固体物理学 第三章 第五节
合集下载
《固体物理·黄昆》第三章
氢键结合的情况可写成通式:
X－H…Y。 式中 X 、 Y 代表 F 、 O 、 N 等电负 性大而原子半径较小的非金属原 子， X 和 Y 可以是两种相同的元 素，也可以是两种不同的元素。 d F l H F H F
归纳起来，氢键形成的条件是：
A)有与电负性大（X）的原子相结合的氢原子；
B) 有一个电负性也很大，含有孤对电子并带有部分负 电荷的原子（Y）； C)X与Y的原子半径都要较小。
氯化钠型 —— NaCl、KCl、AgBr、PbS、MgO (配位数6) 氯化铯型 —— CsCl、 TlBr、 TlI（配位数8）
离子结合成分较大的半导体材料ZnS等（配位数4）
2. 离子晶体结合的性质
1) 系统内能的计算 晶体内能 : 1)所有离子库仑相互作用能(吸引作用)
2) 和重叠排斥能之和(排斥作用)
具体晶体的内聚能(晶格能)参见周期表,有一定的规律性: 惰性气体晶体<碱金属<过渡族金属(共价晶体)
两粒子间的相互作用 相互作用能.
f(r) 和u(r)分别表示相互 作用力和相互作用势 则:
u (r ) f (r ) r
U 排斥 r
f (r )
B rn
u (r )
pij A12= j'
12
12.13188
pij A6= j'
6
14.45392
物理意义:
晶体总的势能:
—— 非极性分子晶体的晶格常数、结合能和体变模量 晶格常数
平衡状态体变模量
晶体的结合能
分子晶体: 常温下是气态的物质如:Cl2,SO2,HCl, H2, O2, He, Ne, Ar, Xe等在低温下依靠范德瓦耳斯力结合成的晶体.
固体物理学：第3章 晶格振动
2 2
21 2
cos
qa
1 2
光学支
2 o
1
m
2 1 m
1
2 1
2 2
21
2
cos
qa
2
声学支
2A
1
m
2 1 m
12 22 21 2 cos qa
1 2
三、色散关系
UESTC
ω
当 q=0
ωO
ωA = 0 ωo = 21 2
m
ωA
当
q=
a
a
o
q
a
A
21
m
o
2 2
m
四、格波数
q 2 m
Na
2
Na
m 0 , 1, 2
q
o
波矢q 的取值是分立的，相邻q的“距离”N2a
五、格波数
UESTC
此前研究的晶格原子集体的波动运动就是格波。
晶体中所有原子以相同的频率和振幅在 平衡位置附近作简谐振动，原子的运动状 态在晶体中以波的形式传播，这种简谐波 称为格波。
五、格波数
UESTC
3.1 一维单原子链的振动
一． 物理模型 二． 运动方程 三． 色散关系 四． 波恩-卡曼周期性边界条件 五． 格波数 六． 小结
UESTC
一、物理模型
UESTC
一维简单晶格的振动
平衡位置 振动时偏离 平衡位置
un ：第n个原子偏离平衡位置的位移 m ：原子质量
一、物理模型
UESTC
V (r) V (0) dV (r) r 1 d 2V (r) r2
UESTC
❖ 对于一维原子链，简约区中波数q的取值总
固体物理 第三章_ 晶体中的缺陷
4
由以上讨论可知： 刃位错： 外加切应力的方向、原子的滑移方向和位错 线的运动方向是相互平行的。 螺位错： 外加切应力的方向与原子的滑移方向平行， 原子的滑移方向与螺位错的运动方向垂直。 在左右两部分受到向上和向下的切应力的作 用时，位错线向前移动，直到位错线移动到 尽头表面，这时左右两部分整个相对滑移b 的距离，晶体产生形变。
固体物理第三章
1. 热缺陷：由热起伏的原因所产生的空位和填隙原 子，又叫热缺陷，它们的产生与温度直接有关
(a) 肖脱基缺陷
(b)弗伦克耳缺陷
(c) 间隙原子
固体物理第三章
（ a ）肖特基缺陷 (vacancy) ：原子脱离正常格点 移动到晶体表面的正常位置，在原子格点位置 留下空位，称为肖特基缺陷。 （b）弗伦克尔缺陷(Frenkel defect)，原子脱离格 点后，形成一个间隙原子和一个空位。称为弗 伦克尔缺陷。 （c）间隙原子(interstitial)：如果一个原子从正常 表面位置挤进完整晶格中的间隙位置则称为间 隙原子，由于原子已经排列在各个格点上，为 了容纳间隙原子，其周围的原子必定受到相当 大的挤压。
固体物理第三章 固体物理第三章
产生位错的外力: 机械应力：挤压、拉伸、切割、研磨 热应力：温度梯度、热胀冷缩 晶格失配： 晶体内部已经存在位错，只用较小的外力就 可推动这些位错移动，原来的位错成为了位错 源，位错源引起位错的增殖，有位错源的晶体 屈服强度降低。 晶体的屈服强度强烈地依赖于温度的变化。 T升高，原子热运动加剧，晶体的屈服强度下 降，容易产生范性形变。
固体物理第三章
在实际晶体中，由于存在某种缺陷，所以晶 面的滑移过程，可能是晶面的一部分原子 先发生滑移，然后推动同晶面的另一部分 原子滑移。按照这样的循序渐移，最后使 上方的晶面相对于下方的晶面有了滑移。 1934 年， Taylor( 泰勒 ), orowan( 奥罗万 ) 和 Polanyi( 波拉尼）彼此独立提出滑移是借助 于位错在晶体中运动实现的，成功解释了 理论切应力比实验值低得多的矛盾。
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型
k at s
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
k ( , 0, 0) 同理在 点： a
R点： k ( , , ) a a a
R at s
J 0 2 J1
at s
J 0 6 J1 对应能带顶
a
则沿ГX即Δ轴的波矢取值范围
(k x ,Байду номын сангаасk y , k z ) ( , 0, 0); 且0 1
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
按照
2 2 n (k ) k 2m
kz
以及K空间中相应点的坐标 , 可求得 n (k ) 从而可描点画图。
kx
ky
对面心立方格子(fcc)对称点、线符号说明： 2 点： k (1, 0, 0) 点： k (0, 0, 0)
2 3 3 K点： k ( , , 0) a 4 4 a 2 1 1 1 L点： k ( , , ) a 2 2 2
这些高对称性的点、线常用一些固定的符号 表示出来(在K空间)，第二章我们已经给出了这 些符号的说明。
固体物理-第三章
l 1
原 子
上式说明每个坐标gk的振动，都可以分解成3N个简正振动的线 性迭加，Ql新坐标称为简正坐标，所以，我们可以得出结论：N个
的
原子组成晶体的任何一种微振动，可看成3N个简正振动的迭加。
运
动
★简正坐标与原子位移坐标之间的正交变换，
实际上是按付氏展开式把坐标系由位置坐标转
换到状态空间（正格子——倒格子）。
单
体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单
原
独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子；
子
➢声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
晶
➢一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子
格
组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子,
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
声子
采用“声子”概念不仅表达简洁、处理问题方便（例晶格与微观粒
3N
动
2 Ak bik Ai 0 k 1, 2,L 3N (9) i 1
方程组（9）又可改写成：
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
i 1
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
••
gk bik gi 0 k 1, 2,L 3N
(7)
原
gk Ak sin t k 1, 2,L 3N
(8)
子
的 运
（8）式所给出的特解应能够满足方程（7），则将（8）式 代入（7）式，得确定ω与bik之间关系的方程组：
固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点：
（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一 支纵波，其色散关系分别为： ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定：
N个原子组成，共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时，实验规律与理论不符； 实验结论：CV（低温）～T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单，但与实验符合程度却相 当好，说明晶体比热的量子理论的成功；但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快，而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献，完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单，需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式，它们的频率值是不完全相同的，而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度） kB
讨论
（1）高温情况（Ｔ>>θE): （2）低温情况（Ｔ<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；
即Debye的T3定律
关于非谐效应
（1）格临爱森状态方程：
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV （2）格临爱森定律： K 0V
表示当温度变化时，热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
固体物理第三章
晶格振动波矢的数目晶格原胞数晶格振动波矢的数目晶格原胞数第一布里渊区内的波矢代表点数目为第一布里渊区内的波矢代表点数目为在波矢空间中每一个可能的在波矢空间中每一个可能的qq所占据的线度为所占据的线度为波矢代表点的密度即为波矢代表点的密度即为单位长度波矢代表点数目单位长度波矢代表点数目二一维复式格子二一维复式格子晶格由质量分别为晶格由质量分别为mm和和mm的两种不同原子构成的一维复式格子晶的两种不同原子构成的一维复式格子晶格常数格常数2a2a相邻同种原子间的距离
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
2
m
1
2
sin
qa 2
m
1
2
a
q
v q
v
m
1
2
a
q20, (q)0 色散关系的格波称为声频支格波。
编辑版pppt
14
格波的波速
在长波区域，波矢 q
2
0
波速是常数
v q
v
m
1
2
a
un1unun1
某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。
编辑版pppt
15
格波的波速
(2) 波矢 qπ a
对应格波的截止频率
ωm
a
x
2
β m
1
2
un1unun1
相邻原子以相同的振幅作相对振动。
编辑版pppt
16
周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：
实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于 体内原子。
近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时 将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。
2 O
2(mM)
m
而
coqsa )(0
固体物理学：第三章晶体结合及弹性模量n
第三章晶体的结合、弹性模量•3.1 晶体中的结合力和结合能；•3.2 元素和化合物晶体结合的规律性；•3.3 弹性应变和晶体中的弹性波；3.1 晶体的结合力和结合能一. 晶体结合的一般概念：自然界的矿物中绝大多数物质都以晶态存在，说明晶体的能量比构成晶体的粒子处在自由状态时的能量总和要低的多,因此可以给出U0是晶体在0K 时的总能量，E N是N个自由粒子能量之和，因此Eb 是0K时把晶体分解为相距无限远、静止的中性自由原子所需要的能量，称作内聚能（Cohesive energy）或结合能（binding energy)。
取EN＝0，做能量基点，则有：近似把原子对间相互作用能量之和当作晶体的总相互作用能。
物质以晶态存在是由于构成固体的原子之间存在着相当大的相互作用力，尽管不同晶体这种结合力的类型和大小不同，但两个粒子之间相互作用力（势）与它们间距离的关系在定性上是相同的。
晶体中粒子的相互作用可以分为2大类：斥力和引力。
晶态是粒子间斥力、引力处于平衡时的状态。
其中a 、b 、m 、n 均为大于零的常数，由实验确定若两粒子要稳定结合在一起，则必须满足n > m一对粒子之间的相互作用势一般可以表示为引力势和斥力势之和:处于稳定态的条件是：给出平衡位置:平衡时的能量：★从上式可以看出晶体有平衡态的条件是：n > m★更符合实际斥力势变化规律的表达式为指数形式：N个原子组成晶体后的总相互作用能，忽略边界的差异，可以近似表示为：二. 晶体的弹性性质：以晶体相互作用能来解释晶体弹性性质是对理论表达式正确与否的最好验证。
1. 压缩系数η与体弹性模量K ：由热力学知道：考虑到：两式相比较，有：展开式中的第一项在平衡点为零。
注解：体积弹性模量：按胡克定律，在弹性限度内，物体形变产生的内应力与相对形变成正比，比例系数称弹性模量。
由热力学第一定律dU=TdS–pdV，若不考虑热效应，即TdS= 0 （实际上只有当T=0K时才严格成立），有2. 抗张强度：晶体所能负荷的最大张力叫抗张强度，负荷超过抗张强度时，晶体就会断裂。
固体物理讲义第三章
1 第三章 晶体的结合主要内容:● 大量原子聚合在一起形成晶体的原因● 晶体结合的类型内聚能和原子间的相互作用力内聚能是指在绝对零度下将晶体分解为相距无限远、静止的自由原子所需要的能量 原子间相互作用力：● 吸引力：不同的结合方式有不同的机理● 排斥力：库仑排斥+量子效应● 原子核之间的库仑排斥力● 电子壳层交叠时，由泡利不相容原理而产生的排斥力内聚能的计算设晶体中任意两个粒子的相互作用能可表示为：其中a 、b 、m 、n 均为大于零的常数，由实验确定，r 为两粒子之间的距离。
晶体内聚能视为粒子对间的互作用，设晶体中有N 个粒子，则晶体内聚能：这里，相互作用能视为粒子对间的互作用。
先计算两个粒子之间的互作用势，然后再把考虑晶体结构的因素，总和起来可以得到晶体的总结合能。
只有离子晶体和分子晶体可以这样处理。
此思想称为双粒子模型。
晶体结合的类型⏹ 根据化学键的性质，晶体可以分为离子晶体、原子晶体(共价晶体)、金属晶体、分子晶体。
⏹ 对于大多数晶体，结合力的性质是属于综合性的。
固体结合的性质取决于组成固体的原子结构。
离子晶体和离子键● 离子晶体：由正离子和负离子组成。
● 离子键：正、负离子间的静电相互作用产生● 晶体结构：氯化钠结构、氯化铯结构● 离子－离子相互作用能有两项：① 库仑相互作用能，正比于: ② 相临离子间排斥能，正比于: 离子晶体的内聚能 由N 对离子组成的离子晶体的内聚能：相邻离子间的最短距离 马德隆常数 最邻近离子数 n m r b r a r u +-=)((2)(2)(11∑∑--+-==N j n j m j N j j r b r a N r u N r U r1-nr 1)(N )4()4()(02'102'1n n jj n j j r B r A r Nz r a q N r r q N r U j +-=+±=+±=∑∑λπελπεr )1('∑±=j j a μz r a r j j =1λπεμz B q A ==0242分子晶体：● 基元：分子● 结合力：范德瓦尔斯力● 晶体结构：密积结构，惰性气体：面心立方● 结合能：相距为R 的一对分子间的总的相互作用势能为(称为Lennard-Jones 势)共价晶体和共价键：● 原子靠共价键结合。
固体物理(第3章)讲解
2
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
固体物理学课件第三章
10
3.1 一维单原子链的晶格振动
将：
un1 Aei[t(n1)aq] un1 Aei[t(n1)aq] un Aei[tnaq]
代入到运动方程：
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
消去共同因子，得到：
m 2 (eiap eiaq 2)
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
14
3.1 一维单原子链的晶格振动
格波的波长： 2
q
格波的波矢：q 2 n
n 代表沿格波传播方向的单位
矢量。
格波的相速度：v p
q
不同原子间的位相差：
n’aq-naq = (n’-n)aq
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
15
3.1 一维单原子链的晶格振动
a
2
f
U
U R
a
2U R2
a
第一项与振动无关，为常数项，第二项中因为平衡位置处，
势能为极小值，互作用力为零。
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4
3.1 一维单原子链的晶格振动
引入弹性系数
2U R 2
(un1 un1 2un )
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
5
3.1 一维单原子链的晶格振动
最近邻近似下一维单原子振动可 简化为质量为m的小球被用弹性系
数为的弹簧连起来的弹性链。处
理微小振动一般都采取这种简谐 近似。在有些物理问题需要考虑 高阶项的效应，称为非简谐效应。
固体物理学第三章
退化为一标量，这是立方对称的结果。 在X点：
x 2
m
y
2
2 E k 2 y
m
z
2
2 E 2 kz
2 1 2 cos kz a 2a J1
在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，
k , 0, 0 a
m 2 0, 2a J 1
分量形式：
dv d 1 E 1 3 dk a dt dt k 1 dt k
E k
x，y，z 原因：在三维情形，沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系， 电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量。
2 E k x k y 2 E 2 k y 2 E k z k y
2 E k x k z Fx 2 E Fy k y k z Fz 2 E k z2
牛顿定律：
1 a F m
响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量
在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这 就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有
很大差别的物理原因。
有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还
可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期 场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边 界附近发生Bragg反射，而在电子与晶格之间交换动量 这种形式反映出来的。 在能带底：电子的能量取极小值，
在周期场中电子的有效质量m*与k有关 在能带底：
d 2E E(k)取极小值， 0 2 dk
在能带顶：
m*>0；
d 2E 0 E(k)取极大值， 2 dk
m*<0
x 2
m
y
2
2 E k 2 y
m
z
2
2 E 2 kz
2 1 2 cos kz a 2a J1
在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，
k , 0, 0 a
m 2 0, 2a J 1
分量形式：
dv d 1 E 1 3 dk a dt dt k 1 dt k
E k
x，y，z 原因：在三维情形，沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系， 电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量。
2 E k x k y 2 E 2 k y 2 E k z k y
2 E k x k z Fx 2 E Fy k y k z Fz 2 E k z2
牛顿定律：
1 a F m
响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量
在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这 就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有
很大差别的物理原因。
有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还
可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期 场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边 界附近发生Bragg反射，而在电子与晶格之间交换动量 这种形式反映出来的。 在能带底：电子的能量取极小值，
在周期场中电子的有效质量m*与k有关 在能带底：
d 2E E(k)取极小值， 0 2 dk
在能带顶：
m*>0；
d 2E 0 E(k)取极大值， 2 dk
m*<0
固体物理基础教学课件-第3章
边界条件限制波数 在简约布里渊区内 取均匀分布的N个 分立值
3-1 格波的色散关系
2 4sin2(aq)
(q)
m2
ω取正值，则有
2 sin(aq)
m2
频率是波数的偶函数
q
色散关系曲线具有周期性，
- -2 0 2
aa
aa
仅取简约布里渊区的结果即可
由正弦函数的性质可知，只有满足 02 /m的格波
所以发生在晶格中的中子散射的变换规则不如动量守恒严 格，允许相差 ，h其G 中n Gn为某一倒格子矢量。 慢中子的能量：0.02~0.04 eV，与声子的能量同数量级；中 子的德布罗意波长：2~3×10-10 m（2~3 Å），与晶格常数 同数量级；可直接准确地给出晶格振动谱的信息 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12 2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
缺点：一个典型X光光子的能量约为104 eV，一个典型声 子的能量约为10-2 eV。一个X光光子吸收（或发射）一个 声子而发生非弹性散射时，X光光子能量的相对变化为10-6， 在实验上要分辨这么小的能量改变是非常困难的。相比较 而言，可见光的能量约为1eV，采用拉曼散射能量的相对 变化为10-2，有利于降低误差。
以下只讨论单声子过程。
3-1 格波的色散关系
2 4sin2(aq)
(q)
m2
ω取正值，则有
2 sin(aq)
m2
频率是波数的偶函数
q
色散关系曲线具有周期性，
- -2 0 2
aa
aa
仅取简约布里渊区的结果即可
由正弦函数的性质可知，只有满足 02 /m的格波
所以发生在晶格中的中子散射的变换规则不如动量守恒严 格，允许相差 ，h其G 中n Gn为某一倒格子矢量。 慢中子的能量：0.02~0.04 eV，与声子的能量同数量级；中 子的德布罗意波长：2~3×10-10 m（2~3 Å），与晶格常数 同数量级；可直接准确地给出晶格振动谱的信息 局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12 2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
缺点：一个典型X光光子的能量约为104 eV，一个典型声 子的能量约为10-2 eV。一个X光光子吸收（或发射）一个 声子而发生非弹性散射时，X光光子能量的相对变化为10-6， 在实验上要分辨这么小的能量改变是非常困难的。相比较 而言，可见光的能量约为1eV，采用拉曼散射能量的相对 变化为10-2，有利于降低误差。
以下只讨论单声子过程。
固体物理课件ppt完全版
角引8条对角线，在其中互不相邻的 4条对角线的中点，各加一个原子 — 得到金刚石晶格结构！
B A
特点：每个原子有4个最近邻，它们
正好在正四面体的顶角位置！
τ
金刚石晶格结 构的典型单元
三、 晶胞(单胞)
晶胞：为反映晶格的对称性，在结晶学中选择较大 的周期单元 → 称为晶体学原胞
晶胞的基矢：沿晶胞的三个棱所作的三个矢量，常
A
a
c
A层
B
六角密排晶格结构的典型单元
B层
A层内原子的上、下各3个最 近邻原子所分别形成的正三 角形的空间取向，不同于B 面内原子的上、下各3个最 近邻原子所分别形成的正三 角形的空间取向！
五、金刚石晶体结构
1· 特点：每个原子有4 个最近邻，它们正 好在一个正四面体的顶角位置 2· 堆积方式：立方单元体内对角线上的原子 — A 面心立方位置上的原子 — B 金刚石晶格 A、B 两个面心 立方晶格套成 相对位移 = 对角线的1/4
33
3
4
6· 判断此原胞为fcc格子的最小周期性单元 3 a 原胞 a1 a2 a3 ∵ fcc 格子的一个立方单元体积中含的原子数： 4 4 a 1 又∵ 原胞 fcc 4 a a ∴原胞中只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元 注： fcc 晶格方式是一种最紧密的排列方式 — 立方密排晶格！
3· 原胞： a , a 在密排面内，互成1200角，a 沿垂直
1 2
3
密排面的方向构成的菱形柱体 → 原胞
B A
六角密排晶格的堆积方式 a A
a3
B
c
a1
a2
六角密排晶格结构的原胞
六角密排晶格结构的典型单元
B A
特点：每个原子有4个最近邻，它们
正好在正四面体的顶角位置！
τ
金刚石晶格结 构的典型单元
三、 晶胞(单胞)
晶胞：为反映晶格的对称性，在结晶学中选择较大 的周期单元 → 称为晶体学原胞
晶胞的基矢：沿晶胞的三个棱所作的三个矢量，常
A
a
c
A层
B
六角密排晶格结构的典型单元
B层
A层内原子的上、下各3个最 近邻原子所分别形成的正三 角形的空间取向，不同于B 面内原子的上、下各3个最 近邻原子所分别形成的正三 角形的空间取向！
五、金刚石晶体结构
1· 特点：每个原子有4 个最近邻，它们正 好在一个正四面体的顶角位置 2· 堆积方式：立方单元体内对角线上的原子 — A 面心立方位置上的原子 — B 金刚石晶格 A、B 两个面心 立方晶格套成 相对位移 = 对角线的1/4
33
3
4
6· 判断此原胞为fcc格子的最小周期性单元 3 a 原胞 a1 a2 a3 ∵ fcc 格子的一个立方单元体积中含的原子数： 4 4 a 1 又∵ 原胞 fcc 4 a a ∴原胞中只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元 注： fcc 晶格方式是一种最紧密的排列方式 — 立方密排晶格！
3· 原胞： a , a 在密排面内，互成1200角，a 沿垂直
1 2
3
密排面的方向构成的菱形柱体 → 原胞
B A
六角密排晶格的堆积方式 a A
a3
B
c
a1
a2
六角密排晶格结构的原胞
六角密排晶格结构的典型单元
固体物理3-5
§3-5 非简谐效应
一. 简谐近似的局限 • 简谐近似 独立 简谐近似→独立 的格波→独立的 的格波 独立的 谐振子→声子间 谐振子 声子间 无互作用→T不 无互作用 不 变时， 变时，同ω的 n 的 不变。 不变。
• 解释了比热（尤其是低温下比热） 解释了比热（尤其是低温下比热） • 但不能解释热膨胀 势能展开式只取到平方项， 势能展开式只取到平方项，势能 W－r图中则为左、右对称的抛物线， 图中则为左、 － 图中则为左 右对称的抛物线， 左右振动的平均值仍为0。 左右振动的平均值仍为 。若取到高 次项， 右不对称，当温度高时， 次项，左、右不对称，当温度高时， 热振动幅值大， 热振动幅值大，新的平衡点沿 AB 线 变化产生膨胀）。 变化产生膨胀）。
配分函数
配分函数是玻耳兹曼分布的态和函 代表了系统的分布特性。 数，代表了系统的分布特性。 它是统计物理中的一个重要量，它 它是统计物理中的一个重要量， 和热力学函数之间有一定的联系。 和热力学函数之间有一定的联系。 利用配分函数可以求得任何热力学 函数以及系统的状态方程。 函数以及系统的状态方程。
势能取到高次项后： 势能取到高次项后：
1. 原子运动方程不是线性微分方程； 原子运动方程不是线性微分方程； 2. 原子状态的通解不再是特解的线性 叠加； 叠加； 3. 交叉项不能消除； 交叉项不能消除； 4. 格波间有互作用； 格波间有互作用； 5. 声子相互作用(碰撞、产生、湮灭)。 声子相互作用(碰撞、产生、湮灭)
上面的情况亦有例外，例如石墨材料， 上面的情况亦有例外，例如石墨材料，它的晶粒 尺寸及气泡对热膨胀就有显著影响。 尺寸及气泡对热膨胀就有显著影响。 一般来讲，材料的热膨胀与制造工艺关系不密切。 一般来讲，材料的热膨胀与制造工艺关系不密切。
一. 简谐近似的局限 • 简谐近似 独立 简谐近似→独立 的格波→独立的 的格波 独立的 谐振子→声子间 谐振子 声子间 无互作用→T不 无互作用 不 变时， 变时，同ω的 n 的 不变。 不变。
• 解释了比热（尤其是低温下比热） 解释了比热（尤其是低温下比热） • 但不能解释热膨胀 势能展开式只取到平方项， 势能展开式只取到平方项，势能 W－r图中则为左、右对称的抛物线， 图中则为左、 － 图中则为左 右对称的抛物线， 左右振动的平均值仍为0。 左右振动的平均值仍为 。若取到高 次项， 右不对称，当温度高时， 次项，左、右不对称，当温度高时， 热振动幅值大， 热振动幅值大，新的平衡点沿 AB 线 变化产生膨胀）。 变化产生膨胀）。
配分函数
配分函数是玻耳兹曼分布的态和函 代表了系统的分布特性。 数，代表了系统的分布特性。 它是统计物理中的一个重要量，它 它是统计物理中的一个重要量， 和热力学函数之间有一定的联系。 和热力学函数之间有一定的联系。 利用配分函数可以求得任何热力学 函数以及系统的状态方程。 函数以及系统的状态方程。
势能取到高次项后： 势能取到高次项后：
1. 原子运动方程不是线性微分方程； 原子运动方程不是线性微分方程； 2. 原子状态的通解不再是特解的线性 叠加； 叠加； 3. 交叉项不能消除； 交叉项不能消除； 4. 格波间有互作用； 格波间有互作用； 5. 声子相互作用(碰撞、产生、湮灭)。 声子相互作用(碰撞、产生、湮灭)
上面的情况亦有例外，例如石墨材料， 上面的情况亦有例外，例如石墨材料，它的晶粒 尺寸及气泡对热膨胀就有显著影响。 尺寸及气泡对热膨胀就有显著影响。 一般来讲，材料的热膨胀与制造工艺关系不密切。 一般来讲，材料的热膨胀与制造工艺关系不密切。
上海师大固体物理 第三章(5)
e
( c
2
3
) k BT
d
g k BT k BT c
5/ 2
3 π 4
12
e ( c
2
) k BT
3
d
π k BT c
3 2 kBT 4c
在非简谐效应下，有热膨胀现象
证明如下
π 4
e
c 2 k BT
k BT c
k BT
5/ 2
x 4 e x dx
2
e U
k BT
d
3
e(c
2
) kBT
d
d
3
e U
e U
k BT k BT
d
d
5/2
平衡微 商为零 简谐项 非简谐项
1 1 1 U r0 2 g 3 h 4 0, g 0, h 0 2 6 24
2. 简谐近似
U(r)
在简谐近似下，相互作用势能只保留到二次 方项，势能为抛物线，两边对称
r0
1 U r U r0 2 2
1 6e 2 990b 52e 2 g 12 4 6 r0 r0 r 3r04
0
L 1 . 46 10
5
/K
3.7.3
晶体的状态方程—热膨胀的热力学处理
1. 晶体自由能的表达式
由热力学知，压强P、熵S、定容比热CV和自由能F之间的关系为：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
恒定电场下
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
04/12
因为
和
比较
2 b12 [ (0) 1] 0 b22 b11
2) 高频电场下晶体的介电极化
电场的频率远远高于晶格振动的频率
[ () 1] 0 b22
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
（1）纵波：
，可以得到
（2）横波：
，可以得到：
最后可以得到：
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
10/12
cq / ()
L T
cq / (0)
讨论：以上结果是考虑了格波与电磁波的耦合得到的新的耦合波模式 （1）当 时 这是低频电磁波（低于晶格振动频率）； 即晶体中的纵光学波，是纯的振动模式。 11/12 03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
07/12
将前面求得的 到：
代入并和 比较可以得 ，其中介电函数的实部和虚部分别为：
（1）吸收功率正比于介电函数的虚部。
（2）在 处出现一个吸收峰，峰的半高宽度为
（3）横电磁波激励横光学格波。
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
cq / ()
L T
cq / (0)
（2）当
时
，也是纯的格波模式；
，这是高频电磁波。 （3）在
和
与
和
相交的区域
附近，耦合很强，出现的是电磁波与格波的混合模式。 （4）在 是禁止区，电磁波不能在晶体中传播。 12/12 03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
06/12
四、离子晶体的光学性质
正负离子的相对振动产生的电偶极矩可以和电磁波相互作用， 引起在远红外区域的强烈吸收。因此在用唯象方程讨论这种光吸收 现象时，应在方程中引入代入唯象方程得到：
形式解
1. 长光学波的宏观方程 —— 考虑两种正负离子组成的复式格子 —— 半波长内，正离子 组成的布喇菲原胞同向 位移，负离子组成的布 喇菲原胞反向位移
—— 使晶体中出现宏观
的极化
因此长光学波 称为极化波
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
02/12
原胞中的两个正负离子质量 两个正负离子偏离的位移 选取描述长光学波运动的宏观量
§3.5 离子晶体的长光学波 晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动 光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动 波长 —— 原胞的线度
—— 长声学波代表原胞质心的振动 —— 长光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动 —— 对于正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
08/12
五、极化激元 前面的讨论仅考虑了库仑力的作用，实际上振动的偶极子会 产生交变的电磁场，因此严格求解应该是利用麦克斯韦方程组和 唯象方程。研究对象即为晶格的长光学振动和电磁场相耦合的系 统。
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
09/12
考虑时谐场即；
，代入并整理可以得到：
—— 原胞体积
黄昆方程
P and E —— 宏观极化强度和宏观电场强度
由动力学系数的对称性：
03_05_晶格振动与晶体的热学性质——离子晶体的长光学波
b W b E W 11 12 P b21W b22 E
03/12
—— 离子相对运动的动力学方程 —— 正负离子相对运动位移产生的极 化和宏观电场产生的附加极化 1) 静电场（ ）下晶体的介电极化
05/12
在长光学波下有
—— 横长光学波的频率
b W b E W 11 12 P b21W b22 E
—— 晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波(TO) —— 长光学纵波声子称为极化声子(LO)，长光学纵波伴随有 宏观的极化电场，极化声子 _______ 纵光学声子 —— 长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场，电磁声子(TO)， 长光学横波具有电磁性，可以和光场发生耦合