《固体物理学答案》第一章晶体的结构

第一章、 晶体的结构

习 题

1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，

6

π

; （2）体心立方, ;83π （3）面心立方，

;62π （4）六角密积，;62

π （5）金刚石结构，

;16

3

π [解答]

设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，

设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体

积，则致密度ρ=V

r n 3

34π

（1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，

如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为

,,433a V r a ==

面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以

ρ=

6

)

(3

3

23

4π

π=

a

a

（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如

图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以

ρ=

ππ8

3)

(

*23

3

4

334=

a a

图1.3 体心立方晶胞

（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为

3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以

ρ=

6

2)

(

*43

3

4

234ππ=

a a .

图1.4面心立方晶胞

（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，

图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体

晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高

h =2

23

2

32c r a == 晶胞体积 V = 2

22

360sin ca ca =

, 一个晶胞内包含两个原子，所以

ρ=

ππ6

2)(*22

2

3

3

234=

ca a .

（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O 原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为

,83r a =

晶胞体积 3a V =,

图1.7金刚石结构

一个晶胞内包含8个原子，所以

ρ=

163)

83(

*83

3

34ππ=a

a . 2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122-），和（201-

）晶面。 [解答]

图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。

3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指数常用（hkml ）表示，它们代表一个晶面在基矢的截距分别为

,,,321m a k a h a 在C 轴上的截距为 l

c 证明：m k h -=+求出 O 5522133131,,,A B B A B B A A A A 和A 531A A 四个面的面指数。

图1.9六角晶胞对称画法

[解答]

设 d 是晶面族（hkml ）的面间距， n 是晶面族的单位法矢量，晶面族（hklm ）中最靠近原点的晶面在a c a a ,321 轴上的截距分别为 l c m a k a h a /,/,/,/321 所以有

1a ·n =hd , 2a ·n =kd , 3a ·n =md .

因为

),(323a a a +-=

所以

3a ·)(32a a n +-=·n 。

由上式得到

md =)(kd hd +-. 即

),(k h m +-=

由图可得到： 31'A A O 晶面的面指数为(11-

21) 1331B B A A 面的面指数为(11-

20)

5522A B B A 晶面的面指数为(1-100)

531A A A 晶面的面指数为(0001)

4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 321,,a a a 的末端分别落在离原点的距离为d h 1,d h d h 32,的晶面上，试用反证法证明：321,,h h h 是互质的。 [解答]

设该晶面族的单位法量为 321,,a a a 由已知条件可得

1a ·21,a d h n =·,

2d h n =3a ·,3d h n =

假定321,,h h h 不是互质数，且公约数 1≠p 即

332211,,pk h pk h pk h ===

321,,k k k 是互质的整数，则有

1a ·21,a d pk n =·32,a d pk n =·d pk n 3=

今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为

,332211a l a l a l r ++=

由于 心定是整数，而且

r ·11a l d n ==·22a l n +·33a l n +·n

于是得到

1332211=++l pk l pk l pk

由上式可得

p

l k l k l k 1332211=

++ 上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是 p 为不等于1的整数的假定。也就是说，p 只能等于1，即321,,h h h 一定是互质数。

5．证明在立方晶体中，晶列[hkl ]与晶面（hkl ）正交，并求晶面(111l k h ) 与晶面(222l k h )的夹角。

[解答]

设d 是为晶面族（hkl ）的面间距 ，n 为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（hkl ）将 a,b, c 分别截为l k h ,, 等份，即

a•n =a cos(a,n )=hd, b•n =b cos(b,n )=kd,

c•n =c cos(c,n )=ld 于是有

n =a d h i +a

d

k j +a d l k

=a

d

(h i +k j +l k )