专题课堂 圆中的解直角三角形

解：如图，连接AO并延长交圆于点E，连接 BE，则∠C＝∠E.∵AE为直径，且BD⊥AC，∴∠ BDC＝∠ABE＝90°，∴∠CBD＝∠EAB.在Rt△ OAM中，OM＝0.3，AO＝1，∴sin∠CBD＝sin∠ EAB＝OOMA ＝0.3
[对应训练] 1．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，
OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝21，则AB的长是( C )
A．4
B．2
C．8
D．4 3
2．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝
4 5
，⊙O过点B，C两点，且⊙O半
径r＝ 10，则OA的长为( A)
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4 2
3．如图的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值是___3__.
°，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF
的中位线，∴OE＝
1 2
BF，又∵OE＝
1 2
BD，则BF＝BD，∵BD为⊙O直
径，∴∠BED＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BEF＝∠ECF＝90°，又
∵∠F＝∠F，∴△ECF∽△BEF，∴CEFF＝BEFF，∴EF2＝BF·CF＝BD·CF
∴∠ODC＝∠OCD，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，
∴OD⊥EF，又OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线
(2)在Rt△ODF中，sin∠OFD＝
OD OF
＝
3 5
，设OD＝3x，则OF＝5x，
∴AB＝AC＝6x，AF＝8x，在Rt△AEF中，AE＝AF·sin∠AFE＝35·8x＝
24 5
10．(乐山中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O 交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED，AC的延长线交于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若EB＝32，且sin∠CFD＝53，求⊙O的半径与线段AE的长．
解：()连接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∵OC＝OD，
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为 直径作⊙O，与AC相切于点E，连接DE并延长与BC的延长线交于点F.
(1)求证：EF2＝BD·CF； (2)若CF＝1，BD＝5，求sinA的值．
解：(1)连接OE，BE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵∠ACB＝90
(1)求证：∠CBE＝∠A； (2)若⊙O的直径为5，BF＝2，tanA＝2，求CF的长．
解：(1)连接BO并延长交⊙O于点M，连接 MC，∴∠A＝∠M，∠MCB＝90°， ∴∠M＋∠MBC＝90°，∵DE是⊙O的切 线，∴∠CBE＋∠MBC＝90°，∴∠CBE ＝∠M，∴∠CBE＝∠A
(2)过点C作CN⊥DE于点N，∴∠CNF＝90°，由(1)得∠M＝ ∠CBE＝∠A，∴tanM＝tan∠CBE＝tanA＝2，在Rt△BCM中，∵ BM＝5，tanM＝2，∴BC＝2 5，在Rt△CNB中，∵BC＝2 5，tan∠ CBE＝2，∴CN＝4，BN＝2，∵BF＝2，∴FN＝BF＋BN＝4，在Rt△ FNC中，∵FN＝4，CN＝4，∴CF＝4 2
解：(1)∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC，由题意知DE是直 径，∴∠DBE＝90°，∴∠E＝90°－∠BDE，∵BC＝CD，∴∠DBC ＝∠BDE，∴∠ABD＝∠E，又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB
(2)∵AB∶BC＝4∶3，∴设AB＝4，BC＝3，∴AC＝ AB2＋BC2 ＝5， ∵BC＝CD＝3，∴AD＝AC－CD＝5－3＝2，由(1)可知△ABD∽△AEB， ∴AABE＝AADB＝BBDE，在Rt△DBE中，tanE＝BBDE＝AADB＝24＝21
x，BE＝AB－AE＝6x－
24 5
x＝
6 5
x，∴
6 5
x＝
3 2
，解得x＝
5 4
，∴AE＝
24 5
×45＝6，OD＝3×54＝145，即⊙O的半径长为145
11．(成都中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作 ⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE.
(1)求证：△ABD∽△AEB； (2)当ABCB＝43时，求tanE.
4 7．如图，AB是⊙O的直径，A︵D＝D︵E，AB＝5，BD＝4，则sin∠ECB＝_5____.
8．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂 直，垂足为点D.
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)若CD＝3，tan∠DAC＝12，求⊙O的直径．
解：(1)连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴ AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB，∴∠ DAC＝∠CAB，∴AC平分∠BAD (2)连接BC，∵AB是⊙O直径，∴∠ ACB＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又
(2)设BC与⊙O交于点Q，连接DQ，∵EF2＝BD·CF，CF＝1，BD＝ 5，∴EF＝ 5 ，∵BD为⊙O的直径，∴DQ⊥BF，BE⊥DF，∵BD＝ BF，BD＝5，∴BF＝5，DE＝EF＝ 5 ，即DF＝2 5 ，由勾股定理得BE ＝ BD2－DE2 ＝ 52－（ 5）2 ＝2 5 ，∵在△BDF中，由三角形面积公 式得BF×DQ＝DF×BE，∴5DQ＝2 5 ×2 5 ，∴DQ＝4，在Rt△BDQ 中，BD＝5，DQ＝4，由勾股定理得BQ＝3，∵∠ACB＝90°，DQ⊥ BF，∴DQ∥AC，∴∠A＝∠BDQ，∴sinA＝sin∠BDQ＝BBQD＝53
∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴ AADC ＝ AACB ，∵tan∠DAC＝ CADD
＝21，CD＝3，∴AD＝6，∴AC＝
AD2＋CD2 ＝
62＋32 ＝3
5 ，∴
3
6
＝ 5
3AB5，∴AB＝125，即⊙O的直径为125
9．如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线 BD上一点，连接CF.
4．如图，在边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则 1
∠AED的正切值是__2___.
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径 是4，sinB＝14，则线段AC的长为__2__.
1 6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝_2__.
人教版
第二十八章 锐角三角函数
专题课堂 圆中的解直角三角形
【例】如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点 D，OM⊥AB于点M，OM的长为0.3，求sin∠CBD的值． 分析：作直径AE，连接BE，得直角三角形ABE，根据圆周角定理可证 ∠CBD＝∠MAO，运用三角函数定义求解．