16，解得，p =3±√573， ∴当P 在CD 左侧时，四边形POAE 的面积等于16的对应P 的位置有两个，综上所知，以P 、O 、A 、E 为顶点的四边形面积S 等于16时，相应的点P 有且只有3个．类型二与圆有关的位置关系例2．如图1，二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．（1）求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）若以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E 是y 轴负半轴上一点，连接BE ，将△OBE 绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN （点P 、M 、N 分别和点O 、B 、E 对应），并且点M 、N 都在抛物线上，作MF ⊥x 轴于点F ，若线段MF ：BF ＝1：2，求点M 、N 的坐标；③点Q 在抛物线的对称轴上，以Q 为圆心的圆过A 、B 两点，并且和直线CD 相切，如图3，求点Q 的坐标．【答案】（1）（1，﹣4a ）；（2）①y=﹣x 2+2x+3；②M （52，74）、N （32，154）；③点Q 的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣）．【思路引导】（1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D 的坐标．（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD 是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD 的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．【解析】（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF，∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1（舍去）、x2=5 2 .∴M（52，74）、N（32，154）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：∵C （0，3）、D （1，4），∴CH =DH =1，即△CHD 是等腰直角三角形，∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD 2=2QG 2；设Q （1，b ），则QD =4﹣b ，QG 2=QB 2=b 2+4；得：（4﹣b ）2=2（b 2+4），化简，得：b 2+8b ﹣8=0，解得：b =﹣；即点Q 的坐标为（1，4-+）或（1，4--．【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题题目的关键．针对训练1．抛物线y ＝﹣23x 2+73x ﹣1与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y ＝t (t ＜2524)上方的部分沿直线l 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M ”形的新图象．(1)点A ，B ，D 的坐标分别为，，；(2)如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内(含边界)时，求t 的取值范围；(3)如图②，当t ＝0时，若Q 是“M ”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A （12，0）；B （3，0）；D （74，2524）；（2）1548≤t≤2548；（3）存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P的坐标为（75-0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）．【解析】解：（1）当y=0时，﹣23x 2+73x ﹣1=0，解得x 1=12,x 2=3, ∴点A 的坐标为（12，0），点B 的坐标为（3,0）， ∵y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣23（x -74）2+2524, ∴点D 的坐标为（74，2524）；（2）∵点E 、点D 关于直线y=t 对称，∴点E 的坐标为（74，2t ﹣2524）．当x=0时，y=﹣23x 2+73x ﹣1=﹣1， ∴点C 的坐标为（0，﹣1）．设线段BC 所在直线的解析式为y=kx+b ，将B （3，0）、C （0，﹣1）代入y=kx+b ，301k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：131k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴线段BC 所在直线的解析式为y=13x ﹣1． ∵点E 在△ABC 内（含边界），∴2520242517212434tt⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⨯-⎪⎩，解得：1548≤t≤2548．（3）当x＜12或x＞3时，y=﹣23x2+73x﹣1；当12≤x≤3时，y=﹣23x2+73x﹣1．假设存在，设点P的坐标为（12m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜12或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣23x2+73x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣23m2+73m）2=14m2+1+14m2+（﹣23m2+73m﹣1）2，整理，得：m1，m2，∴点P 0，0）； ②当12≤m≤3时，点Q 的坐标为（m,23x 2-73x +1）（如图2）， ∵以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ， ∴CP ⊥PQ ，∴CQ 2=CP 2+PQ 2，即m 2+（23m 2﹣73m+2）2=14m 2+1+14m 2+（23m 2﹣73m+1）2，整理，得：11m 2﹣28m+12=0，解得：m 3=611，m 4=2， ∴点P 的坐标为（311，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ，点P 0）、（311，0）、（1，0）或（75+，0）． 2．如图1，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5），且过点（﹣3，114），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：（应用）问题1，如图2，线段AB ＝d （定值），将其弯折成互相垂直的两段AC 、CB 后，设A 、B 两点的距离为x ，由A 、B 、C 三点组成图形面积为S ，且S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上）：（1）填空：线段AB 的长度d ＝；弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是；若S ＝3，则是否存在点C ，将AB 分成两段（填“能”或“不能”）；若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB 分成两段的长分别是；（2）填空：在如图1中，以原点O 为圆心，A 、B 两点的距离x 为半径的⊙O ；画出点C 分AB 所得两段AC 与CB 的函数图象（线段）；设圆心O 到该函数图象的距离为h ，则h ＝，该函数图象与⊙O 的位置关系是．（提升）问题2，一个直角三角形斜边长为c （定值），设其面积为S ，周长为x ，证明S 是x 的二次函数，求该函数关系式，并求x 的取值范围和相应S 的取值范围．【答案】抛物线的解析式为：y ＝﹣14x 2+5；（1）＜x ＜；（2，相离或相切或相交；（3）相应S 的取值范围为S ＞14c 2．【解析】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点（0，5）， ∴y ＝ax 2+5，将点（﹣3，114）代入，得114＝a×（﹣3）2+5， ∴a ＝14﹣ ， ∴抛物线的解析式为：y ＝2154x +﹣ ；（1）∵S 与x 的函数关系如图所示（抛物线y ＝ax 2+bx+c 上MN 之间的部分，M 在x 轴上），在y ＝2154x +﹣，当y ＝0时，x 1＝x 2＝﹣∴M （0），即当x ＝S ＝0，∴d 的值为∴弯折后A 、B 两点的距离x 的取值范围是0＜x ＜当S ＝3 时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝3，整理，得a 2﹣＝0， ∵△＝b 2﹣4ac ＝﹣4＜0， ∴方程无实数根；当S ＝1.5时，设AC ＝a ，则BC ＝a ，∴12a （a ）＝1.5，整理，得a 2﹣＝0，解得1a 2a∴当a +a当a a +∴若面积S ＝1.5时，点C 将线段AB +故答案为：0＜x ＜+（2）设AC ＝y ，CB ＝x ，则y ＝﹣1所示的线段PM ，则P （0，，M （0）， ∴△OPM 为等腰直角三角形，∴PM OP ＝，过点O 作OH ⊥PM 于点H ，则OH ＝12PM ，∴当0＜x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相离；当x 时，AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相切；＜x ＜AC 与CB 的函数图象（线段PM ）与⊙O 相交；，相离或相切或相交；（3）设直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，则222-a b c a b x c ++＝，＝， ∵（a+b ）2＝a 2+b 2+2ab ， ∴（x ﹣c ）2＝c 2+2ab ，∴2111242ab x cx =-，即S ＝()22211114244x cx x c c -=-+，∴x 的取值范围为：x ＞c ，则相应S 的取值范围为S ＞214c ．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则直线BC 的表达式为：1y x 22=--，设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -，点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴，QHN OCA ∠∠∴=，1tan QHN2∠∴=，则sin QHN ∠=，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-，则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+，解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--．4．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线L 1、L 2给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与L 1、L 2交于Q 1、Q 2，总有PQ 1PQ 2是定值，我们称曲线L 1与L 2“曲似”，定值PQ1PQ 2为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O ′为圆心，半径分别为r 1、r 2(都是常数)的两个同心圆C 1、C 2，从点O ′任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有O ′MO ′N =r 1r 是定值，所以同心圆C 1与C 2曲似，曲似比为r1r 2，“曲心”为O ′．(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O 与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使⊙O与直线BC相切，k=±√3；（3）m>1，k2=m2−1．【解析】(1)是，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，依题意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，因此D(k,0)、C(2k,0)，∵AD ⊥x 轴、BC ⊥x 轴， ∴AD//BC ， ∴OA OB=OD OC=k 2k=12，∴两抛物线曲似，曲似比为12；(2)假设存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切，则OA =OC =2k ，又∵OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(2k)2，解得：k =√3(负值舍去)，由对称性可取k =−√3，综上，k =±√3；(3)根据题意得A(k,k 2)、B(mk,mk 2)，因此D(k,0)、C(mk,0)， ∵⊙O 与直线BC 相切， ∴OA =OC =mk ，由OA >OD 可得mk >k ，则m >1，由OD =k 、AD =k 2，并且OD 2+AD 2=OA 2， ∴k 2+(k 2)2=(mk)2，整理，得：k 2=m 2−1．5．已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于A B ，两点（A 在B 的左侧），且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；（3）把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移 t 个单位（t ＞0），二次函数的图象与x 轴交于 M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当 t 为何值时，过 F ，M ，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）一次函数的解析式为314y x =-+；二次函数解析式为214y x =．（2）相切，证明见解析（3）当3t =时，过F M N ，，三点的圆面积最小，最小面积为4π．【解析】()1把()4,4A -代入1y kx =+得34k =-∴一次函数的解析式为314y x =-+ ∴二次函数图象的顶点在原点,对称轴为y 轴，∴二次函数的解析式为2y ax =,将()4,4A -代入解析式得14a =-∴二次函数的解析式为214y x =-()2由231414y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得44x y =-⎧⎨=⎩或114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，11,4B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，取,A B 的中点317,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过P 作直线l 的垂线,垂足为N ,则3,12N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1725188PN ∴=+=，而直径254AB ∴==12PN AB ∴=，即圓心到直线l 的距离等于半径，以AB 为直径的圆与直线l 相切.()3平移后二次函数的解析式为()2124y x t =--,令0,y =得()212120,224x t x x --==-=过,,F M N 三点的國的圆心C 一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圓面积最小,圆半径应等于点F 到直线2x =2的距离,点C 坐标为()2,1. 此时,半径为2,面积为4π设圆心为,C MN 的中点为E ,连接,CE CM ,则1CE =，在三角形CEM 中，ME =MN ∴=2134MN x x t =-=∴= ∴当3t 4=时，过,,F M N 三点的圓面积最小,最小面积为4π. 6．如图，在平面角坐标系中，抛物线C 1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C 2：y=2x 2+x+1，动直线x=t 与抛物线C 1交于点N ，与抛物线C 2交于点M ．（1）求抛物线C 1的表达式；（2）直接用含t 的代数式表示线段MN 的长；（3）当△AMN 是以MN 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C 1与y 轴交于点P ，点M 在y 轴右侧的抛物线C 2上，连接AM 交y 轴于点k ，连接KN ，在平面内有一点Q ，连接KQ 和QN ，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP 时，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）MN=t 2+2；（3）t 的值为1或0；（4）满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）【解析】（1）∵抛物线C1：y=ax 2+bx ﹣1经过点A （﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），∴{1=4a −2b −1−1=a −b −1，解得：{a =1b =1 ， ∴抛物线C1：解析式为y=x 2+x ﹣1；（2）∵动直线x=t 与抛物线C1交于点N ，与抛物线C2交于点M ，∴点N 的纵坐标为t 2+t ﹣1，点M 的纵坐标为2t 2+t+1，∴MN=（2t 2+t+1）﹣（t 2+t ﹣1）=t 2+2；（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN 时，由已知N （t ，t 2+t ﹣1），A （﹣2，1），∴AN=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t1=0（舍去），t2=1，∴t=1；②当∠AMN=90°，AN=MN 时，由已知M （t ，2t 2+t+1），A （﹣2，1），∴AM=t ﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t 2+2，∴t 2+2=t+2，∴t 1=0，t 2=1（舍去），∴t=0，故t 的值为1或0；（4）由（3）可知t=1时M 位于y 轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K （0，3），B 、O 、N 三点共线，∵A （﹣2，1），N （1，1），P （0，﹣1），∴点K 、P 关于直线AN 对称，设⊙K 与y 轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2），∴Q2与点O 关于直线AN 对称，∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP ，则NQ2延长线与⊙K 交点Q1，Q1、Q2关于KN 的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP ，由图形易得Q1（﹣1，3），设点Q3坐标为（a ，b ），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2√2，由∵⊙K 半径为1，∴{(a −1)2+(b −1)2=(2√2)2a 2+(b −3)2=12，解得：{a 1=35b 1=195 ，{a 2=−1b 2=3 ，同理，设点Q4坐标为（a ，b ），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=√2，∴{(a −1)2+(b −1)2=(√2)2a 2+(b −3)2=12 ，解得：{a 3=45b 3=125 ，{a 4=0b 4=2 ， ∴满足条件的Q 点坐标为：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）.7．如图，直线2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标；（2）若点P 为直线OD 上一动点，求APB ∆的面积；（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作M ，点Q 是M上一动点，求2QB '+的最小值．【答案】（1）；（2）3；（3【解析】(1) (,)D m m，OD =，菱形CODM2OD OC ∴===m ∴= (2)①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于,A B 两点，∴联立，222y x mx m m =-++，2y x =+解得1111x m y m =-⎧⎨=+⎩，2224x m y m =+⎧⎨=+⎩ ∵点A 在点B 的左侧(1,1)A m m ∴-+，(2,4)B m m ++AB ∴==∴直线OD 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+//AB OD ∴，两直线,AB OD 之间距离22h =⨯=11322APBS AB h ∴=⋅=⨯=(3) (1,1)A m m -+，(2,4)B m m ++1AM ∴==2BM ==由M 点坐标(,2)m m +，D 点坐标(,)m m 可知以MD 为半径的圆的半径为(2)2m m +-=取MB 的中点N ，连接,,QB QN QB '，则12MN BM ==⨯=MN QMMN QM QM BM ==QMN BMQ ∠=∠， ~MNQ MQB ∴，2QN MN OB OM ∴==，QN ∴=由三角形三边关系，当,,Q N B '三点共线时QB '+最小， ∵直线AB 的解析式为2y x =+，∴直线AB 与对称轴夹角为45°，∵点,B B '关于对称轴对称， 90BMB '︒∴∠=，由勾股定理得，2QB '+最小值===.8．如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过A ，B ，C 三点，顶点为F.(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；(3)已知M 为抛物线上的一动点(不与C 点重合)，试探究：①若以A ，B ，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F ，试判断直线MF 与☉E 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=14x 2-32x -4，F (3，−254)；(3)①所点M 的坐标为(6，-4)，(√41+3，4)，(-√41+3，4)；②若M 点位于第四象限，则M 点即为M1点，此时直线MF 和☉E 相切，理由见解析.【解析】(1)由题图可得点A 的横坐标为3-5=-2，点B 的横坐标为3+5=8，连接CE ，则CE=5，又OE=3，。

九年级数学圆-二次函数知识点大全(习题解答)

圆的知识点1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

能够重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

4.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

5.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

6.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。

8.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

9.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

10.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

11.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

12.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

13.半圆（或半径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

14.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

15.在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所对的弧一定相等。

16.圆内接四边形的对角互补。

17.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内——d < r18.不在同一直线上的三个点确定一个圆。

19.经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

20.直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

21.直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

2023年中考数学压轴题专题10 二次函数与圆存在性问题【含答案】

专题10二次函数与圆存在性问题二次函数是初中数学代数部分最重要的概念之一，是中考数学的重难点；而圆是初中几何中综合性最强的知识内容，它与二次函数都在中考中占据及其重要的地位，两者经常作为压轴题综合考查，能够很好的考查学生的数学综合素养以及分析问题、解决问题的能力.圆心与抛物线的关系、圆上的点和抛物线的关系，其本质就是把位置关系向数量化关系转化.二次函数与圆的综合要数形结合，在读题之前要想到圆中的相关概念、性质及定理，比如圆的定义、垂径定理、圆周角、圆心角、内心、外心、切线、四点共圆的、隐藏圆等；对于二次函数，要熟练掌握解析式的求法和表达形式、顶点、最值、与方程之间的关系，线段长与点的坐标之间的数量转化等.【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．7．（2020•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（4，0）、O两点，点D（2，﹣2）为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E，交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．8．（2020•百色）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．9．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；＝，求点P的坐标；（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△P AC（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．10．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．11．（2021•嘉兴二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．12．（2021•常州二模）如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F在x 轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．13．（2021•乐山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值14．（2021•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x 轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．15．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON＝，若∠OBN＝∠ONA，且，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：y＝kx+m （k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．16．（2021秋•上城区校级期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021秋•西湖区校级期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；（3）点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．18．（2021•雨花区二模）如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B 为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．19．（2020•东海县二模）如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝x2+x上，点A的坐标为（﹣4，m），点B的坐标为（n，﹣2）．（点A在点B的左侧）（1）则m＝，n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A'、C除外）．20．（2022•绿园区二模）在平面直角坐标系中，已知某二次函数的图象同时经过点A（0，3）、B（2m，3）、C（m，m+3）．其中，m≠0．（1）当m＝1时．①该二次函数的图象的对称轴是直线．②求该二次函数的表达式．（2）当|m|≤x≤|m|时，若该二次函数的最大值为4，求m的值．（3）若同时经过点A、B、C的圆恰好与x轴相切时，直接写出该二次函数的图象的顶点坐标．21．（2022•炎陵县一模）抛物线：y＝﹣x2+bx+c与y轴的交点C（0，3），与x轴的交点分别为E、G两点，对称轴方程为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点C作y轴的垂线交抛物线于另一点D，F为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OC 上一动点．若PD⊥PF，求点P的坐标．（3）如图1，如果一个圆经过点O、点G、点C三点，并交于抛物线对称轴右侧x轴的上方于点H，求∠OHG的度数；（4）如图2，将抛物线向下平移2个单位长度得到新抛物线L，点B是顶点．直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．与对称轴交于点G，若△BMN的面积等于2，求k的值．22．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴相交于点A （4，0），与y轴相交于点B（0，3），在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，过P作PM⊥AB，垂足为点M．（1）求这条抛物线的表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，如果，求点P的坐标；（3）如果以N为圆心，NA为半径的圆与以OB为直径的圆内切，求m的值．【例1】（2022•闵行区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．【分析】（1）根据点A、B的坐标，设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；（2）①分两种情形，当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，则EF＝EB，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，则GB＝t＜GE＝4t，从而得出矛盾；②由．设BD＝t，则DE＝，利用勾股定理得BE＝，则F坐标为（3﹣t，3t），代入抛物线解析式，从而解决问题．【解答】解：（1）∵点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．设抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），∵抛物线经过点C（0，4），∴4＝﹣3a．解得．∴抛物线的表达式是；（2）①由于⊙G与⊙E内切，当r⊙G＜r⊙E时，则EF﹣GB＝GE，设EF＝5t，FG＝3t，GE＝4t，则5t﹣GB＝4t，∴GB＝t＜GE＝4t，∴点E在线段CB的延长线上．又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．当r⊙G＞r⊙E时，则GB﹣EF＝GE，又∵GE＝GB﹣EB，∴EF＝EB；②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB＝∠EDB＝90°．∴．∴设BD＝t，则DE＝；在Rt△BED中，由勾股定理得，．∴，∴F坐标为（3﹣t，3t），∵F点在抛物线上，∴，∴解得，t＝0（点F与点B重合，舍去）．∴F坐标为（，）．【例2】（2022•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C 代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式．（2））通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标．【解答】解：连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P．在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C（2，﹣4），∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2，∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP+PB＝4+2＝6，∴点A（﹣2，0），点B（6，0），把点A（﹣2，0），点B（6，0），点C（2，﹣4）代入函数解析式得，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3．故答案为：y＝x2﹣x﹣3．（2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3，化简得＝0，x N+x M＝﹣＝4（k+1），x N x M＝＝8k﹣12..........①，联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝（+2）2﹣（+2）﹣3，化简得y2+（﹣﹣1）y﹣4＝0，y M+y N＝4k2，y M y N＝﹣16k2................②，线段MN的中点就是圆的圆心，∴x O＝（x N+x M）＝2（K+1），代入直线方程得y O＝2k2，∴圆心坐标为（2k+2，2k2），直径MN＝＝，把①、②代入上式化简整理得直径MN＝，设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径，∴＝，化简整理得16k2+12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x+y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx+x2﹣4x+y2，圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式，k2、k的系数，常量对应相等，得﹣8＝﹣4x，x＝2，16＝﹣4y，y＝﹣4，由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，﹣4）．【例3】（2022•武汉模拟）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c（c＞0）．（1）如图1，抛物线与直线l相交于点M（﹣1，0），N（2，6）．①求抛物线的解析式；②过点N作MN的垂线，交抛物线于点P，求PN的长；（2）如图2，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A，B，C，D（0，n）四点在同一圆上，求n的值．【分析】（1）①把点M（﹣1，0），N（2，6）代入到y＝﹣2x2+bx+c中，可得b和c的值．②设P（a，﹣2a2+4a+6），再利用M（﹣1，0），N（2，6），得到MN、PM、PN的表达式，最后利用勾股定理求得a的值．（2）令C（0，c），当y＝0时，代入抛物线得x A x B＝﹣，根据两角对应相等，可得△AOC∽△DOB，然后再找到对应线段成比例，即得到n的值．【解答】解：（1）①把M（﹣1，0）N（2，6）代入y＝﹣2x2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；②由①，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+4x+6，设P（a，﹣2a2+4a+6）∵M（﹣1，0），N（2，6），∴MN＝＝3，∴PM＝，PN＝，又∵PN⊥MN，则PM2＝MN2+PN2，（﹣1﹣a）2+（2a2﹣4a﹣b）2＝（3）2+（2﹣a）2+（2a2﹣4a）2．整理得：4a2﹣9a+2＝0，∴（a﹣2）（4a﹣1）＝0．∴a1＝2，a2＝．当a＝2时，P与N重合，∴a＝，PN＝．（2）证明：设OA＝﹣x A，OB＝x B，OD＝﹣n当y＝0时，﹣2x2+bx+c＝0，∴x A x B＝﹣，∴OA•OB＝﹣x A x B＝．∵∠CAO＝∠BDO，∠ACO＝∠DBO∴△AOC∽△DOB∴＝∴OA•OB＝OC•OD∴＝c•（﹣n）．∵c≠0∴n＝﹣．【例4】（2022•上海模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+2（a＜0）交y轴于点A，抛物线的对称轴交x轴于点P，联结PA．（1）求线段PA的长；（2）如果抛物线的顶点到直线PA的距离为3，求a的值；（3）以点P为圆心、PA为半径的⊙P交y轴的负半轴于点B，第一象限内的点Q在⊙P上，且劣弧＝2．如果抛物线经过点Q，求a的值．【分析】（1）分别求出P（，0），A（0，2），由两点间距离公式可求；＝×PM×OP＝×AP×3，可得a＝﹣；（2）抛物线的顶点为M（，2﹣a），由S△APM（3）连接PQ，BP，AM，设Q（t，at2﹣3at+2），求出M（﹣1，0），由垂径定理可得AM＝AQ，＝①，PQ＝AP，得②，联立①②可得a＝．【解答】解：（1）y＝ax2﹣3ax+2＝a（x﹣）2+2﹣a，∴抛物线的对称轴为x＝，∴P（，0），令x＝0，则y＝2，∴A（0，2），∴PA＝；（2）由（1）可知抛物线的顶点为M（，2﹣a），∵a＜0，∴2﹣a＞0，∴S △APM ＝×PM ×OP ＝×AP ×3，∴（2﹣a ）×＝×3，解得a ＝﹣；（3）连接PQ ，BP ，AM ，∵MP ⊥AB ，∴＝，∵＝2，∴＝，∴AM ＝AQ ，设Q （t ，at 2﹣3at +2），∵AP ＝，P （，0），∴M （﹣1，0），∴＝①，∵PQ ＝AP ，∴②，联立①②可得t ＝或t ＝﹣1（舍），将t ＝代入①，可得a ＝．1．（2021•广元）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，运用勾股定理即可求出答案；（3）如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，可得DF＝t2﹣2t﹣3，BF＝t﹣3，AF＝t+1，运用圆内接四边形的性质可得∠DAF＝∠BEF，进而证明△AFD∽△EFB，利用＝，即可求得答案．【解答】解：（1）根据表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）；（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝＝＝，∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1；（3）线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．2．（2021•张家界）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E 的运动时间t的最小值．【分析】（1）运用待定系数法即可求出答案；（2）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，运用待定系数法求出直线AB的函数表达式；（3）方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），得出△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，即可得出答案，方法2：由△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），运用勾股定理及逆定理即可得出答案；（4）以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，根据t＝AP+PB＝PD+PB，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由t＝DB＝即可求出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0），∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB均为等腰直角三角形，∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．3．（2021•宜宾）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）△BCE是直角三角形．运用勾股定理逆定理即可证明；（3）如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8），∴设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+8，∵与y轴交于点C（0，6），∴把点C（0，6）代入得：a＝﹣，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y＝0，则﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在点P，使得BP+EP的值最小且这个最小值为．理由如下：如图，在CE上截取CF＝（即CF等于半径的一半），连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求．理由如下：连结CP，∵CP为半径，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性质，易得F（，），∴BF＝＝．4．（2020•雨花区校级一模）如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．【分析】（1）令y＝0，求得抛物线与x轴的交点A、B的坐标，令x＝0，用a表示C点的坐标，再由三角函数列出a的方程，便可求得a的值；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，用d表示出M的坐标，根据MA＝MC，列出a、d的关系式，再通过关系式求得结果；（3）取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当P 为直线y＝x与⊙M的切点时，∠APB达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可．【解答】解：（1）连接BC，令y＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝0，解得，x＝4或8，∴A（4，0），B（8，0），令x＝0，得y＝ax2﹣12ax+32a＝32a，∴C（0，32a），又∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝，解得，a＝；（2）过M点作MH⊥AB于点H，连接MA、MC，如图2，∴AH＝BH＝＝2，∴OH＝6，设M（6，d），∵MA＝MC，∴4+d2＝36+（d﹣32a）2，得2ad＝32a2+1，∴d＝16a+＝，∴当4时，有，即当a＝时，有；（3）∵P（t，t），∴点P在直线y＝x上，如图3，取AB的中点T，过T作MT⊥AB，以M为圆心，MA为半径作⊙M，MT与直线y＝x交于点S，P′为直线y＝x上异于P的任意一点，连接AP′，交⊙M于点K，连接BK，MP，AP，BP，MB，MA，当⊙M与直线y＝x相切时，有∠APB＝∠AKB＞∠AP′B，∴∠APB最大，此时相切点为P，设M（6，d），而T（6，0），∴S（6，6），∴∠PSM＝90°﹣∠SOT＝45°，又MP＝MB＝，∴MS＝＝，∵MS+MT＝ST＝6，∴，解得，d＝2（负根舍去），经检验，d＝2是原方程的解，也符合题意，∴M（6，2），∴MB＝2，∵∠AMB＝2∠APB，MT⊥AB，MA＝MB，∴∠AMT＝∠BMT＝∠AMB＝∠APB，∴sin∠APB＝sin∠BMT＝．5．（2020•汇川区三模）如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B （3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得a、b、c，便可得抛物线的解析式；（2）1°用待定系数法求出直线BC的解析式，再设M的横坐标为t，用t表示MN的距离，再根据二次函数的性质求得MN的最大值；2°分三种情况：当∠PMN＝90°时；当∠PNM＝90°时；当∠MPN＝90°时．分别求出符合条件的P点坐标便可．【解答】解：（1）把A、B、C三点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）1°设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则N（t，t2﹣4t+3），∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，∴当t＝时，MN的值最大，其最大值为；2°∵△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上，∴△PMN为直角三角形，由1°知，当MN取最大值时，M（），N（），①当∠PMN＝90°时，PM∥x轴，则P点与M点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为，当y＝时，y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（）；②当∠PNM＝90°时，PN∥x轴，则P点与N点的纵坐标相等，∴P点的纵坐标为﹣，当y＝﹣时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（，）；③当∠MPN＝90°时，则MN为△PMN的外接圆的直径，∴△PMN的外接圆的圆心Q为MN的中点，∴Q（），半径为，过Q作QK∥x轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K，如图②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K点在以MN为直径的⊙Q外，设抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为点L，则l（2，﹣1），连接LK，如图②，则L到QK的距离为，LK＝，设Q点到LK的距离为h，则，∴＝，∴直线LK下方的抛物线与⊙Q没有公共点，∵抛物线中NL部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方，∴抛物线中NL部分（除N点外）与⊙Q没有公共点，∵抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，∴抛物线K点右边部分与⊙Q没有公共点，综上，⊙Q与MN右边的抛物线没有交点，∴在线段MN右侧的抛物线上不存在点P，使△PMN的外接圆圆心Q在MN边上；综上，点P的坐标为（）或（）．6．（2021•开福区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），①求点M的坐标及⊙M的半径；②过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．【分析】（1）c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣4b﹣2，解得：b＝﹣，即可求解；。

中考圆,二次函数,三角函数考点复习

第一章圆圆虽然是最熟悉的几何图形之一，但它有很多新的知识点，尤其是这里重要的知识点，都与前面的知识紧密联系着，解题时必须用到直线型中的定理、法则。

因此，解题时先要由条件对图形有比较好的认识，再联想相关知识，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一解决。

圆这章知识重点可以归纳为：1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。

b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。

2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。

3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。

4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。

5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。

6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作分切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。

考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

圆与二次函数知识点

圆与二次函数知识点 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】圆和二次函数知识点《圆》一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；A2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

中考数学复习---二次函数与圆的问题PPT例题讲解

m
2 3
，
∴直线 CE 的解析式为： y 2 x 3， 3
令 x 1，则 y 7 ， 3
∴当
P
1，73
时，P、E、C
三点共线，此时
PEBiblioteka PC=EC=
3 02 1 32 =
13 最短，
∴ AQ QP PC 的最小值为 13 1 ．
（3）是；
理由：设 D（p, q），
因为 A、B 两点关于直线 x=1 对称，所以圆心位于该直线上，
中考数学复习---二次函数与圆的问题PPT例题讲解
1、如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘 AB 在 x 轴上，且 AB 8
dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为 y 轴，高度 OC 8 dm．现计划将此余料进行切
割：
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘 AB 上且面积最大，求此正方形的面积； (2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘 AB 上且周长最大，求此矩形的周长； (3)若切割成圆，判断能否切得半径为 3 dm 的圆，请说明理由．【答案】(1) 96 32 5dm2 ；
点，与 y 轴相交于点 C，下表给出了这条抛物线上部分点 (x, y) 的坐标值：
x … 1 0 1 2 3 …
y…0 3430…
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点 M 的坐标；
（2） PQ 是抛物线对称轴上长为 1 的一条动线段（点 P 在点 Q 上方），求 AQ QP PC
的最小值；
（3）如图 2，点 D 是第四象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DF x 轴，垂足为 F，△ABD 的外接圆与 DF 相交于点 E．试问：线段 EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；

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