理论力学该(25)精品PPT课件
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习题课
（3）
1
内容提要
• 1.动量定理 • 4.综合应用 • 2.动量矩定理 • 5.总结 • 3.动能定理 • 6.课后练习
2
1.动 量 定 理
• 1-1.基本概念和定理 • 1-2.例 题
– rc = mi ri / M – P = mi vi
– 例题1-1.
– P = M Vc – P2 - P1 = Ie – M ac = dp/dt=Re
– 例题1-2. – 例题1-3.
3
例题1-1. 水平面上放一均质
三棱柱 A,在此三棱柱上又放
一均质三棱柱B. 两三棱柱的
横截面都是直角三角形,且质
B
量分别为M和m.设各接触面都
是光滑的,在图示瞬时, 三棱柱
A
A的速度为v, 三棱柱B相对于A
的速度为u, 求该瞬时系统的
动量.
4
解:取系统为研究对象
C
v
O I
x
11
2
2
解:
(1)LC JC
1
MR 2
1
MRv
(2)LO LC rC P LC (xI i R j) Mvi
LC R j Mvi 2
LO LC MRv 3 MRv
rC
C Rj
O
xI i
I
v
x
12
(3)计算对瞬心 I
点的动量矩
r´ci
mi
vi
C
v
R j r´i
Px
M
mv
1 2
ml
cos
Py
1 2
ml sin
7
例题1-3. 水平面上放一均质三
b
棱柱A, 在此三棱柱上又放一均
B
质三棱柱 B 两三棱柱的横截面
都是直角三角形,且质量分别为
M 和m,设各接触面都是光滑的, A
求当三棱柱B 从图示位置沿 A
a
由静止滑下至水平面时,三棱柱
A 所移动的距离s.
(水平方向不受外 力,质心运动收恒)
mr 2
mr 2 )
3 4
m
v2
Tl
1 2
Mvc2
T
1 2
Mv 2
1 2mi
v
2
Mv 2
T 1 2M 3m v2
2
20
例题3-2. 均质细杆长为l,质量为m,上端B靠在光滑 的墙上,下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙 地面上的圆柱中心相连,在图示位置圆柱中心速度 为v,杆与水平线的夹角=45o,求该瞬时系统的动能.
8
解:取系统为研究对象. 主矢的水平分量为零,水平
b
B a-b
方向的动量守恒. Px = Pxo = 0
设系统初终位置时质心的x 坐标 A
分别为xc0 和xc1则有 xco = xc1 = c
a
s ma b
M m
9
2. 动 量 矩 定 理
• 2-1.基本概念和定理
– LO= ri mi vi – LC= ri´ mi vi´ – LO= LC+ rc P – LO= JO LC= Jc – JO = Meo JC = MeC
B
P PA PB
v
u
PAx = - M v PAy = 0
A
PBx = - m v + m u cos
PBy = - m u sin
Px = - (M + m) v + m u cos
Py = - m u sin
5
例题1-2.质量为M 的滑块A 在滑道内滑动,其上铰结一 质量为m长度为 l的均质杆 AB,当AB 杆与铅垂线的夹 角为 时,滑块A 的速度为 v, 杆AB的角速度为,求该 瞬时系统的动量.
I
x
LI ri mi vi (R j rci ) mi vi
R j mi vi rci mi vi
R j M vC 2LC
LI LC MRv 3 MRv LO
13
例题2-2.滑轮O和C为均质圆盘, 质量分别为M和m半径分别为R 和r,且R=2r,物块A和B质量分别 为M和m , 图示瞬时物块A 的速 度为v , 求系统对O点的动量矩.
• 2-2.例 题 – 例题 2-1. – 例题 2-2. – 例题 2-3.
10
例题2-1. 质量为M 半径R为的均质园盘沿着x 轴作 纯滚动,在某瞬时盘心 C 的速度为v , 求: (1)园盘在 相对盘心平动坐标系运动中对C点的动量矩; (2)园 盘在绝对运动中对 x 轴上任一固定点 O的动量矩; (3) 园盘在绝对运动中对瞬心 I 点的动量矩.
B
C
v
A
21
解: T = TA + TAB
I
B
TA
1 2
3 2
MR 2
2A
3 4
Mv2
v
I 为AB杆的瞬心
C
A
l
v sin
JI
1 ml2 12
m
l
2
2
1 ml2 3
TAB
1 2
J I 2AB
mv2 6 sin 2
v x
15
例题2-3. 小球A质量为m连在细绳的一端 ,绳的另 一端穿透光滑的水平面上的小孔O,令小球在水平 面上沿半径为 r 的圆周作匀速运动,其速度为v,若 将细绳往下拉,使圆周的半径缩小为r/2 ,求此时小 球的速度u 和细绳的拉力T.
A O
T
(对0Z轴的力 矩为零，则 动量矩守恒.)
16
解:取小球为研究对象 .
A
v
C
B
6
解:取系统为研究对象.
P PA PAB
PAx = M v PAy = 0
A
v vcy vc
C
vcx
设 杆AB质心 C 的速度为vC
由 vc = ve + vr
ve = v
vr
1 l 2
B
vcx
v
wk.baidu.com
1 2
l
cos
vcy
1 2
l sin
PABx
mv
1 2
ml
cos
PABy
1 2
ml sin
O
AC B
v
14
解:取坐标如图.xA+2xC = c 得: vA= v =2 vC= RO= 2r C
LO= LOA+ LOO+ LOC+ LOB LOA= RMv
LOO
1 2
MmrR2o
1 2
mMRv
LOC
3 2
mr 2C
3 mRv 8
LOB
mrvc
1 4
mRv
LO
1 162M
8
5mRv
O
AC B
T+V=c
• 3.2. 例 题
– 例题 3-1 ; 例题 3-2 ; 例题 3-3
18
例题3-1. 图示坦克履带l质量为M ,每个车轮质量为 m ,车轮可视为均质园盘,半径为r,设坦克前进速度为 v,求系统的动能.
A
B
v
l
19
A
C
B
v
解: T = TA + TB + Tl
l
TA
TB
1 2
(1 2
由Moe = 0 得 LO = c
rmv 1rmu 2
u = 2v
T 1mr m(2v2)v2 2 8 m v2
2 (0.5r)
r
A O
T
17
3. 动 能 定 理
• 3.1.基本概念和定理
T
12mivi2
TO
1 2
JO
T '
1 2mi
vr2i
T
1 2
M
vc2
T'
TI
1 2
JI
d T = W T2 - T1 = W
（3）
1
内容提要
• 1.动量定理 • 4.综合应用 • 2.动量矩定理 • 5.总结 • 3.动能定理 • 6.课后练习
2
1.动 量 定 理
• 1-1.基本概念和定理 • 1-2.例 题
– rc = mi ri / M – P = mi vi
– 例题1-1.
– P = M Vc – P2 - P1 = Ie – M ac = dp/dt=Re
– 例题1-2. – 例题1-3.
3
例题1-1. 水平面上放一均质
三棱柱 A,在此三棱柱上又放
一均质三棱柱B. 两三棱柱的
横截面都是直角三角形,且质
B
量分别为M和m.设各接触面都
是光滑的,在图示瞬时, 三棱柱
A
A的速度为v, 三棱柱B相对于A
的速度为u, 求该瞬时系统的
动量.
4
解:取系统为研究对象
C
v
O I
x
11
2
2
解:
(1)LC JC
1
MR 2
1
MRv
(2)LO LC rC P LC (xI i R j) Mvi
LC R j Mvi 2
LO LC MRv 3 MRv
rC
C Rj
O
xI i
I
v
x
12
(3)计算对瞬心 I
点的动量矩
r´ci
mi
vi
C
v
R j r´i
Px
M
mv
1 2
ml
cos
Py
1 2
ml sin
7
例题1-3. 水平面上放一均质三
b
棱柱A, 在此三棱柱上又放一均
B
质三棱柱 B 两三棱柱的横截面
都是直角三角形,且质量分别为
M 和m,设各接触面都是光滑的, A
求当三棱柱B 从图示位置沿 A
a
由静止滑下至水平面时,三棱柱
A 所移动的距离s.
(水平方向不受外 力,质心运动收恒)
mr 2
mr 2 )
3 4
m
v2
Tl
1 2
Mvc2
T
1 2
Mv 2
1 2mi
v
2
Mv 2
T 1 2M 3m v2
2
20
例题3-2. 均质细杆长为l,质量为m,上端B靠在光滑 的墙上,下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙 地面上的圆柱中心相连,在图示位置圆柱中心速度 为v,杆与水平线的夹角=45o,求该瞬时系统的动能.
8
解:取系统为研究对象. 主矢的水平分量为零,水平
b
B a-b
方向的动量守恒. Px = Pxo = 0
设系统初终位置时质心的x 坐标 A
分别为xc0 和xc1则有 xco = xc1 = c
a
s ma b
M m
9
2. 动 量 矩 定 理
• 2-1.基本概念和定理
– LO= ri mi vi – LC= ri´ mi vi´ – LO= LC+ rc P – LO= JO LC= Jc – JO = Meo JC = MeC
B
P PA PB
v
u
PAx = - M v PAy = 0
A
PBx = - m v + m u cos
PBy = - m u sin
Px = - (M + m) v + m u cos
Py = - m u sin
5
例题1-2.质量为M 的滑块A 在滑道内滑动,其上铰结一 质量为m长度为 l的均质杆 AB,当AB 杆与铅垂线的夹 角为 时,滑块A 的速度为 v, 杆AB的角速度为,求该 瞬时系统的动量.
I
x
LI ri mi vi (R j rci ) mi vi
R j mi vi rci mi vi
R j M vC 2LC
LI LC MRv 3 MRv LO
13
例题2-2.滑轮O和C为均质圆盘, 质量分别为M和m半径分别为R 和r,且R=2r,物块A和B质量分别 为M和m , 图示瞬时物块A 的速 度为v , 求系统对O点的动量矩.
• 2-2.例 题 – 例题 2-1. – 例题 2-2. – 例题 2-3.
10
例题2-1. 质量为M 半径R为的均质园盘沿着x 轴作 纯滚动,在某瞬时盘心 C 的速度为v , 求: (1)园盘在 相对盘心平动坐标系运动中对C点的动量矩; (2)园 盘在绝对运动中对 x 轴上任一固定点 O的动量矩; (3) 园盘在绝对运动中对瞬心 I 点的动量矩.
B
C
v
A
21
解: T = TA + TAB
I
B
TA
1 2
3 2
MR 2
2A
3 4
Mv2
v
I 为AB杆的瞬心
C
A
l
v sin
JI
1 ml2 12
m
l
2
2
1 ml2 3
TAB
1 2
J I 2AB
mv2 6 sin 2
v x
15
例题2-3. 小球A质量为m连在细绳的一端 ,绳的另 一端穿透光滑的水平面上的小孔O,令小球在水平 面上沿半径为 r 的圆周作匀速运动,其速度为v,若 将细绳往下拉,使圆周的半径缩小为r/2 ,求此时小 球的速度u 和细绳的拉力T.
A O
T
(对0Z轴的力 矩为零，则 动量矩守恒.)
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解:取小球为研究对象 .
A
v
C
B
6
解:取系统为研究对象.
P PA PAB
PAx = M v PAy = 0
A
v vcy vc
C
vcx
设 杆AB质心 C 的速度为vC
由 vc = ve + vr
ve = v
vr
1 l 2
B
vcx
v
wk.baidu.com
1 2
l
cos
vcy
1 2
l sin
PABx
mv
1 2
ml
cos
PABy
1 2
ml sin
O
AC B
v
14
解:取坐标如图.xA+2xC = c 得: vA= v =2 vC= RO= 2r C
LO= LOA+ LOO+ LOC+ LOB LOA= RMv
LOO
1 2
MmrR2o
1 2
mMRv
LOC
3 2
mr 2C
3 mRv 8
LOB
mrvc
1 4
mRv
LO
1 162M
8
5mRv
O
AC B
T+V=c
• 3.2. 例 题
– 例题 3-1 ; 例题 3-2 ; 例题 3-3
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例题3-1. 图示坦克履带l质量为M ,每个车轮质量为 m ,车轮可视为均质园盘,半径为r,设坦克前进速度为 v,求系统的动能.
A
B
v
l
19
A
C
B
v
解: T = TA + TB + Tl
l
TA
TB
1 2
(1 2
由Moe = 0 得 LO = c
rmv 1rmu 2
u = 2v
T 1mr m(2v2)v2 2 8 m v2
2 (0.5r)
r
A O
T
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3. 动 能 定 理
• 3.1.基本概念和定理
T
12mivi2
TO
1 2
JO
T '
1 2mi
vr2i
T
1 2
M
vc2
T'
TI
1 2
JI
d T = W T2 - T1 = W