最大功率传输定理推导及应用

最大功率传输定理推导及应用
严皓
（上海交通大学 微电子学院 F0821102 5082119045 上海 200240）
摘要：从实域电路出发推导出最大功率定理，并将其推广到复频域中，得到负载获得最大功率的匹配条件，并通过具体实例加以应用及验证。

关键词：戴维宁定理和诺顿定理 最大功率传输定理 匹配条件 复频域 最大功率
The Derivation And Application of Maximum Power Transfer
Theorem
YanHao
（SJTU SOME F0821102 5082119045 ShangHai 200240）Abstract:We derive the Maximum Power Transfer Theorem by analysising the Real frequency-domain circuit.Then we generalize the theorem to the complex-frequency domain circuit.We can get the matching conditions of the load through it. Then we apply Maximum Power Transfer Theorem in an example to prove it right.
Keyword: Thevenin's theorem and Norton's theorem Maximum Power Transfer Theorem matching conditions maximum power complex-frequency domain
引言
实际电路中负载获得最大功率所需的条件及满足这个条件时负载获得的最大功率，在实际电路中有着广泛的应用，因此该问题的研究有着重要的实际意义。

本文旨在得到最大功率传输定理，使之能在电路分析中直接使用。

1.最大传输定理的推导
在电子线路中，负载是用电设备，负载的功率是由电源提供的。

无论是直流稳压电源，还是产生各种波形的信号源，其内部电路都比较复杂；但对外电路而言，都可看成是含源的二端网络，如图1.1（a）所示。

当负载R L的大小发生变化时，二端网络N S传输给负载的功率也随之发生变化。

L
L
（a） （b） 图1.1 最大功率传输定理
当电压源给负载供电时，可以利用戴维宁定理将图1.1（a）中的N S 用戴维宁等效电路来替换，得图1.1（b）所示电路，其中u S 为a、b 端电压，R 0为等效内阻。

由图1.1（b）可知，流过负载R L 的电流为
s
L u i R R =+
则负载获得的功率为
22
2
0()
s L
L L L u R p i R R R ==+ （1-1） 式1-1中，N S 已经给定，即u s 和R 0不变，负载R L 为可变电阻，那么负载功率p L 是R L 额函数。

另
0L
L
dp dR =，即 2
2222
00044
00()2()0()()
L L L L L s s L L L R R R R R R R dp u u dR R R R R +−+−=⋅=⋅=++ 得 R L =R 0 （1-2）
这就是说，当R L =R 0时，p L 达到最大值。

再将式（1-2）代入式（1-1），得功率的最大值为
2
max
4s L u P R = （1-3） 式（1-2）及式（1-3）就是最大功率传输定理，表述如下：
一个含源二端网络对负载电阻供电，当负载电阻R L 与该含源二端网络的等效内阻R 0相
等时，负载电阻上获得最大功率，且最大功率为2
4s u R 。

R L =R 0称为最大功率匹配条件。

实例说明:
例1. 图1.2（a）所示电路，R 是可调电阻，欲使2Ω电阻获得最大功率，求R 应调到何
值，并求2Ω电阻获得的最大功率，并求该电路的传输效率。

6
（a） （b）
oc
U 0R 2Ω
（b） （d）
图1.2 例1电路图
解：将2Ω电阻左侧看成一个含源二端网络，求它的戴维宁等效模型。

如图 1.2（b），其等效电阻
066
R
R R =
+ 由最大功率匹配条件，当R 0=2时，2Ω电阻可获得最大功率，即
626
R
R =+ 3R ∴=Ω
再求二端网络的开路电压U oc ，如图1.2（c）所示，有 1136327I I A
I I A
=+⎧⎨
+=⎩
解得 1I A =
oc 01.2d U 3V R 2.∴==Ω等效电路如图（）所示，，
22
max
03P 1.125442
oc U W R ∴===× 且 22i 2
100%50%i 4
η⋅=×=⋅ （1-4）
由例1可见，最大功率传输定理可极大地简化电路计算，并能方便求得最大功率。

2. 最大功率传输定理在复频域中的应用
实际电路中大多包含容性元件或者感性元件，而这些元件的存在也将电路分析推广到复频域中。

接下来以正弦稳态电路为例，讨论最大功率传输定理在复频域中的应用。

L
Z
（a） （b）
图2.1 最大功率传输定理电路图
同实频域中，应用戴维宁定理，可将图2.1（a）等效成图2.1（b）。

图2.1（b）中，的负载L L L Z R jX =+，其吸收的平均功率为
2L L P R I = （2-1）
而
01oc L
I U Z Z •
•=+ （2-2）
电流有效值为
0oc L U I Z Z =
=
+ （2-3） 将式（2-3）代入P L 的表达式（2-1），得
2
22
00()()
L oc L L L R U P R R X X =+++ （2-4） 先分析P L 与X L 的关系。

由于X L 出现在式（2-4）的分母中，故知在R L 为任意值的情况下，当X L =-X 0时，P L 达到最大，为
2
2
0()
L L oc L R P U R R =
+ （2-5） 式（2-5）表明P L 为R L 的函数，当
L
L
dP dR 等于零时可求得P L 的最大值。

为此另 22004
0()2()0()
L L L
L oc L L R R R R R dP U dR R R +−+==+ （2-6） 可得
0L R R = 因此，负载吸收最大功率的匹配条件为
00L L R R X ==−和X （2-7a） 或者
0L Z Z ∗
= （2-7b） 即负载阻抗和电源等效阻抗互为共轭复数。

此时，有 22
max
2(2)4L oc oc L L L
R U U P R R ==
（2-8） 故在复频域中，最大功率传输定理的匹配条件为0L Z Z ∗
=，最大功率为2
max
4oc L L
U P R =。

实例说明
例2．如图2.2，630s U •
=∠ V，Z 1=（100+j50）Ω，Z 2=（6+j8）Ω，试问，电路的负载Z 为何值时，吸收的功率最大？最大功率等于多少？此时，电路的传输效率为多少？
S
U i
1
Z 2
Z Z
oc
U i
Z
（a） （b）
图2.2 例2电路图
解：从负载Z 两端看进去的戴维宁电路如图2.2（b）。

其中
212121268
6300.54546810050
(68)(10050)
(5.97.1)10658
oc
S Z j U U V V Z Z j j Z Z j j Z j Z Z j +==×∠=∠++++++=
=Ω=+Ω
++i
i
因此，当Z=Z *
=（5.9-j7.1）Ω时，负载Z 吸收的功率最大，最大功率为 2
max (0.5)0.014 5.9
P W W ==× 且
max
max
100%50%2P P η=
×= （2-9） 3. 简要分析
由式（1-4）及式（2-9）可知，在负载取得最大功率的时候，电路的传输效率为50%，效率很低。

因此，在考虑能耗，节约能源的电路结构中，利用最大传输功率定理得到大功率，不是个很好的选择，例如电力系统，这种传输效率是不允许的。

但是在电子系统和一些测量系统中，考虑处理的大多是微弱信号，效率高低就不是关键问题，此时，利用该定理得到最大功率就显得相当重要。

4. 心得体会
最大传输功率定理的推导证明并不难，但是对于一些具体问题的求解分析，却能起到很简化作用。

通过这次对最大传输功率定理的学习研究，我的最大收获在于认识到，在电路理论和电路实验的学习过程中，有很多好的简单的方法，能够帮助我们更好更快的分析解决问题，有待于我们去发现，去掌握，去运用。

而这次研究最大的意义，我觉得，是开启了一扇电路课程和实验的学习的大门，能让我们更好的走进电子电路的世界中去。

参考文献：
[1] 张峰 吴月梅 李丹 《电路实验教程》 北京：高等教育出版社 2008 [2] 陈洪亮 张峰 田社平 《电路基础》 北京：高等教育出版社 2007 [3] 朱虹 孙卫真 《电路分析》 北京：北京航空航天大学出版社 2004。