2.1.4(一)函数的奇偶性教案学生版

2.1.4 函数的奇偶性(一)

【学习要求】

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3.掌握判断函数奇偶性的方法与步骤． 【学法指导】

通过学习函数奇偶性概念的形成过程，加深对函数的奇偶性概念的理解；通过从代数的角度给予函数奇偶性严密的代数形式表达，培养严谨、认真、科学的探究精神，并渗透数形结合的数学思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点

1.奇函数的定义：设函数y ＝f(x)的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x∈D，且 f(－x)＝－f(x) ，则这个函数叫做奇函数．

2.奇函数的性质：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 坐标原点 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

3.偶函数的定义：设函数y ＝g(x)的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x∈D，且 g(－x)＝g(x) ，则这个函数叫做偶函数．

4.偶函数的性质：如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y 轴 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴 对称，则这个函数为偶函数. 研一研：问题探究、课堂更高效

[问题情境] 美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美. 这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．

探究点一 奇函数的概念

问题1 观察函数f(x)＝x 和f(x)＝1

x

的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？

问题2 求当x 分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝x 的值，及当x 分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函

数f(x)＝1

x

的函数值，从中你能发现什么规律吗？

问题3 你能把问题2中的由具体的函数值得出的规律扩展到一般形式吗？

问题4 平面直角坐标系中，点P(x ，f(x))关于原点对称的点的坐标是什么？

问题5 若点P(x ，f(x))是奇函数y ＝f(x)的图象上的一点，如何说明点P(x ，f(x))关于原点对称的点P′(－x ，－f(x))也在函数y ＝f(x)的图象上？

问题6由问题5的讨论，你能得出奇函数的图象具有怎样的对称性？具有奇函数图象对称性的函数是否为奇函数？

探究点二偶函数的概念

问题1 观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？

问题2关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

问题3 怎样说明函数f(x)＝x2的图象关于y轴对称？

问题4如果函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数，类比奇函数的定义，如何定义偶函数？问题5 类比奇函数图象的对称性，偶函数的图象有怎样的对称性质？

例1 判断下列函数哪些是偶函数：(1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝x2，x∈[－1,3]；(3)f(x)＝0.

跟踪训练1 判断下列函数是否为偶函数．(1)f(x)＝(x＋1)(x－1)； (2)f(x)＝x3－x2

x－1

.

例2 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋x3＋x5； (2)f(x)＝x＋1.

跟踪训练2 判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x －2)

2＋x

2－x

； (2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2 x<－1，0 |x|≤1，－x ＋2 x>1.

探究点三 函数奇偶性的应用

例3 如图，给出了偶函数y ＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．

跟踪训练3 研究函数y ＝1

x

2的性质并作出它的图象

练一练：当堂检测、目标达成落实处

1.下列函数中不是偶函数的是 ( )

A ．f(x)＝－3x 2

B ．f(x)＝3x 2＋|x|

C ．f(x)＝＋－2

D ．f(x)＝x 2

－x ＋1

2.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，则 ( )

A ．f(x)－f(－x)>0

B ．f(x)－f(－x)≤0

C ．f(x)·f(－x)>0

D ．f(x)·f(－x)≤0

3.如果偶函数f(x)在区间[-5-2]上是减函数且最大值为7，那么f(x)在区间[2,5]上是( )

A ．增函数且最小值为－7

B ．增函数且最大值为7

C ．减函数且最小值为－7

D ．减函数且最小值为7 课堂小结：

1.两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x ，如果都有 f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数； 如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．

2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．