《固体物理学答案》第一章晶体的结构

《固体物理学答案》第一章晶体的结构

第一章、晶体的结构

习题

1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密

度分别为：

（1）简立方，

6

π

; （2）体心立方, ;

8

3

π

（3）面心立方，;

6

2

π（4）六角密积，;

6

2

π

（5）金刚石结构，;

16

3

π

[解答]

设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子

球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致

密度，

设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示

刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度

ρ=

V

r

n3

3

4

π

（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原

子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，

3，4处的原子球将依次相切，因为

,

,

4

33a

V

r

a=

=

面1.2 简立方晶胞

晶胞内包含1个原子，所以

ρ=

6

)

(

3

3

2

3

4π

π

=

a

a

（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个

最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体

心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，

因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以

ρ=

ππ83

)(*233

4334=a a

图1.3 体心立方晶胞

（3）对面心立方晶体，任一个原子有12

个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，

中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球

相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4

个原子，所以

ρ=

62)

(*433

4234ππ=a a .

图1.4面心立方晶胞

（4）对六角密积结构，任一个原子有12

个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所

示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相

切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相

切，

图 1.5 六角晶胞

图 1.6 正四面体

晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，

8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的

原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的

高

h =223232c r a ==

晶胞体积 V = 2223

60sin ca ca =ο,

一个晶胞内包含两个原子，所以

ρ=ππ62

)(*2223

3

234=ca a .

（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最

近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中

心在空间对角线四分之一处的O 原子与中心在

1，2，3，4处的原子相切，因为 ,83r a =

晶胞体积 3a V =,

图1.7金刚石结构

一个晶胞内包含8个原子，所以

ρ=

163)83(*833

34

π

π=a a . 2．在立方晶胞中，画出（102），（021），

（122-），和（201-）晶面。

[解答]

图1.8中虚线标出的面即是

所求的晶面。

3．如图1.9所示，在六角晶系中，晶面指

数常用（hkml ）表示，它们代表一个晶面在基

矢的截距分别为,,,3

2

1

m a k a h a 在C 轴上的截距为

l c

证明：m k h -=+求出

O 5522133131,,,A B B A B B A A A A 和A 531A A 四个面

的面指数。

图1.9六角晶胞对称画法

[解答]

设 d 是晶面族（hkml ）的面间距， n 是晶

面族的单位法矢量，晶面族（hklm ）中最靠近

原点的晶面在a c a a ,321 轴上的截距分别为

l c m a k a h a /,/,/,/321 所以有

1a ·n =hd ,

2a ·n =kd ,

3a ·n =md .

因为

),(323a a a +-=

所以

3a ·)(32a a n +-=·n 。

由上式得到

md =)(kd hd +-.

即

),(k h m +-=

由图可得到： 31'A A O 晶面的面指数为

(11-21)

1331B B A A 面的面指数为

(11-20)

5522A B B A 晶

面的面指数为(1-100)

531A A A 晶面

的面指数为(0001)

4．设某一晶面族的面间距为 d , 三个基矢 321,,a a a 的末

端分别落在离原点的距离为d h 1,d h d h 32,的晶面

上，试用反证法证明：321,,h h h 是互质的。

[解答]

设该晶面族的单位法量为 321,,a a a 由已知条件可得

1a ·21,a d h n =·,2d h n =3a ·

,3d h n =

假定321,,h h h 不是互质数，且公约数 1≠p 即

332211,,pk h pk h pk h ===

321,,k k k 是互质的整数，则有

1a ·21,a d pk n =·32,a d pk n =·d pk n 3=

今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量

为

,332211a l a l a l r ++=

由于 心定是整数，而且

r ·11a l d n ==·22a l n +·33a l n +·n

于是得到

1332211=++l pk l pk l pk

由上式可得

p l k l k l k 1

332211=++

上式左端是整数，右端是分数，显然是不成

立的。矛盾的产生是 p 为不等于1的整数的假

定。也就是说，p 只能等于1，即321,,h h h 一定

是互质数。

5．证明在立方晶体中，晶列[hkl ]与晶面