全国初中数学竞赛二次函数问题

《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题

2

11 （2008）、已知一次函数 y 1 2x ，二次函数 y 2 x 1，是否存在二次函数

y ax 2 bx c ，其图象经过点（—5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三

个函数所对应的函数值y 1,y 2，y 3，都有％ y y 成立？若存在，求出函数y 的

任意实数时，y 1 y 均成立。

当 x 1 时，有 y 1

y 2

2， y 3

a b c

由于对于自变量x 取任实数时, y 1 y 3

y 均成立，所以有 2< a b c <2,

故 a b c 2 ②

由①, ②，得 b 4a , c 2 5a ,

所以 2

y 3 ax

4 ax (2 5a).

•5分

当

y 1

/ ” 2

y 3 时，有 2x ax

4ax

(2 5a) ,即 ax 2

(4 a 2)x (2 5a) 0

所以, 二次函数y ax 2 （4a 2)x (2 5a ）对于

-切实数 x ，函数值大于或 ①

25a 5b c 2 解析式；若不存在，请说明理由。 解：存在满足条件的二次函

数。 x 2

因为y i

y 2 2x (x 2

1) 2x 1 （x 1）2 0,所以，当自变量x 取 由已知，二次函数y 3 ax 2

bx c 的图象经过点（一5,2），得

等于零，故

af 0

(4 a 2)2 4a (2 5a) 0

af (3a 0, 1)2

0,所以a 3

当y 3 y 2时，有

2

ax

4ax (2 5a) 1，即(1 a) x 2 4 ax

(5a 1) 0，

所以，二次函数y (1 a)x

4ax (5a 1）对于一切实数x , 函数值大于或

等于零，故

1 af 0, 2

(4a)

4(1 a)(5a

1) 0,即：3：11)2

0,所以a 1

综上，a 1,b 4a

3

4

,c 2 5a 1

3

3

4 c 4 1

所以，存在二次函数y 3 3x 2 3x 3，在实数范围内，对于x 的同一个值，

11(2009).函数y x 2 (2k 1)x k 2的图象与x 轴的两个交点是否都在直线x 1 的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线 侧时k 的取值范围.

解：不一定，例如，当k = 0时，函数的图象与x 轴的交点为(0, 0)和 (1, 0)，不都在直线x 1的右侧.

且仅当满足如下条件

> 0, (为 1) %

(X 1 1)(X 2 1) 0

时，抛物线与x 轴的两交点都在直线x 1的右侧.

k <右

k

右

k 2 或 k 0.

20分 2

12 (2010).如图，抛物线 y ax bx (a 0)与双曲线

(2 k 1)2 2k 1 k 2 2k

4k 2>0, 0, 0,

所以当k

2时，抛物线与x 轴的两交点在直线 1的右

侧.

(O 为坐标原点) 的坐标为(1，4)，点

(1)求实数a ， (2)过抛物线上点

都有 y 1 y a y 成立。

15分

x 1的右

设函数与x 轴的两交点的横坐标为 X 1 , X 2，则

x

1

2

(2k 1), XM k ，当

1) 0,

10分

解之，得

15分

k 相交于点A ，B.已知点A

x

点C,求所有满足△ EOC s' AOB的点E的坐标.

k 解：(1)因为点A (1 , 4)在双曲线y 上,

X

4 所以k=4.故双曲线的函数表达式为y .

X （第12

题）

4

设点B(t,兰)，t 0，AB所在直线的函数表达式为

t

y mx n，则有

4 m n,

― 4 4（t

1）

4 解得m -，n

mt n, t t

t

于是，直线AB与y轴的交点坐标为0,_卩，故

t

S 1

AOB

（t1 1 t3, 整理得2t2 3t 2 0 ,

2t

解得t 2，或t= 1(舍去). 所以点B的坐标为( 2 , 2）2

ax2 bx ( a 0)上，所以

a b 4, a 1,

解得•….... （10 分）

4a 2b 2, b 3.

因为点A，B都在抛物线y

(2)如图，因为AC // x轴，所以C ( 4 , 4),于是CO

CO

-仆2. 又BO=2 2 BO

设抛物线y ax2 bx(a 0)与x轴负半轴相交于点D ,

则点D的坐标为(3, 0).

因为/ COD = Z BOD = 45，所以/ COB=90 .

(i)将' BOA绕点O顺时针旋转90，得到△ BOA1.这时，点B ( 2 , 2)是CO的

中点，点A,的坐标为(4, 1)

延长OA1到点E1，使得OE1=2OA，这时点E1 (8, 2)是符合条件的点

(ii)作' BOA关于x轴的对称图形△ B OA2,得到点A2(1, 4)；延长OA2到点E2, 使得OE2 = 2OA2，这时点E 2 ( 2, 8)是符合条件的点.

所以，点E的坐标是(8, 2)，或(2, 8 ).（20

分）