11年北京石景山区初三数学一模试题及答案

石景山区2009年初三第一次统一练习暨毕业考试数学试卷一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．27的立方根是A ．9B ．3C ．9±D ．3±2．北京奥组委和国际奥委会在新闻发布上说：“中国有8亿4千万（840000000）人观看了奥运会开幕式，这确实是一个令人惊讶的数字．” 840000000这个数字用科学记数法可表示为A ．90.8410⨯B ．98.410⨯C ．78410⨯D ．88.410⨯3．如果两圆半径分别为3和4，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是A ．相交B．内切C ．外离D ．外切4. 在一个暗箱里，装有3个红球、5个黄球和7个绿球，它们除颜色外都相同，搅拌均匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是A ．31 B ．41 C ．51 D ．157 5x 的取值必须满足A ．23->x B ．23-≥x C ．23>x D ．23≥x 6. 某校初三（1A ．45、44、44B ．45、3、2C ．45、3、44D ．45、44、467. 已知：如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的一点，且AD BD 2=， 10=CD ， 53sin =∠BCD ，则BC 边上的高AE 的长为 A ．5.4 B ．6C ．8D ．9第7题EA B CD8．若正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，则把每个小格的顶点叫做格点．现有一个表面积为12的正方体，沿着一些棱将它剪开，展成以格点为顶点的平面图形，下列四个图形中，能满足题意的是DCBA二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．分解因式：=++aaxax22．10．若关于x的方程0222=-+-aaxx有两个相等的实根，则a的值是．11．三角形纸片ABC中，55A∠=︒，75B∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC∆内（如图），则12∠+∠=_________°．12．将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比1A:2A等于________.三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分）13．计算：02)722(60sin41122-+︒-+--π．14．解不等式组⎩⎨⎧+<->-22413xxx，并把它的解集表示在数轴上．15．解方程：021211=-++-xxxx．16．已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得DFBE=，联结EC、FC．求证：FCEC=．FCDBA第16题A2A1第12题第11题17．已知062=-+x x ，求代数式7)1()1(22---+x x x x 的值．四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）18．如图，等腰梯形ABCD 中，BC AD //，︒=∠45DBC ，翻折梯形ABCD ，使点B 与点D 重合，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ，若2=AD ，8=BC ． （1）求BE 的长；（2）求CDE ∠的正切值．第18题19．已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，BC OC =，OB AC 21=． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若︒=∠45ACD ，2=OC ，求弦CD 的长．A第19题五、解答题（本题满分6分）20．在我国，除夕之夜，全家一起看春节联欢晚会是人们传统的娱乐活动，尤其是小品类节目为我们带来了很多的欢乐．为了统计观众对2009年春晚小品类节目的喜好，中央电视台在网上进行了“2009年春晚我最喜爱的小品”调查问卷，并将统计结果绘制成两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）求参加调查的观众喜欢小品《暖冬》的人数占总投票人数的百分比； （2）求参加调查的观众喜欢小品《黄豆黄》的人数并补全条形图； （3）若北京市共有1200万人收看了春晚节目，请你估算北京市喜欢小品《不差钱》 的观众约有多少人？“2009年春晚我最喜爱的小品节目”调查结果条形统计图（单位：人）“2009年春晚我最喜爱的小品节目”调查结果扇形统计图（说明：A ：《吉祥三宝》；B ：《黄豆黄》；C ：《水下除夕夜》； D ：《北京欢迎你》；E ：《暖冬》；F ：《不差钱》）六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）21．已知：如图，直角三角形AOB 的两直角边OA 、OB 分别在轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为线段OA 上一点，OB OC =，且1>m ）经过A 、C 两点．（1）求出A 、B 两点的坐标（可用含m （2）若AOB ∆的面积为2，求m 的值．22直线l ，在直线l 两边各放一粒跳棋子A 、B ，在图中1P 处有一粒跳棋子，1P 距A 点b 厘米、与直线l 的距离c厘米，按以下程序起跳：第1次，从1P 点以A 为对称中心跳至2P 点；第2次，从2P 点以l 为对称轴跳至3P 点；第3次，从3P 点以B 为对称中心跳至4P 点；第4次，从4P 点以l 为对称轴跳至1P 点． （1）画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母（画图工具不限）； （2）棋子按上述程序跳跃15次后停下，假设8=a ，6=b ，3=c ，计算这时它与 点A 的距离．第22题七、解答题（本题满分7分） 23．两个反比例函数xk y 1=和x ky 2=（021>>k k ）在第一象限内的图象如图所示，动点P 在xk y 1=的图象上，x PC ⊥轴于点C ，交x ky 2=的图象于点A ，y PD ⊥轴于点D ，交xky 2=的图象于点B ．（1）求证：四边形PAOB 的面积是定值；（2）当32=PC PA 时，求BPDB的值； （3）若点P 的坐标为（5，2），OA B ∆、ABP ∆的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=．①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？第23题八、解答题（本题满分7分） 24．已知：如图，半圆O 的直径cm DE 12=，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30ABC ，cm BC 12=．半圆O 以每秒cm 2的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上．设运动时间为t （秒），当0=t （秒）时，半圆O 在ABC ∆的左侧，cm OC 8=．（1）当t 为何值时，ABC ∆的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切？（2）当ABC ∆的一边所在直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直线DE 围成的区域与ABC ∆三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．第24题九、解答题（本题满分8分） 25．已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ∆∽BEC ∆； （2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．第25题（1） 第25题（2）石景山区2009年初三第一次统一练习暨毕业考试数学试卷参考答案及评分标准阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分） 13. 解：02)722(60sin 41122-+︒-+--π 1|2341|324+⨯-+--= …………………………………3分1132324+-+--=4-=． …………………………………5分14. 解：由不等式413->-x ，得1->x ． …………………………………1分 由不等式22+<x x ，得2<x ． …………………………………2分 ∴ 原不等式组的解集是21<<-x ． …………………………………3分 在数轴上表示为：…………………………………5分15. 解：去分母，得0)1(2)21)(1(=++--x x x x ． …………………………………2分去括号，整理，得015=-x ．解得 51=x ． …………………………………4分 经检验，51=x 是原方程的根． …………………………………5分 所以，原方程的根为51=x ．16．证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ DC BC =，ADC ABC ∠=∠．∴ FDC EBC ∠=∠． …………………2分 在EBC ∆和FDC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DC BC FDC EBC DF BE ∴ EBC ∆≌FDC ∆． …………………………………4分 ∴ FC EC =． …………………………………5分17．解：7)1()1(22---+x x x x 7323-+-+=x x x x72-+=x x ． …………………………………3分FC DBA第16题∵ 062=-+x x ， ∴ 172-=-+x x ．即 7)1()1(22---+x x x x 1-=． …………………………………5分 四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）18. 解：（1）由题意得BFE ∆≌DFE ∆，所以，BE DE =．∵ 在BDE ∆中，BE DE =，︒=∠45DBE ， ∴ ︒=∠=∠45DBE BDE ．∴ ︒=∠90DEB ．即BC DE ⊥． …………………………………1分 在等腰梯形ABCD 中，2=AD ，8=BC ，∴ 3)(21=-=AD BC EC ． ∴ 5=BE ． …………………………………3分 （2）由（1）得，5==BE DE ．在DEC ∆中，︒=∠90DEC ，5=DE ，3=EC ，所以，53tan ==∠ED EC CDE ． …………………………………5分19.（1）证明：如图，联结OA ． …………………………………1分∵ BC OC =，OB AC 21=， ∴ OA AC BC OC ===．∴ ACO ∆是等边三角形． ∴ ︒=∠60O ，︒=∠60OCA ． ∴ ︒=∠30B ．∴ ︒=∠90OAB ． …………………………………2分 所以，AB 是⊙O 的切线． …………………………………3分 （2）解：作CD AE ⊥于E 点． ∵ ︒=∠60O ，∴ ︒=∠30D ．又︒=∠45ACD ，2==OC AC ，所以在ACE Rt ∆中，2==AE CE ．在ADE Rt ∆中，∵ ︒=∠30D ，∴ 22=AD ． 由勾股定理，可求6=DE ． 所以，CE DE CD +=26+=． …………………………………5分第19题五、解答题（本题满分6分） 20. 解：（1）10%． ……………………2分 （2）340人，见右图．……………………4分 （3）约660万人． ……………………6分六、解答题（共2个小题，第21题4分，第22题5分，共9分）21. 解：（1）在抛物线m x m x y ++-=)1(2中，令0=y ，得0)1(2=++-m x m x ， 解得1=x 或m x =（1>m ）．所以，1=OC ，m OA =． ∵ OB OC =，∴ 1=OB ．所以，A 点的坐标为（m ，0）， …………………………………1分 B 点的坐标为（0，1-）． …………………………………2分 （2）AOB ∆的面积OB OA S ⋅=21m 21=，所以，当2=S 时，4=m ． …………………………………4分22. 解：（1）跳棋子跳过路径及各点字母如图． ………………3分 （2）跳跃15次后，停在4P 处， 过4P 作⊥C P 4AB ，垂足为C 点， 则C P 435136=-=；由7=AC ，∴ A P 4212844935==+=．…………………………………5分七、解答题（本题满分7分）23．（1）证明：设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x P ，AOC ∆与BOD ∆的面积分别为1S ，2S ，矩形PCOD 的面积为3S ．第22题由题意，得 121x k y =，222x k y =，313x k y =． ∴ 21112121k y x S ==，22222121k y x S ==，1333k y x S ==．∴ 21213)(k k S S S S PAO B -=+-=四边形．∴ 四边形PAOB 的面积是定值． …………………………………2分 （2）解：由（1）可知21S S =，则AC OC BD OD ⋅=⋅． 又∵ PC PA 32=， ∴ PC AC 31=． ∵ OC DP =，PC OD =，∴ DP BD 31=．∴21=BP DB ． …………………………………4分 （3）解：①由题意知：101==P P y x k ． …………………………………5分②A 、B 两点坐标分别为)5,5(2k A ，)2,2(2kB ，∴ )25)(52(212122k k BP AP S ABP --=⋅=∆． ∴ )25)(52(212102222k k k S S S ABP PAOB --⨯--=-=∆四边形． ∴ 222101k k S +-=． ∴ 当52=k 时，S 有最大值25． …………………………………7分 八、解答题（本题满分7分）24．解：（1）如图（1），当1=t 时，ABC ∆的AC 边与⊙O 相切； 如图（2），当4=t 时，ABC ∆的AB 边与⊙O 相切； 如图（3），当7=t 时，ABC ∆的AC 边与⊙O 相切；如图（4），当16=t 时，ABC ∆的AB 边所在直线与⊙O 相切．…………………………………4分 （2）由（1），可知，当4=t 和7=t 时，半圆O 与直线DE 围成的区域与ABC ∆第23题三边围成的区域有重叠部分，如图（2）、（3）的阴影部分所示，重叠部分的面积分别为29cm π和2)639(cm π+．…………………………………7分九、解答题（本题满分8分） 25．（1）证明：∵ EC DE ⊥，∴ ︒=∠90DEC ．∴ ︒=∠+∠90BEC AED ． 又∵ ︒=∠=∠90B A ，∴ ︒=∠+∠90EDA AED ．∴ EDA BEC ∠=∠．∴ ADE ∆∽BEC ∆． …………………………………2分（2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ，∵ E 是AB 的中点，容易证明)(21BC AD EF +=． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 21=． ∴ )(21BC AD +CD 21=． ∴ CD BC AD =+． …………………………………5分（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=．设x AD =，则x a DE -=．∵ ︒=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即22222x m x ax a +=+-．第24题（4）第24题（1）第24题（2）第24题（3） 第25题∴ am a x 222-=． 由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BEAD =m a a m a --=222a m a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=ma a 2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关． …………………………………8分。